2026届广东省深圳市高考数学自编模拟卷

2026届广东省深圳市高考数学自编模拟卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列四组数据中，方差最小的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求平均数，再分别求出方差，最后比较方差的大小即可. 【详解】对于A，， ； 对于B，， ； 对于C，， ； 对于D，， ； 因为， 所以四组数据中，方差最小的为， 故选：C. 2．已知双曲线的一个焦点坐标是，则的值及的离心率分别为（    ） A． B． C．1，2 D． 【答案】A 【分析】化双曲线方程为标准形式，再求出的值及离心率. 【详解】依题意，双曲线化为：， 则，解得，双曲线的离心率. 故选：A 3．在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据，判断出四边形的形状，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在四边形中，若，则四边形为平行四边形， 若，则平行四边形为菱形，但不一定为正方形， 四边形是正方形时，必有，即有， 故“”是“四边形是正方形”的必要不充分条件. 故选：B. 4．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由已知结合同角基本关系先求出，然后结合两角和的正弦公式即可求解. 【详解】由题意， 所以，故， 则， 故选：B. 5．底面边长为，侧面积为的正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知得出斜高，从而可得正四棱锥的高，由体积公式可得正四棱锥的体积. 【详解】如图，正四棱锥，，为底面正方形中心，为中点， 由已知可得，所以， 又，所以， 所以正四棱锥的体积为. 故选：C 6．已知，则导数是（   ） A．仅有最小值的奇函数 B．既有最大值又有最小值的偶函数 C．仅有最大值的偶函数 D．既有最大值又有最小值的奇函数 【答案】D 【分析】求出，利用奇偶性定义判断出奇偶性；利用导数求出最值. 【详解】， 因为关于原点对称， 所以，所以导函数是奇函数． 令， ，在上单调递增， 即在上单调递增． ． 既有最大值又有最小值． 故选：D. 7．已知等差数列的公差为，集合，若，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】先写出等差数列的通项公式，然后根据三角函数的周期性和已知集合的元素个数来分析的取值情况，进而求出的值. 【详解】根据已知条件，等差数列的通项公式为：. 根据三角函数的性质，. 这说明数列的周期为3. 因为集合，即有三个不同的值. 设时，；时，； 时，. 根据三角函数两角和公式可得： . . 则 故选：B. 8．复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查复数运算与复平面几何意义，通过对等式变形分析复数关系，判断三角形形状. 【详解】依题意，，若，则（反之亦成立）， 则与原点重合，与已知能组成三角形矛盾，所以. 由，两边除以（），设，则方程变为： ，解得 由，得. 所以， ，故. 在中： ，，即（等腰）. 由勾股定理：， 而，故（直角）. 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．将的图象向右平移个单位长度，可得到的图象 D．将的图象关于y轴对称，可得到的图象 【答案】ABD 【分析】根据复合函数求导即可判断A；根据正弦两角和公式可得，平方后结合平方关系与二倍角公式即可得的值，即可判断B；根据三角函数图象变换与诱导公式即可判断C；求解结合诱导公式即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，则， 两边同时平方得，故，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：ABD. 10．已知定义在上的函数满足，的导函数为，则（    ） A． B．是单调函数 C． D．为偶函数 【答案】ACD 【分析】对于A：利用赋值法分析可得，；对于B：根据结合单调性的定义分析判断；对于C：分析可得，即可得结果；对于D：对求导，结合偶函数的定义分析判断. 【详解】因为，且的定义域为， 对于选项A：令，则，可得； 令，则，可得，故A正确； 对于选项B：由选项A可知，所以不是单调函数，故B错误； 对于选项C：令，可得， 即，所以，故C正确； 对于选项D：由选项C可知， 对两边求导得，即， 所以为偶函数，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 11．已知数列中，数列中，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则数列为等比数列 C．若，则数列为常数列 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据组合数的性质判断A，由，结合，即可判断B，求出、、，即可判断C，根据组合数的性质判断D. 【详解】对于A：当，则，又， 所以，故A正确； 对于B：当，则， 又，所以， 则，不为常数，所以数列不是等比数列，故B错误； 对于C：当，则， 则，， ， 所以数列不是常数列，故C错误； 对于D：首先证明， 考虑多项式中的系数， 一方面：代数式中，的系数为； 另一方面：代数式中， 的系数为； 因为，所以； 所以. 当时， ，故D正确. 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知为偶函数，若，则负数______. 【答案】 【分析】先根据偶函数的性质，求得，将代入，整理得，解方程即可. 【详解】已知为偶函数，根据偶函数定义，， 则当时，，，而， 因此，当时，， 又，则，且，整理得， 设，，方程变为， 令函数， 因为函数在单调递增，函数在单调递增， 所以函数在单调递增，且， 所以方程有唯一解，即， 所以，即时，. 故答案为： 13．已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，为坐标原点，若，垂足为，则面积的最大值为_____． 【答案】1 【分析】求出抛物线焦点的坐标，设出直线AB的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理及求出n的值，然后联立直线OM与直线AB的方程求出点M的坐标，代入面积公式，最后化简并利用基本不等式求最大值. 【详解】由题意知，可设直线AB的方程为，，    将代入，可得，即， 则，则， 因为，， 所以，化简得， 解得或（时直线过原点，舍去）， 则直线AB的方程为， 因为，所以设直线OM方程为：， 联立两直线方程， 所以， 因为函数为奇函数，且当时，（当且仅当时等号成立）， 所以，则（当且仅当时等号成立）. 所以面积的最大值为1. 故答案为：1 14．九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方，已知幻和等于15的九宫格共有8种.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为______. 【答案】/0.75 【分析】根据题意先求出满足题意的总情况有种，再求出满足有多少种，然后利用古典概率知识即可求解. 【详解】由题意九宫格的中间位置填，位置填偶数，位置填奇数， 因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于， 所以、位置填或， 先从中任意选出一个数填入位置，则有个结果， ①若填， 则填，填，填，填，填，填，填； 或填，填，填，填，填，填，填； ②若填， 则填，填，填，填，填，填，填； 或填，填，填，填，填，填，填； ③若填， 则填，填，填，填，填，填，填； 或填，填，填，填，填，填，填； ④若填， 则填，填，填，填，填，填，填； 或填，填，填，填，填，填，填； 所以总的结果个数为个， 其中符合的情况有，，，，，共个， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对进行合理的分类讨论，从而得到所有的情况，最后根据古典概型即可得到答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得解； （2）利用余弦定理及面积公式求出、，进而求得，即可求得周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 因为，所以，则， 则，又，所以． （2）由（1）知，又因为， 由余弦定理，得①， 由题意知，即②， 联立①②得，所以，故， 则的周长为. 16．如图，在体积为14的四棱台中，底面是菱形，，分别是四边形和四边形对角线的交点，且平面. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由棱台体积求得，结合勾股定理得到，再由题意得到，进而可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）由已知得. 设，上底面的面积，下底面的面积 ，解得， ， ，即. 平面平面， 又平面平面， 平面，且平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 则由（1）知， . 设平面的法向量为， 则 令，则， 设平面的法向量为， 则 令，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 17．设椭圆的左焦点，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于P，Q和E，F，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，，再利用求出，从而可得椭圆的标准方程； （2）当直线PQ与直线EF中有一条直线斜率为0时，求出的值，当直线PQ与直线EF的斜率均不为0时，设，将直线方程代入椭圆方程化简再利用根与系数的关系，表示出，再由两直线垂直的关系表示出，然后代入化简可求得其取值范围. 【详解】（1）由题意得，，所以． 则椭圆的方程为． （2）①当直线PQ与直线EF中有一条直线斜率为0时，不妨设PQ的斜率为零，则 ,, 所以 所以， ② 当直线PQ与直线EF的斜率均不为0时，设， 由，可知，， ， 设，则，， 因为过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于P，Q和E，F， 所以用换，可得， 则， 令，则，则， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以， 即， 综上，的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，第（2）问解题的关键转化，考查转化思想和计算能力，属于较难题. 18．已知函数其中，是常数，而且（），若满足. (1)的单调区间与极值； (2)为等差数列，求； (3)，求证. 【答案】(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增；极小值为，无极大值 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域及导数，进而求出单调区间及极值； （2）设数列的公差为，由题意可递推出，用可求得，即可求解； （3）假设是第一个不大于，由（1）可知，在区间上单调递增， 代入已知可得，与已知矛盾，令，对其求导，根据单调性即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 令，解得， 当变化时的变化情况如下表： 0 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，有极小值，且极小值为，无极大值. （2）设数列的公差为，由题意得， ②①得 ， 整理，得， 又因为， 所以，即， 所以，解得， 而当时，易得，为常数列，满足题设要求. （3）先证明， 设是第一个不大于，即，， 由（1）可知，在区间上单调递增， 所以，即， 这与假设矛盾，所以所设不成立，即. 其次证明，令， 则， 所以为单调增函数，当时，， 因为，所以，即， 故. 19．从编号为1，2，…，的座位中按照如下方式选取座位：选取至少个座位，并且选取的座位中没有相邻的座位，则称这样的座位选取方案称为“社交排位”． (1)若个座位排成一排，对应的“社交排位”数为，例如时，由于至少要选取2个座位，因此时，由于只能选取第1，3个座位，因此． （i）求； （ii）求使的最小正整数， (2)若个座位排成一圈，对应的“社交排位”数为，求数列中第2025个奇数对应的． 【答案】(1)（i），；（ii）12 (2)4051 【分析】（1）（i）当、时，列举出符合条件的选法，可得出、的值； （ii）解法1：当时，个座位的“社交排位”，可以分成两类：①不包含号座位；②包含号座位.推导出，然后列举出数列的前若干项，即可得出满足不等式的最小正整数的值； 解法2：当（）时，由组合数的性质得出，结合，并求出、的值，可得出满足的最小正整数的值； （2）解法1：求出数列前项的值，将对应的方案分为3类进行讨论，可得出，可知与（）具有相同的奇偶性，由此推导出，为奇数，当，为偶数，，即可确定2025个奇数所在的位置，即可得解； 解法2：当（）时，根据组合数性质计算出的表达式，可知与（）具有相同的奇偶性，由此推导出，为奇数，当，为偶数，，即可确定2025个奇数所在的位置，即可得解. 【详解】（1）（i）当时，可以选取，合计3种选法，于是； 当时，可以选取，合7种选法，于是． （ii）解法1：当时，个座位的“社交排位”，可以分成两类： ①不包含号座位，此时，这便是个座位的“社交排位”，有种； ②包含号座位，此时必不包含，剩余被选中的座位来自1，2，…，． 当剩余被选中的座位数为1时，可以为1，2，…，号，有种选法； 当剩余被选中的座位数大于等于2时，此时剩余的位置数对应于个座位的“社交排位”数有种，于是，由递推关系列出下表： n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 3 7 14 26 46 79 133 221 364 596 则当时，有的最小正整数． 解法2：当（）时， 设“社交排位”的座位数为个，则空座位个数为个， 则可将个“社交排位”的座位插入个空座位中形成的个空隙中的个，则个“社交排位”的座位的选取种数为， 且，由于，故， ， 设， （i）， （ii）， 由（i）（ii）得， 所以， ， ∴当即时，不符合题意， 当时，， 当时，， 符合题意的最小正整数为12． （2）解法1：易知， 当时，排成一排的个座位的“社交排位”数，去掉其中同时选取1号，号的方案， 即得到个座位排成一圈的“社交排位”数，即为， 则对应的方案分为3类： ①仅选取1号，号，有1种； ②选取1号，号，以及3，4，…，中的1个位置，有种； ③选取1号，号，以及大于等于2个3，4，…，中的座位，对于这类选取方案， 由于2号与号必不被选，其余3，4，…，的选法数对应于个座位排成一排的“社交排位”数为， 则， ， 又由， 则 ， 则与（）具有相同的奇偶性， 对于，由， ， 有， 则与有不同的奇偶性，与具有相同的奇偶性， 又由为偶数，为奇数，为偶数， 当时，为偶数， 当时，为奇数， 从而为奇数，为偶数， 更为一般的，当，为奇数， 当，为偶数， 又由为偶数， 从（包含）起，每6个一组，由3个偶数3个奇数构成， 则2025个奇数出现在第675组第3个数，即． 解法2：当（）时， ， 当时， ， 于是 ， 当（）时， ， ， 则与（）具有相同的奇偶性， 对于，由， ， 有， 则与有不同的奇偶性，与具有相同的奇偶性， 又由为偶数，为奇数，为偶数， 当时，为偶数， 当时，为奇数， 从而与为奇数，为偶数， 更为一般的，当，为奇数， 当，为偶数， 又由为偶数，从（包含）起，每6个一组，由3个偶数3个奇数构成， 则2025个奇数出现在第675组第3个数，即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届广东省深圳市高考数学自编模拟卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列四组数据中，方差最小的为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的一个焦点坐标是，则的值及的离心率分别为（    ） A． B． C．1，2 D． 3．在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 5．底面边长为，侧面积为的正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 6．已知，则导数是（   ） A．仅有最小值的奇函数 B．既有最大值又有最小值的偶函数 C．仅有最大值的偶函数 D．既有最大值又有最小值的奇函数 7．已知等差数列的公差为，集合，若，则（   ） A． B．0 C．1 D． 8．复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．将的图象向右平移个单位长度，可得到的图象 D．将的图象关于y轴对称，可得到的图象 10．已知定义在上的函数满足，的导函数为，则（    ） A． B．是单调函数 C． D．为偶函数 11．已知数列中，数列中，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则数列为等比数列 C．若，则数列为常数列 D．若，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知为偶函数，若，则负数______. 13．已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，为坐标原点，若，垂足为，则面积的最大值为_____． 14．九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方，已知幻和等于15的九宫格共有8种.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求；(2)若，且的面积为，求的周长. 16．如图，在体积为14的四棱台中，底面是菱形，，分别是四边形和四边形对角线的交点，且平面. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．设椭圆的左焦点，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于P，Q和E，F，求的取值范围． 18．已知函数其中，是常数，而且（），若满足. (1)的单调区间与极值； (2)为等差数列，求； (3)，求证. 19．从编号为1，2，…，的座位中按照如下方式选取座位：选取至少个座位，并且选取的座位中没有相邻的座位，则称这样的座位选取方案称为“社交排位”． (1)若个座位排成一排，对应的“社交排位”数为，例如时，由于至少要选取2个座位，因此时，由于只能选取第1，3个座位，因此． （i）求； （ii）求使的最小正整数， (2)若个座位排成一圈，对应的“社交排位”数为，求数列中第2025个奇数对应的． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $