8.3～8.4 三角形的中位线、梯形 新课预习讲义（题型归纳+知识梳理+常考题型）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

8.3～8.4 三角形的中位线、梯形 新课预习讲义 （苏科版） ☘ 题型归纳 题型1 与三角形中位线有关的求解问题. 题型2 与三角形中位线有关的证明. 题型3 三角形中位线的实际应用. 题型4 中点四边形. 题型5（等腰）梯形的定义. 题型6 直角梯形的定义. 题型7 等腰梯形的性质定理. 题型8 等腰梯形的判定定理. 题型9 巩固测试题(16题). 💦 重点知识◆梳理 【知识点一、三角形中位线】 1.定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。（如下图） 2.定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半（★★★） 几何语言：在△ABC中，若D、E分别为AB、 AC中点，则DE∥BC且DE=BC. 3.常用结论: （1）一个三角形有 3 条中位线； （2）三条中位线把原三角形分成 4 个全等的小三角形； （3）中位线围成的小三角形周长 = 原三角形周长的 一半； （4）面积 = 原三角形面积的 1/4。 4.实际应用： （1） 求边长：已知第三边，求中位线；已知中位线；求第三边 （2） 求周长、面积 （3） 证明两条线段平行 【知识点二、梯形】 1.定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. . 2.平行的两边叫底，分别为上底、下底；不平行的两边叫腰 【知识点三、特殊梯形】 1.直角梯形：有一个角是直角的梯形（一腰垂直于底）。 2.等腰梯形：两腰相等的梯形。 【知识点四、等腰梯形性质】（★★） 1.等腰梯形的两底平行，两腰相等， 即AD∥BC ，AB=CD. 2.等腰梯形的同一底上的两个角相等，即∠B=∠C，∠A=∠D. 3.等腰梯形对角线相等 4.等腰梯形是轴对称图形（对称轴是过两底中点的直线） 【知识点五、等腰梯形判定】 1.两腰相等的梯形是等腰梯形（定义法）； 2.同一底上两角相等的梯形是等腰梯形； 3.对角线相等的梯形是等腰梯形。 【知识点六、梯形中位线】（拓展） 1.定义：连接梯形两腰中点的线段叫梯形中位线。 2.梯形中位线 =（上底 + 下底）÷ 2（如下图） 几何语言：在梯形ABCD中，若点E、F分别为AB、CD的中点，则EF∥AD，EF∥BC且EF=(AD+BC)。 【知识点七、面积公式】 梯形面积：S==中位线×高 ✏ 常见考点●精讲精练 题型1.与三角形中位线有关的求解问题 例1．如图所示，是△ABC的中位线，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质．根据三角形的中位线定理，可得，即可求解． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴ 故选：D． 变式1．如图，在中，，，是的中点，若平分，，则线段的长为_____________． 【答案】 【分析】延长交于点，根据角平分线的定义得到，易证得，进而得到，，根据是的中位线，进行解答即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分， , ， 在和中， , ， ，， , 为的中点，， 是的中位线， ． 变式2．已知正方形中，，是边上的动点，连接和．    (1)尺规作图：在图中分别作线段和的中点和，连接；（不写作法，不说明理由，写明结论并保留作图痕迹） (2)请直接写出与的关系． 【答案】(1)见解析 (2)（或）且． 【分析】（）作的中点：分别以为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧分别交于两点，过两点作直线，与的交点即为；作的中点：同理，分别以为圆心，大于的长度为半径画弧两弧分别交于两点，过两点作直线，与的交点即为， 连接，线段即为所求； （）根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即可解答． 【详解】（1）解：利用尺规作图的方法分别找到和的中点，再连接即可， 如图所示，即为所求；    （2）解：（或）且． ∵在中，是中点，是中点， ∴位置关系：（或）， 数量关系． 题型2.与三角形中位线有关的证明 例2．在四边形中，点，，，分别为，，，的中点，并且，则四边形为（    ）． A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．梯形 【答案】A 【分析】本题考查中点四边形，三角形中位线定理，菱形的判定定理，熟练掌握相关知识是关键． 先利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再结合证明四条边相等，从而判定该四边形为菱形． 【详解】解：如图， ∵点、为、的中点 ∴是的中位线， ∴，， 同理，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 故选：A． 变式1．如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 ______时，四边形是菱形． 【答案】4 【分析】本题主要考查了菱形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，先由三角形中位线定理证明，则可证明四边形是平行四边形，故当时，四边形是菱形，则当时，四边形是菱形． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：4． 变式2．如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，连接，过点B作，且，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，关键是掌握菱形的判定方法．由等腰三角形的性质推出，由三角形中位线定理推出，得到，因此，得到，又，，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵点D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 题型3.三角形中位线的实际应用 例3．如图，、两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，并且测出的长为16米，则、间的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． 根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：D，E是，的中点， ， A，B间的距离为． 故选：D． 变式1．如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，,，两边中点的距离，则，两点间的距离是_____． 【答案】 【分析】根据中位线定理得到，即可求解． 【详解】解：由题可得：、为、的中点， 是的中位线， ， ， ． 变式2．已知等腰直角三角形，点分别为中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹） (1)在图1中，作出三角形的中位线； (2)在图2中，画出点关于的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形的中线及中位线定理，全等三角形的性质，根据相关知识点正确作图即可． （1）连接、交于点，连接并延长，与的交点即为中点，连接即可； （2）令与的交点为点，连接并延长至点，连接并延长至点，则与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，点即为所求作； 令与的交点为点，连接并延长至点，连接并延长至点，与的交点为． 是等腰直角三角形， ，， 点分别为中点， 、是的中位线，，， ，，， ，， ， ， ， 又， ， ， 即点和点关于对称． 题型4.中点四边形 例4．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形 【答案】C 【分析】本题主要考查的是中点四边形，掌握菱形的判定定理，三角形的中位线定理解此题的关键． 根据三角形中位线定理，中点四边形是平行四边形，要使其为菱形，需邻边相等，从而推出原四边形的对角线相等． 【详解】解：如图，已知四边形，、、、分别为、、、的中点，连接、， 、是、中点， 且． 、是、中点， 且 ． 且， ∴ 四边形是平行四边形． 若四边形是菱形，则． 、是、中点， 且． ， ∴． ． ∴ 原四边形对角线相等． 故选：C． 变式1．将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   【答案】3 【分析】此题考查的是三角形的中位线定理，根据三角形中位线定理可得菱形，然后根据菱形的性质及等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，取四边的中点，依次连接起来，设与交点M， ∴是的中位线， ，， 同理， ，，， ，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， 较短的“中对线”长度为． 故答案为：． 变式2．如图，在正方形中，G、E、F是正方形边上的点，连接、，与交于点M，，． (1)求证：； (2)连接、、、的中点P、Q、R、S，试说明四边形是什么特殊的四边形． 【答案】(1)见解析 (2)正方形，说明见解析 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键． （1）过点作于点，根据正方形的性质得到，，再结合已知条件得到，即可利用“”证明全等； （2）由（1）可知，，从而得出，，再根据三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，再证明正方形即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，则， 四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， ，， ， ， ， ， 如图，连接、、、的中点P、Q、R、S， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是正方形． 题型5.（等腰）梯形的定义 例5．两组对边中只有一组平行的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题可根据各类四边形对边平行的数量特征，逐一分析选项，从而选出符合“只有一组对边平行”条件的四边形． 【详解】解：平行四边形：两组对边分别平行． 矩形：两组对边分别平行（矩形是特殊的平行四边形）． 梯形：只有一组对边平行．（符合题意） 正方形：两组对边分别平行（正方形是特殊的平行四边形）． 变式1．如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积____． 【答案】5 【分析】本题考查平行线之间的距离相等，涉及梯形面积公式、三角形面积公式等知识，过点作，过点作，如图所示，根据题意，表示出梯形面积与，数形结合即可得到的面积．熟记平行线之间的距离相等，数形结合表示出相关面积之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 在梯形中，，则， 梯形的面积为17， , 的面积为12， , ， 解得， 故答案为：5． 变式2．如图，在中，平分交于点，过作，交于点．试问： (1)四边形ABEF是什么图形吗？请说明理由． (2)若，四边形是什么图形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等腰梯形，证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、等腰梯形的判定等知识． （1）首先证明四边形为平行四边形，再等量代换得到即可得到四边形为菱形； （2）由，是等边三角形，进而可得，由此可得四边形是等腰梯形． 【详解】（1）证明：如下图所示∶ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形． （2）∵四边形是菱形， ∴， 又∵ ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形． 题型6.直角梯形的定义 例6．如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，点A，的对应点分别为，，根据图中所标数据，求得阴影部分的面积为（   ） A．75 B．100 C．105 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了平移性质，根据平移性质得，计算出即可，熟练掌握平移性质，梯形面积公式，是解题的关键． 【详解】由平移，得， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 变式1．在梯形中，，，，，，则______． 【答案】9或3 【分析】本题考查的是梯形的性质、勾股定理，正确作出辅助线、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．过点作于，根据勾股定理求出，分两种情况计算即可． 【详解】解：如图，在梯形中，过点作于， 则四边形为矩形， ，，， 由勾股定理得：， ， 在梯形中，， 则的长为9或3， 故答案为：9或3． 变式2．如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法． （1）由当时，四边形为平行四边形，可得方程，解方程即可； （2）当时，四边形是直角梯形，可得方程，解方程即可； （3）首先过D作于E，可求得的长，又由当时，四边形为等腰梯形，可求得当，即时，四边形为等腰梯形，解方程即可； 【详解】（1）解：根据题意得：，，则． ∵， 即， ∴当时，四边形为平行四边形， 即， 解得：， 即当运动6秒时，四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是直角梯形， ∴， ∴， 即当运动秒时，四边形是直角梯形． （3）解：过D作于E， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 当时，四边形为等腰梯形，如图所示： 过点P作于点F， 则四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即当运动7秒时，四边形为等腰梯形． 题型7.等腰梯形的性质定理 例7．如图四边形是一个等腰梯形，在边上作一个三角形，使四边形成为一个平行四边形，若，，则下面所给的量中可以求的是（   ） A．的周长 B．的长 C．等腰梯形与周长的差 D．与的差 【答案】A 【分析】求出，，得到的周长即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，（平行四边形的对边平行且相等），（平行四边形的对角相等）， ， 四边形是一个等腰梯形， ， ， ， ， 的周长为， 无法求出边上的高、等腰梯形与周长的差、与的差， 故选：． 变式1．如图，等腰梯形中， ，，则______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 过点作，交于点，证明四边形是平行四边形，得出对边相等，证明为等边三角形，得出三条边相等，然后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：3． 变式2．如图，梯形 的对角线交于点 ， ．若______，则 ． 从① ，② ，③ 这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】①或② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由梯形性质，三角形边的关系与角的关系得到三角形全等是解决本题的关键． 选择①：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”可得，再由角边角的证明方法即可证明与全等，由此可得结论； 选择②：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”可得，再由角角边的证明方法即可证明与全等，由此可得结论． 【详解】解：选择①，理由： ∵， ∴， ∵，且， 在与中， 由， ∴， ∴； 选择②，理由： ∵， ∴， ∵， 在与中， 由， ∴， ∴． 故答案为：①或②． 题型8.等腰梯形的判定定理 例8．下列命题中，真命题是（   ） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形 C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且一组邻角相等的四边形是等腰梯形 【答案】B 【分析】本题综合考查了特殊平行四边形和等腰梯形的判定方法，中点四边形的性质．解答该题时，需要牢记常见的四边形的性质．根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题是假命题，故该选项不符合题意； B. 顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形，故原命题是真命题，故该选项符合题意； C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，故原命题是假命题，故该选项不符合题意； D. 一组对边平行且一组邻角相等的四边形不一定是等腰梯形，也可能是直角梯形还可能是矩形，故原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选：B． 变式1．已知在梯形中，，，，那么等于 ______度． 【答案】108 【分析】本题考查的是等腰梯形的判定和性质、平行线的性质、三角形内角和定理，用表示出和是解题的关键． 先证明梯形为等腰梯形，得到，进而证明，分别用表示出和，计算即可． 【详解】解：如图， 设， ， ， ， 在梯形中，， 则梯形为等腰梯形， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：108． 变式2．如图，在梯形中，，，，、分别在、的延长线上，且，交于点． (1)证明 (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、梯形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质是解题的关键． （）先根据梯形的性质得出边和角的关系，再结合已知条件找到全等的条件（）证明． （）求的度数，可利用（）中全等三角形的性质，将角进行转化，再结合梯形中角的关系求解． 【详解】（1）证明：∵在梯形中，，， ∴ ∵在和中，，， ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ✍ 巩固测试题 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一组对角互补的梯形是等腰梯形． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰梯形的判定，根据等腰梯形的判定及三角形中位线的性质逐一判断即可求解，掌握等腰梯形的判定是解题的关键． 【详解】解：、两腰相等的梯形是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意； 、等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形不一定是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意； 、有两个相邻的内角相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形，该选项说法错误，不合题意； 、有一组对角互补的梯形是等腰梯形，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 2．顺次连接下列各图形的各边中点，构成的图形一定是正方形的是（     ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．对角线互相垂直的等腰梯形 【答案】D 【分析】本题考查了等腰梯形的性质和菱形、正方形的判定．根据各四边形的性质及正方形的判定：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，对各个选项进行分析． 【详解】解：顺次连接下列各图形的各边中点，构成的四边形的两组对边分别平行于原图形的对角线，且每组边等于相对的对角线的一半，可判定为平行四边形， 当原图形的对角线互相垂直时，又可判定为菱形，而等腰梯形的对角线相等且垂直，所以可判定为正方形， 故选D． 3．如图，是等边三角形，、、分别是、、的中点，连接、、，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形中位线定理以及三角形面积公式．根据等边三角形的性质，三角形中位线定理，三角形面积公式等知识，对每个选项逐一进行分析判断即可解答． 【详解】解：是等边三角形，是的中点，是的中线，根据等边三角形三线合一性质，则是的高，，故选项正确； 、分别是、的中点，，，，故选项错误； 、分别是、的中点，根据三角形中位线定理，是的中位线，，故选项正确； 、分别是、的中点，根据三角形中位线定理，是的中位线，，故选项正确； 故选：． 4．如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定，中点四边形，三角形中位线 ，设交于点Q，交于点P，结合三角形中位线证出四边形是平行四边形，再结合，证出结果即可． 【详解】解：设交于点Q，交于点P， ∵分别是的中点，     ∴，且，且，     ∴，且，         ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 故选：A． 5．已知四边形中，与不平行，与相交于点O，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰梯形的判定，解此题的关键是求出． 【详解】 A、，不能证明四边形是等腰梯形，错误； B、，不能证明四边形是等腰梯形，错误； C、∵， ∴，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是梯形， ∵， ∴四边形是等腰梯形． D、，，不能证明四边形是等腰梯形，错误； 故选C． 6．如图，菱形各边的中点分别为，，，，若四边形的面积为，则菱形的面积为（　 　） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】连接交于，根据三角形中位线定理得，进而可得四边形是矩形，得到，进而根据菱形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：连接交于， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴四边形是矩形， ∵四边形的面积为， ， ∴菱形的面积． 【点睛】注意中点四边形的性质和三角形中位线的性质． 二、填空题 7．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，顺次连接“垂美四边形”各边中点所得的四边形是________． 【答案】矩形 【分析】本题考查了矩形的判定方法、三角形中位线定理，由三角形中位线的性质得出四边形是平行四边形，证明出四边形是矩形，得出，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，，点、、、分别为各边的中点，连接、、、， ， ∵点、、、分别为各边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， 故答案为：矩形． 8．在中，E，F分别是边，的中点．若，，，则的面积是______． 【答案】48 【分析】如图：连接，利用三角形中位线定理可求出的长度，再通过勾股定理的逆定理判断平行四边形的一个内角为直角，最后计算平行四边形的面积即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵E，F分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∵，即 ∴是直角三角形，即， ∵在中，, ∴平行四边形是矩形， ∴． 【点睛】掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 9．如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在外选一点C，然后步测出、的中点M、N，并步测出的长约为42米，由此可知A、B间的距离约为________米． 【答案】84 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键．利用三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：∵M、N是、的中点， ∴， 又米， ∴米， 即A、B间的距离约为84米， 故答案为：84． 10．如果一个等腰梯形的一个底角为，上底长为3，下底长为5，则其腰长为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了平行四边形性质和判定，等腰梯形性质，等边三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 过点A作，交于E，证明四边形为平行四边形，结合平行四边形性质推出，再证明为等边三角形，利用等边三角形性质进行分析，即可解题． 【详解】解：如图，过点A作，交于E， ∵四边形为等腰梯形，等腰梯形的一个底角为， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即等腰梯形的腰长为2， 故答案为：2． 11．在等腰梯形中，E、F、G、H依次分别为各边中点，已知对角线长40，则四边形的周长为________． 【答案】80 【分析】本题考查的是等腰梯形的性质，三角形中位线定理．连接，根据等腰梯形的性质得到，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵四边形为等腰梯形， ∴， ∵E、F、G、H分别为各边中点， ∴，，，， ∴四边形的周长， 故答案为：80． 三、解答题 12．如图，矩形中，点为的中点，且．请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图（1）中，作线段，使得； (2)在图（2）中，作，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了用无刻度线的直尺作图、中位线定理，全等三角形的判定等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）连接，延长和交于点，由题意得，，所以，所以； （2）连接对角线和交于，连接，因为为的中点，为中点，所以，，又因为，所以，，，即． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， 13．如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明过程见解答； (2)12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质等； （1）根据等腰三角形的“三线合一”可知，结合已知可推出为的中位线，根据三角形中位线的性质即可证得结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而勾股定理求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ， 是的中点， 为的中位线， ∴； （2）解：∵，是边上的中线， ∴，即， ∵在中，， ∴， 又， ∴， ∴ ∴． 14．已知：如图，四边形中，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长，交于点E，求出，然后根据等边对等角得到，进而求出，然后结合求解即可； （2）如图所示，连接，利用等边对等角和平行线得到，求出，然后结合求出，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示，延长，交于点E ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是等腰梯形； （2）如图所示，连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴． 【点睛】此题考查了等腰梯形的判定，等边对等角，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 15．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形 【性质探究】： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，则：四边形的对角线的关系为 ； 【问题解决】： （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． 则：与的数量关系为 ． 【答案】（1）D，（2）且，（3） 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． 本题是四边形综合题，考查了三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）如图，记、的中点分别为E、F，    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴ 16．如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1)______； (2)若四边形成为平行四边形，求t的值． (3)当______时，？ 【答案】(1)18 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，等腰梯形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）作于E，则四边形为矩形．在直角中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度； （2）根据平行四边形的性质可得，据此列出关于t的方程，解方程即可得到答案； （3）分两种情况：当时，四边形是平行四边形；当梯形是等腰梯形时，，可建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过D点作于E， 则 ∵，， ∴ ， ∴四边形矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴； 故答案为：18； （2）解：由题意得，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得； （3）解：①当时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 解得； ②如图，当梯形是等腰梯形时，， 过点P作 于点F，则 ， ∴四边形是矩形， ∴ ，， ∴， ∴； 综上所述，当t为或时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3～8.4 三角形的中位线、梯形 新课预习讲义 （苏科版） ☘ 题型归纳 题型1 与三角形中位线有关的求解问题. 题型2 与三角形中位线有关的证明. 题型3 三角形中位线的实际应用. 题型4 中点四边形. 题型5（等腰）梯形的定义. 题型6 直角梯形的定义. 题型7 等腰梯形的性质定理. 题型8 等腰梯形的判定定理. 题型9 巩固测试题（16题）. 💦 重点知识◆梳理 【知识点一、三角形中位线】 1.定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。（如下图） 2.定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半（★★★） 几何语言：在△ABC中，若D、E分别为AB、 AC中点，则DE∥BC且DE=BC. 3.常用结论: （1）一个三角形有 3 条中位线； （2）三条中位线把原三角形分成 4 个全等的小三角形； （3）中位线围成的小三角形周长 = 原三角形周长的 一半； （4）面积 = 原三角形面积的 1/4。 4.实际应用： （1） 求边长：已知第三边，求中位线；已知中位线；求第三边 （2） 求周长、面积 （3） 证明两条线段平行 【知识点二、梯形】 1.定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. . 2.平行的两边叫底，分别为上底、下底；不平行的两边叫腰 【知识点三、特殊梯形】 1.直角梯形：有一个角是直角的梯形（一腰垂直于底）。 2.等腰梯形：两腰相等的梯形。 【知识点四、等腰梯形性质】（★★） 1.等腰梯形的两底平行，两腰相等， 即AD∥BC ，AB=CD. 2.等腰梯形的同一底上的两个角相等，即∠B=∠C，∠A=∠D. 3.等腰梯形对角线相等 4.等腰梯形是轴对称图形（对称轴是过两底中点的直线） 【知识点五、等腰梯形判定】 1.两腰相等的梯形是等腰梯形（定义法）； 2.同一底上两角相等的梯形是等腰梯形； 3.对角线相等的梯形是等腰梯形。 【知识点六、梯形中位线】（拓展） 1.定义：连接梯形两腰中点的线段叫梯形中位线。 2.梯形中位线 =（上底 + 下底）÷ 2（如下图） 几何语言：在梯形ABCD中，若点E、F分别为AB、CD的中点，则EF∥AD，EF∥BC且EF=(AD+BC)。 【知识点七、面积公式】 梯形面积：S==中位线×高 ✏ 常见考点●精讲精练 题型1.与三角形中位线有关的求解问题 例1．如图所示，是△ABC的中位线，，则的长为（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，在中，，，是的中点，若平分，，则线段的长为_____________． 变式2．已知正方形中，，是边上的动点，连接和．    (1)尺规作图：在图中分别作线段和的中点和，连接；（不写作法，不说明理由，写明结论并保留作图痕迹） (2)请直接写出与的关系． 题型2.与三角形中位线有关的证明 例2．在四边形中，点，，，分别为，，，的中点，并且，则四边形为（    ）． A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．梯形 变式1．如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 ______时，四边形是菱形． 变式2．如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，连接，过点B作，且，连接，求证：四边形是菱形． 题型3.三角形中位线的实际应用 例3．如图，、两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，并且测出的长为16米，则、间的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 变式1．如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，,，两边中点的距离，则，两点间的距离是_____． 变式2．已知等腰直角三角形，点分别为中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹） (1)在图1中，作出三角形的中位线； (2)在图2中，画出点关于的对称点． 题型4.中点四边形 例4．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形 变式1．将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   变式2．如图，在正方形中，G、E、F是正方形边上的点，连接、，与交于点M，，． (1)求证：； (2)连接、、、的中点P、Q、R、S，试说明四边形是什么特殊的四边形． 题型5.（等腰）梯形的定义 例5．两组对边中只有一组平行的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 变式1．如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积____． 变式2．如图，在中，平分交于点，过作，交于点．试问： (1)四边形ABEF是什么图形吗？请说明理由． (2)若，四边形是什么图形？请说明理由． 题型6.直角梯形的定义 例6．如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，点A，的对应点分别为，，根据图中所标数据，求得阴影部分的面积为（   ） A．75 B．100 C．105 D．120 变式1．在梯形中，，，，，，则______． 变式2．如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 题型7.等腰梯形的性质定理 例7．如图四边形是一个等腰梯形，在边上作一个三角形，使四边形成为一个平行四边形，若，，则下面所给的量中可以求的是（   ） A．的周长 B．的长 C．等腰梯形与周长的差 D．与的差 变式1．如图，等腰梯形中， ，，则______． 变式2．如图，梯形 的对角线交于点 ， ．若______，则 ． 从① ，② ，③ 这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 题型8.等腰梯形的判定定理 例8．下列命题中，真命题是（   ） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形 C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且一组邻角相等的四边形是等腰梯形 变式1．已知在梯形中，，，，那么等于 ______度． 变式2．如图，在梯形中，，，，、分别在、的延长线上，且，交于点． (1)证明 (2)求的度数． ✍ 巩固测试题 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一组对角互补的梯形是等腰梯形． 2．顺次连接下列各图形的各边中点，构成的图形一定是正方形的是（     ） A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．对角线互相垂直的等腰梯形 3．如图，是等边三角形，、、分别是、、的中点，连接、、，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 5．已知四边形中，与不平行，与相交于点O，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，菱形各边的中点分别为，，，，若四边形的面积为，则菱形的面积为（　 　） A． B． C． D．4 二、填空题 7．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，顺次连接“垂美四边形”各边中点所得的四边形是________． 8．在中，E，F分别是边，的中点．若，，，则的面积是______． 9．如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在外选一点C，然后步测出、的中点M、N，并步测出的长约为42米，由此可知A、B间的距离约为________米． 10．如果一个等腰梯形的一个底角为，上底长为3，下底长为5，则其腰长为_____． 11．在等腰梯形中，E、F、G、H依次分别为各边中点，已知对角线长40，则四边形的周长为________． 三、解答题 12．如图，矩形中，点为的中点，且．请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图（1）中，作线段，使得； (2)在图（2）中，作，使得． 13．如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 14．已知：如图，四边形中，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求的度数． 15．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形 【性质探究】： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，则：四边形的对角线的关系为 ； 【问题解决】： （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． 则：与的数量关系为 ． 16．如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1)______； (2)若四边形成为平行四边形，求t的值． (3)当______时，？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $