第8讲：组合数与组合应用题【9个常考题型归纳】讲义-2025-2026学年高二数学下学期人教A版选择性必修第三册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【第8讲：组合数与组合应用题】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：组合的简单计算与方程不等式】 【练方法】 知识梳理 组合数定义：从个不同元素中取出个元素的组合数记为 核心公式 性质：，， 适用场景：直接计算组合数、求解含组合数的方程或不等式 解题思路 1.确定的取值范围（，） 2.代入组合数公式计算 3.处理方程/不等式时，先化简为阶乘或整式形式，再求解 4.验证解是否满足且为整数 名师点睛 计算组合数优先用“连乘形式”，避免大数阶乘 组合数与顺序无关，计算时不要出现“排列”的错误 常见易错：忘记除以，或误将写成 （24-25高二下·江苏无锡·月考）（1）求值：；经典例题1例题 （2）解方程：； （3）解不等式：. （25-26高二上·江西南昌·月考）（1）求的值；经典例题2例题 （2）解关于的不等式：. （2025高二·全国·专题练习）解关于x的方程：小试牛刀1 (1)； (2)． （24-25高二下·广东中山·月考）求值、解方程或解不等式小试牛刀2 (1)求值： (2)求值：； (3)解方程： (4)解方程：已知（），求 (5)解关于的不等式 （24-25高二下·重庆九龙坡·期中）计算下列各小题，结果用数字作答，写出必要过程.小试牛刀3 (1)求值：； (2)解方程：； (3)已知，求. 【题型2：组合数的证明】 【练方法】 知识梳理 核心工具：组合数公式、组合数性质、组合意义（分组计数） 常见考点： 组合数性质证明： 组合数恒等式证明： 与排列数的关系： 解题思路 1.将组合数统一化为阶乘形式 2.对等式两边分别化简，利用阶乘运算证明 3.或利用组合意义：分别计算左右两边代表的“选法数”，证明数量相等 名师点睛 证明优先用“公式法”（化阶乘），思路更直接 组合意义法常出现在高考压轴题，需理解“分组”的实际含义 注意，等边界情况 （25-26高二上·江苏南通·期末）已知均为正整数，则下列各式中运算结果不正确的是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高二上·江苏·期末）下列等式恒成立的是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高二上·全国·单元测试）已知，，，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二下·山东济南·期末）（1）证明：，其中，；小试牛刀2 （2）化简：，其中． 【多选题】（24-25高二下·山东·月考）排列数和组合数都有丰富的性质和实际应用，下列结论中正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：组合数的性质及应用】 【练方法】 知识梳理 核心性质 1.互余性质：（简化计算） 2.递推性质：（杨辉三角原理） 3.求和性质： 应用场景：简化计算、证明恒等式、求解数列求和问题 解题思路 1.观察组合数下标关系，使用转化 2.遇到求和问题，尝试利用二项式定理或递推性质 3.计算复杂组合数时，先拆分再计算 名师点睛 计算时，选择较小的一侧（如） 递推公式是推导组合数恒等式的关键 求和问题常结合二项式展开，需熟记 （2025高三·全国·专题练习）计算的值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）证明：经典例题2例题 （2025高三·全国·专题练习）（1）化简：；小试牛刀1 （2）证明：． （24-25高二下·山东枣庄·期末）十进制计数法与二进制计数法有如下转换规律：若十进制计数法下的满足：，，，，则其在二进制计数法下可记为.例如：1在二进制中表示为，2表示为，3表示为，4表示为，7表示为.记为，，…，中0的个数，如，，，则从1到255这些自然数的二进制表示中，的个数为__________.小试牛刀2 （24-25高二下·江苏苏州·期末）若，则的值为______．小试牛刀3 【题型4：组合的简单应用】 【练方法】 知识梳理 核心逻辑：从个不同元素中选个，不考虑顺序，求方案数 常见场景： 选取代表、组建小组 购买商品、选取奖品 几何图形中选取线段、三角形等 解题思路 1.明确“完成一件事”的目标（如“选3人”） 2.确定元素总数和选取个数 3.若有特殊约束（如“甲必须入选”或“甲不能入选”），分类讨论 4.应用组合数公式计算 名师点睛 组合问题不考虑顺序，选出的元素与排列无关 若有“至少”“至多”的约束，优先用分类讨论或对立事件 几何计数问题需注意“不重复”，避免重复选取 （25-26高二下·全国·课后作业）12件产品中有3件次品，9件正品，从中抽取5件．经典例题1例题 (1)5件中没有次品的取法有多少种？ (2)5件中有2件次品的取法有多少种？ （25-26高二上·江西宜春·期末）若从1，2，3，…，（）中任意取出两个不同的数，共有21种不同的取法，则（   ）经典例题2例题 A．6 B．7 C．20 D．21 （2025·上海奉贤·一模）从3位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，只有1位女生入选，则不同的选法有______种．（用数字表示答案）小试牛刀1 （25-26高三上·云南昆明·期中）某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“中国数学史”、“古今数学思想”、“世界数学通史”、“几何原本”四门选修课程.要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将这四门选修课程选修完、则每位同学的不同选修方式共有______ 种.小试牛刀2 （24-25高二下·北京顺义·期末）高二（1）班的某个小组由2名男生和3名女生组成，若从该小组随机抽取3名学生参加义务植树劳动，则恰有1名男生被抽到的概率为_____.小试牛刀3 【题型5：平均分组与不平均分组问题】 【练方法】 知识梳理 不平均分组：直接用组合数选取， 平均分组：除以组数的阶乘消除重复， 本质：分组问题中，若组内元素无区别，需消除组间排列的重复 解题思路 1.判断分组类型：是否平均分组 2.不平均分组：分步选取，直接相乘 3.平均分组：计算完选取数后，除以相同组数的阶乘 名师点睛 口诀：“不平均直接分，平均分组要除序” 常见错误：平均分组未除序，导致总数偏大 若组有编号（如“第一组”“第二组”），一般不需要除序 （2026高三·全国·专题练习）将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？经典例题1例题 (1)（非均匀分组）一堆一本，一堆两本，一堆三本； (2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本； (3)（不定向分配）一人得一本，一人得二本，一人得三本； (4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人； (5)（平均分组）平均分成三堆． （24-25高二下·天津·期中）一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生.经典例题2例题 (1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法? (2)如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种? (3)如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中男生甲不能参加数学竞赛，女生乙不能参加物理竞赛，共有多少种选法? （24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）（1）把本不同的书全部分给名学生，每人至多2本，至少1本，有多少种分法？（写出必要的文字说明，结果用数字作答）小试牛刀1 （2）从一组共有名学生中选男生人，女生人，参加三种不同的活动，要求每人参加一种且每种活动都有人参加的选法共有种，问该组学生中男生女生各有多少人？ （3）用这六个数字能组成多少个无重复数字且比大的四位数？（写出必要的文字说明，结果用数字作答） （24-25高二下·贵州铜仁·月考）现在4本不同的书，按以下方式进行分配．小试牛刀2 (1)分成两堆，每堆2本，则有多少种分法； (2)分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法； (3)分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法； （24-25高二下·全国·单元测试）六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？小试牛刀3 (1)分为三份，一份四本，一份一本，一份一本； (2)分给甲、乙、丙三人，甲得四本，乙得一本，丙得一本； (3)分给甲、乙、丙三人，一人得四本，另外两个人每个人得一本； (4)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本． 【B·能力提升题型】 【题型1：分组分配问题】 【练方法】 知识梳理 核心：将元素分配到不同位置，涉及“分组”与“分配”的结合 常见类型： 有编号分配（直接用组合数） 无编号分配（先分组，再分配） 不同元素分配到不同位置 解题思路 1.明确元素和位置的性质（元素是否相同，位置是否编号） 2.先分组，再分配： 不平均分组：直接分配 平均分组：除序后再分配 3.利用分步乘法计数原理计算总数 名师点睛 分配问题的关键是“先分组后排布” 相同元素分配问题常用隔板法（见题型2） 不同元素分配问题常转化为映射问题 （25-26高二上·江西宜春·期末）全民登高谱新篇，策马奔腾启华年.1月1日，“中国体育彩票”2026年全国新年登高健身大会（江西分会场）在宜春明月山举行的活动中，某路段设三个服务站，宜春某高校5名同学到甲､乙､丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ）经典例题1例题 A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 （25-26高三下·河北衡水·开学考试）在某次演讲比赛组织过程中，有甲、乙等5名同学参加了接待、咨询、向导三个服务项目，每名同学只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名同学参加，若5名同学中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有（   ）经典例题2例题 A．108种 B．114种 C．150种 D．240种 （25-26高二上·河南南阳·期末）将4名医生和5名护士安排到A，B两个社区义诊，要求每个社区至少有1名医生和2名护士，每名医生和护士都要参加且只能到一个社区义诊，则不同的分配方案有（   ）小试牛刀1 A．110种 B．140种 C．220种 D．280种 （25-26高三上·广东梅州·期末）将6名志愿者随机分配到四个社区，且每个社区至少分到一名志愿者，则不同的分法有（     ）小试牛刀2 A．1 080种 B．1 560种 C．2 640种 D．3 960种 （25-26高二上·浙江宁波·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目，跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有（   ）小试牛刀3 A．450 B．540 C．630 D．900 【题型2：隔板法】 【练方法】 知识梳理 适用场景：相同元素分到不同位置，且每个位置至少一个（或多个） 核心模型：（）的正整数解个数为 变形：若，解个数为 解题思路 1.识别模型：相同元素、不同位置、至少一个 2.转化为方程求解，利用隔板法构造空隙 3.代入公式计算： 至少1个： 至少2个：先给每个位置1个，转化为至少1个 名师点睛 隔板法的前提是“元素相同”且“位置不同” 注意“至少”的转化，不要直接套用基础公式 此方法是高考计数题的高频工具 （2025高三·全国·专题练习）从3个箱子（每个箱子里的球足够多）里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有______种.经典例题1例题 （24-25高二下·青海西宁·期末）已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有（    ）个正整数解.经典例题2例题 A．171 B．190 C．342 D．380 （24-25高二下·宁夏·期中）不等式，其中是正整数，则使不等式成立的四元数组的组数为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （23-24高二下·贵州遵义·期末）方程的非负整数解个数为（    ）．小试牛刀2 A．220 B．120 C．84 D．24 （24-25高二下·湖北·月考）（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?小试牛刀3 （2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? （3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? （4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? （注：要写出算式，结果用数字表示） 【题型3：最短路径问题】 【练方法】 知识梳理 场景：网格图中从A到B，只能向右或向上走，求最短路径数 本质：组合计数，只需确定走的步数和方向选择 核心公式：若需向右步、向上步，则路径数为（或） 解题思路 1.计算从起点到终点所需的向右步数和向上步数 2.总步数 3.从步中选取步向右（剩余步向上），即 名师点睛 最短路径即“不绕路”，步数固定 方向选择只取决于“先右后上”或“先上后右” 此题型是组合与几何的结合，需准确数出步数 （25-26高二上·辽宁沈阳·期末）在黑猫警长的森林街区行动中，黑猫警长从起点S沿最短路径前往终点T抓捕逃犯；白鸽侦探从T出发，沿最短路径前往S支援.两人随机选择路径，且速度完全相同.其中，，，，是森林道路网络中位于一条对角线上的5个交汇点.（   ）经典例题1例题 A．黑猫警长从S到T的最短路径方法有100种 B．黑猫警长从S必须经过到达T的方法有36种 C．黑猫警长与白鸽侦探在处相遇的概率为 D．黑猫警长与白鸽侦探相遇的概率为 （2025·宁夏吴忠·二模）在中国象棋的棋盘上，红方“车”从初始位置（如图，第1行第5列）出发，每一步可以横向或纵向移动任意格（但不能斜着移动，也不能连续两次均横向或纵向移动），已知黑方“将”位于第10行第5列，红方“车”必须在恰好4步后到达第10行第5列．若棋盘上仅存在黑方“将”和红方“车”，黑方“将”不移动，则红方“车”不同的移动路径有________种．经典例题2例题 （23-24高二下·山东枣庄·月考）如图所示：在一个无限延展的平面上，铺满了边长为1的正方形网格，已知某质点从出发，只能沿着网格线走，每次走一格，且每次向右走的概率为，向上走的概率为，向左走的概率为，向下走的概率为，且每一步之间相互独立.若要求质点按最短路径从到达，则可能的不同路径有__________条（用数字作答）；设按最短路径从到达的概率记为，则当取得最大值的时候的取值为__________.小试牛刀1 【多选题】（2024陕西西安·一模）如图所示，各小矩形都全等，各条线段均表示道路.某销售公司王经理从单位处出发到达处和处两个市场调查了解销售情况，行走顺序可以是，也可以是，王经理选择了最近路径进行两个市场的调查工作.则王经理可以选择的最近不同路线共有（    ）小试牛刀2 A．31条 B．36条 C．210条 D．315条 【题型4：组合综合素养题型】 【练方法】 知识梳理 场景：结合排列、概率、数列、函数等知识，考查组合的综合应用 核心：将复杂问题拆解为组合计数、方程、不等式等基础模型 常见考点：分组分配综合、概率与组合、组合数求和与数列 解题思路 1.审题提取信息：明确元素、约束、目标 2.转化为组合模型：识别是排列、组合、分组还是隔板问题 3.计算基础计数，再结合其他知识点求解 4.验证结果符合题意与实际 名师点睛 综合题“高起点，低落点”，本质还是组合数公式 遇到文化背景、实际问题，先提取数学模型 分类讨论是解决综合题的万能钥匙，注意不重不漏 （24-25高二下·上海·期末）斐波那契数列，又称黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，（，）.已知，且，则中所有元素之和为奇数的概率为_____.（用最简分数表示）经典例题1例题 （24-25高二下·江苏宿迁·期中）在华为的三进制数据处理研究中，设计了一种独特的三进制编码规则.将一个长度为8位的三进制数按位权展开并转化为十进制数，例如三进制数，转化为十进制数，其中，，则三进制数00001110对应的十进制数为_______，现有一个8位三进制数，包含3个，3个0，2个1，若要求首位不能为0，且相邻两位不能同时为，则这样的不同的三进制数个数共有_______.经典例题2例题 （2024·黑龙江大庆·模拟预测）著名数学家欧几里得著的《几何原本》中记载：任何一个大于1的整数要么是一个素数，要么可以写成一系列素数的积，例如．对于，其中均是素数，则从中任选3个数，可以组成不同三位数的个数为（    ）小试牛刀1 A．18 B．32 C．36 D．42 （2024·陕西西安·一模）算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明．在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具，下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位、十位、百位、千位，，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如如图二，个位上拨动一粒上珠、两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位、十位、百位、千位、万位、十万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的六位数至多含4个5的情况有（    ）小试牛刀2 A．57种 B．58种 C．59种 D．60种 （2024·陕西商洛·模拟预测）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一个“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一个重卦.在所有重卦中随机取一个重卦，则该重卦恰有2个阴爻的概率是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二下·广东江门·月考）江门市比较受市民喜欢的景点主要有4个：上下川岛、开平碉楼、圭峰山、赤坎古镇．若游客可以选择游览其中的3个景点，且必须包含开平碉楼，则不同的游览顺序有（    ） A．20种 B．18种 C．14种 D．12种 2．（24-25高二下·河北承德·期末）某班选派6名同学到学校的这3个活动场地做志愿者工作，每个场地至少去1名同学，每名同学只能去1个场地，且3个场地去的同学人数互不相同，则不同的选派方法种数为（    ） A．90 B．360 C．450 D．990 3．（24-25高二下·甘肃定西·期末）从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有（　　） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 4．（25-26高二上·云南·期末）某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮球等三个兴趣小组.现有甲、乙、丙、丁、戊五名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一个人报名，且甲不能参加绘画，则不同的报名方法有（   ） A．150 B．114 C．100 D．72 5．（24-25高二下·重庆·月考）北京年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合.为了宣传年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等6名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装.若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·湖南常德·月考）在《红楼梦》中，史湘云邀众姐妹和贾宝玉一起作诗.共编写了十首不同的咏菊诗，假设分配贾宝玉作《访菊》《种菊》两首，薛宝钗作《忆菊》、《画菊》两首，剩下六首诗分别由林黛玉、史湘云、探春三人创作，且每人至少创作一首，至多创作三首，则不同的分工方案共有（    ） A．150种 B．360种 C．450种 D．800种 7．（24-25高二下·江苏南京·月考）等于（    ） A． B．1 C．2 D． 8．（24-25高二下·湖北荆州·期末）现有4道四选一的单选题，学生张君对其中3道题有思路，1道题完全没有思路；有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好随机猜一个答案．张君从这4道题中随机选择2道题作答，则2道题都答对的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·四川眉山·期末）苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 二、多选题 10．（24-25高二下·重庆渝中·月考）在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的有（   ） A．两件都是一等品的概率是 B．两件中有1件是次品的概率是 C．两件都是正品的概率是 D．两件中至少有1件是一等品的概率是 11．（25-26高二下·浙江温州·月考）将7个小球放入3个盒子中，结合小球的相同与不同属性、盒子的相同与不同特征，以及不同的放置限制条件，下列说法正确的有（   ） A．若小球相同、盒子不同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 B．若小球相同、盒子不同，且允许有空盒子，则不同的放法种数为21 C．若小球不同、盒子相同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为301 D．若小球相同、盒子不同，且恰有1个盒子放2个球，其余盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 12．（24-25高二下·湖北·月考）下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）下列选项正确的是（    ） A．若 ，，则 B．若 ，则 C． D．若 且 ，则 14．（25-26高二上·山东潍坊·月考）下列说法正确的有（ ） A．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B．有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 C．从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有种选法 D．有5名老师去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有72种 三、填空题 15．（24-25高二下·陕西咸阳·月考）计算________.（用数字作答） 16．（24-25高二下·江苏无锡·月考）某班计划从4位男生和4位女生中选出3人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为________. 17．（25-26高二上·云南·月考）某地区有3个学生社会实践服务点A，B，C.4名学生需在寒假完成社会实践，每个服务点至少有一名学生，则不同的社会实践安排共有________种. 四、解答题 18．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）（1）求的值； （2）解不等式. 19．（25-26高二上·河南驻马店·月考）甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲、乙、丙必须相邻，则不同的排列方案有多少种? (2)6名同学站成一排，甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种? (3)6名同学平均分成三组，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种? 20．（24-25高二下·江苏·月考）学校食堂为学生配餐，现准备了6种不同的荤菜和种不同的素菜. (1)当时，若每份学生餐有1荤3素，则共有多少种不同的配餐供学生选择？ (2)若每位学生可以任选2荤2素，要保证至少有200种以上的不同选择，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【第8讲：组合数与组合应用题】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：组合的简单计算与方程不等式】 【练方法】 知识梳理 组合数定义：从个不同元素中取出个元素的组合数记为 核心公式 性质：，， 适用场景：直接计算组合数、求解含组合数的方程或不等式 解题思路 1.确定的取值范围（，） 2.代入组合数公式计算 3.处理方程/不等式时，先化简为阶乘或整式形式，再求解 4.验证解是否满足且为整数 名师点睛 计算组合数优先用“连乘形式”，避免大数阶乘 组合数与顺序无关，计算时不要出现“排列”的错误 常见易错：忘记除以，或误将写成 （24-25高二下·江苏无锡·月考）（1）求值：；经典例题1例题 （2）解方程：； （3）解不等式：. 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）直接利用排列数公式计算即可； （2）根据组合数的性质可得出关于的方程，解出的值，再结合题意检验即可； （3）根据排列数公式可得出关于的不等式，结合题意得出且，即可得出的取值. 【详解】（1）原式； （2）由可得或， 解方程，即，解得或， 解方程，即，解得或， 又因为、均为整数，且， 所以或符合要求，和均不符合要求. 故或； （3）由可得， 由题意可知且，整理可得，即， 解得，又因为且，所以. （25-26高二上·江西南昌·月考）（1）求的值；经典例题2例题 （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）280；（2） 【分析】（1）利用排列数和组合数的公式计算；（2）利用组合数运算求解. 【详解】（1）； （2）由题意可得，解得，且， 由，可得，解得， 又因为，所以，故不等式的解集为. （2025高二·全国·专题练习）解关于x的方程：小试牛刀1 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用排列数公式求解即可； （2）利用组合数公式求解即可． 【详解】（1）由排列数公式，可得， 化简得， 解得或或或． 又因为x要满足，且， 所以原方程的解为． （2）由条件，结合组合数的性质，可得或， 则或 （舍去） 又因为， 可得， 即， 把代入上式，解得． （24-25高二下·广东中山·月考）求值、解方程或解不等式小试牛刀2 (1)求值： (2)求值：； (3)解方程： (4)解方程：已知（），求 (5)解关于的不等式 【答案】(1)1 (2)165 (3) (4)或 (5) 【分析】（1）利用排列数的计算求解即可； （2）利用组合数的性质与计算求解即可； （3）根据排列数的计算解排列方程即可； （4）利用组合数的性质解组合方程即可； （5）根据排列数的计算解排列不等式即可； 【详解】（1）； （2）因为， 所以； （3）由，得， 化简得， 解得， 经检验是原方程的解， ∴原方程的解是； （4），则或 解得：或，经检验均符合， 故或； （5）由，可得， 所以，整理得， 解得， 又因为，所以. （24-25高二下·重庆九龙坡·期中）计算下列各小题，结果用数字作答，写出必要过程.小试牛刀3 (1)求值：； (2)解方程：； (3)已知，求. 【答案】(1)165 (2)或 (3) 【分析】（1）首先根据组合数的性质将原式进行化简，然后根据求出原式的值. （2）根据组合数的性质：，则或进行求解方程. （3）首先根据组合数的计算公式化简等式，得到关于的等式，最后求出的值. 【详解】（1）根据组合数的性质，且， 所以. 根据可求得：. 所以. （2）因为，所以或者. 当时，； 当时，. 所以或. （3），. 因为， 所以，化简得： ，即. 解得或者. 又在中，，即，所以. 【题型2：组合数的证明】 【练方法】 知识梳理 核心工具：组合数公式、组合数性质、组合意义（分组计数） 常见考点： 组合数性质证明： 组合数恒等式证明： 与排列数的关系： 解题思路 1.将组合数统一化为阶乘形式 2.对等式两边分别化简，利用阶乘运算证明 3.或利用组合意义：分别计算左右两边代表的“选法数”，证明数量相等 名师点睛 证明优先用“公式法”（化阶乘），思路更直接 组合意义法常出现在高考压轴题，需理解“分组”的实际含义 注意，等边界情况 （25-26高二上·江苏南通·期末）已知均为正整数，则下列各式中运算结果不正确的是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排列数和组合数 的定义及递推公式，逐一验证各选项. 【详解】选项A： ，，两边相等，A正确. 选项B： ，两边相等，B正确. 选项C：这是组合数的杨辉恒等式，直接成立， C正确. 选项D：，取， 左边，右边左右两边显然不相等，等式不成立，D错误. 故选： 【多选题】（25-26高二上·江苏·期末）下列等式恒成立的是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用排列数公式，组合数公式一一判断即可. 【详解】，故A 错误； ，故B正确； ，故C正确； 因为，且， 所以，故D正确. 故选：BCD 【多选题】（25-26高二上·全国·单元测试）已知，，，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据排列数，组合数的计算公式逐项判断即可. 【详解】对A：因为．故A正确； 对B：根据组合数公式得， ， 所以．故B正确； 对C：， 而， 显然此时，．故C错误； 对D： ， 而，所以．故D正确. 故选：ABD （24-25高二下·山东济南·期末）（1）证明：，其中，；小试牛刀2 （2）化简：，其中． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【分析】（1）根据题意，利用组合数的公式，进行化简，即可得证； （2）根据题意，结合倒序相加法，以及组合数的运行性质，即可求解. 【详解】（1）证明：由组合数的计算公式，可得， 又由，所以； （2）解：设， 则， 两式相加，可得， 所以，即. 【多选题】（24-25高二下·山东·月考）排列数和组合数都有丰富的性质和实际应用，下列结论中正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用组合数的定义和排列数的定义可A、B；利用组合数的递推关系式​可证明C正确；从组合数的意义角度看，都表示是两个各有个元素的集合 和 中选取总共 个元素的方式数，由此得D正确. 【详解】对于A，因为 ，故A不正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为 ，故C正确； 对于D，考虑从两个各有个元素的集合 和 中选取总共 个元素的方式数，总的选取方式数是.另一方面，我们可以将选取过程分为不同的情况，即从集合 中选取个元素，从集合中选取个元素，其中 从0 到，对于每个，选取的方式数是.由于 ​，所以每种情况的方式数是，因此，总的选取方式数可以表示为：，由于这两种方法计算的是同一个选取过程的方式数，所以它们相等：，故D正确. 故选：BCD. 【题型3：组合数的性质及应用】 【练方法】 知识梳理 核心性质 1.互余性质：（简化计算） 2.递推性质：（杨辉三角原理） 3.求和性质： 应用场景：简化计算、证明恒等式、求解数列求和问题 解题思路 1.观察组合数下标关系，使用转化 2.遇到求和问题，尝试利用二项式定理或递推性质 3.计算复杂组合数时，先拆分再计算 名师点睛 计算时，选择较小的一侧（如） 递推公式是推导组合数恒等式的关键 求和问题常结合二项式展开，需熟记 （2025高三·全国·专题练习）计算的值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质化简得解. 【详解】 . 故选：C （2025高三·全国·专题练习）证明：经典例题2例题 【答案】证明见解析 【分析】设集合，计算的所有子集中由两个不同元素组成的有序元素对的个数的总数，用两种方法解决可得结论. 【详解】设集合，计算的所有子集中由两个不同元素组成的有序元素对的个数的总数． 完成这件事，也可用两种方法解决． 一方面，含有序元素对的子集有个， 而所有有序元素对有对， 故的所有子集中由两个不同元素组成的有序元素对的个数的总数为． 另一方面，也可分类计算： 第1类，含2个元素的子集有个，而每一子集的有序元素对有对； 第2类，含3个元素的子集有个，而每一子集的有序元素对有对； …… 第类，含个元素的子集有个，而每一子集的有序元素对有对， 故由加法原理知的所有子集中由两个不同元素组成的有序元素对的个数的总数为： ． 从而有． （2025高三·全国·专题练习）（1）化简：；小试牛刀1 （2）证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用组合数性质计算推导即可. （2）利用以及化简处理 【详解】（1）原式 ． （2）左边 右边， 故等式成立． （24-25高二下·山东枣庄·期末）十进制计数法与二进制计数法有如下转换规律：若十进制计数法下的满足：，，，，则其在二进制计数法下可记为.例如：1在二进制中表示为，2表示为，3表示为，4表示为，7表示为.记为，，…，中0的个数，如，，，则从1到255这些自然数的二进制表示中，的个数为__________.小试牛刀2 【答案】56 【分析】由题意：在二进制中的表示，恰有两个0，结合组合数计算即可求解. 【详解】由，即，要使， 则在二进制中的表示恰好有两个0， 所以有个满足题意的的值. 故答案为：56. （24-25高二下·江苏苏州·期末）若，则的值为______．小试牛刀3 【答案】34 【分析】先由组合数的性质求解，再由组合数的性质化简求解即可. 【详解】因为，所以或（舍去），解得， 所以 ． 故答案为：． 【题型4：组合的简单应用】 【练方法】 知识梳理 核心逻辑：从个不同元素中选个，不考虑顺序，求方案数 常见场景： 选取代表、组建小组 购买商品、选取奖品 几何图形中选取线段、三角形等 解题思路 1.明确“完成一件事”的目标（如“选3人”） 2.确定元素总数和选取个数 3.若有特殊约束（如“甲必须入选”或“甲不能入选”），分类讨论 4.应用组合数公式计算 名师点睛 组合问题不考虑顺序，选出的元素与排列无关 若有“至少”“至多”的约束，优先用分类讨论或对立事件 几何计数问题需注意“不重复”，避免重复选取 （25-26高二下·全国·课后作业）12件产品中有3件次品，9件正品，从中抽取5件．经典例题1例题 (1)5件中没有次品的取法有多少种？ (2)5件中有2件次品的取法有多少种？ 【答案】(1)126 (2)252 【分析】（1）没有次品即全为正品，利用组合数公式计算可得； （2）事件分两步完成，第一步从3件次品中抽取2件次品，第二步从9件正品中抽取3件正品，根据乘法原理计算求得. 【详解】（1）5件中没有次品的取法就是从9件正品中取5件的取法，有种． （2）第一步，先从3件次品中取2件，有种取法；第二步，从9件正品中取3件，有种取法． 利用分步乘法计数原理，知共有种取法． （25-26高二上·江西宜春·期末）若从1，2，3，…，（）中任意取出两个不同的数，共有21种不同的取法，则（   ）经典例题2例题 A．6 B．7 C．20 D．21 【答案】B 【分析】根据组合知识求解即可. 【详解】由题意，得，即， 解得（舍去）或. 故选：B （2025·上海奉贤·一模）从3位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，只有1位女生入选，则不同的选法有______种．（用数字表示答案）小试牛刀1 【答案】 【分析】根据组合数及乘法原理计算求解. 【详解】从3位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，只有1位女生入选，则不同的选法有种． 故答案为：. （25-26高三上·云南昆明·期中）某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“中国数学史”、“古今数学思想”、“世界数学通史”、“几何原本”四门选修课程.要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将这四门选修课程选修完、则每位同学的不同选修方式共有______ 种.小试牛刀2 【答案】 【分析】根据题意，分配模式为1，1，2或0，1，3或0，2，2，三种情况讨论，由排列、组合数公式，结合分类加法和分步乘法计数原理，即可求解. 【详解】因为数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年须将这四门选修课程选修完， 当分配模式为1，1，2时，每位同学的不同选修方式有种； 当分配模式为0，1，3时，每位同学的不同选修方式有种； 当分配模式为0，2，2时，每位同学的不同选修方式有种， 则每位同学的不同选修方式共有种． 故答案为：. （24-25高二下·北京顺义·期末）高二（1）班的某个小组由2名男生和3名女生组成，若从该小组随机抽取3名学生参加义务植树劳动，则恰有1名男生被抽到的概率为_____.小试牛刀3 【答案】 【分析】直接按照古典概型公式计算即可. 【详解】由题可知：恰有1名男生被抽到的概率为. 故答案为： 【题型5：平均分组与不平均分组问题】 【练方法】 知识梳理 不平均分组：直接用组合数选取， 平均分组：除以组数的阶乘消除重复， 本质：分组问题中，若组内元素无区别，需消除组间排列的重复 解题思路 1.判断分组类型：是否平均分组 2.不平均分组：分步选取，直接相乘 3.平均分组：计算完选取数后，除以相同组数的阶乘 名师点睛 口诀：“不平均直接分，平均分组要除序” 常见错误：平均分组未除序，导致总数偏大 若组有编号（如“第一组”“第二组”），一般不需要除序 （2026高三·全国·专题练习）将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？经典例题1例题 (1)（非均匀分组）一堆一本，一堆两本，一堆三本； (2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本； (3)（不定向分配）一人得一本，一人得二本，一人得三本； (4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人； (5)（平均分组）平均分成三堆． 【答案】(1)60 (2)60 (3)360 (4)90 (5)15 【分析】（1）根据组合的定义，结合分步计数原理进行求解即可； （2）根据（1）中的结论进行求解即可； （3）根据（1）中的结论，结合排列的定义进行求解即可 （4）根据组合的定义，结合分步计数原理进行求解即可； （5）根据组合和排列的定义进行求解即可. 【详解】（1）先在6本书中任取一本，作为一堆，有种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为一堆，有种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有种取法，故共有分法（种）； （2）分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为（种）． （3）分成三堆的方法有种，但每一种分组方法又有种不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有（种）； （4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有 种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，乙再从余下的4本书中取书有种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有 种方法，所以一共有=90种方法． （5）把6本不同的书分成三堆，每堆二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三堆后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应有种，由（4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有 种．所以＝ ，则(种）. （24-25高二下·天津·期中）一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生.经典例题2例题 (1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法? (2)如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种? (3)如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中男生甲不能参加数学竞赛，女生乙不能参加物理竞赛，共有多少种选法? 【答案】(1)20 (2)324 (3)252 【分析】（1）根据组合直接求解即可， （2）先选人，再将4人分配到3项活动中，结合排列组合即可求解， （3）先求解全部情况，去除掉不符合的情况，由排列组合即可求解. 【详解】（1）所有的不同选法种数，就是从6名学生中选出3人的组合数， 所以选法种数为． （2）从6个学生中选2名男生和2名女生的选法有种， 将所选四人安排参加三项活动的安排方法有种方法， 根据分步计数原理得共有 （3）从6人中任选4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛的安排方法有种方法，其中男生甲被安排到参加数学竞赛的安排方法有种，女生乙被安排到参加物理竞赛的安排方法有种，男生甲参加数学竞赛且女生乙参加物理竞赛的安排方法有种， 所以满足要求的安排方法有种. （24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）（1）把本不同的书全部分给名学生，每人至多2本，至少1本，有多少种分法？（写出必要的文字说明，结果用数字作答）小试牛刀1 （2）从一组共有名学生中选男生人，女生人，参加三种不同的活动，要求每人参加一种且每种活动都有人参加的选法共有种，问该组学生中男生女生各有多少人？ （3）用这六个数字能组成多少个无重复数字且比大的四位数？（写出必要的文字说明，结果用数字作答） 【答案】（1）1080；（2）男生人，女生人或男生人，女生人；（3）270 【分析】（1）根据不平均分组的方法直接求解； （2）设有男生人，女生则有人，根据组合数计算，先把人选出来，然后根据分组分配列式解出，即可得答案； （3）分三类：千位是2、3、4、5；千位与百位分别是14、15；千位、百位、十位是134与135，分别求出符合条件的数的个数，利用加法原理求解即可. 【详解】（1）6本不同的书分给4位同学，满足条件的只有2，2，1，1这种情况， 则有种. （2）设有男生人，女生则有人， 从这人中选出名男生女生方法有种， 要求每人参加一项且每项活动都有人参加种， 即， 所以 ， 解得或， 所以该组学生中男生人，女生人或男生人，女生人. （3）满足要求且比1325大的四位数可分为三类： 第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个； 第二类：形如14□□，15□□，共有个； 第三类：形如134□，135□，共有个； 所以无重复数字且比1325大的四位数共有： 个. （24-25高二下·贵州铜仁·月考）现在4本不同的书，按以下方式进行分配．小试牛刀2 (1)分成两堆，每堆2本，则有多少种分法； (2)分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法； (3)分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法； 【答案】(1)3 (2)4 (3)6 【分析】（1）根据题意，结合分组、分配的解法，由平均分组计算结合排列组合数的计算公式； （2）根据题意，结合分组、分配的解法，由不平均分组计算结合组合数的计算公式； （3）根据题意，结合分组、分配的解法，由平均分组分配计算结合组合数的计算公式. 【详解】（1）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆有2本书，第2堆有2本书，则有种情况， 由于这两堆书数量相同并无实际的顺序，因此需要除以来去序， 综上所述，不同分法的种数为． （2）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为3本书，第2堆为1本书，则有种情况， 由于这两堆书数量不同因此确实有顺序．综上所述，不同分法的种数为． （3）先将4本书平均分成有顺序的2堆，则有种情况， 再分给甲、乙两人，不同分法的种数为． （24-25高二下·全国·单元测试）六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？小试牛刀3 (1)分为三份，一份四本，一份一本，一份一本； (2)分给甲、乙、丙三人，甲得四本，乙得一本，丙得一本； (3)分给甲、乙、丙三人，一人得四本，另外两个人每个人得一本； (4)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本． 【答案】(1)15种 (2)30种 (3)90种 (4)540种 【分析】（1）部分平均分组，结合分步乘法原理求解即可； （2）由（1）对乙丙全排列即可求解； （3）法一：由（1）分成3组，再全排列即可；法二：同法一； （4）先将6本书从平均分，不平均分，分成3组，再全排列即可求解； 【详解】（1）根据分步乘法计数原理可得，分成三份有种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨记六本书分别为，若第一步取，第二步取， 第三步取，该分法记为，则中还包括（）这1种分法， 而这种分法与是同一种分法，故共有种分法． （2）这是“部分平均定向分配”问题．先分组，再分配，与顺序有关． 首先分成三份，为部分平均分组问题，共有种分法， 然后分给三个人（甲定向）共有种分法． （3）方法一：先分组，再分配，与顺序有关．先分成三份，为部分平均分组问题， 共有种分法，然后分给三个人（不定向），共有种分法． 方法二：有种分法． （4）可以分为三类：①将6分为“2，2，2”，有种分法； ②将6分为“1，2，3”，有种分法； ③将6分为“1，1，4”，有种分法． 所以共有 种分法． 【B·能力提升题型】 【题型1：分组分配问题】 【练方法】 知识梳理 核心：将元素分配到不同位置，涉及“分组”与“分配”的结合 常见类型： 有编号分配（直接用组合数） 无编号分配（先分组，再分配） 不同元素分配到不同位置 解题思路 1.明确元素和位置的性质（元素是否相同，位置是否编号） 2.先分组，再分配： 不平均分组：直接分配 平均分组：除序后再分配 3.利用分步乘法计数原理计算总数 名师点睛 分配问题的关键是“先分组后排布” 相同元素分配问题常用隔板法（见题型2） 不同元素分配问题常转化为映射问题 （25-26高二上·江西宜春·期末）全民登高谱新篇，策马奔腾启华年.1月1日，“中国体育彩票”2026年全国新年登高健身大会（江西分会场）在宜春明月山举行的活动中，某路段设三个服务站，宜春某高校5名同学到甲､乙､丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ）经典例题1例题 A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 【答案】B 【分析】利用先分组后分配来解题，分组中要注意均分组消序思想. 【详解】依题意，有两类分组方法： ① 5名同学按2人，2人，1人分成三个小组，有种分法， ② 5名同学按3人，1人，1人分成三个小组，有种分法. 再把分好的三个小组安排到三个服务站分别有种方法， 故每个服务点至少有1人的不同安排方法有：种. 故选：B. （25-26高三下·河北衡水·开学考试）在某次演讲比赛组织过程中，有甲、乙等5名同学参加了接待、咨询、向导三个服务项目，每名同学只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名同学参加，若5名同学中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有（   ）经典例题2例题 A．108种 B．114种 C．150种 D．240种 【答案】B 【分析】首先安排甲乙，再讨论余下3人的分组情况，结合题意及排列组合数求不同的安排方案数. 【详解】安排甲到三个服务中的一个，再安排乙到另两个服务中的一个，即有种， 余下的3人的安排如下， 将他们分三组，每组各一人，再安排到三个服务项目中有种， 将他们分两组，分别为一人组、两人组，把其中一组安排到最后余下的服务项目中，另一组任意安排到甲或乙所在组，有种， 将他们分一组，安排到最后余下的服务项目中，有种 所以共有种方案. （25-26高二上·河南南阳·期末）将4名医生和5名护士安排到A，B两个社区义诊，要求每个社区至少有1名医生和2名护士，每名医生和护士都要参加且只能到一个社区义诊，则不同的分配方案有（   ）小试牛刀1 A．110种 B．140种 C．220种 D．280种 【答案】D 【分析】分1名医生和2名护士一组、1名医生和3名护士一组和2名医生和2名护士一组三种情况讨论即可. 【详解】1名医生和2名护士一组，另一组3名医生和3名护士有种分配方案； 1名医生和3名护士一组，另一组3名医生和2名护士有种分配方案； 2名医生和2名护士一组，另一组2名医生和3名护士有种分配方案． 故满足要求的不同的分配方案有种. 故选：D. （25-26高三上·广东梅州·期末）将6名志愿者随机分配到四个社区，且每个社区至少分到一名志愿者，则不同的分法有（     ）小试牛刀2 A．1 080种 B．1 560种 C．2 640种 D．3 960种 【答案】B 【分析】先将6名志愿者分成4组，然后再分配到不同的社区即可. 【详解】若志愿者人数依次为3、1、1、1，考虑到部分非均匀分组，则不同的安排方法有种, 若志愿者人数依次为2、2、1、1，则不同的安排方法有种， 种. 故选：B. （25-26高二上·浙江宁波·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目，跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有（   ）小试牛刀3 A．450 B．540 C．630 D．900 【答案】B 【分析】先将6人分成3组，即分为；或，再把三组分配到3个不同项目. 【详解】先将6人分成3组，即分为；或， 共有种分组方法， 再把三组分配到3个不同项目， 则有种不同的报名方法. 故选：B 【题型2：隔板法】 【练方法】 知识梳理 适用场景：相同元素分到不同位置，且每个位置至少一个（或多个） 核心模型：（）的正整数解个数为 变形：若，解个数为 解题思路 1.识别模型：相同元素、不同位置、至少一个 2.转化为方程求解，利用隔板法构造空隙 3.代入公式计算： 至少1个： 至少2个：先给每个位置1个，转化为至少1个 名师点睛 隔板法的前提是“元素相同”且“位置不同” 注意“至少”的转化，不要直接套用基础公式 此方法是高考计数题的高频工具 （2025高三·全国·专题练习）从3个箱子（每个箱子里的球足够多）里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有______种.经典例题1例题 【答案】6 【分析】应用隔板法，将5个小球排成一排，用2块挡板插入四个空中的2个，即可得. 【详解】8个相同小球再减去3个小球共5个小球排成一排，用2块挡板去插入，有种. 然后再往每个箱子里放1个球，即每个箱子至少选2个小球，故不同的选法有6种． 故答案为：6 （24-25高二下·青海西宁·期末）已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有（    ）个正整数解.经典例题2例题 A．171 B．190 C．342 D．380 【答案】A 【分析】先将题目问题进行转化；再利用隔板法进行求解. 【详解】因为x，y，z均为正整数， 所以方程正整数解的个数问题可以转化为：将个相同的物品分成组，每组至少一个，有多少种不同的分法. 利用隔板法可得：不同的分法有种. 故选：A （24-25高二下·宁夏·期中）不等式，其中是正整数，则使不等式成立的四元数组的组数为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题转化成不等式的正整数解的组数，即求方程的正整数解，应用隔板法和组合数的性质求结论. 【详解】由，且是正整数， 将问题转化成不等式的正整数解的组数. 求方程的正整数解， 可先将看作个“”，将这个“”排成一排，在其中间形成的个空位中选择个空位放入隔板，则隔板隔开形成组“”，每组“”的和分别对应的值， 因此，方程的正整数解的组数为， 方程的正整数解的组数为， 方程的正整数解的组数为， ， 方程的正整数解的组数为， 所以原不等式的非负整数解的组数为 . 故选：B. （23-24高二下·贵州遵义·期末）方程的非负整数解个数为（    ）．小试牛刀2 A．220 B．120 C．84 D．24 【答案】A 【分析】将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解. 【详解】依题意，可知为非负整数， 因为， 所以， 从而将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，每部分至少一个球， 一共有12个间隔，利用3个隔板插入即可，故共有种. 故选：A （24-25高二下·湖北·月考）（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?小试牛刀3 （2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? （3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? （4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? （注：要写出算式，结果用数字表示） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）先将个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果； （2）确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果； （3）只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果； （4）问题等价于在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果. 【详解】解：（1）将个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为、、或、、， 然后再将这三组小球放入三个盒子中， 因此，不同的放法种数为种； （2）每个小球有种方法，由分步乘法计数原理可知， 将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种； （3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子， 只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可， 所以，不同的放法种数为种； （4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空， 等价于将个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空， 只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可， 所以，不同的放法种数为种. 【题型3：最短路径问题】 【练方法】 知识梳理 场景：网格图中从A到B，只能向右或向上走，求最短路径数 本质：组合计数，只需确定走的步数和方向选择 核心公式：若需向右步、向上步，则路径数为（或） 解题思路 1.计算从起点到终点所需的向右步数和向上步数 2.总步数 3.从步中选取步向右（剩余步向上），即 名师点睛 最短路径即“不绕路”，步数固定 方向选择只取决于“先右后上”或“先上后右” 此题型是组合与几何的结合，需准确数出步数 （25-26高二上·辽宁沈阳·期末）在黑猫警长的森林街区行动中，黑猫警长从起点S沿最短路径前往终点T抓捕逃犯；白鸽侦探从T出发，沿最短路径前往S支援.两人随机选择路径，且速度完全相同.其中，，，，是森林道路网络中位于一条对角线上的5个交汇点.（   ）经典例题1例题 A．黑猫警长从S到T的最短路径方法有100种 B．黑猫警长从S必须经过到达T的方法有36种 C．黑猫警长与白鸽侦探在处相遇的概率为 D．黑猫警长与白鸽侦探相遇的概率为 【答案】C 【分析】从S到T的最短路径共需走8步，其中4步向右4步向上，据此逐项计算可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，如图所示，从S到T的最短路径共需走8步，其中4步向右4步向上， 由黑猫警长从S到T的最短路径方法有种，故A错误； 对于B，黑猫警长从S必须经过到达T， 则需前4步有1步向右，3步向上，后4步有3步向右，1步向上， 故黑猫警长从S必须经过到达T的方法有种，故B错误； 对于C，黑猫警长与白鸽侦探在处相遇， 则黑猫警长前4步有2步向右，2步向上，白鸽侦探前4步有2步向左，2步向下， 则黑猫警长与白鸽侦探在处相遇总的走法有种， 所以黑猫警长与白鸽侦探在处相遇的概率为，故C正确； 对于D，同C可知黑猫警长与白鸽侦探在相遇的走法有种， 黑猫警长与白鸽侦探在相遇时走法有种， 黑猫警长与白鸽侦探在处相遇时的走法有种， 黑猫警长与白鸽侦探在相遇时走法有种， 黑猫警长与白鸽侦探在相遇时走法有种， 所以黑猫警长与白鸽侦探能相遇的走法有种， 所以黑猫警长与白鸽侦探相遇的概率为，故D错误. 故选：C. （2025·宁夏吴忠·二模）在中国象棋的棋盘上，红方“车”从初始位置（如图，第1行第5列）出发，每一步可以横向或纵向移动任意格（但不能斜着移动，也不能连续两次均横向或纵向移动），已知黑方“将”位于第10行第5列，红方“车”必须在恰好4步后到达第10行第5列．若棋盘上仅存在黑方“将”和红方“车”，黑方“将”不移动，则红方“车”不同的移动路径有________种．经典例题2例题 【答案】128 【分析】根据题意，恰好4步后到达，且每次移动必须改变方向，可能的移动模式有两种：纵向→横向→纵向→横向（记为模式A）或横向→纵向→横向→纵向（记为模式B），讨论求解. 【详解】记红方“车”的初始位置为，则目标位置为， 由题意知必须恰好4步后到达，且每次移动必须改变方向， 所以可能的移动模式有两种：纵向→横向→纵向→横向（记为模式A）或横向→纵向→横向→纵向（记为模式B）． 模式A的详细步骤如下． 步骤1：纵向移动a格到，， 步骤2：横向移动x格到，且，即且，所以x的可能取值有8种． 步骤3：纵向移动b格到，且． 步骤4：横向移动格到． 因此，a和b必须满足，，，则，对应的． 对于每个x，a均有8种可能，因此模式A的移动路径有（种）． 模式B的详细步骤如下． 步骤1：横向移动m格到，且，有8种可能． 步骤2：纵向移动n格到，，且． 步骤3：横向移动格到． 步骤4：纵向移动y格到． 因此，n和y必须满足，，，则，对应的． 对于每个m，n均有8种可能，因此模式B的移动路径有（种）． 综上，不同的移动路径有（种）． 故答案为：128. （23-24高二下·山东枣庄·月考）如图所示：在一个无限延展的平面上，铺满了边长为1的正方形网格，已知某质点从出发，只能沿着网格线走，每次走一格，且每次向右走的概率为，向上走的概率为，向左走的概率为，向下走的概率为，且每一步之间相互独立.若要求质点按最短路径从到达，则可能的不同路径有__________条（用数字作答）；设按最短路径从到达的概率记为，则当取得最大值的时候的取值为__________.小试牛刀1 【答案】 35 【分析】由最短路径为七步中有4步向右，另3步向上来确定不同的路径数；利用二项分布概率公式可得，再用求导思想来求出最大值时的即可. 【详解】 从A到B的最短路径是必须七步完成，且向右走4步，向上走3步，即可能不同的路径有：（条）； 而， 则 当时，，所以在上递增， 当时，，所以在上递减， 所以当时，取到最大值. 故答案为：. 【多选题】（2024陕西西安·一模）如图所示，各小矩形都全等，各条线段均表示道路.某销售公司王经理从单位处出发到达处和处两个市场调查了解销售情况，行走顺序可以是，也可以是，王经理选择了最近路径进行两个市场的调查工作.则王经理可以选择的最近不同路线共有（    ）小试牛刀2 A．31条 B．36条 C．210条 D．315条 【答案】CD 【分析】讨论长宽关系，利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】设小矩形的长为，宽为，则从的最近路线为，从的最近路线为， 若，则选择行走顺序为，先从，最近路线需要走3个长，2个宽，则不同路线有种，从，最近路线需要走5个长，2个宽，则不同路线有种，所以从的不同路线有种； 若，则选择行走顺序为，先从，最近路线需要走2个长，4个宽，则不同路线有种，从，最近路线需要走5个长，2个宽，则不同路线有种，所以从的不同路线有种. 综上，王经理可以选择的最近不同路线共有210条或315条. 故选：CD. 【题型4：组合综合素养题型】 【练方法】 知识梳理 场景：结合排列、概率、数列、函数等知识，考查组合的综合应用 核心：将复杂问题拆解为组合计数、方程、不等式等基础模型 常见考点：分组分配综合、概率与组合、组合数求和与数列 解题思路 1.审题提取信息：明确元素、约束、目标 2.转化为组合模型：识别是排列、组合、分组还是隔板问题 3.计算基础计数，再结合其他知识点求解 4.验证结果符合题意与实际 名师点睛 综合题“高起点，低落点”，本质还是组合数公式 遇到文化背景、实际问题，先提取数学模型 分类讨论是解决综合题的万能钥匙，注意不重不漏 （24-25高二下·上海·期末）斐波那契数列，又称黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，（，）.已知，且，则中所有元素之和为奇数的概率为_____.（用最简分数表示）经典例题1例题 【答案】 【分析】根据给定条件，结合组合计数问题求出集合中非空子集个数，进而求出概率. 【详解】， 由数列，得每隔三项为奇数、偶数、奇数，不断重复出现， 则中奇数项有1350个，偶数项有675个， 由且，得集合的非空子集个数为个， 而中所有元素之和为奇数的集合个数为 则中所有元素之和为奇数的概率为. 故答案为： （24-25高二下·江苏宿迁·期中）在华为的三进制数据处理研究中，设计了一种独特的三进制编码规则.将一个长度为8位的三进制数按位权展开并转化为十进制数，例如三进制数，转化为十进制数，其中，，则三进制数00001110对应的十进制数为_______，现有一个8位三进制数，包含3个，3个0，2个1，若要求首位不能为0，且相邻两位不能同时为，则这样的不同的三进制数个数共有_______.经典例题2例题 【答案】 39 140 【分析】根据三进制表示规则直接计算可得结果，先将3个0，2个1进行排列，再利用插空法将3个进行排列，然后除去首位为0的所有情况，即可求得结果. 【详解】易知00001110对应的十进制数为； 先将3个0，2个1进行排列，共有种， 再将3个插入到6个空隙中去，共有种， 所以能表示出的不同的三进制数个数共有种， 其中有首位为0时，共有种， 则符合题意的不同的三进制数个数共有种. 故答案为：39；140. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用插空法将将3个插入到6个符合题意的空隙中去，求得总个数，然后减去首位为0时的个数即可得出结果. （2024·黑龙江大庆·模拟预测）著名数学家欧几里得著的《几何原本》中记载：任何一个大于1的整数要么是一个素数，要么可以写成一系列素数的积，例如．对于，其中均是素数，则从中任选3个数，可以组成不同三位数的个数为（    ）小试牛刀1 A．18 B．32 C．36 D．42 【答案】D 【分析】先将1260表示成若干素数的乘积形式，再根据分类加法计数原理计算即得. 【详解】因，依题，从中任选3个数组成三位数，可以分成两类情况： ① 三个数都不相同，共有三位数个； ② 含有2个2或2个3，共有个. 由分类加法计数原理，可以组成不同三位数的个数为. 故选：D. （2024·陕西西安·一模）算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明．在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具，下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位、十位、百位、千位，，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如如图二，个位上拨动一粒上珠、两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位、十位、百位、千位、万位、十万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的六位数至多含4个5的情况有（    ）小试牛刀2 A．57种 B．58种 C．59种 D．60种 【答案】A 【分析】根据出现5的个数分类讨论后可求符合条件的所有的总数. 【详解】至多含4个5，有以下5种情况： 不含5，有种；含1个5，有种； 含2个5，有种；含3个5，有种； 含4个5，有种； 所以，所有的可能情况共有种， 故选：A. （2024·陕西商洛·模拟预测）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一个“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一个重卦.在所有重卦中随机取一个重卦，则该重卦恰有2个阴爻的概率是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出“重卦”的种数，然后再计算出恰有个阴爻的种数，根据比值求解出结果. 【详解】所有“重卦”共有种，恰有2个阴爻的情况有种， 所以该重卦恰有2个阴爻的概率为. 故选：B. 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二下·广东江门·月考）江门市比较受市民喜欢的景点主要有4个：上下川岛、开平碉楼、圭峰山、赤坎古镇．若游客可以选择游览其中的3个景点，且必须包含开平碉楼，则不同的游览顺序有（    ） A．20种 B．18种 C．14种 D．12种 【答案】B 【分析】首先计算出选择3个景点且包含开平碉楼的种数，然后计算出游览路线数即可. 【详解】因为必须包含景点开平碉楼，所以从剩下的3个景点中选择2个景点与开平碉楼组合，有种选法， 游览顺序可以不同，所以共有种不同的游览路线． 故选：B. 2．（24-25高二下·河北承德·期末）某班选派6名同学到学校的这3个活动场地做志愿者工作，每个场地至少去1名同学，每名同学只能去1个场地，且3个场地去的同学人数互不相同，则不同的选派方法种数为（    ） A．90 B．360 C．450 D．990 【答案】B 【分析】先分三组，再进行全排列即可求解. 【详解】先分组有种方式，然后对这三组进行全排列有种方式， 由分步乘法计数原理可知，所求为. 故选：B. 3．（24-25高二下·甘肃定西·期末）从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有（　　） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】B 【分析】利用直接法求满足条件的组合个数. 【详解】满足条件的选法有：种. 故选：B 4．（25-26高二上·云南·期末）某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮球等三个兴趣小组.现有甲、乙、丙、丁、戊五名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一个人报名，且甲不能参加绘画，则不同的报名方法有（   ） A．150 B．114 C．100 D．72 【答案】C 【分析】分类讨论参加绘画小组的人数，对参加象棋和篮球小组的人数进行分组，然后进行排序，最后利用分类计数原理求解. 【详解】甲不能参加绘画，若有1人参加绘画小组，有种，则有4人参加象棋和篮球， 人数分为，，故有种，共有种； 若有2人参加绘画小组，有种，则有3人参加象棋和篮球，人数分为， 故有种，共有种； 若有3人参加绘画小组，有种，则还有2人参加象棋和篮球，人数分为， 故有种，共有种， 根据分类计数原理，共有种， 故选：C. 5．（24-25高二下·重庆·月考）北京年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合.为了宣传年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等6名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装.若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据分组分配问题计算，先分组有两类：一类为，二类为平均分组，最后再分配可得. 【详解】小明和小李必须安装不同的吉祥物，根据题设条件，将6人分成两组其中小明和小李不在同一组， 设小明所在的组为小明组，小李所在的组为小李组， ①若小明组2人小李组4人，先给小明组选1人，剩余3个人到小李组，有种不同的分组方法； ②若小明组3人小李组3人，先给小明组选2人，剩余2个人到小李组，有种不同的分组方法； ③若小明组4人小李组2人，先给小明组选3人，剩余1个人到小李组，有种不同的分组方法； 所以一共有种分组方法，然后再分配到两个安装组有种情况， 所以不同的分配方案种数为种. 故选：C. 6．（25-26高三上·湖南常德·月考）在《红楼梦》中，史湘云邀众姐妹和贾宝玉一起作诗.共编写了十首不同的咏菊诗，假设分配贾宝玉作《访菊》《种菊》两首，薛宝钗作《忆菊》、《画菊》两首，剩下六首诗分别由林黛玉、史湘云、探春三人创作，且每人至少创作一首，至多创作三首，则不同的分工方案共有（    ） A．150种 B．360种 C．450种 D．800种 【答案】C 【分析】结合两类计数原理，将6首诗按和两种情况求解即可. 【详解】第一类，将6首诗按的数量分给3人，有种； 第二类，将6首诗按的数量分给3人，有种， 所以不同的分工方案共有种． 故选：C. 7．（24-25高二下·江苏南京·月考）等于（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题利用二项式系数和公式分别求出分子、分母的值即可得出答案. 【详解】根据二项式系数和分子的值为，分母的值为代入原式得 故选：A. 8．（24-25高二下·湖北荆州·期末）现有4道四选一的单选题，学生张君对其中3道题有思路，1道题完全没有思路；有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好随机猜一个答案．张君从这4道题中随机选择2道题作答，则2道题都答对的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用全概率公式计算求解即可. 【详解】. 故选：A. 9．（25-26高三上·四川眉山·期末）苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 【答案】D 【分析】先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算. 【详解】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况： 情况一：按分组：则有种； 情况二：按分组：则有种； 情况三：按分组：则有种； 所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案， 故选：D 二、多选题 10．（24-25高二下·重庆渝中·月考）在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的有（   ） A．两件都是一等品的概率是 B．两件中有1件是次品的概率是 C．两件都是正品的概率是 D．两件中至少有1件是一等品的概率是 【答案】AD 【分析】根据组合数公式，分别计算 “两件都是一等品”“有 1 件是次品”“两件都是正品”“至少有 1 件是一等品” 的概率，再逐一判断选项正误。 【详解】对于A，两件都是一等品的概率为，故A正确； 对于B，两件中有1件是次品的概率为，故B错误； 对于C，两件都是正品的概率为，故C错误； 对于D，两件中至少有1件是一等品的概率为，故D正确， 故选：AD． 11．（25-26高二下·浙江温州·月考）将7个小球放入3个盒子中，结合小球的相同与不同属性、盒子的相同与不同特征，以及不同的放置限制条件，下列说法正确的有（   ） A．若小球相同、盒子不同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 B．若小球相同、盒子不同，且允许有空盒子，则不同的放法种数为21 C．若小球不同、盒子相同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为301 D．若小球相同、盒子不同，且恰有1个盒子放2个球，其余盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 【答案】AC 【分析】对于AB，根据隔板法求解；对于C，先分组，再选球放入；对于D，先分组，再排列盒子即可． 【详解】对于A，将7个小球分成3组即可，由隔板法得不同的放法种数有种，故A正确； 对于B，允许有空盒子，先给每个盒子一个虚拟的球， 即10个小球分成3组，每个盒子至少一个， 由隔板法得不同的放法种数有种，故B错误； 对于C，根据题意，每个盒子里球的个数情况有：；；；， 则不同的放法种数有，故C正确； 对于D，小球相同、盒子不同，恰有1个盒子放2个球（即只有1个盒子为2个）， 其余两个盒子至少1个球且不能为2个球：先选放2个球的盒子：， 剩余两个盒子共5个球，均不为2的放法只有共2种， 总放法，故D错误． 12．（24-25高二下·湖北·月考）下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由反例判断A的正误，根据组合数的性质可判断C的正误，根据二项展开式结合赋值法可判断B的正误，根据二项展开式结合多项式乘法，算两次可判断D的正误. 【详解】对于A，取，则左边，而右边，两边不相等，故A错误； 对于C， 故C正确； 对于B，由二项式定理得：， 令得，，即， 令得，， ，故B正确； 对于D，因为等号左右两边的展开式中的系数相等， 右边展开式中的系数为， 而左边即为， 故左边的系数为， 故，故D正确． 故选：BCD 13．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）下列选项正确的是（    ） A．若 ，，则 B．若 ，则 C． D．若 且 ，则 【答案】ABCD 【分析】利用组合数的计算公式可判断A的真假；利用排列数公式结合裂项求和法可判断B的真假；利用组合数的性质可判断C的真假，利用排列数公式可判断D的真假/ 【详解】对A： ， 又，所以，故A正确. 对B：因为， 所以 ，故B正确； 对C：因为，，…，，故C正确； 对D：因为 ，故D正确. 故选：ABCD 14．（25-26高二上·山东潍坊·月考）下列说法正确的有（ ） A．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B．有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 C．从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有种选法 D．有5名老师去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有72种 【答案】AD 【分析】对于A：根据分步乘法计数原理可判断；对于B：从5人中选3人，参观券无顺序差异，应使用组合数；对于C：需选“有男有女”的4人，分3种情况：1男3女、2男2女、3男1女，从而可判断；对于D：先分组后分配，减去不符合限制条件的种数即可. 【详解】对于A：每封信有3种投法，5封信的投法数为，正确. 对于B：从5人中选3人，参观券无顺序差异，应使用组合数，而非排列数，错误. 对于C：需选“有男有女”的4人，分3种情况：1男3女、2男2女、3男1女，对应选法分别为、、，则共有种选法，错误. 对于D：5人住3个房间（每间最多2人），人数分配为. ①先分组：将5人分为的三组，分法为； ②安排房间：分组后分配到3个房间，方法数为； ③减去甲、乙同住的情况：甲、乙在同一2人组，剩余3人分为2人组和1人组，分法为，故甲、乙同住的安排共有种； 最终符合条件的安排数为，正确. 故选：AD. 三、填空题 15．（24-25高二下·陕西咸阳·月考）计算________.（用数字作答） 【答案】 【分析】根据组合数公式计算可得. 【详解】. 故答案为： 16．（24-25高二下·江苏无锡·月考）某班计划从4位男生和4位女生中选出3人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为________. 【答案】52 【分析】用总的选法种数减去1位女生都不入选的选法种数，即可得至少1位女生入选的选法种数. 【详解】从4位男生和4位女生中选出3人参加辩论赛，总的选法种数为种， 1位女生都不入选，即4位男生中3位男生入选的选法种数为种， 因此至少1位女生入选的选法种数为种. 故答案为：52. 17．（25-26高二上·云南·月考）某地区有3个学生社会实践服务点A，B，C.4名学生需在寒假完成社会实践，每个服务点至少有一名学生，则不同的社会实践安排共有________种. 【答案】36 【分析】先把4人分成3组，再把3组分到3个不同的社会实践服务点即可. 【详解】先从4名学生中选出2人组成一个小组，有种方法； 再将这个两人小组与其余2名学生安排到3个不同的服务点，有种方法， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的安排. 故答案为：36 四、解答题 18．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）（1）求的值； （2）解不等式. 【答案】（1）280；（2） 【分析】（1）根据排列数以及组合数公式计算，即得答案； （2）根据排列数公式，解不等式，即得答案. 【详解】（1）； （2）由，得， 化简得，解得.① 又，所以.② 由①②及，得， 即不等式的解集为. 19．（25-26高二上·河南驻马店·月考）甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲、乙、丙必须相邻，则不同的排列方案有多少种? (2)6名同学站成一排，甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种? (3)6名同学平均分成三组，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种? 【答案】(1)144 (2)144 (3)90 【分析】（1）采用捆绑法求解； （2）先从除甲、乙以外的4人中选2人，再利用捆绑法计算可得； （3）利用平均分组分配的方法求解. 【详解】（1）将甲、乙、丙组成一个整体，再与其余3人全排列， 共有种排列方案； （2）从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列， 则有种排列方案； （3）名学生平均分配到三项不同的社区有种方法. 20．（24-25高二下·江苏·月考）学校食堂为学生配餐，现准备了6种不同的荤菜和种不同的素菜. (1)当时，若每份学生餐有1荤3素，则共有多少种不同的配餐供学生选择？ (2)若每位学生可以任选2荤2素，要保证至少有200种以上的不同选择，求的最小值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可求出不同的选择方法种数； （2）利用组合计数原理可得出每位学生的不同选择方法种数，结合题意可得出关于的不等式，由此可求得正整数的最小值． 【详解】（1）当时，学校共有6种不同的荤菜和4种不同的素菜， 若每份学生餐有1荤3素，由分步乘法计数原理可知，不同的选择方法为（种）． （2）6种不同的荤菜和种不同的素菜，任取2荤2素，不同的选择方法为（种）． 由题意，得，整理可得，解得或（舍去）， 因为，，，所以，所以的最小值为6． 1 学科网（北京）股份有限公司 $