精品解析：安徽六安市独山中学2025-2026学年第二学期3月份月考高二数学试卷

六安市独山中学2025-2026学年度第二学期3月份月考 高二数学试卷 一、单选题 1. 已知数列的首项，（，），则为（ ） A. 7 B. 15 C. 30 D. 47 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆与直线相切，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5 设直线与圆交于两点，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知双曲线（，）的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 若一动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（ ） A B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交于A，B两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知双曲线的标准方程为，则（ ） A. 其实轴长为2 B. 其离心率为 C. 其渐近线方程为 D. 其焦点到渐近线的距离为 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E为线段中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与BE异面直线 B. 平面 C. D. 三棱锥的体积为 11. （多选）设d为正项等差数列的公差，若，则（ ） A B. C. D. 三、填空题 12. 已知数列为等差数列，，，则______. 13. 已知向量是平面一个法向量，向量为直线的一个方向向量，若，则的值为____. 14. 与椭圆的焦点相同，且离心率为的双曲线的方程为____. 四、解答题 15. 如图，在长方体中，是AB的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 16. 湖北新冶钢有限公司（简称为“新冶钢”）是中国现存最早的钢铁企业之一，素有中国“钢铁工业的摇篮”之称．该公司今年年初用192万元购进一台机器投入生产，每年可以给公司带来69万元的收入，但该台机器每年需要进行维护，第一年需要维护费用12万元，从第二年起每年的维护费用比上一年增加6万元，求购买该台机器若干年后的年平均利润的最大值． 17. 已知圆内有一点，为过点P的弦． （1）当时，求直线的方程； （2）求弦中点M的轨迹方程． 18. 已知椭圆，椭圆与有公共焦点，点在上. （1）求的方程； （2）过点的直线与相交于两点，为的中点，求直线的方程. 19. 已知，，动点M满足，设M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）设直线与曲线C有两个交点A，B，求k的取值范围； （3）设直线与曲线C交于P，Q两点，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安市独山中学2025-2026学年度第二学期3月份月考 高二数学试卷 一、单选题 1. 已知数列的首项，（，），则为（ ） A. 7 B. 15 C. 30 D. 47 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推公式逐项计算得到值. 【详解】已知数列首项，递推关系为， 依次计算： ， ， ， . 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，将抛物线的方程变形为，所以，， 所以准线方程为. 3. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示求出的值，可求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为，，且，则，解得， 所以，故，故， 故选：B. 4. 已知圆与直线相切，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先将圆的方程化成标准方程，再利用直线与圆相切的条件即可求解. 【详解】将圆的方程化成标准方程为， 因为圆与直线相切， 则有，解得. 5. 设直线与圆交于两点，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由圆，即，则圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以. 6. 已知双曲线（，）的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】由双曲线（，）得双曲线的渐近线方程为. ，所以离心率. 7. 若一动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标及准线方程，结合动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，可知动圆恒过抛物线焦点． 【详解】如图，作出符合题意的图形， 抛物线的焦点坐标为，准线方程为． 动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切， 则动圆圆心到的距离等于到准线的距离， 由抛物线定义可知，动圆恒过定点． 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交于A，B两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题先求出，利用，即化简可求解. 【详解】设焦点，则过且垂直于长轴的直线为， 将代入，得到， 所以， 因为，所以， 所以，即， 化简得到， 因为，解得. 故选：A. 二、多选题 9. 已知双曲线的标准方程为，则（ ） A. 其实轴长为2 B. 其离心率为 C. 其渐近线方程为 D. 其焦点到渐近线的距离为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质逐项判断. 【详解】双曲线的标准方程，则, 所以实轴长为2，A正确； 离心率为，B错误； 渐近线方程为，C错误； 一个焦点为，其到一条渐近线的距离为，D正确. 故选：AD 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E为线段中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与BE是异面直线 B. 平面 C. D. 三棱锥的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据异面直线的定义，线面平行，垂直的判定定理，几何体的体积求解方法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A，直线平面，平面，则易得直线与不为异面直线，故A不正确； 对于B，因为平面平面，所以平面，故B正确； 对于C，连接，因为正方体中，平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，平面，所以，故C正确； 对于D，三棱锥的体积，故D正确． 故选：BCD. 11. （多选）设d为正项等差数列的公差，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题可得，根据，结合的取值范围，逐项判断即可. 【详解】由题知，，所以. ，所以A正确； ， 因为，所以， 因为，所以成立，所以B正确； ， 因为在上单调递减，所以，所以，所以C正确； ，所以，所以D错误． 故选：ABC 三、填空题 12. 已知数列为等差数列，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的定义求出首项和公差即可. 【详解】设的公差为d，则， 解得， 所以. 故答案为：. 13. 已知向量是平面的一个法向量，向量为直线的一个方向向量，若，则的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】由直线垂直平面，推得直线的方向向量与平面的法向量平行，利用向量平行的坐标比例关系列方程求解. 【详解】已知，， 若，则与平行， 所以，则，即. 14. 与椭圆的焦点相同，且离心率为的双曲线的方程为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆方程，求出焦点坐标，可得c值，根据离心率公式，可得双曲线中a值，根据关系，求出，即可得答案. 【详解】由题设知椭圆中，则，则焦点为， 所以双曲线中c=1，且焦点在x轴上， 又离心率，解得， 故， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 四、解答题 15. 如图，在长方体中，是AB的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面向量的法向量和直线方向向量之间的关系进行运算证明即可； （2）利用空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 建立如下图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，取，则， 所以， 因为， 所以，又因为平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）可知平面的法向量为，， 所以点到平面的距离为. 16. 湖北新冶钢有限公司（简称为“新冶钢”）是中国现存最早的钢铁企业之一，素有中国“钢铁工业的摇篮”之称．该公司今年年初用192万元购进一台机器投入生产，每年可以给公司带来69万元的收入，但该台机器每年需要进行维护，第一年需要维护费用12万元，从第二年起每年的维护费用比上一年增加6万元，求购买该台机器若干年后的年平均利润的最大值． 【答案】12万元． 【解析】 【分析】各年的维护费用（单位：万元）构成以12为首项，6为公差的等差数列，表达出该台机器年后的盈利，并求出，表达出购买该台机器年后的年平均利润，利用基本不等式求出最大值，得到答案. 【详解】由题意可知各年的维护费用（单位：万元）构成以12为首项，6为公差的等差数列， 设购买该台机器年后的盈利为万元， 则． 令，则，解得． 设购买该台机器年后的年平均利润为万元， 则， 当且仅当时取“=”， 因此，购买该台机器8年后的年平均利润最大，最大年平均利润是12万元． 17. 已知圆内有一点，为过点P的弦． （1）当时，求直线的方程； （2）求弦中点M的轨迹方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分直线斜率存在与不存在两种情况考虑，在斜率不存在时结合图形求出弦长检验可得；在斜率存在时，利用弦长公式求出直线斜率即得直线方程； （2）方法一：由垂径定理得，从而可得点的轨迹是以为直径的圆，求出圆的方程即可；方法二：利用，代入点的坐标推导即得；方法三：利用，代入点的坐标推导即得. 【小问1详解】 当直线的斜率不存在时，的方程为，代入， 此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 设原点O到直线的距离为d，则，解得 的方程为，即 综上，直线方程为或 【小问2详解】 方法一：是的中点，由垂径定理得 的轨迹是以为直径的圆．的中点为， 即圆心为，半径 的轨迹方程为 方法二：设，由垂径定理得，，（且）， ，得（且 当时，，时，，也满足上式， 的轨迹方程为 方法三：设，由垂径定理得， 即，即M的轨迹方程为. 18. 已知椭圆，椭圆与有公共焦点，点在上. （1）求的方程； （2）过点的直线与相交于两点，为的中点，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为，即可求出、； （2）设，，利用点差法求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程. 【小问1详解】 依题意设椭圆的方程为， 则，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 因为，所以点在椭圆内，直线与椭圆相交， 设，，则， 所以，即， 又点为的中点，所以， 所以，则， 即，所以直线的方程为，即. 19. 已知，，动点M满足，设M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）设直线与曲线C有两个交点A，B，求k的取值范围； （3）设直线与曲线C交于P，Q两点，求证：为定值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义以及双曲线的标准方程，可得答案； （2）联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，结合判别式计算，可得答案； （3）联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，应用弦长公式代入计算化简求解. 【小问1详解】 设，为定值，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 设双曲线方程为：，， 所以，曲线的轨迹方程是； 【小问2详解】 设， 由，消去得， 则. 整理得， 解得 【小问3详解】 设， 由，消去得，， 则. ， 所以， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $