1.4 数列在日常经济生活中的应用课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 数列 第4节 数列在日常经济生活中的应用 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1．掌握单利、复利的概念． 2．了解数列在实际生活中的应用. 1．数列在实际生活中的应用. 1．掌握单利、复利的概念． 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、等差数列的通项公式是什么？ an=a1+(n-1)d 2、等比数列的通项公式是什么？ an=a1qn-1 3 新 知 引 入 韦 达 3、等差数列的前n项和公式是什么？ Sn = =na1+d 4、等比数列的前n项和公式是什么？ Sn = 公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法 5、数列求和有哪些方法？ 4 新 知 引 入 布 丰 等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要模型，例如，存款，贷款、分期付款购物、保险，资产折旧等问题都与其相关。 我们经常听到这样一句话：你不理财，财不理你，作为一名现代人，为了使得自己的资产保值、增值，学会理财是必不可少的一项技能。 假如你在过年的时候收到了10000元的压岁钱，你准备以银行储蓄的形式进行理财，而银行存款利息方式有两种：单利和复利，根据自己的需求，你会采用哪种方式呢？ 5 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为   利息=本金×利率×存期 以符号P代表本金,n代表存期，r 代表利率,S代表本金与利息和（以下简称本利和），则有：S=P(1+nr). 复利：复利是指一笔资金除本金产生利息外,在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是：S=P(1+r)n. 6 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、（单利即零存整取）银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和，这是整取(现在有一年、三年、五年3种，年利率分别为1.35%, 1.55%, 1.55%）.规定每次存入的钱不计复利. （1）若每月存入金额为x元,月利率r保持不变，存期为n个月，试推导出到期整取时本利和的公式； 解：根据题意，第1个月存入的金额为x元，到期利息为xrn元;第2个月存入的金额为x元，到期利息为xr(n-1)元……第n个月存入的金额为x元,到期利息为xr元. 不难看出，这是一个等差数列求和的问题.各月利息之和为：xr(1+2+……+n)=, 而本金为nx元，这样就得到本利和公式 ：y=nx+, 即 y=x[n+], n = 12 , 36 , 60 . ① 7 典 例 引 路 柯 西 例1、（单利即零存整取）银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和，这是整取(现在有一年、三年、五年3种，年利率分别为1.35%, 1.55%, 1.55%）.规定每次存入的钱不计复利. （2）若每月初存入500元，到第3年整取时的本利和是多少？(精确到0.01元） 解：根据题意知,x=500,r = ,n=36,代入①式，本利和为 y =500（36+)≈18 430.13（元）. 8 典 例 引 路 牛 顿 例1、（单利即零存整取）银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和，这是整取(现在有一年、三年、五年3种，年利率分别为1.35%, 1.55%, 1.55%）.规定每次存入的钱不计复利. （3）若每月初存入一定金额,希望到1年后整取时取得本利和2 000元，则每月初应存入的金额是多少？（精确到0.01元） 解：根据题意知,y=2 000, r = , n=12,代入①式，得 x == ≈ 165. 46(元). 所以每月初应存入165.46元. 9 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、某人从1月起，每月1日存入100元，到第2年1月1日取出全部本金和利息，已知月利率是0.165%，按单利计算，那么实际取出多少元？ 解:实际取出的钱等于本金+利息．到第2年1月1日取款时， 第1个月存款利息：100×12×0.165%， 第2个月存款利息：100×11×0.165%， … 第11个月存款利息：100×2×0.165%， 第12个月存款利息：100×1×0.165%， 所S12=100×12×0.165%+100×11×0.165%+…+100×1×0.165% =100×0.165%×(1+2+…+12)=100×0.165%×=12.87 所以实际取出100×12+12.87=1212.87(元）． 10 典 例 引 路 狄利克雷 例2、（复利即定期自动转存） 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后，如果储户不取出本利和，则银行按存款到期时的1年期定期存款利率自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业务，假定无利率变化调整因素,我们来讨论以下问题: (1)如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和.试求岀储户n年后所得本利和的公式； 解：记n年后得到的本利和为an.根据题意知： 第1年存入的本金P元,1年后到期利息为Pr元,1年后本利和为 a1= P+Pr =P(1+r)(元)； 2年后到期利息为P(1+r)r元,2年后本利和为 a2=P(l+r)+P(l+r)r = P(l+r)2(元)； 不难看出，各年的本利和是一个首项a1=P(l+r)、公比q=l+r的等比数列{an}，故n年后到期的本利和为an=a1qn-1=P(l+r)(l+r)n-1=P(l+r)n(元). 11 典 例 引 路 皮 亚 诺 解：由(1)可知,5年后本利和为 a5=10 000×(1+0.0175)5≈10 906.17（元）. 因此,5年后得本利和约为10 906.17元. 例2、（复利即定期自动转存） 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后，如果储户不取出本利和，则银行按存款到期时的1年期定期存款利率自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业务，假定无利率变化调整因素,我们来讨论以下问题: (2)如果存入1万元定期存款，存期1年，年利率为1.75%,那么5年后共得本利和多少元？(精确到0.01元) 12 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、某同学有压岁钱10000元，计划存入银行，银行最新推出两种存款理财方案. 方案一：年利率为单利，每年的存款利率为1.6%； 方案二：年利率为复利，每年的存款利率为1.5%； (1)若该同学存款x年，其所获得的利息为y元，分别写出两种方案中，y关于x的函数关系式； 解：方案一：y=10000×1.6%·x=160x； 方案二：y=10000(1+1.5%)x-10000. 13 同 步 练 习 洛必达 解： 当x=5时， 方案一：y=160×5=800； 方案二：y=10000(1+1.5%)5-10000≈773. 由800＞773，则应选择方案一. 当x=10时， 方案一：y=160×10=1600； 方案二：y=10000(1+1.5%)10-10000≈1606. 由1605＞1600，则应选择方案二. 练2、某同学有压岁钱10000元，计划存入银行，银行最新推出两种存款理财方案. (2)若该同学存款5年，应选择哪种方案？若存款10年，应选择哪种方案?请分别说明理由. 参考数据:(1+1.5%)10≈1.1605,(1+1.5%)5≈1.0773. 14 新 知 引 入 伯努利 分期付款方式通常由银行和分期付款供应商联合提供．银行为消费者提供相当于所购物品金额的个人消费贷款，消费者用贷款向供应商支付货款，同时供应商为消费者提供担保，承担不可撤销的债务连带责任．使用分期付款方式消费的年轻人通常被称为“分期族”． 15 典 例 引 路 华罗庚 例3、（分期付款）小华准备购买一台售价为5000元的电脑，釆用分期付款方式，并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买后2个月的月末第1次付款，再过2个月第2次付款……购买后第12个月末第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.6%,每月利息按复利计算.求小华每期应付的金额是多少？（精确到0. 01元） 解：假定小华每期还款x元，第k个月末还款后的本利欠款数为Ak元,则 A2 = 5000×(1+0.006)2-x； A4 = A2（l+0.006）2-x = 5000×1.0064 —1.0062x - x； A6 = A4（l+0.006）2-x = 5000×1.0066 -1.0064x—1.0062x - x； …… A12= 5000×1.00612-(1.00610+l.0068+l.0066+l.0064+l.0062+ l)x; 由题意年底还清,则A12=0. 解得 x = ≈ 868.79（元）. 因此，小华每期应付的金额为868. 79元. 16 同 步 练 习 黎 曼 练3、职工小张年初向银行贷款2万元用于购房，银行贷款的年利率为10%，按复利计算，若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元) 解：设每年还款x元，需10年还清，那么每年还款及利息情况如下： 第10年还款x元，此次欠款全部还清． 第9年还款x元，过1年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)元． 第8年还款x元，过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)2元． 第1年还款x元，过9年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)9元． 17 同 步 练 习 庞加莱 练3、职工小张年初向银行贷款2万元用于购房，银行贷款的年利率为10%，按复利计算，若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元) 根据题意可得： x＋x(1＋10%)＋x(1＋10%)2＋…＋x(1＋10%)9 ＝20000(1＋10%)10， ∴x ＝ ≈ 3255． ∴每年应还款3255元． 18 典 例 引 路 傅里叶 例4、（资产折旧）某种汽车购买时费用为 14.4 万元, 每年应交付保险费, 养路费及汽油费共 0.9 万元, 汽车的维修费为: 第一年 0.2 万元, 第二年 0.4 万元, 第三年 0.6 万元, …, 依等差数列逐年递增. (1)设使用 n 年该车的总费用为 f(n), 试写出 f(n) 的表达式; (2)求这种汽车使用多少年报废最合算(即使用多少年平均费用最少)? 解: (1)依题意得: f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+0.9n =14.4 + + 0.9n = 0.1n2+n+14.4 故 f(n) 的表达式为 0.1n2+n+14.4. (2)设该车的年平均费用为 S 万元, 则 S = f(n) = (0.1n2+n+14.4)= + +1≥2+1=3.4 当且仅当 = ，即n=12时取等号 ∴当 n=12 时 S 取最小值3.4. 故这种汽车使用12 年报废最合算. 19 同 步 练 习 莱布尼兹 练4、某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆, 预计今后每年报废上一年末汽车保有量的 6%, 并且每年新增汽车量相同, 为保护城市环境, 要求城市汽车保有量不超过 60 万 辆, 那么每年新增汽车数量不超过多少万辆? 解: 设 2001 年末汽车保有量为 b1 万辆,以后各年末汽车保有量 依次为 b2 万辆, b3 万辆, …, bn 万辆,每年新增汽车 x 万辆. 则 b1=30, b2=b10.94+x, 对于 n＞1, 有 bn+1=0.94bn+x, 故bn+1- =0.94(bn-),则bn = + (30 - )×0.94n-1. 若30 - ≥0, 即x≤1.8,则 bn+1≤bn≤…≤b2≤b1=30＜60; 若30 - ＜0，即x＞1.8,则 bn+1＞bn, {bn}为递增数列, 由=[+(30-x)×0.94n-1]= ≤60 解得: x≤3.6.故每年新增汽车不应超过 3.6 万辆. 20 典 例 引 路 贝叶斯 例5、习主席说：“绿水青山就是金山银山”．某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2021年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少 ，当地2021年度旅游业收入约为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加 。 (1)设n年内（2021年为第一年）总投入为Sn万元，旅游业总收入为Tn万元，写出Sn，Tn的表达式； 解：2021年投入为1000万元，第n年投入为1000×（1- ）n-1 万元， 所以n年内的总投入为 Sn=1000+1000×(1- )+…+1000×（1- ）n-1 = =5000×[1-()n] 2021年收入为500万元，第n年收入为500×(1+)n-1万元 所以n年内的总收入为 Tn=500+500×(1+)+…+500(1+)n-1 = =2000×[()n-1] 21 典 例 引 路 丘成桐 例5、习主席说：“绿水青山就是金山银山”．某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2021年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少 ，当地2021年度旅游业收入约为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加 。 (2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入． （参考数据：lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,lg5≈0.6990） 解：设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此Tn-Sn＞0， 即2000×[()n-1]-5000×[1-()n]＞0 化简得 5×（）n+2×()n-7＞0,解得 nlg＜lg, 即n ＞ = ≈ 4.1 所以n≥5，故至少到2025年旅游业的总收入才能超过总投入. 22 同 步 练 习 佩雷尔曼 练5、森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥着重要的作用.2020年12月12日，习近平主席在全球气候峰会上通过视频发表题为《继往开来，开启全球应对气候变化的新征程》的重要讲话，宣布“到2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加60亿立方米”.为了实现这一目标，某地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划.经统计，本地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉s万立方米(10＜s＜30)的森林.设an为自2021年开始，第n年末的森林蓄积量n∈N*. （1）请写出一个递推公式，表示an+1,an二间的关系； 解：由题意，得a1=120×(1+25%)-s=150-s， 并且an+1 = an(1+25%)-s = an-s ① 23 同 步 练 习 罗巴切夫斯基 练5、（2）将（1）中的递推公式表示成an+1-k=r(an-k)的形式，其中r，k为常数； 解：将an+1-k=r(an-k)化成an+1=ran+k-rk，② 比较①②的系数，得,解得 所以（1）中的递推公式可以化为 an+1-4s = (an-4s) 24 同 步 练 习 毕达哥拉斯 练5、（3）为了实现本地森林蓄积量到2030年底翻两番的目标，每年的砍伐量s最大为多少万立方米？（精确到1万立方米） （可能用到的数据：（）8≈5.96，（）9≈7.45，（）10≈9.31 解：因为a1-4s=150-5s，且s∈(10,30)，所以a1-4s≠0， 由（2）可知an-4s≠0，所以 = , 即数列{an-4s}是以150-5s为首项，为公比的等比数列， 其通项公式为：an-4s=(150-5s)·()n-1 ，所以an=4s+(150-5s)·()n-1 到2030年底的森林蓄积量为该数列的第10项， 即a10=4s+(150-5s)·(）9 所以a10≥4×120，即4s+(150-5s)·()9≥480 即4s+(150-5s)×7.45=4s+1117.5-37.25s≥480. 解得s≤19.17. 所以每年的砍伐量最大为19万立方米. 25 全 课 总 结 一、单利、复利的概念． 二、数列在实际生活中的应用. 26 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 27 $