专题4 大题专攻2 成对数据的统计分析 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

专题强化训练 1．(2025·如皋十四校联考)为调查某地区学生在高中学习中错题订正整理情况与考试成绩的关系．首先对该地区所有高中学生错题订正整理情况进行分值评价，给出得分；再组织考试．从这些学生中随机抽取20名学生的错题订正整理情况得分x和对应的考试成绩y作为样本，得到样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样本错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，计算得－202＝80，(yi－)2＝9 000，iyi－20＝800. (1)求样本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的样本相关系数(精确到0.01)，并推断考试成绩y和错题订正整理情况得分x的相关程度； (2)已知20个样本中有8个样本的考试成绩低于样本平均数.利用频率估计概率，从该地区所有高中学生中随机抽取4名学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，记抽到考试成绩低于的人数为X，求随机变量X的分布列． 附：样本相关系数r＝，≈1.414. 解：(1)样本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的样本相关系数r＝ ＝＝＝＝≈0.94， 因为|r|接近1，所以考试成绩y和错题订正整理情况得分x的线性相关程度很强． (2)考试成绩低于样本平均数的概率记为p， 则p＝＝，所以X～B. X的所有可能取值为0，1，2，3，4， P(X＝0)＝C×＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C××＝， P(X＝3)＝C××＝， P(X＝4)＝C×＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 2.(2025·漳州一模)甲在进行某项试验时，设计了A，B两种方案．为了判断方案的选择对试验结果是否有影响，方案A运行了60次，试验成功了40次；方案B运行了70次，试验成功了60次． (1)根据题干信息，完善如下2×2列联表，依据α＝0.05的独立性检验，能否认为方案的选择对试验结果有影响； 单位：次 方案 结果 合计 成功 未成功 A B 合计 (2)以题干样本数据中两个方案试验成功的频率为相应试验成功的概率，若甲在每次试验中，选择方案A的概率为.现已知甲在一次试验中获得了成功，请问此次试验选择方案A的概率是多少． 参考公式及数据：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.05 0.01 0.005 xα 3.841 6.635 7.879 解：(1)完善2×2列联表如下， 单位：次 方案 结果 合计 成功 未成功 A 40 20 60 B 60 10 70 合计 100 30 130 零假设为H0：方案的选择对试验结果没有影响， 根据列联表中的数据，经计算可得χ2＝≈6.603＞3.841＝x0.05， 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立， 即认为方案的选择对试验结果有影响，此推断犯错误的概率不大于0.05. (2)在一次试验中，选择方案A记为事件A，选择方案B记为事件B，试验成功记为事件C， 由题意得，A与B是对立事件，且P(A)＝，P(B)＝1－P(A)＝， P(C|A)＝＝，P(C|B)＝＝， 所以P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝， 故甲在一次试验中获得了成功， 此次试验选择方案A的概率是P(A|C)＝＝＝＝. 3．当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身心健康．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表： 关卡x 1 2 3 4 5 6 平均过关时 间y(单位：秒) 50 78 124 121 137 352 计算得到一些统计量的值为i＝28.7，iui＝106.05，其中ui＝ln yi. (1)若用模型y＝aebx拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y关于x的经验回归方程； (2)制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过可获得积分2分并进入下一关，否则获得－1分且该轮游戏结束．甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分X”的分布列和数学期望． 参考公式：对于一组数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)，其经验回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝－. 解：(1)对y＝aebx两边取自然对数可得ln y＝ln (aebx)＝ln a＋bx， 由ui＝ln yi，得u＝bx＋ln a，又＝i＝， ＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5，x＝12＋22＋32＋42＋52＋62＝91， 所以＝＝＝0.32， 又＝＋ln ，即＝0.32×3.5＋ln ， 所以ln ＝. 所以y关于x的经验回归方程为＝e0.32x＋. (2)由题知，甲获得的积分X的所有可能取值为5，7，9，12， 所以P(X＝5)＝，P(X＝7)＝×＝， P(X＝9)＝×＝，P(X＝12)＝＝， 所以X的分布列为 X 5 7 9 12 P 所以E(X)＝5×＋7×＋9×＋12×＝. 4．(2025·鹰潭一模)预防接种是预防和控制传染病最经济、最有效的手段，也是预防疾病传播和保护群众健康的重要措施．为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物(数量较大)进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据： 单位：只 疫苗 疾病 合计 患病 未患病 接种 7 18 25 没接种 19 6 25 合计 26 24 50 (1)依据α＝0.001的独立性检验，能否认为接种该疫苗与预防该疾病有关？ (2)从该地区此动物群中任取一只动物，记A表示此动物患病，表示此动物未患病，B表示此动物接种疫苗，定义事件A的优势R1＝，在事件B发生的条件下A的优势R2＝，利用抽样的样本数据，求的估计值； (3)若把表中的频率视作概率，现从该地区未患病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中接种疫苗的只数为X，求随机变量X的分布列和均值． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解：(1)零假设为H0：接种该疫苗与预防该疾病无关．根据题中列联表数据，计算可得 χ2＝≈11.538＞10.828＝x0.001， 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为接种该疫苗与预防该疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.001. (2)由题意得P(A)＝＝，P(A|B)＝，所以R1＝，R2＝，所以＝. (3)由题可知，抽取的24只未患病的动物中接种疫苗和没接种疫苗的动物分别为18只和6只，所以从未患病的动物中随机抽取1只，抽取的是接种了疫苗的动物的概率为＝， 则由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，且X～B， P(X＝0)＝C×()3＝，P(X＝1)＝C×()1×()2＝， P(X＝2)＝C×()2×()1＝，P(X＝3)＝C×()3＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以随机变量X的均值为E(X)＝3×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $