专题4 大题专攻1 概率模型及应用-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

大题专攻1　概率模型及应用 题型一 离散型随机变量的期望与方差 [例1]　(2025·唐山一模)已知某类考试中，有一种题型为多项选择题，每道题中有四个选项，其中有两个或三个选项正确．每道题所赋分值为6分，若有两个正确选项，则这两个正确选项中每个选项所赋分值为3分；若有三个正确选项，则这三个正确选项中每个选项所赋分值为2分．另外，有错误选项得0分．已知每道题有两个正确选项的概率为m(m＞0). (1)设每道题所得分数为X，写出X的所有可能取值； (2)对于一道多项选择题，已知选项A正确，考生甲选择了A，又在其余的三个选项中随机选择了一个选项．请写出考生甲此题得分Y的分布列和均值． 【解】　(1)X的所有可能取值为0，2，3，4，6. (2)甲得分Y的可能取值为0，4，6.设事件Q：Y＝0；事件F：Y＝4；事件G：Y＝6. 事件H：此题有两个正确选项，则事件：此题有三个正确选项． ①当此题有两个正确选项时，可能得0分，6分，则P(Q|H)＝，P(G|H)＝； ②当此题有三个正确选项时，可能得0分，4分，则P(Q|)＝，P(F|)＝. 综上所述，P(Y＝0)＝P(Q)＝P(H)P(Q|H)＋P()P(Q|)＝m＋(1－m)＝＋m. P(Y＝4)＝P(F)＝P()P(F|)＝(1－m)＝－m. P(Y＝6)＝P(G)＝P(H)P(G|H)＝m. 则Y的分布列为 Y 0 4 6 P ＋m －m m 均值E(Y)＝0×＋4×＋6×m＝(4－m). 解决离散型随机变量分布列问题的两个关键点 (1)正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率； (2)正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从特殊分布，则可直接使用公式求解． [对点训练]　(2025·江西一模)甲、乙、丙三人计划参加某项800米跑步比赛，规定比赛成绩不超过2′30′′为优秀．为了预测三人中比赛成绩优秀的人数，收集了这三人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 2′28′′ 2′29′′ 2′30′′ 2′30′′ 2′32′′ 2′35′′ 2′37′′ 2′40′′ 乙 2′25′′ 2′27′′ 2′30′′ 2′30′′ 2′35′′ 2′35′′ 2′42′′ 2′45′′ 丙 2′27′′ 2′30′′ 2′32′′ 2′35′′ 2′35′′ 2′40′′ 2′42′′ 2′45′′ 用频率估计概率，且甲、乙、丙三人的比赛成绩相互独立． (1)分别求甲、乙、丙三人比赛成绩优秀的概率； (2)记X为甲、乙、丙三人中比赛成绩优秀的总人数，求X的分布列和方差． 解：(1)设“甲、乙、丙比赛成绩优秀”的事件分别为A，B，C.由题意可知，甲、乙、丙三人比赛成绩优秀的概率分别为 P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝， 故甲、乙、丙三人比赛成绩优秀的概率分别为，，. (2)由题意可知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝2)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝××＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，方差为D(X)＝×＋×＋×＋×＝. 题型二 常见概率模型的应用 [例2]　(2025·安康模拟)某农场收获的苹果按A，B，C三个等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且A，B，C三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1. (1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率； (2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与均值． 【解】　(1)设事件M＝“至少选到2箱A级苹果”， 由题意知每次抽取选到A级苹果的概率为＝，选到1箱非A级苹果的概率为＝，所以P(M)＝C()2×()1＋C()3×()0＝＝，故至少选到2箱A级苹果的概率为. (2)因为用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，所以A级苹果有6箱，B，C级苹果共有4箱，则随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (1)如果随机变量X～B(n，p)，那么其概率、均值与方差可直接利用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求得． (2)超几何分布的应用条件：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数X的分布列． 提醒　在超几何分布中，研究总体N远大于样本数量n时，超几何分布可以近似看作二项分布． [对点训练]　(2025·济南一模)某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题(3个问题相互独立)，设X表示智能客服的回答被采纳的次数．求X的分布列、均值及方差． 解：(1)设事件A＝“智能客服的回答被采纳”，事件B＝“输入的问题表达不清晰”， 依题意，P(B)＝，P()＝，P(A|B)＝，P(A|)＝， 因此P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝×＋×＝，所以智能客服的回答被采纳的概率为. (2)依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，X～B， P(X＝0)＝C×()0×()3＝，P(X＝1)＝ C×()1×()2＝，P(X＝2)＝C×()2×()1＝，P(X＝3)＝C×()3×()0＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 均值E(X)＝3×＝，D(X)＝3××＝. 题型三 现实生活情境中的决策问题 [例3]　(2025·莆田一模)在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件(安静或嘈杂)的影响． (1)已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.9；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6.某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7. ①求测试结果为语音识别成功的概率； ②已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率； (2)已知当前每次测试成功的概率为0.8，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试．为降低测试成本，以测试次数的均值大小为决策依据，应选择哪种方案？ 【解】　(1)①记事件A是“安静环境”，事件是“嘈杂环境”，事件B是“语音识别成功”．所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.3×0.9＋0.7×0.6＝0.69. ②已知测试结果为语音识别成功，则当天处于安静环境的概率为 P(A|B)＝＝＝＝. (2)设方案一和方案二测试次数分别为X，Y， 方案一：测试4次，则X的均值E(X)＝4； 方案二：Y可取3，5，P(Y＝3)＝0.8×0.8×0.8＝0.512， P(Y＝5)＝1－0.8×0.8×0.8＝0.488， 则随机变量Y的分布列为 Y 3 5 P 0.512 0.488 所以E(Y)＝3×0.512＋5×0.488＝3.976. 所以E(X)＞E(Y)，即方案一测试次数的均值大于方案二测试次数的均值，所以应选择方案二． 利用均值与方差进行决策的思路方法 利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出科学的决策，其中随机变量X的均值的意义在于描述随机变量取值的平均水平，而方差则描述了随机变量取值的稳定与波动或集中与分散的状况．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关． [对点训练]　某电器厂打算处理一批台灯，这些台灯每箱10盏，以箱为单位销售．已知这批台灯中每箱出现的废品只有两种可能：1盏或者2盏，两种可能对应的概率分别为，.假设该台灯正品每盏市场价格为100元，废品不值钱，现每箱处理价格为860元，遇到废品不予更换．现以一箱产品中正品的价格均值大于处理价格作为可以购买的依据． (1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买； (2)现允许开箱，从一箱中随机任取2盏进行检验． ①若已知此箱中有2盏为废品，记抽到的废品数为X，求X的分布列和均值； ②若已发现在抽取检验的2盏台灯中，恰有1盏是废品，判断此箱是否可以购买． 解：(1)在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格均值为(10－1)××100＋(10－2)××100＝＞860， 所以不开箱检验的情况下，可以购买． (2)①由题意，X的所有可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. ②设事件A为“发现在抽取检验的2盏台灯中，其中恰有1盏是废品”，则P(A)＝×＋×＝，设事件B1为“抽取的是废品为1盏的一箱”，则P(B1|A)＝＝＝，事件B2为“抽取的是废品为2盏的一箱”，则P(B2|A)＝＝＝. 设一箱产品中正品的价格为η，则η可取800，900， 则P(η＝800)＝，P(η＝900)＝， 所以E(η)＝800×＋900×＝＜860， 所以在抽取检验的2盏台灯中，恰有1盏是废品，此箱不可以购买． 学科网（北京）股份有限公司 $