专题2 大题专攻 数列中的综合问题 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

专题强化训练 1．已知数列{an}满足：an＋1＝2an＋n，a1＝1，记Sn为{an}的前n项和． (1)是否存在常数λ，μ，使得{an＋μn＋λ}为等比数列，若存在，求出λ，μ；若不存在，说明理由； (2)求Sn. 解：(1)假设存在常数λ，μ，使得{an＋μn＋λ}为等比数列， 则an＋1＋μn＋μ＋λ＝q(an＋μn＋λ)，q为常数且q≠0， 即an＋1＝qan＋(qμ－μ)n＋(q－1)λ－μ. 又因为an＋1＝2an＋n， 可得解得 所以存在常数λ＝1，μ＝1，使得{an＋n＋1}为等比数列． (2)由(1)知{an＋n＋1}是首项为3，公比为2的等比数列， 所以an＋n＋1＝3·2n-1，故an＝3·2n-1－n－1， 所以Sn＝－＝3·2n－3－. 2．(2025·聊城模拟)已知各项均为正数的数列{an}满足a1＝a2＝1，数列{a}的前n项和为anan＋1.正项等比数列{bn}满足b1＝a3，b3＝a6. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)若cn＝，证明：c1＋c2＋c3＋…＋cn<. 解：(1)由题意可得a＝anan＋1－an－1an(n≥2)， 所以a＝an(an＋1－an－1). 因为an>0，所以an＝an＋1－an－1， 即an＋1＝an＋an－1(n≥2)，所以a3＝a1＋a2＝2＝b1， a6＝a4＋a5＝a2＋a3＋a3＋a4＝a2＋a3＋a3＋a2＋a3＝2a2＋3a3＝8＝b3， 设等比数列{bn}的公比为q(q>0)， 则q2＝＝＝4，解得q＝2，故bn＝2n. (2)证明：cn＝＝＝(－)， 所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1－＋－＋－＋…＋－) ＝[1＋(－＋)＋(－)＋(－)＋…－]<. 3．(2025·河南二模)已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且a1＝1，是1－Sn与Sn＋1的等差中项． (1)证明：数列{}是等差数列； (2)设bn＝(－1)n·(Sn＋an)，求数列{bn}的前2n项和T2n. 解：(1)证明：因为是1－Sn与Sn＋1的等差中项， 所以2＝1－Sn＋Sn＋1， 所以Sn＝1＋Sn＋1－2＝(－1)2， 因为数列{an}的各项均为正数，a1＝1，所以Sn>0，且Sn≥1， 所以＝－1，所以－＝1， 所以数列{}是公差为1，首项为＝＝1的等差数列． (2)由(1)得，＝1＋(n－1)×1＝n， 所以Sn＝n2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，当n＝1时，a1＝1也适合上式， 所以an＝2n－1，则{an}为等差数列． 因为bn＝(－1)n·(Sn＋an)， 所以T2n＝－S1－a1＋S2＋a2－S3－a3＋S4＋a4－…＋S2n＋a2n ＝(S2－S1)＋(S4－S3)＋…＋(S2n－S2n－1)－(a1－a2＋a3－a4＋…＋a2n－1－a2n) ＝a2＋a4＋…＋a2n－(a1－a2＋a3－a4＋…＋a2n－1－a2n) ＝－(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋2(a2＋a4＋…＋a2n) ＝－＋2× ＝－＋2× ＝－n(2n－1)＋n(4n＋2)＝2n2＋3n. 4．已知数列{an}是首项为1的等差数列，数列{bn}是公比不为1的等比数列，且满足a1＋a2＝b2，a2＋a3＝b3，a4＋a5＝b4. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求(－1)kakbk. 解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q(q≠1)， 则an＝1＋(n－1)d，bn＝b1qn-1. 由等比数列性质可得b＝b2b4， 又a1＋a2＝b2，a2＋a3＝b3，a4＋a5＝b4， 所以(a2＋a3)2＝(a1＋a2)(a4＋a5)， 即(2＋3d)2＝(2＋d)(2＋7d)，解得d＝2或d＝0， 当d＝0时，an＝1，则b2＝a1＋a2＝2，b3＝a2＋a3＝2， 即q＝＝1与q≠1矛盾，故舍去； 当d＝2时，an＝2n－1，则b2＝a1＋a2＝4，b3＝a2＋a3＝8， 所以q＝＝2，b1＝＝2，满足题意． 所以an＝2n－1，bn＝2n. (2)设Tn＝(－1)kakbk＝(－a1b1)＋a2b2＋(－a3b3)＋a4b4＋…＋(－a2n－1b2n－1)＋a2nb2n＝(a2b2－a1b1)＋(a4b4－a3b3)＋…＋(a2nb2n－a2n－1b2n－1)， 设tn＝a2nb2n－a2n－1b2n－1＝(4n－1)22n－(4n－3)22n-1 ＝(2n＋)4n， 则Tn＝t1＋t2＋…＋tn＝×4＋×42＋…＋(2n＋)4n， 4Tn＝×42＋×43＋…＋(2n＋)4n+1， 两式相减得3Tn＝－10－2×42－2×43－…－2×4n＋(2n＋)4n+1＝－2－2(4＋42＋43＋…＋4n)＋4n+1＝＋4n+1，所以Tn＝＋(n－)4n+1， 即(－1)kakbk＝＋(n－)4n+1. 5．(2025·天津二模)已知数列{an}为等差数列或等比数列，其前n项和为Sn，且满足a4＝8，a6＝32. (1)当数列{an}为等差数列时，求{an}的通项公式及Sn； (2)当Sn在n∈N*上单调递增时，设bn＝an，求的值； (3)当数列{an}为等比数列且为摆动数列时，设cn＝，求cn的最大值和最小值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得 所以an＝－28＋12(n－1)＝12n－40， Sn＝－28n＋×12＝6n2－34n. (2)当数列{an}为等差数列时，由(1)知Sn＝6n2－34n，显然Sn在n∈N*时不单调； 当数列{an}为等比数列时，设其公比为q，由题意得解得或 当an＝2n-1时，Sn＝＝2n－1，易知Sn在n∈N*时单调递增； 当an＝－(－2)n-1时，Sn＝＝，易知Sn在n∈N*时不单调． 所以bn＝an＝2n-1， 所以＝－， 则＝－＋－＋…＋－＝－. (3)当数列{an}为等比数列时， 由(2)知an＝2n-1或an＝－(－2)n-1， 又{an}为摆动数列，所以an＝－(－2)n-1，Sn＝， 所以cn＝. 当n为奇数时，cn＝(1＋)单调递减，且cn>恒成立， 当n＝1时取得最大值1； 当n为偶数时，cn＝(1－)单调递增，且cn<恒成立， 当n＝2时取得最小值. 所以cn的最大值为1，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $