专题4 小题考法1 计数原理与统计 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

专题强化训练 一、单项选择题 1．已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名(排名无并列)，若甲、乙、丙中的两人占据前两名，则这7名同学的名次情况共有(　　) A．480种　　　　　　B．560种 C．720种 D．840种 解析：选C.甲、乙、丙中选两人占前两名，有A种情况，其余五名可任意排列， 故所有的情况有AA＝720(种). 2．(2025·泰安一模)若(－2x)n的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为(　　) A．－240 B．－60 C．60 D．240 解析：选C.由题意2n＝64，解得n＝6. 展开式的通项为Tr＋1＝C()6-r(－2x)r ＝C(－2)r·xr-3， 由r－3＝0，解得r＝2， 所以常数项为T3＝C(－2)2·x0＝60. 3．(2025·日照二模)已知一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5恰好构成公差为5的等差数列，则这组数据的方差为(　　) A．30 B．40 C．50 D．60 解析：选C.由题设＝ ＝＝x3， 所以方差s2＝ ＝＝50. 4．某数据平台实时统计了某电影上映前十天的全国单日票房(单位：亿元)，并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间(日期)，纵轴为单日票房(亿元)，则下列说法正确的是(　　) A．前十天之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势 B．上映前十天的票房极差为4.76 C．上映前十天的票房中位数为6.34亿元 D．上映前十天的票房的第70百分位数为7.30亿元 解析：选C.对于A，根据题中折线图，无法预测前十天之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势，故A错误； 对于B，上映前十天的票房极差为8.69－4.76＝3.93，故B错误； 对于C，上映前十天的票房从小到大排列为4.76，4.87，5.44，5.88，6.15，6.53，7.30，8.13，8.44，8.69，所以上映前十天的票房中位数为＝6.34(亿元)，故C正确； 对于D，因为10×70%＝7，所以上映前十天的票房的第70百分位数为＝7.715(亿元)，故D错误． 5．(2025·青岛一模)若样本数据1，x1，x2，…，x9的平均数为1，方差为2，则数据x1，x2，…，x9相对于原数据(　　) A．平均数变小 B．平均数变大　 C．方差变小　 D．方差变大 解析：选D.设原数据的平均数为，方差为s2，变化后的数据的平均数为1，方差为s， 根据题意有 ＝(1＋x1＋x2＋…＋x9)＝1，可得x1＋x2＋…＋x9＝9，则1＝(x1＋x2＋…＋x9)＝1＝，即平均数不变； s2＝＝2， 可得(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x9－1)2＝20， 则s＝[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x9－1)2]＝， 所以＝1，s2＜s，故方差变大． 6．若(1＋2x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，则下列选项正确的是(　　) A．a0＝2 025 B．a0＋a1＋…＋a2 025＝32 025 C．a0－a1＋a2－a3＋…－a2 025＝1 D．a1－2a2＋3a3－…＋2 025a2 025＝2 025 解析：选B.对于A，令x＝0，则a0＝1，故A错误； 对于B，令x＝1，则a0＋a1＋…＋a2 025＝32 025，故B正确； 对于C，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…－a2 025＝－1，故C错误； 对于D，由(1＋2x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025， 两边同时求导得2 025×2×(1＋2x)2 024＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 025a2 025x2 024， 令x＝－1，则a1－2a2＋3a3－…＋2 025a2 025＝4 050，故D错误． 7．用1，3，5组成数字可以重复的自然数，并按照从小到大的顺序排列，依次得到1，3，5，11，13，15，31，33，35，51，53，55，…，则3 135是这组数的(　　) A．第69项 B．第72项 C．第74项 D．第75项 解析：选B.当组成的数字为一位数时，有1，3，5，共3个； 当组成的数字为两位数时，十位和个位都可以从1，3，5中任意选一个数字， 所以两位数的个数为3×3＝9； 当组成的数字为三位数时，百位、十位和个位都可以从1，3，5中任意选一个数字， 所以三位数的个数为3×3×3＝27； 当组成的数字为四位数且比3 135小时， 千位是1的四位数，百位、十位和个位都有3种选择，所以个数为3×3×3＝27， 千位是3的四位数，百位是1，十位是1，个位有3种选择， 千位是3的四位数，百位是1，十位是3，个位有2种选择，所以四位数且比3 135小的个数为27＋3＋2＝32. 因为3＋9＋27＋32＝71， 所以3 135是这组数的第72项． 8．在高三一次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为15分的解答题，6名同学的得分为xi(xi∈N，i＝1，2，3，4，5，6)，统计结果为：x1＜x2＜x3＝x4＝x5＜x6，已知这6名同学该解答题得分的第80百分位数和平均数均为12，则该解答题得分的极差为(　　) A．3 B．4　 C．5 D．6 解析：选C.因为6×80%＝4.8，所以x5＝12，又i＝12， 所以x1＋x2＋3x5＋x6＝72，即x1＋x2＋x6＝36， 因为x6＞x5＝12，所以x6的值可能是13，14，15， 当x6＝13时，x1＋x2＝23，因为x1＜x2＜12，且x1，x2为正整数，所以x1＋x2＝23不可能成立； 当x6＝14时，x1＋x2＝22，因为x1＜x2＜12，且x1，x2为正整数，所以x1＋x2＝22不可能成立； 当x6＝15时，x1＋x2＝21，因为x1＜x2＜12，且x1，x2为正整数，所以当且仅当x1＝10，x2＝11时，x1＋x2＝21，所以极差为15－10＝5. 二、多项选择题 9．某学校对高一年级学生每周在校体育锻炼时长(单位：时)进行了统计，得到如下频率分布表： 分组 [2，3) [3，4) [4，5) [5，6] 频率 0.25 0.30 0.20 0.25 则下列关于高一年级学生每周体育锻炼时长的说法正确的是(　　) A．众数约为2.5 B．中位数约为3.83 C．平均数约为3.95 D．第80百分位数约为5.2 解析：选BCD.对于A，根据题中频率分布表可得，高一年级学生每周体育锻炼时长的众数约为＝3.5，故A错误； 对于B，设高一年级学生每周体育锻炼时长的中位数为x，则0.25＋×0.30＝0.5，解得x≈3.83，故B正确；对于C，高一年级学生每周体育锻炼时长的平均数约为0.25×2.5＋0.30×3.5＋0.20×4.5＋0.25×5.5＝3.95，故C正确；对于D，因为0.25＋0.30＋0.20＋0.05＝0.80，所以高一年级学生每周体育锻炼时长的第80百分位数约为5＋×(6－5)＝5.2，故D正确． 10．(2025·广东一模)已知在(＋)n的展开式中，设前3项的系数分别为a，b，c，若a＋c＝2b，则下列结论正确的是(　　) A．n＝6 B．展开式的中间项为x C．展开式中有4项有理项 D．展开式中系数最大项为第3项和第4项 解析：选BD.因为(＋)n展开式的通项为Tr＋1＝()rCx，其中0≤r≤n且r∈N， 由于前3项的系数分别为a，b，c，且a＋c＝2b， 所以2×C＝()0C＋()2C，整理可得n2－9n＋8＝0， 解得n＝8或n＝1(舍去)，故A错误； 所以(＋)8展开式的通项为Tr＋1＝()rCx，其中0≤r≤8且r∈N， 则展开式的中间项为T5＝Cx＝x，故B正确； 令∈Z，0≤r≤8且r∈N，所以r＝0或r＝4或r＝8， 则当r＝0，4，8时，Tr＋1为有理项，共3项，故C错误； 由解得2≤r≤3， 故展开式中系数最大项为第3项和第4项，故D正确． 11．(2025·福州一模)某专家在甲、乙、丙、丁四地2024年第4季度的周快报数据中随机抽取7周数据进行分析，整理出四地这7周各周内碳排放量超过500 kg的天数的数据特征如表： 地区 甲 乙 丙 丁 数据特征 中位数 3 中位数 1 平均数 3 平均数 2 众数 2 平均数 ＜1 众数 4 方差 2 根据规定，若这7周中每周内碳排放量超过500 kg的天数都不多于5天，则可称该地区为低碳生态区．分析数据，四个地区中能判定为低碳生态区的是(　　) A．甲地　　　　　　 B．乙地 C．丙地 D．丁地 解析：选BD.将四地这7周各周内碳排放量超过500 kg的天数由小到大依次记为A，B，C，D，E，F，G，分别对应第a～g周． 对于甲地，由题可知(中位数)D＝3，则可做表： 周 第a周 第b周 第c周 第d周 第e周 第f周 第g周 天数 A B C 3 E F G 众数为2，可使A＝B＝C＝2，E＝F＝5，显然G可以是6或7， 此时第g周内碳排放量超过500 kg的天数多于5天，故无法判定甲地为低碳生态区； 对于乙地，由题可知(中位数)D＝1，则可做表： 周 第a周 第b周 第c周 第d周 第e周 第f周 第g周 天数 A B C 1 E F G 我们可以使A，B，C，E，F尽可能小， 通过判断G是否有可能大于等于6来判断乙地是否能被判定为低碳生态区． 则A＝B＝C＝0，E＝F＝1，可计算平均数＝＜1，化简得G＜4， 满足7周中每周内碳排放量超过500 kg的天数都不多于5天，因此可以判定乙地为低碳生态区； 对于丙地，根据题意，我们无法直接判断A～D对应的值， 但类似的，我们可以使A，B，C，D，E，F的和尽可能小， 通过判断G是否有可能大于等于6来判断丙地是否能被判定为低碳生态区． 则可以使A＝0，B＝1，C＝2，D＝3，E＝F＝4，可做表： 周 第a周 第b周 第c周 第d周 第e周 第f周 第g周 天数 0 1 2 3 4 4 G 平均数＝＝3，解得G＝7＞5， 即此时第g周内碳排放量超过500 kg的天数多于5天，故无法判定丙地为低碳生态区； 对于丁地，假设G＝6，则方差s2≥＝＞2，不合题意， 故G＜6，即满足7周中每周内碳排放量超过500 kg的天数都不多于5天， 因此可以判定丁地为低碳生态区． 综上所述，四地中能判定为低碳生态区的是乙地和丁地． 三、填空题 12．(2025·济南一模)将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为________．(用数字作答) 解析：第一步选2个空给两个1有C种选法，第二步从剩下的3个空中选2个空给两个3有C种选法，最后剩一个空排5即可，根据分步乘法计数原理有CC＝30种排法． 答案：30 13．若(x＋y)7的展开式中x2y5的系数为36，则a的值为________． 解析：因为(x＋y)7的展开式的通项为Tr＋1＝Cx7-ryr，r＝0，1，2，…，7， 令r＝5，可得T6＝Cx2y5＝21x2y5； 令r＝6，可得T7＝Cxy6＝7xy6， 可得a×T6－·T7＝a×21x2y5－×7xy6＝(21a－7)x2y5，所以21a－7＝36，解得a＝. 答案： 14．(2025·贵阳模拟)给定素数(约数仅有1与本身的数)p，若pm‖n(即pm|n，且pm+1n.其意为pm整除n，且pm+1不能整除n)，记为Potpn＝m，称m＝Potpn是给定素数p的一个数论函数．则Pot32 025＝________．当a，b∈A＝{s|Pot3s＝2，s＜40}，且a≠b，则形如ab所有结果形成的样本数据的80%分位数是________． 解析：因为2 025＝34×52，所以34整除2 025，且35不能整除2 025，所以Pot3 2 025＝4. 根据题意32＝9整除s，且33＝27不能整除s， 因为s＜40，所以s的可能取值为9，18，36，所以A＝{9，18，36}， 所以根据已知条件ab有918，936，189，1836，369，3618六种可能， 从小到大排序为189，369，918，3618，936，1836， 因为6×80%＝4.8，所以样本数据的80%分位数是第5个数936. 答案：4　936 学科网（北京）股份有限公司 $