专题1 小题考法2 三角函数的图象与性质-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

小题考法2　三角函数的图象与性质 命题点一 三角函数的图象 角度1　图象的识别与变换 [例1]　已知函数f(x)＝sin ＋a cos ωx(ω＞0)的最小值为－，且过点，其部分图象如图所示，将f(x)的图象向左平移个单位长度得函数g(x)的图象，则g(x)＝_____________________. 【解析】　由f(x)＝sin ＋a cos ωx＝sin ωx＋cos ωx，又函数f(x)的最小值为－，则＝，故a2＋a－2＝0，解得a＝－2或a＝1，由题图知f(0)＝＋a＜0，故a＜－，所以a＝－2. 所以f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin ， 由f＝sin ＝－，则sin ＝－，且点在递减图象上， 所以－－＝－＋2kπ，k∈Z，可得ω＝2－8k，k∈Z， 又＝＞，则ω＜4，又ω＞0，故ω＝2，所以f(x)＝sin ，则g(x)＝f＝sin 2x. 【答案】　sin 2x (1)由三角函数的图象求解析式y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)中参数的值，由图中最高点、最低点或特殊点求A，B；由函数的周期T确定ω；确定φ值时，常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． (2)三角函数图象的平移变换问题，首先要使变换前后函数的名称一样，其次左右平移变换，总是针对自变量x而言． [对点训练]　1.已知函数f(x)＝sin (4x＋φ)，先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数g(x)的图象．若函数g(x)的图象关于y轴对称，则f＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选C.由题意知，g(x)的解析式为g(x)＝sin ，因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z.又因为|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝sin ，所以f＝sin ＝. 2． 如图，A，B和C，D分别为函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜0)图象上的两个最高点、两个最低点，若四边形ABCD的面积为2π，直线AD过点，则f＝________. 解析：因为四边形ABCD的面积为2π，且AB＝T＝(T为f(x)的最小正周期)，CD＝2T＝，梯形ABCD的高为2， 所以××2＝2π，解得ω＝3，所以f(x)＝sin (3x＋φ). 又直线AD过点，由图象对称性可得f(x)的图象过点，即3×＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z). 又－π＜φ＜0，所以φ＝－，故f(x)＝sin . 故f＝sin ＝－. 答案：－ 角度2　由图象探究性质 [例2]　(2025·天津一模)设符号函数sgn (x)＝已知函数f(x)＝2sgn (cos x)cos x，则(　　) A．2π为f(x)的最小正周期 B．f(x)图象的对称轴方程为x＝kπ(k∈Z) C．f(x)在上单调递增 D．函数g(x)＝f(x)－1在[－π，π]上有4个零点 【解析】　由题意f(x)＝2sgn (cos x)cos x＝画出函数f(x)的部分图象，如图所示， 根据图象可知π为f(x)的最小正周期，故A错误； 由图象知f(x)图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)，故B错误； f(x)在上先单调递增，再单调递减，故C错误； 函数g(x)＝f(x)－1在[－π，π]上的零点个数，转化为方程f(x)＝1在[－π，π]上的解的个数， 转化为函数y＝f(x)的图象与直线y＝1在[－π，π]上的交点个数，由图知，函数y＝f(x)的图象与直线y＝1在[－π，π]上有4个交点，所以，函数g(x)＝f(x)－1在[－π，π]上有4个零点，故D正确． 【答案】　D 关于三角函数性质的三类问题 解决此类问题先由图象确定三角函数的解析式，例如y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)，然后再借助y＝A sin t的图象处理以下常见三类问题： (1)求单调区间：将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数的单调递增(减)区间，求出x的范围即为原函数的单调递增(减)区间； (2)求函数在闭区间上的最值(值域)：先根据x所在的区间求出ωx＋φ的取值范围，再结合正弦函数的图象确定函数的最值(值域)； (3)判断对称轴或对称中心：可根据对称轴经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是y＝A sin (ωx＋φ)的零点进行判断． 提醒　尽量把ω化成ω>0的形式，避免出现错误． [对点训练]　1.(2025·驻马店模拟)如图是函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，－＜φ＜)的部分图象，点A为函数图象与x轴的一个交点，点C为函数图象与y轴的交点，点B为函数图象的一个最低点，且AC⊥AB，则函数f(x)在区间上的值域为________． 解析：由题图可知，T＝－＝，所以T＝2，则ω＝＝π，又由f＝0，得π×＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝＋kπ(k∈Z)，因为－<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝A sin ，可得C，B. 又由AC⊥AB，有kACkAB＝3A×＝－1，解得A＝(负值已舍去)，所以f(x)＝sin .当－≤x≤时，－≤πx＋≤，则－≤sin ≤1，所以函数f(x)在上的值域为. 答案： 2．已知f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)，若函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 026)＝________． 解析：由题图可知A＝1，最小正周期T＝2×(5－1)＝8，由T＝得ω＝＝，此时f(x)＝sin . 又函数图象过点(3，1)，所以sin ＝1， 所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，取φ＝－，所以f(x)＝sin ，T＝8. f(1)＝sin 0＝0，f(2)＝sin ＝，f(3)＝sin ＝1，f(4)＝sin ＝，f(5)＝sin π＝0，f(6)＝sin ＝－，f(7)＝sin ＝－1，f(8)＝sin ＝－， 即f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＝0， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 026)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)]×253＋f(1)＋f(2)＝. 答案： 命题点二 三角函数性质的应用 [例3]　(1)(2025·安阳一模)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)在x∈时，f(x)＞恒成立，且在区间内，仅存在三个数x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝m，则＋x2＋＝(　　) A． B． C． D． (2)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)，其图象相邻的两条对称轴之间的距离为，且经过点，又g(x)＝f.若对于任意x1，x2∈，都有|g(x1)－g(x2)|≤m，则m的最小值为________． 【解析】　(1)当x∈时，2x＋φ∈， 令y＝sin z，则当z∈，k∈Z时，y＞， 故要想f(x)＝sin (2x＋φ)在x∈时，f(x)＞恒成立， 需满足k∈Z， 即满足φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝.由x∈，得2x＋∈， 画出y＝sin z在z∈上的图象，如图所示， 由图象可知，m∈，＝，＝， 则＝，＝， 故x1＋x2＝－＝，x2＋x3＝－＝，两式相加得x1＋2x2＋x3＝＋＝，所以＋x2＋＝. (2)因为函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)，其图象相邻的两条对称轴之间的距离为，所以函数f(x)的最小正周期为π，又ω＞0，则＝π，故ω＝2.又f(x)的图象经过点，所以2sin ＝2，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜π，故φ＝，所以f(x)＝2sin ， 所以g(x)＝f＝2sin ＝2sin . 当x∈时，≤2x＋≤，所以－≤sin ≤1，所以当x∈时，－≤g(x)≤2. 因为对于任意x1，x2∈，都有|g(x1)－g(x2)|≤m，所以m≥2＋，所以m的最小值为2＋. 【答案】　(1)C　(2)2＋ (1)求三角函数的最值(值域)时，需将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． (2)方程根的问题、函数零点问题可转化为两个函数图象的交点问题． [对点训练]　1.(2025·全国一卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan (x－)的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.正切函数y＝tan x图象的对称中心为(，0)(k∈Z).由点(a，0)(a＞0)是函数y＝2tan (x－)的图象的一个对称中心，可知a－＝(k∈Z)，即a＝＋(k∈Z).由a＞0可得，当k＝0时，a取得最小值. 2．已知函数f(x)＝sin ωx＋a cos ωx(ω＞0)的最小正周期为π，且函数f为奇函数，则当x∈[0，2π]时，函数y＝f(x)－cos x的零点个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选B.f(x)＝sin ωx＋a cos ωx＝sin (ωx＋φ)，由已知函数f(x)的最小正周期为π，则ω＝＝2，所以f(x)＝sin (2x＋φ)，其中tan φ＝a，且φ∈. 又由f为奇函数知函数f(x)图象的一个对称中心为，则有2×＋φ＝π＋kπ(k∈Z)，解得φ＝＋kπ(k∈Z)，所以φ＝， 所以a＝tan φ＝，则f(x)＝2sin . 画出f(x)＝2sin 与g(x)＝cos x在[0，2π]上的图象如图所示， 由图可知，曲线y＝f(x)与y＝g(x)的交点个数为4. 所以函数y＝f(x)－cos x的零点个数为4. [问题背景]　三角函数历来是高考的重点，也是高中数学教学的重点，它不仅体现自身和谐的关系与知识体系，更是解决几何问题的强力知识工具，其中余弦函数更具有本身的内涵与和谐之美．例如，2025年高考北京卷第15题中的结论③④就展现了余弦函数的和谐与数学之美． [真题展示]　(2025·北京卷)关于定义域为R的函数f(x)，以下说法正确的有__________________________． ①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)＋f(2x)＝－x恒成立； ②存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)＋f(2x)＝－x恒成立； ③使得f(x)＋f(－x)＝cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个； ④使得f(x)－f(－x)＝cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个． 解析：对于①，若存在在R上单调递增的函数f(x)，满足f(x)＋f(2x)＝－x， 则f(0)＋f(2×0)＝0，即f(0)＝0， 故x>0时，f(4x)>f(2x)>f(x)>0， 故f(4x)＋f(2x)>f(x)＋f(2x)， 令g(x)＝f(x)＋f(2x)＝－x， 则g(2x)>g(x)， 故－2x>－x，解得x<0，与x>0矛盾，故①错误； 对于②，取f(x)＝－x， 该函数在R上单调递减且f(x)＋f(2x)＝－x， 故该函数满足题意，故②正确； 对于③，取f(x)＝cos x＋mx，m∈R， 此时f(x)＋f(－x)＝cos x， 由m∈R，可得f(x)有无穷多个，故③正确； 对于④，若存在f(x)，使得f(x)－f(－x)＝cos x， 令x＝0，则0＝cos 0，但cos 0＝1，矛盾， 故满足f(x)－f(－x)＝cos x的函数不存在，故④错误． 答案：②③ [总结提炼]　从结论③的解答(见答案册)f(x)＝cos x＋mx，m∈R是满足f(x)＋f(－x)＝cos x的设置，可以看出当f(x)＝cos x±g(x)，且g(x)为奇函数时便满足题意，其实质就是f(x)±g(x)＝cos x的问题，作为美丽的余弦函数f(x)＝A cos x，A≠0，具有一般抽象的结构，即当x，y∈R，f(0)≠0时，f(x)＋f(y)＝2f·f或f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y).前者是教材作为例题的“和差化积”公式cos α＋cos β＝2cos cos 的抽象形式，而后者是两角和差的余弦之和cos (α＋β)＋cos (α－β)＝2cos αcos β的抽象形式，不论是哪种形式，都是美丽的余弦函数呈现的抽象表示，其具体的抽象问题可设置为： 定义域为R的函数f(x)，对于x，y∈R，均有f(x)＋f(y)＝2ff，且f(0)≠0，则有 ①f(0)＝1； ②f(x)是偶函数； ③若f(a)＝0，则f(x)是周期T＝4|a|的周期函数． 问题等价于，令＝m，＝n，则f(m＋n)＋f(m－n)＝2f(m)f(n)　(*). 当n＝0时，2f(m)＝2f(m)f(0)，则f(0)＝1. (*)式用－n替换n得，f(m－n)＋f(m＋n)＝2f(m)f(－n)，则f(m)f(n)＝f(m)f(－n)，即f(－n)＝f(n)，又定义域关于原点对称，故f(x)为偶函数． (*)式用a替换n得， f(m＋a)＋f(m－a)＝2f(m)f(a)， 又因为f(a)＝0. 即f(m＋a)＝－f(m－a). 从而f(m＋2a)＝－f(m)，f(m＋4a)＝－f(m＋2a)＝－(－f(m))＝f(m). 所以周期T＝4|a|. ①②③三个结论均展示为f(x)＝cos x的内涵特性． 余弦函数与抽象函数之间互映，是很多抽象函数问题的直接体现．还有很多类似的问题，例如： (1)f(x)的定义域为R，对于x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，模型函数为f(x)＝kx(k≠0). (2)f(x)的定义域为R，对于x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)f(y)，模型函数为f(x)＝ax(a>0，且a≠1). [美题闯关]　(多选)已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x∈R，且x≠0}，当x，y∈D时，恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，则下列结论正确的是(　　) A．f(－1)＝－1 B．f(x)是偶函数 C．f(xn)＝nf(x)(n∈N*) D．f＝f(x)－f(y) 解析：选BCD.方法一(设置函数)：由题意可令f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)，则f(－1)＝loga|－1|＝0，故A错误；f(－x)＝loga|－x|＝loga|x|＝f(x)，又因为函数f(x)的定义域关于原点对称，所以f(x)为偶函数，故B正确；f(xn)＝loga|xn|＝loga|x|n＝nloga|x|＝nf(x)(n∈N*)，故C正确；f＝loga＝loga|x|－loga|y|＝f(x)－f(y)，故D正确． 方法二(抽象推理)：对于A，由于f(xy)＝f(x)＋f(y)， 令y＝1，则f(x)＝f(x)＋f(1)，所以f(1)＝0， 令x＝y＝－1得，f((－1)·(－1))＝f(－1)＋f(－1)， 即f(1)＝2f(－1)，所以f(－1)＝0，故A错误； 对于B，令y＝－1得，f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x)＋0＝f(x)，又因为函数f(x)的定义域关于原点对称， 故f(x)为偶函数，故B正确； 对于C，令y＝x得，f(x2)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)， 再令y＝x2得，f(x3)＝f(x)＋f(x2)＝f(x)＋2f(x)＝3f(x)， 依次下去将得到f(xn)＝nf(x)，故C正确； 对于D，由f＋f(y)＝f＝f(x)得， f＝f(x)－f(y)，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $