专题1 高考提能1 三角函数中的ω与φ的求法 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

专题强化训练 一、选择题 1．(2025·济南二模)已知函数f(x)＝sin (ωx－)(0＜ω＜3)在x＝处取得最大值，则ω＝(　　) A． B．1 C． D．2 解析：选D.由题意得ω－＝＋2kπ，k∈Z，解得ω＝2＋6k，k∈Z， 又0＜ω＜3，则ω＝2. 2．(2025·九江一模)将函数f(x)＝sin (ωx＋)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则ω的值可能是(　　) A．5 B．8 C．11 D．13 解析：选D.设平移后的图象对应的函数为g(x)，依题意，得g(x)＝sin ＝sin (ωx＋＋)为偶函数， 则＋＝kπ＋，k∈Z，即ω＝6k＋1，k∈Z， 当k＝2时，ω＝13，D正确，其他选项均不正确． 3．(2025·重庆二模)若函数f(x)＝sin (ω＞0)在(0，π)上有且仅有1个零点和1个极值点，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选A.对于f(x)＝sin (ω＞0)，因为x∈(0，π)，所以t＝ωx＋∈(，ωπ＋). 作出函数y＝sin t的图象， 要使函数f(x)在(0，π)上有且仅有1个零点和1个极值点， 需使π＜ωπ＋≤，解得＜ω≤. 4．(2025·莆田一模)已知函数f(x)＝sin (ωx－)(ω＞0)，直线x＝是y＝f(x)图象的一条对称轴，且f(x)在(0，)上单调，则ω为(　　) A．2 B．5 C．8 D．11 解析：选B.当x∈时，ωx－∈(－，－)，因为函数f(x)在上单调， 所以－≤，解得0＜ω≤10. 又直线x＝为y＝f(x)图象的一条对称轴， 所以－＝＋kπ(k∈Z)， 解得ω＝5＋6k(k∈Z).又因为0<ω≤10，所以k＝0，ω＝5. 5．设函数f(x)＝2sin ωx，|f(x1)－f(x2)|＝4，|x1－x2|＝，则ω可以是(　　) A． B．1 C．2 D．3 解析：选D.因为函数f(x)＝2sin ωx的最大值为2，最小值为－2，又|f(x1)－f(x2)|＝4， 不妨设f(x1)＝2，f(x2)＝－2， 则ωx1＝＋2k1π，ωx2＝＋2k2π，k1，k2∈Z， 所以ω(x1－x2)＝－π＋2(k1－k2)π，k1，k2∈Z， 又|x1－x2|＝， 所以|ω|＝＝|－3＋6(k1－k2)|，k1，k2∈Z， 所以当k1－k2＝0时，|ω|＝3，所以ω的一个可能值为3. 6．(2025·广州一模)已知ω＞0，曲线y＝cos ωx与y＝cos (ωx－)相邻的三个交点构成一个直角三角形，则ω＝(　　) A．π B．π C．π D．π 解析：选A.设曲线y＝cos ωx与y＝cos (ωx－)相邻的三个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， cos ωx＝cos (ωx－)＝cos ωx＋sin ωx⇔sin (ωx－)＝0，所以ωx－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z. 不妨取k＝0，1，2，则x1＝，x2＝，x3＝， 所以y1＝，y2＝－，y3＝， 则AB2＝BC2＝()2＋3，AC2＝. 由题意得△ABC为直角三角形，且角B为直角， 所以AB2＋BC2＝AC2， 即2()2＋6＝，解得ω＝π. 7． (多选)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)的部分图象如图所示，下列说法正确的是(　　) A．y＝f(x)的图象可由y＝2cos 2x的图象向左平移个单位长度得到 B．y＝f(x)在(0，π)上有两个极值点 C．y＝f(x)在(－，－)上单调递增 D．关于x的方程f(x)＝sin x在[0，2π]上有4个根 解析：选BD.由图象可知，f(0)＝2cos φ＝1，则cos φ＝，且0＜φ＜，则φ＝. f()＝2cos (ω＋)＝0， 则ω＋＝＋2kπ，k∈Z， 则ω＝2＋k，k∈Z， 且＜＜，T＝，则＜ω＜，当且仅当k＝0时符合条件，所以ω＝2， 所以f(x)＝2cos (2x＋). y＝2cos 2x的图象向左平移个单位长度得到y＝2cos (2x＋)的图象，A错误；当x∈(0，π)时，2x＋∈(，)，此时，当2x＋＝π或2x＋＝2π时，函数y＝f(x)有极值，B正确；当x∈(－，－)时，2x＋∈(－，－π)，此时，函数单调递减，C错误；作出y＝f(x)与y＝sin x的图象如图所示，由图可知，f(x)＝2cos (2x＋)与y＝sin x的图象在[0，2π] 上有四个交点，所以关于x的方程f(x)＝sin x在[0，2π]上有4个根，D正确． 8．(多选)(2025·宁波模拟)已知函数f(x)＝|sin ωx|＋ωcos 2ωx，则(　　) A．对于任意的ω，f(x)均为偶函数 B．当ω＝1时，f(x)的最小正周期为π C．当ω≤1时，f(x)≥0 D．当ω＞1时，f(x)在(，)上有12个零点 解析：选ABD.对于A：f(x)的定义域为R， f(－x)＝|sin (－ωx)|＋ωcos (－2ωx)＝|sin ωx|＋ωcos 2ωx＝f(x)， 即f(x)＝f(－x)，A选项正确；对于B：f(x)＝|sin x|＋cos 2x，因为函数y＝|sin x|，y＝cos 2x的最小正周期均为π， 所以f(x)的最小正周期为π，B选项正确；对于C：取ω＜0，x＝0，f(0)＝0＋ω＝ω＜0，C选项错误；对于D：由图象的翻折变换和余弦函数的性质可知y＝|sin ωx|，y＝ωcos 2ωx的最小正周期均为，所以f(x)的最小正周期为.令f(x)＝0，得ωcos 2ωx＝－|sin ωx|，因为y＝ωcos 2ωx与y＝－|sin ωx|的图象在上有两个交点，所以f(x)在上存在2个零点， 因为区间(，)的长度为，又f()＝|sin 2π|＋ωcos 4π＝ω≠0， 所以f(x)在这6个周期内有12个零点，D选项正确． 9．(多选)已知f(x)＝2cos (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)在(，)上是单调函数，对于任意的x∈R满足f(x＋)＝－f(－x)，且f(x)≥f()，则下列说法正确的是(　　) A．φ＝ B．若函数y＝f(λx)(λ＞0)在[0，π]上单调递减，则λ∈ C．若f(x1)－f(x2)＝4，则|x1－x2|的最小值为 D．若函数f(x)在(，a)上存在两个极值点，则＜a≤ 解析：选BCD.对于A，因为f(x＋)＝－f(－x)， 所以f(x＋)＋f(－x)＝0， 可得f(x)的图象关于点(，0)对称． 又因为对任意的x∈R，都有f(x)≥f()， 所以当x＝时，f(x)取得最小值． 因为f(x)在(，)上是单调函数，所以＝－＝，解得T＝π，所以ω＝＝2. 又因为函数f(x)在x＝时取得最小值， 所以由f()＝2cos (＋φ)＝－2， 得φ＋＝π＋2kπ，k∈Z， 解得φ＝＋2kπ，k∈Z. 又－π＜φ＜π，所以φ＝，故A错误； 对于B，易知f(x)＝2cos (2x＋)， 所以y＝f(λx)＝2cos (2λx＋)， 当x∈[0，π]时，2λx＋∈，若函数y＝f(λx)(λ＞0)在[0，π]上单调递减， 则2λπ＋≤π，解得λ∈，故B正确；对于C，f(x)的最小正周期为T＝π，当f(x1)－f(x2)＝4时， f(x1)，f(x2)分别为函数f(x)的最大、最小值，所以|x1－x2|min＝，故C正确；对于D，f(x)在(，)上单调递增，在(，)上单调递减，在(，)上单调递增， 要使f(x)在(，a)上存在两个极值点，要满足＜a≤，故D正确． 二、填空题 10．若函数f(x)＝3sin (ωx＋)(0<ω<6)，对于∀x∈R，均有f(x)＝f(x＋)恒成立，则f()＝________． 解析：由题意，函数f(x)＝3sin (ωx＋)(0<ω<6)的最小正周期T＝，由题意知＝kT＝，k∈N*，所以ω＝4k，k∈N*，又因为0<ω<6，所以k＝1，ω＝4， 所以f(x)＝3sin (4x＋).则f()＝3sin (4×＋)＝3sin ＝－3sin ＝－3. 答案：－3 11．已知函数f(x)＝4cos2(ωx－)－3(ω＞0)在区间(0，)上恰有2个极大值点和1个极小值点，则ω的取值范围为________． 解析：由二倍角的余弦公式可得f(x)＝2cos(2ωx－)－1， 因为x∈(0，)，所以t＝2ωx－∈(－，ω－)， 又函数f(x)在区间(0，)上恰有2个极大值点和1个极小值点， 即函数y＝cos t在区间(－，ω－)上恰好取得2次最大值和1次最小值，所以2π＜ω－≤3π， 解得＜ω≤，所以ω的取值范围为. 答案： 12．已知函数f(x)＝sin 2x＋a cos 2x(a≠0)的图象关于直线x＝对称，若存在x1，x2，…，xn，使得|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|＝24(其中n≥2，n∈N*)，则n的最小值为________． 解析：依题意，f(x)＝sin (2x＋φ)，其中tan φ＝a， 由f(x)的图象关于直线x＝对称，得2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z， 则tan φ＝tan (＋kπ)＝，k∈Z，即a＝，f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋). 显然函数f(x)的值域为[－2，2]，因此|f(xn－1)－f(xn)|≤f(x)max－f(x)min＝4， 要使|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|＝24＝6×4成立的n最小， 当且仅当|f(x1)－f(x2)|＝|f(x2)－f(x3)|＝…＝|f(xn－1)－f(xn)|＝4， 此时n－1＝6，即n＝7，所以n的最小值为7. 答案：7 三、解答题 13．(2025·北京市一模改编)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ).点(，0)是y＝f(x)的图象的对称中心且y＝f(x)的图象可以由函数y＝sin 2x＋cos 2x的图象平移得到． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)在上的最大值和最小值． 解：(1)因为y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)， 且f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象可以由函数y＝2sin (2x＋)的图象平移得到， 所以A＝2，ω＝2. 所以f(x)＝2sin (2x＋φ)， 又点是f(x)图象的对称中心， 所以＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z， 又|φ|＜，则φ＝－，即f(x)＝2sin (2x－). (2)由x∈，得2x－∈， 则sin (2x－)∈，则2sin (2x－)∈[－1，2]， 所以函数f(x)在上的最大值为2，最小值为－1. 14．(2025·张家口二模)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|≤)，圆C：(x－)2＋y2＝. (1)若f(x)图象的两条相邻的对称轴与圆C相切，求ω，φ； (2)若φ＝，xi(i＝1，2，…)是f(x)的极值点，且点(xi，0)(i＝1，2，…)中有且仅有两个在圆C的内部，求ω的取值范围． 解：(1)由题知，f(x)图象的相邻对称轴间的距离为，又圆C的直径为3，则＝3，解得ω＝， 又圆心C(，0)，所以f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2， 所以2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝－＋kπ，k∈Z，又|φ|≤，所以φ＝－. (2)若φ＝，则f(x)的极值点满足ωx＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z. 又圆C与x轴的交点分别为(－1，0)，(2，0)， 所以原题设等价于有且仅有2个k的值满足－1＜＜2，k∈Z， 整理得－＜k＜，故k能且仅能取0，1两个值， 所以1＜≤2，解得ω∈. 学科网（北京）股份有限公司 $