专题1 高分进阶1 极化恒等式与等和线-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用word）

类型一　利用极化恒等式求向量的数量积 极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]. (1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. (2)在平行四边形PMQN中，O是对角线交点，则： ①·＝(||2－||2)(平行四边形模式)；②·＝||2－||2(三角形模式). [例1]　(1)如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝(　　) A．－　　　　　　　 B．－ C．－ D．－ (2)如图，在△ABC中，AB＝BC，B＝，AC＝4，D为AC的中点，在平面ABC中，将线段AC绕点D旋转得到线段EF.设M为线段AB上的点，则·的最小值为________． 【解析】　(1)因为＝2，圆O的半径为1，所以||＝. 方法一：·＝(＋)·(＋) ＝2＋·(＋)＋· ＝＋0－1＝－. 方法二：由向量的极化恒等式得：·＝2－2＝－1＝－. (2)连接MD，根据向量的极化恒等式，有·＝||2－|EF|2＝2－8， 由于△ABC为等腰直角三角形，M为线段AB上的点，所以BC＝AC·sin ＝4， 因此MD≥BC＝2，所以·≥4－8＝－4， 即·的最小值为－4. 【答案】　(1)B　(2)－4 对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式求解． 类型二　利用等和线求基底系数和的值 1．平面向量共线定理 已知平面内一组基向量，及任一向量，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若λ＋μ＝1，则A，B，P三点共线；反之亦然． 2． 平面向量等和线定理 平面内一个基底{，}及任一向量，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k＝＝＝，则λ＋μ＝k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线． (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O点时，k＝0. [例2]　(1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝(　　) A．1 B． C． D． (2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为_______________________________________． 【解析】　(1)方法一：因为E为线段AO的中点，所以＝(＋)＝＝＋＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，则λ＋μ＝. 方法二(等和线法)： 如图，AD是以{，}为基底，值是1的等和线，过E作AD的平行线， 设λ＋μ＝k，则k＝. 由图易知，＝，即λ＋μ＝. (2)方法一：由题意作图如图． 因为在△ABC中，＝＋＝＋＝＋(－) ＝－＋＝λ1＋λ2， 所以λ1＝－，λ2＝.故λ1＋λ2＝. 方法二(等和线法)： 如图，过点A作＝，连接DF，则DF∥BC. 设AF与BC的延长线交于点H，如图，BH是值为1的等和线，设λ1＋λ2＝k，则k＝，由图易知，＝.因此λ1＋λ2＝. 【答案】　(1)B　(2) 利用等和线求基底系数和的步骤 (1)确定值为1的等和线； (2)平移该线，作出满足条件的等和线； (3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值． 1．已知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　　) A． B．3 C．2 D．5 解析：选B.取CD的中点M，由极化恒等式可得·＝2－2＝22－×22＝3. 2．如图，边长为2的等边三角形ABC的外接圆为圆O，P为圆O上任意一点，若＝x＋y，则2x＋2y的最大值为(　　) A. B．2 C． D．1 解析：选A.作BC的平行线与圆O相切于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，因为BC∥EF，设＝＝k，则易求k∈，由等和线定理得x＋y＝k，所以2x＋2y＝2k≤. 3．如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，BC上的点，＝3，＝3.若线段EF上存在一点M，使得＝＋x(x∈R)，则x＝(　　) A. B． C． D． 解析：选A.由图可知，直线AC是以{，}为基底，值为1的等和线． 设DM与AC交于点N，＋x＝k， 又因为AC∥EF，则＝，根据等和线定理可得k＝， 所以＋x＝，解得x＝. 4． 如图，△ABC是等边三角形，边长为2，P是平面上任意一点．则·(＋)的最小值为________． 解析：在边长为2的△ABC中，取BC的中点D，连 接AD并取其中点O，连接PO，PD，则OD＝AD＝，于是·(＋)＝2·＝2(2－2)≥－2×＝－， 当且仅当点P与点O重合时取等号， 所以·(＋)的最小值为－. 答案：－ 5． 如图所示，半径为1的扇形AOB，∠AOB＝，若点C为弧AB上任意一点，且＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最大值是____________． 解析： 设x＋y＝k，则直线AB为以{，}为基底，k1＝1的等和线，如图所示， 作AB的平行线与弧AB相切于点C，此时k取得最大值，连接OC，与AB交于点E， 因为OA＝1，∠AOB＝，所以OE＝， 则k＝＝＝2，即x＋y的最大值为2. 答案：2 学科网（北京）股份有限公司 $