专题2 高考提能1 构造法求数列的通项公式-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用课件）

高考提能1　构造法求数列的通项公式 1 题型一　形如an＋1＝pan＋q(p≠1，p≠0，q≠0)型 [例1]　在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝3an－4，则数列{an}的通项公式为____________． 【解析】　方法一(待定系数法)：由an＋1＝3an－4， 设an＋1－λ＝3(an－λ)， 即an＋1＝3an－2λ，故2λ＝4，解得λ＝2，则an＋1－2＝3(an－2)， 又a1－2＝3≠0，所以{an－2}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an－2＝3n，即an＝3n＋2. an＝3n＋2 返回首页 二轮专题复习 方法二(退一作差法)：由an＋1＝3an－4，得an＝3an－1－4(n≥2)， 所以an＋1－an＝3(an－an－1)(n≥2)，又a2＝3a1－4＝11，a2－a1＝11－5＝6≠0，所以当n∈N*时，数列{an＋1－an}是以6为首项，3为公比的等比数列，所以an＋1－an＝6×3n-1，则当n≥2时an－an－1＝6×3n-2，由累加法可得an＝3n＋2. 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (2)退一作差法：由an＋1＝pan＋q及an＝pan－1＋q(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝p(an－an－1)，所以{an＋1－an}是首项为a2－a1，公比为p的等比数列，先求an＋1－an，再求an. 返回首页 二轮专题复习 2 026 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 [例2]　(1)(2025·广州模拟)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2n-1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________________． 题型二　形如an＋1＝pan＋q(n)(p≠1，p≠0，q(n)≠0)型 an＝3n－2n-1 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 方法二：由a1＝2，an＋1＝3an＋2n-1，n∈N*， 可得an＋1＋2n＝3(an＋2n-1)，又a1＋21-1＝3≠0， 所以数列{an＋2n-1}是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以an＋2n-1＝3n，则an＝3n－2n-1，n∈N*. 返回首页 二轮专题复习 (2)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an＋n－3，则其前n项和Sn＝________________________． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 [对点训练]　1.已知数列{an}满足an＋1＝4an－12n＋4，且a1＝4，若ak＝2 028，则k＝(　　) A．253 B．507 C．1 012 D．2 024 B 返回首页 二轮专题复习 解析：因为an＋1＝4an－12n＋4， 所以an＋1－4(n＋1)＝4(an－4n). 因为a1＝4，所以a1－4×1＝0， 故{an－4n}为常数列， 所以an＝4n.由ak＝4k＝2 028，解得k＝507. 返回首页 二轮专题复习 2．已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n(n∈N*)，且a1＝1，则数列{an}的通项公式为_______________． an＝n·3n-1 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 C 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 B 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 题型五　形如an＋1＝pan＋qan－1(a1＝a，a2＝b，p，q≠0，a，b不同时为0，n≥2)型 [例5]　在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，则an＝________． 2n－1 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 显然当n＝1时a1＝1满足上式，所以an＝2n－1. 当h＝1，k＝2时，可得an＋2－2an＋1＝an＋1－2an， 故{an＋1－2an}是常数列，且a2－2a1＝1，即an＋1＝2an＋1，an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＋1＝2≠0，所以{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2n，故an＝2n－1.综上，an＝2n－1. 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 题型三　形如an＋1＝pa(p>0，an>0，q≠0)型 解：对题中等式两边同时取以2为底的对数，得到log2an＋1＝log22＋2log2an，即log2an＋1＝1＋2log2an，设bn＝log2an，则有bn＋1＝1＋2bn，则bn＋1＋1＝2(bn＋1)，又b1＋1＝log2a1＋1＝1≠0，所以{bn＋1}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以bn＋1＝2n-1，所以bn＝2n-1－1， 即log2an＝2n-1－1，从而an＝22n-1－1. 题型四　形如an＋1＝(p，r，s≠0)型 $