专题3 小题考法2 球的切、接问题 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用课件）
2026-03-15
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教辅
内容正文：
专题强化训练
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C
解析：设内切球的半径为r，依题意可知圆柱的高和底面直径均为2r，
所以圆柱的体积V＝πr2×2r＝16π，
解得r＝2，
故圆柱内切球的表面积为4π×22＝16π.
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5．已知球O为正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，平面A1C1B截球O的面积为24π，则正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为( )
A．4 B．6 C．8 D．12
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6．(2025·天津一模)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为8π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为( )
A．36π B．64π C．128π D．256π
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解析：如图，设正三棱锥P-ABC的底面中心为G，连接PG，
则PG⊥平面ABC，PG⊥AC.连接BG并延长交AC于D，
则BD⊥AC，又BD∩PG＝G，BD，PG⊂平面PBG，所以AC⊥平面PBG，所以PB⊥AC，
又PB⊥CM，AC∩CM＝C，AC，CM⊂平面PAC，
所以PB⊥平面PAC，可得PA⊥PB，PC⊥PB，
由三棱锥P-ABC为正三棱锥，可得PA⊥PC，故A正确；
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三、填空题
12．已知圆柱的底面半径为2，一个截圆柱的平面与圆柱面的轴线成60°的角，从截面的上、下方各放入圆柱的内切球，并且它们都与截平面相切，则两个内切球球心间的距离为________．
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13．(2025·黑龙江一模)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有顶点均在球O的球面上，若该四棱柱的体积为1，则球O的表面积的最小值为________．
3π
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专题强化训练
V＝VO-ABC＋VO-ABD＋VO-BCD＋VO-ACD＝·Sr2＝×a2r2＝a3，
解得r2＝a，所以4πr＝4π×＝，解得a＝1，
将该正四面体放入如图所示的正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，
此时即为能装下正四面体ABCD的最小正方体，
设能装下正四面体ABCD的最小正方体的边长为b，
则2b2＝a2＝1，所以b＝，
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