专题3 提升点5 球的切、接问题-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用word）

　球的切、接问题 　　几何体与球的切、接问题，尤其是多面体与旋转体的外接球是高考命题的热点与重点，此类问题实质是计算球的半径或确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键． 类型一　空间几何体的外接球 　(1)(2025·贵阳联考)如图1，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于一点，如图2，若三棱锥A′-EFD的所有顶点均在球O的球面上，则球O的体积为(　　) A．π B．6π C．8π D．8π (2)在三棱锥P-ABC中，PA＝BC＝2，PB＝AC＝，AB＝PC＝5，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是________． 【解析】　 (1)根据题意可得球O为三棱锥A′-EFD的外接球，且A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，A′E⊥A′F，且A′E＝A′F＝1，A′D＝2，所以三棱锥A′-EFD可补成一个长方体，如图所示，则三棱锥A′-EFD的外接球即该长方体的外接球．设长方体的外接球的半径为R，可得2R＝＝，所以R＝，所以球O的体积V＝πR3＝π×()3＝π. (2)将三棱锥P-ABC放到长方体中，可得长方体的三条面对角线长分别为2，，5.设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有＝2，＝，＝5，解得a＝4，b＝2，c＝3.长方体的体对角线即为三棱锥P-ABC的外接球的直径，设外接球的半径为R，则(2R)2＝a2＋b2＋c2＝29，故S球＝4πR2＝29π. 【答案】　(1)A　(2)29π 【解题技法】　补成长方体的基本类型 (1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1； (2)若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2； (3)正四面体PABC可以补形为正方体且正方体的棱长a＝，如图3； (4)若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4. 　(1)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为等边三角形，且AB＝3，PA＝2，则该三棱锥外接球的表面积为(　　) A．8π B．16π C． D．12π (2)在四棱锥S-ABCD中，侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为2的正方形，则该四棱锥外接球的表面积为(　　) A．5π B．10π C．28π D．16π 【解析】　 (1)如图，点H为△ABC外接圆的圆心，连接AH，过点H作平面ABC的垂线，点D为PA的中点，过点D作线段PA的垂线，所作两条垂线交于点O，则点O为三棱锥P-ABC的外接球的球心，连接OA， 因为PA⊥平面ABC，且△ABC为等边三角形，PA＝2，AB＝3， 所以四边形AHOD为矩形，AH＝AB＝，OH＝PA＝1，所以OA＝＝2， 即三棱锥P-ABC外接球的半径R＝2， 则该三棱锥外接球的表面积为4πR2＝16π. (2)如图，连接AC，BD，记AC∩BD＝O1，取AD的中点E，连接O1E，SE.由题意知O1E⊥AD，SE⊥AD，O1为正方形ABCD外接圆的圆心．又因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，O1E⊂平面ABCD，所以O1E⊥平面SAD，同理SE⊥平面ABCD．设等边三角形SAD外接圆的圆心为O2，过O2作O1E的平行线，过O1作SE的平行线，两平行线交于点O，则OO1⊥平面ABCD，OO2⊥平面SAD，所以O为四棱锥S-ABCD外接球的球心，连接OS，设半径为R.由题知等边三角形SAD外接圆的半径SO2＝SE＝＝＝2(或在等边三角形SAD中，由正弦定理得＝2SO2，解得SO2＝2).又因为OO2＝AB＝，所以R＝OS＝＝＝，所以四棱锥S-ABCD外接球的表面积为4πR2＝4π×()2＝28π. 【答案】　(1)B　(2)C 【解题技法】　确定球心计算半径的方法 (1)模型一：棱面模型 确定三棱锥P-ABC外接球的球心： 如图1，①找底面ABC的外接圆的圆心O1，过圆心O1作平面ABC的垂线；②作棱PB的垂直平分面(即圆面O与棱PB垂直，且圆面O过棱PB的中点)，与上一步所作的垂线相交，交点O即为球心；③将球心O与三棱锥的任意顶点连接，如图1，连接CO，CO1，则CO为外接球的半径R，CO1为△ABC的外接圆半径r，OO1的距离为d，则有R2＝r2＋d2，进而可以求出外接球的半径． (2)模型二：二面角模型 分别过相交的两个面的外接圆的圆心作两个面的垂线，垂线的交点就是外接球的球心(如图2)，再转化为平面图形中的解三角形问题，求出球的半径． 　1.(2025·广州一模)已知球O的表面积为4π，一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为(　　) A．π B．π C．π D．3π 解析：选B．设球O的半径为R，可得4πR2＝4π，即R＝1， 因为圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线与下底面所成角为，所以圆台的下底面半径为R，圆台的母线长为R，圆台的上底面半径为，所以圆台的侧面积为S＝π(R＋)R＝π×(1＋)×1＝π. 2．已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA＝8，AC＝6，则球O的表面积为(　　) A．10π B．25π C．50π D．100π 解析：选D． 由题知球O为三棱锥P-ABC的外接球．把三棱锥P-ABC补成一个长方体如图所示，则长方体的外接球即是三棱锥P-ABC的外接球．因为PA＝8，AC＝6，可得长方体的外接球的半径R＝×＝5，所以球O的表面积S＝4π×52＝100π. 3．(2025·聊城一模)在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，E，N分别为PA，CD的中点，经过E，B，C三点的平面交PN于点F，M为AD的中点，且PM⊥平面ABCD，△MCD为等边三角形，CD＝6，∠PDM＝45°，则经过F，M，C，D四点的球的表面积为(　　) A．32π B．48π C．64π D．96π 解析：选C． 因为PM⊥平面ABCD，以点M为坐标原点，MD，MP所在直线分别为y轴、z轴，平面ABCD内过点M且垂直于AD的直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(3，3，0)，D(0，6，0)，P(0，0，6)，N(，，0)，M(0，0，0)，E(0，－3，3)，＝(－3，－6，3)， 直线BC的一个方向向量为a＝(0，1，0)， 设平面EBC的法向量为m＝(x，y，z)， 则取x＝1，可得m＝(1，0，)， 设＝λ＝λ(，，－6)＝(λ，λ，－6λ)， 所以＝＋＝(0，3，3)＋(λ，λ，－6λ)＝(λ，λ＋3，3－6λ)，因为EF⊂平面EBC， 则·m＝λ＋3－6λ＝0，解得λ＝， 所以＝＋＝(0，0，6)＋(，3，－4)＝(，3，2)，即点F(，3，2)， 设经过F，M，C，D四点的球的球心为O(x1，y1，z1)， 由 可得 解得故球O的半径为|OM|＝＝4， 因此，经过F，M，C，D四点的球的表面积为 4π·OM2＝4π×16＝64π. 类型二　空间几何体的内切球 　(1)在正四棱锥P-ABCD中，PA＝5，AB＝6，则该四棱锥的内切球的表面积是(　　) A． B． C． D． (2)(2025·全国二卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为________cm. 【解析】　 (1)如图，过点P作PO⊥平面ABCD，则O为正方形ABCD的中心，连接OA．因为AB＝6，所以OA＝3，所以OP＝＝＝，则四棱锥P-ABCD的体积V＝×62×＝12，四棱锥P-ABCD的表面积S＝6×6＋×6××4＝84.设四棱锥P-ABCD内切球的半径为r，则可得V＝Sr，即12＝×84r，解得r＝，故四棱锥P-ABCD内切球的表面积是4πr2＝. (2)设铁球的半径为R(0＜R＜4). 情形一：两个铁球的球心都在圆柱的轴上，且两球分别与圆柱的上、下底面相切，其轴截面如图1，则4R＝9，则R＝；情形二：两球均分别与圆柱的一个底面和侧面相切，其轴截面如图2， 则 解得R＝或R＝(舍去). 由于＜，故R的最大值为. 【答案】　(1)C　(2) 【解题技法】　内切球问题的处理方法 (1)等体积法：对于多面体，利用球心到各面的距离相等，结合体积公式，直接求出半径大小． (2)截面法：①画出经过球心和切点的大圆的截面图；②在截面中，找到和球半径相关的直角三角形；③利用相似、全等、勾股定理等平面几何知识求出内切球半径． 　1.已知圆锥PO的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为(　　) A．4∶1 B．3∶1 C．2∶1 D．8∶1 解析：选A． 如图，等边三角形PAB的内切圆和外接圆的半径即为圆锥PO的内切球和外接球的半径，记内切球和外接球的半径分别为r和R， 则＝sin ＝， 所以其外接球与内切球的表面积之比为4πR2∶4πr2＝4∶1. 2．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为3，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为(　　) A．12π B．27π C． D． 解析：选D． 作出如图所示正四棱台，其中OO1为正四棱台的高，EE1为其斜高， 因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8， 侧棱长为3，则B1O1＝，BO＝4，OO1＝＝3， 因为OO1＝3＞＝5，故该正四棱台内半径最大的球不与上、下底面同时相切， EE1＝＝6， 则sin ∠OEE1＝＝，又∠OEE1∈(0，)， 则∠OEE1＝， 过O，E，E1，O1作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，设满足条件的球的球心为O2，则∠O2EO＝， 则OO2＝4tan ＝＜＝， 则更确定该正四棱台内半径最大的球与正四棱台的四个侧面及下底面相切， 即该正四棱台内半径最大的球的半径r＝， 球的表面积S＝4πr2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $