第1部分 基础知识——一遍过-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用word）

知识点一 集　合 1．(2025·全国一卷)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素的个数为(　　) A．0 B．3 C．5 D．8 解析：选C．由题知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁UA＝{2，4，6，7，8}，有5个元素． 2．(2025·陕西适应性检测)已知集合A＝{(x，y)|y＝x2－2x－1}，B＝{(x，y)|y＝2x－5}，则A∩B的元素有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 解析：选B．联立解得所以A∩B＝{(2，－1)}． 3．(2025·南京六校联考)已知集合A＝{x|x＝2n＋3，n∈Z}，B＝{y|y＝4m＋1，m∈Z}，则(　　) A．A∩B＝∅ B．A∪B＝Z C．B⊆A D．A⊆B 解析：选C．对于集合A，当n＝2k，k∈Z时，x＝4k＋3，k∈Z，当n＝2k－1，k∈Z时，x＝4k＋1，k∈Z，所以A＝{x|x＝2n＋3，n∈Z}＝{x|x＝4k＋3，k∈Z}∪{x|x＝4k＋1，k∈Z}，又集合B＝{y|y＝4m＋1，m∈Z}，所以B⊆A． 4．(2025·山东一模)已知全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|1<x<5}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{x|x≤5} B．{x|0<x≤1} C．{x|x≤4} D．{x|1<x≤5} 解析：选B．由题图知阴影部分表示的集合为(∁UB)∩A，因为log2x≤2＝log24，所以A＝{x|0<x≤4}，因为B＝{x|1<x<5}，所以∁UB＝{x|x≤1或x≥5}，所以(∁UB)∩A＝{x|0<x≤1}． 5．(2025·南京、盐城二模)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|x＋a≤0}．若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(－∞，－2) D．(－∞，－2] 解析：选D．由题意知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤－a}，因为A⊆B，所以－a≥2，解得a≤－2. (1)明确集合代表元素的含义； (2)注意数形结合思想的应用：数轴、坐标系和Venn图，注意端点的取舍； (3)若A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UB⊆∁UA． 知识点二 常用逻辑用语 1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x.则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 解析：选B．对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0＜1，故p是假命题，¬p是真命题；对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题，综上，¬p和q都是真命题． 2．(2025·南京、盐城调研)设a为实数，则“a<1”是“(a－1)(a－2)>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．解一元二次不等式(a－1)(a－2)>0，得a<1或a>2，则“a<1”是“(a－1)(a－2)>0”的充分不必要条件． 3．(2025·临沂一模)已知f(x)＝tan x，若对任意实数a∈(－1，1)，b∈(－1，1)，则“a＋b>0”是“f(a)＋f(b)>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C．因为f(x)＝tan x在(－1，1)上单调递增，并且是奇函数，所以tan a＋tan b>0⇔tan a>－tan b⇔tan a>tan (－b)⇔a>－b⇔a＋b>0，所以“a＋b>0”是“f(a)＋f(b)>0”的充要条件． 4．函数f(x)＝ax2－sin x是奇函数的充要条件是实数a＝________． 解析：若f(x)为奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，所以a(－x)2－sin (－x)＋ax2－sin x＝0，即2ax2＝0，所以a＝0，若a＝0，则f(x)＝－sin x是奇函数，所以函数f(x)＝ax2－sin x是奇函数的充要条件是实数a＝0. 答案：0 　 (1)在解题中要弄清充分条件与必要条件的区别，以免出现错误； (2)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． 知识点三 不等式 1．(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(　　) A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x<1} D．{x|x>1} 解析：选C．通解：因为≥2，所以－2≥0，故有≥0，即≤0，等价于 解得－2≤x＜1，故原不等式的解集是{x|－2≤x＜1}． 快解：x－1作为分母，故x≠1，排除A．当x＝0时，左边＝4≥2成立，故x＝0是不等式的一个解，排除B，D． 2．(多选)(2025·常州二模)若<<0，则(　　) A．|a|<|b| B．ac<bc C．>0 D．0<<1 解析：选ACD．由<<0得c≠0，当c>0时，由<<0得<<0，即b<a<0，可得0<<1，当c<0时，由<<0得>>0，即0<a<b，所以0<<1，|a|<|b|，故A，D正确；由<<0得－＝<0，且a与b同号，即ab>0，所以c与b－a异号，即c与a－b同号，由ac<bc得(a－b)c<0，故B错误，C正确． 3．(多选)(2025·湖北联考)已知正实数x，y满足x＋y＝2，则＋的可能取值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：选CD．因为x＋y＝2，所以＋＝x＋＋y＋＝2＋＋.因为x>0，y>0，所以＋＝(x＋y)·(＋)＝(10＋＋)≥(10＋2)＝8，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，所以＋≥10. 4．对任意实数x，y，定义x·y＝x(1－y).已知不等式(x－a)·(x＋a)<1对任意≤x≤1都成立，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选C．由(x－a)·(x＋a)<1，得(x－a)·(1－x－a)<1，即a2－a－1<x2－x.令t＝x2－x，≤x≤1，只要a2－a－1<tmin即可．t＝x2－x＝(x－)2－，≤x≤1，所以tmin＝－，故a2－a－1<－，解得－<a<.故实数a的取值范围是(－，). 5．(2025·长春质量监测)已知正整数a，b满足3<a<b<9，则的最大值为________． 解析：因为＝＋，且a，b均为正整数，所以a，b越小，＋的值越大，又3<a<b<9.所以当a＝4，b＝5时，＋的值最大，最大值为＋＝. 答案： 6．(2025·成都诊断检测)中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为a，b，c的三角形，其面积S可由公式S＝求得，其中p＝(a＋b＋c)，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式．现有一个三角形的三边长满足a＋b＝14，c＝6，则此三角形面积的最大值为 ________． 解析：由题意，可知a＋b＝14，c＝6，则p＝＝10， 故S＝ ＝ ≤＝6， 当且仅当10－a＝10－b，a＋b＝14，即a＝b＝7时取等号． 答案：6 (1)应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件； (2)对含参的不等式，应对参数进行分类讨论； (3)利用基本不等式求解问题常见的变形技巧有拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 知识点四 复　数 1．(2025·全国二卷)已知z＝1＋i，则＝(　　) A．－i B．i C．－1 D．1 解析：选A．由z＝1＋i，得＝＝＝－i.故选A． 2．(2025·贵阳联考)已知复数z满足a＋i·z＝i－z，若复数z为纯虚数，则实数a的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选C．因为a＋i·z＝i－z，所以z＝＝.因为复数z为纯虚数，所以解得a＝1. 3．(2025·菏泽一模)在复平面内，向量对应的复数为－1＋3i，向量对应的复数为－2＋i，则向量对应的复数为(　　) A．－3－4i B．－3＋4i C．1＋2i D．－1－2i 解析：选D．因为向量对应的复数为－1＋3i，向量对应的复数为－2＋i，所以＝－＝(－2＋i)－(－1＋3i)＝－1－2i，所以向量对应的复数为－1－2i. 4．(多选)(2025·南京调研)设z1，z2为复数，则下列说法中正确的有(　　) A．|z1|＋|z2|＝|z1＋z2| B．1＋2＝ C．若|z1|＝|z2|，则z＝z D．若z<0，则z1为纯虚数 解析：选BD．对于A，举反例，取z1＝1，z2＝i，则|z1|＋|z2|>|z1＋z2|，故A错误；对于B，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则1＋2＝a－bi＋c－di＝a＋c－(b＋d)i，z1＋z2＝a＋c＋(b＋d)i，＝a＋c－(b＋d)i，所以1＋2＝，故B正确；对于C，举反例，取z1＝1，z2＝i，则z＝1，z＝－1，z≠z，故C错误；对于D，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a2－b2＋2abi，若z<0，因为虚数不可以比较大小，所以所以a＝0，即z1为纯虚数，故D正确． 5．(多选)(2025·石家庄质检)已知i为虚数单位，以下选项正确的是(　　) A．若m，n∈R，则m＋ni＝2＋i的充要条件是m＝2，n＝1 B．若复数z1，z2，z3满足z1z2＝z2z3，则z1＝z3 C．i＋i2＋i3＋…＋i2 025＝i D．若复数z满足|z|＝1，则|z－3＋4i|的最大值为6 解析：选ACD．对于A，由复数相等的充要条件可知，A正确；对于B，若z1z2＝z2z3，则当z2＝0时，z1，z3∈C都成立，故B错误；对于C，因为in＋in+1＋in+2＋in+3＝0(n∈N*)，所以i＋i2＋i3＋…＋i2 025＝i，故C正确；对于D，若复数z满足|z|＝1，则复数z对应的点Z的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，则|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|的几何意义是复数z对应的点Z到复数3－4i对应的点(3，－4)的距离，所以|z－3＋4i|的最大值即以原点为圆心，半径为1的圆上的点到点(3，－4)距离的最大值，则|z－3＋4i|max＝＋1＝6，故D正确． (1)求复数虚部时混淆虚部定义致错； (2)复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离； (3)常用结论 ①i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i，i4n＋i4n+1＋i4n+2＋i4n+3＝0(n∈N*). ②z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. 知识点五 统计图表 1．(多选)某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图(图1)和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图(图2)，则下列说法中一定正确的是(　　) A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过从事这两个行业总人数的25% C．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比超过50% D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少 解析：选BC．对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为55%×37%＝20.35%，芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的40%，但不知道从事技术岗位人数的比例，故无法确定两者人数的多少，故A错误；对于B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数占比为55%×(37%＋13%)＝27.5%，超过从事这两个行业总人数的25%，故B正确；对于C，从题中饼图可看出芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为55%，超过50%，故C正确；对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为55%×14%＝7.7%，“80前”从事这两个行业的人数占比为5%，故D错误． 2．(多选)(2025·长沙适应性考试)为了解某种新产品的加工情况，并设定工人每天加工该产品的最少数量，相关部门从工厂随机抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量．现将这些数据进行适当分组后(每组为左闭右开的区间，最后一组为闭区间)，绘制出如图所示的频率分布直方图，则(　　) A．样本数据的极差不大于50 B．样本数据落在区间[65，75)内的频率为0.025 C．样本数据的平均数大于中位数 D．若将工人每天加工产品的最少数量设为55，估计80%的工人能完成任务 解析：选ACD．对于A，由频率分布直方图可知，数据最小的组为[45，55)，数据最大的组为[85，95]，所以极差小于等于95－45＝50，故A正确；对于B，样本数据落在区间[65，75)内的频率为0.025×10＝0.25，故B错误；对于C，样本数据的平均数＝(50×0.020＋60×0.040＋70×0.025＋80×0.010＋90×0.005)×10＝64，而中位数位于区间[55，65)，设中位数为x，则(x－55)×0.040＝0.5－0.020×10，解得x＝62.5，所以平均数大于中位数，故C正确；对于D，若工人每天加工产品的最少数量为55，则工人能完成任务的频率为1－0.020×10＝0.8，故D正确． 3．(2025·山东一模)我国2022年9月—2023年9月固定资产投资(不含农户)环比增速折线图如图所示，则下列说法错误的是(　　) A．这13个月中，我国固定资产投资(不含农户)环比增速的极差为2.75% B．这13个月中，我国固定资产投资(不含农户)环比增速的平均数为正数 C．这13个月中，我国固定资产投资(不含农户)环比增速的75%分位数为0.20% D．2022年9月—12月我国固定资产投资(不含农户)环比增速的波动幅度比2023年4月—7月的波动幅度大 解析：选C．将环比增速的13个数据按百分比从小到大排列为－0.84，－0.36，－0.14，－0.05，0.06，0.10，0.11，0.15，0.20，0.29，0.35，1.18，1.91，对于A，极差为[1.91－(－0.84)]%＝2.75%，A正确；对于B，因为1.91＞0.84＋0.36＋0.14＋0.05，所以平均数为正数，B正确；对于C，13×75%＝9.75，所以75%分位数为第10个数0.29%，C错误；对于D，根据题图可知2022年9月—12月我国固定资产投资(不含农户)环比增速的波动幅度比2023年4月—7月的波动幅度大，D正确． (1)首先要准确地识图，要明确统计图表中纵轴、横轴及折线、区域等所表示的意义，尤其注意数字变化的趋势等； (2)其次要准确地用图，会根据统计图表中的数字计算样本的数字特征，会用统计图表估计总体． 知识点六 数字特征 1．(2025·宿迁二模)已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选C．设这四个不全相等的正整数为x1，x2，x3，x4，不妨设x1≤x2≤x3≤x4(等号不同时成立)，则＝2，＝2，x2＋x3＝4，所以x1＋x4＝4，由于x1，x4是正整数，所以x1＝1，x4＝3，(若x1＝x4＝2，则x2＝x3＝2，与已知4个数不全相等矛盾)所以极差为3－1＝2. 2．(2025·贵阳联考)为了了解某班学生的数学成绩(单位：分)，该班数学老师利用分层随机抽样抽取了10个人的数学成绩，统计如下： 类别 学生数 平均分 方差 男生 6 80 7 女生 4 75 2 则可估计全班学生数学成绩的平均分和方差分别为(　　) A．77.5，5 B．77.5，11 C．78，5 D．78，11 解析：选D．可估计全班学生数学成绩的平均分为80×＋75×＝78，方差为×[7＋(80－78)2]＋×[2＋(75－78)2]＝11. 3．(2025·长沙模拟)已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2，方差为，则另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数、标准差分别为(　　) A．2， B．2，1 C．4， D．4， 解析：选C．由题可知，另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数为3×2－2＝4，方差为32×＝，即平均数、标准差分别为4，. 4．(2025·重庆调研)有4位同学各掷骰子5次(骰子出现的点数可能为1，2，3，4，5，6)，分别记录自己每次出现的点数，4位同学根据统计结果，对自己的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现点数1的是(　　) A．平均数为3，中位数为4 B．中位数为3，众数为5 C．平均数为4，方差为1.2 D．中位数为4，方差为1.6 解析：选C．对于A，平均数为3，中位数为4，则这5个点数可以为1，1，4，4，5，故A不符合题意；对于B，中位数为3，众数为5，则这5个点数可以为1，2，3，5，5，故B不符合题意；对于C，若平均数为4，且出现1，则方差s2>(1－4)2＝>1.2，所以平均数为4，方差为1.2时，一定没有出现点数1，故C符合题意；对于D，1，2，4，4，4的中位数为4，平均数为＝3，方差s2＝×[(1－3)2＋(2－3)2＋(4－3)2＋(4－3)2＋(4－3)2]＝1.6，故D不符合题意． 5．(多选)(2025·临沂一模)甲、乙两个体育社团小组成员的某次跳远成绩(单位：厘米)如下： 甲组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263 乙组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252 则下列说法正确的是(　　) A．甲组数据的第60百分位数是252 B．乙组数据的中位数是246 C．从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为 D．甲组中存在这样的成员，将他调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高 解析：选BCD．对于A，因为12×60%＝7.2，所以甲组数据的第60百分位数是第8个数，即253，故A错误；对于B，乙组数据的中位数为＝246，故B正确；对于C，甲组中跳远成绩在250厘米以上的有7人，乙组中跳远成绩在250厘米以上的有2人，所以从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为×＝，故C正确；对于D，甲组的平均成绩为×(244＋245＋245＋246＋248＋251＋251＋253＋254＋255＋257＋263)＝251(厘米)，乙组的平均成绩为×(239＋241＋243＋245＋245＋247＋248＋249＋251＋252)＝246(厘米)，所以将甲组中跳远成绩为248厘米的成员调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高，故D正确． 　 进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系 (1)＝； (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比． 学科网（北京）股份有限公司 $