专题4 第3讲 随机变量的均值与方差 专题强化训练-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用课件）

专题强化训练 1 A 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 11 2 3 专题强化训练 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 11 2 3 专题强化训练 A 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 3．小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元．设小林最后获得的奖励为X元，则E(X)＝(　　) A．176 B．182 C．184 D．186 B 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 解析：依题意可得X的所有可能取值为200，180，160.P(X＝200)＝0.4，P(X＝180)＝0.3，P(X＝160)＝0.3，X的分布列如下，       则E(X)＝200×0.4＋(180＋160)×0.3＝182. X 200 180 160 P 0.4 0.3 0.3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 4．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元的价格进行处理．根据前四年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位：束)的分布列如表所示，若进这种鲜花500束，则利润的均值是(　　)     A．706元 B．690元 C．754元 D．720元 A ξ 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E(ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束).设利润为Y，则Y＝5ξ＋1.6×(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450，所以E(Y)＝3.4E(ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元). 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 5．设a＞0，若随机变量ξ的分布列如表所示，     则下列方差值中最大的是(　　) A．D(ξ) B．D(|ξ|) C．D(2ξ－1) D．D(2|ξ|＋1) C ξ －1 0 2 P a 2a 3a 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 C 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 AC 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 BCD 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 9．在某次篮球比赛中，运动员甲有两次定点投篮的机会，每次定点投篮投中得2分，投不中得0分．已知甲在第一次定点投篮中投中的概率为0.8，受心理素质的影响，若甲第一次投中，则第二次投中的概率将增加0.1；若甲第一次未投中，则第二次投中的概率将减少0.2.记这两次定点投篮中，甲的总得分为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________． 解析：由题意可知，ξ的所有可能取值为0，2，4，其中P(ξ＝0)＝(1－0.8)×(1－0.6)＝0.08，P(ξ＝2)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.6＝0.2，P(ξ＝4)＝0.8×0.9＝0.72，故E(ξ)＝0×0.08＋2×0.2＋4×0.72＝3.28. 0.2 3.28 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 11．(2025·金华十校二模)有A，B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金x元． (1)猜A，B两道谜语，求张某仅猜对其中一道的概率； 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 (2)若规定只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，求x的值，使得张某先猜谜语A和先猜谜语B所获得的奖金期望相同． 解：设张某先猜A谜语获得的奖金为ξ1元，先猜B谜语获得的奖金为ξ2元，则ξ1的可能取值为0，10，10＋x，ξ2的可能取值为0，x，10＋x， P(ξ1＝0)＝0.2，P(ξ1＝10)＝0.8×0.5＝0.4，P(ξ1＝10＋x)＝0.8×0.5＝0.4， 所以E(ξ1)＝0×0.2＋10×0.4＋(10＋x)×0.4＝0.4x＋8； P(ξ2＝0)＝0.5，P(ξ2＝x)＝0.5×0.2＝0.1，P(ξ2＝10＋x)＝0.5×0.8＝0.4， 所以E(ξ2)＝0×0.5＋0.1x＋(10＋x)×0.4＝0.5x＋4. 由E(ξ1)＝E(ξ2)得0.4x＋8＝0.5x＋4，解得x＝40. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 (1)若事件A＝“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求P(A)； 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 (2)设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量X，求X的分布列； 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 所以甲参赛队获得奖金数X的分布列如下． 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 (3)假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平．某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额． 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 [B　综合运用] 13．依据某地A河流7月份水位观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图乙所示． 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 (1)以频率作为概率，试估计A河流7月份水位的第50百分位数及7月份发生1级灾害的频率； 解：在题图甲中，6个小矩形的面积分别为0.1，0.25，0.3，0.2，0.1，0.05，设7月份水位的第50百分位数为x，则35≤x＜40. 所以0.1＋0.25＋(x－35)×0.06＝0.5，解得x＝37.5，所以估计A河流7月份水位的第50百分位数为37.5. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 设该河流在7月份水位低于40米为事件A1，水位在40～50米为事件A2，水位不低于50米为事件A3，则P(A1)＝0.1＋0.25＋0.3＝0.65，P(A2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(A3)＝0.05. 设7月份发生1级灾害为事件B，由题图乙可知，P(B|A1)＝0.1，P(B|A2)＝0.2，P(B|A3)＝0.6，所以P(A1B)＝P(A1)·P(B|A1)＝0.065，P(A2B)＝P(A2)P(B|A2)＝0.06，P(A3B)＝P(A3)P(B|A3)＝0.03， 所以P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝0.155. 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 (2)在7月份，A河流域的某企业若没受1，2级灾害影响，则利润为600万元；若受1级灾害影响，则亏损200万元；若受2级灾害影响，则亏损1 200万元．现此企业有如下三种应对方案： 方案 等级 费用(单位：万元) 方案一 无措施 0 方案二 防控1级灾害 50 方案三 防控2级灾害 200 试问，若仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？请说明理由． 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 解：由(1)及题图乙可知7月份该河流不发生灾害的概率为0.65×(1－0.1)＋0.3×(1－0.2－0.05)＋0.05×(1－0.6－0.4)＝0.81， 由(1)知发生1级灾害的概率为0.155，则发生2级灾害的概率为1－0.81－0.155＝0.035. 设第i种方案的企业利润为Xi(i＝1，2，3). ①若选择方案一，则X1的取值可能为600，－200，－1 200， P(X1＝600)＝0.81，P(X1＝－200)＝0.155， P(X1＝－1 200)＝0.035， 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 所以X1的分布列为 X1 600 －200 －1 200 P 0.81 0.155 0.035 所以E(X1)＝600×0.81－200×0.155－1 200×0.035＝413(万元). 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 ②若选择方案二，则X2的取值可能为550，－1 250，P(X2＝550)＝0.81＋0.155＝0.965，P(X2＝－1 250)＝0.035，X2的分布列为     所以E(X2)＝550×0.965－1 250×0.035＝487(万元). X2 550 －1 250 P 0.965 0.035 ③若选择方案三，无论是否有灾害该企业7月份的平均利润都为600－200＝400(万元). 因为E(X2)最大，所以仅从利润考虑，该企业应选择方案二． 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2 3 1 专题强化训练 [A　基本技能] 1．已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则a＝(　　) A．－3 B．－2 C． D．3 7．(多选)已知随机变量X，Y，且Y＝3X＋1，X的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P m n 若E(Y)＝10，则(　　) A．m＝ B．n＝ C．E(X)＝3 D．D(Y)＝ X 4 000 3 000 2 000 1 000 0 P $