2.3.1两条直线的交点坐标（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“两条直线的交点坐标”，核心内容包括通过解方程组求交点坐标、利用方程组解的个数判定直线位置关系及直线系方程。课堂导入通过前情回顾初中直线位置关系，结合思考问题衔接后续距离等内容，以学习支架形式构建知识脉络。 其亮点在于采用几何与代数结合的探究活动，如表格对比几何与代数角度、解方程组实例，培养学生数学眼光（发现数量关系）和数学思维（逻辑推理）。题型训练涵盖求交点、判断位置关系及参数问题，课堂小结系统梳理知识，帮助学生掌握数形结合，教师可高效开展教学。

第二章 直线和圆的方程 2.3.1 两条直线的交点坐标 前情回顾 直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们 可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究。 两点之间的距离 两条直线的交点 点到直线的距离 两平行直线的距离 思考：初中，我们学过几种直线的位置关系? 直线平行、相交、重合 平行 相交 重合 l2 l1 P l1 l2 思考：什么时候两条直线有交点呢?有几个交点呢？ 相交 重合 有一个交点 有无数个交点 学 习 目 标 1 2 3 理解两条直线的交点坐标的代数含义与几何含义. 会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 能利用方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 我们一起来探究“两条直线的交点坐标”吧！ 读教材 阅读课本P70-P72，5分钟后完成下列问题： 1.两条直线的交点坐标和这两个直线方程有何关系？ 2.直线的位置关系和直线方程组的解有何对应关系？ 新课引入 今天，我们一起来探讨上面的问题？ 几何角度 代数角度 ？ ？ 点 直线 点在直线上 直线1上与2的交点是 学习过程 01 03 02 目录 1 两条直线的交点坐标 2 判断两条直线的位置关系 3 题型训练 新知探究1 点在直线上 思考： 点(4,1)在直线上吗？你是怎么判断的？ 点(0,3)和点(4,1)在直线上吗？ 点的坐标满足直线方程 思考： 点(4,1)在直线上，也在直线上， 那么点(4,1)与这两条直线与何关系？画出图象并观察? 点(4,1)是直线与 直线的交点坐标。 思考：如果任给两个直线方程， 你能求出它们的交点坐标吗？怎么求？ 新知探究1 探究1 已知两条直线，：相交， 它们的交点坐标与直线，的方程有什么关系？ 分析：直线，的图象如图所示， 点既在直线上，也在直线上; 满足直线的方程－5＝0， 也满足直线的方程－3＝0. 即为方程组的解 两条直线的交点坐标 所在直线二元一次方程组的解 概念 两条直线的交点坐标 两条直线的交点坐标： 将两条直线的方程联立，得方程组：， 若方程组有唯一解 点在直线上 点的坐标满足直线方程 两条直线的交点坐标 所在直线二元一次方程组的解 练习巩固 练习1 求下列两条直线的交点坐标，并画出图形： ， 解：解方程组得 所以，与的交点是.(如图) 练习巩固 练习2 求下列两条直线的交点坐标： (1)，； (2)， 解：(1) 解方程组得所以，与的交点是； (2) 解方程组得所以，与的交点是. 练习巩固 练习3 求下列直线的交点： (1)， ； (2)， (3)，. 解：(1) 与交点坐标为 (2)与的交点是 (3)这个方程组无解，所以与无公共点，. 练习巩固 练习4 已知直线与直线交于点 . (1)求过点且平行于直线的直线 的方程； (2)求过点且垂直于直线的直线 的方程？ 解：(1)点设直线的方程为， 将点代入，解得 ，则直线的方程是 (2)设直线的方程为 ， 将点代入，解得 ，则直线的方程是 学习过程 01 03 02 目录 1 两条直线的交点坐标 2 判断两条直线的位置关系 3 题型训练 新知探究2 探究2 直线，直线 方程组一定有且只有一个解吗？什么时候无解，什么时候有多个解？ x y O 1 -2 2 -2 -1 -1 2 1 -3 4 3 5 6 3 4 l2 x y O 1 -2 2 -2 -1 -1 2 1 -3 4 3 5 6 3 4 无数组解， 且每一组解都满足方程 概念 判断两条直线的位置关系 方程组的解与直线的位置关系： 方程组的解 唯一解 无数个解 无解 直线l1和l2交点个数 1个 无数个 0个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 直线位置关系 直线斜率 解方程 直线方程系数关系或斜率关系，快速判断两条直线平行或相交（垂直） 解的个数与交点的个数的对应，判断两条 直线平行或相交；求相交直线交点坐标. 新知探究2 探究3 当λ变化时，直线方程 表示什么图形，有何特点？ 当λ=0时,方程为3x+4y-2=0 x y 当λ=1时,方程为5x+5y=0 当λ=－1时,方程为x+3y-4=0 O 该直线过定点： 注：此直线系方程少一条直线l2 几何意义: 此方程表示经过直线=0与直线=0 交点的直线束(但不包括直线=0 ). 概念 直线的交点系方程 直线的交点（定点）系方程： 经过两相交直线，的 交点的直线方程为： 注： 其中是待定系数， 当时，表示直线， 此方程无法表示直线. x y O 注：此直线系方程少一条直线 练习巩固 练习1 判断下列各对直线的位置关系.如果直线相交，求出交点的坐标： 和； 和； 和. 解：(1)解 得 直线和交点坐标为（2,－3）. (2)方程组 无解，所以直线和没有公共点，即∥. (3)：即：y＝－＋1与：y＝1－为同一个方程， 即与表示同一条直线，所以与重合. 练习巩固 练习2 判断下列各对直线的位置关系.如果直线相交，求出交点的坐标： ； ； . 解：(1) 与交点坐标为 (2)与 (3)这个方程组无解，所以与无公共点，. 练习巩固 练习3 直线经过原点, 且经过直线与直的交点， 求直线的方程？ 解：由已知可设直线方程为 因为直线经过原点，代入得 即 所以，直线方程为即 练习巩固 练习4 求斜率为－2，且过两条直线3－0和－40交点的直线方程？ 证明：由直线方程变形得 由，得∴直线过定点 练习5 求证：无论为何实数，直线过某一定点. 解：设所求直线方程为3－(－4)=0， 即(3)＋(－1)＋4－4， ∴所求直线方程为2－4＝0. 练习巩固 练习6 求过两直线和的交点且与 直线平行的直线方程？ 解：设所求直线方程为(2－3－3)＋＋2)， 即(2－32－3)(1)， 由于所求直线与直线3－1平行，所以有 得＝ ，代入(1)式得： （2× －3），即15516. 练习巩固 练习7 求过两直线和的交点且与 直线的直线方程？ 解：设所求直线方程为(2－3－3)＋＋2)， 即(2－32－3)(1)， 由于所求直线与直线3－1垂直，则3(2)(－3)×1， 得－ ，所以所求直线方程为5－15－18. 学习过程 01 03 02 目录 1 两条直线的交点坐标 2 判断两条直线的位置关系 3 题型训练 利用直线的交点求参 题型1 题型探究 例1 已知三条直线，， 相交于一点，求的值？ 解：解方程组 所以两条直线的交点坐标为. 由题意知点在直线上， 将代入，得，解得. 利用直线的交点求参 题型1 题型探究 例2 (1)直线 与直线 有且只有一个交点， 则 的取值范围是___________. 解：当两直线 <m></m> 与 <m></m> 平行时， <m></m> ， 此时两直线不重合，所以当方程组有且只有一组解时， <m></m> . <m></m> 例2 (2)直线和直线的交点在轴上， 则 的值为___________. 解：交点在 轴上，可设交点坐标为 解得 . －24 利用直线的交点求参 题型1 题型探究 例3 若关于的方程组（∈R）有无穷多组解， 则__________. 解：若方程组 有无穷多组解，即两条直线重合， 即 ＝ ＝ ，所以－2，－2，则(－2)×(－2)4. 4 直线的交点系方程 题型2 题型探究 例4 已知直线与直线相交于点 ， 求过点 且过原点的直线方程？ 解：解方程组 ，得 所以所以过点和原点的直线方程为 直线的交点系方程 题型2 题型探究 例5 已知直线恒过定点，且点在直线 ()上，求的最大值？ 解：已知直线，令 ∴直线恒过定点将点的坐标代入: ，得.又 ， ∴ （ ）2＝1（当且仅当 时，等号成立）∴ 的最大值为1. 课堂小结 两条直线的交点坐标： 将两条直线的方程联立，得方程组：， 若方程组有唯一解 点在直线上 点的坐标满足直线方程 两条直线的交点坐标 所在直线二元一次方程组的解 课堂小结 方程组的解与直线的位置关系： 方程组的解 唯一解 无数个解 无解 直线l1和l2交点个数 1个 无数个 0个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 直线的交点（定点）系方程： 经过两相交直线，的 交点的直线方程为： 注：此直线系方程少一条直线 感谢聆听! $