专题3 第3讲 空间角、距离的计算-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用课件）

第3讲　空间角、距离的计算 1 [考情分析] 以空间几何体为载体考查空间角及空间距离是高考命题的重点．空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等． 返回首页 二轮专题复习 考点一　求空间角 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 【解析】　方法一：因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD．以A为坐标原点，AP，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 【解题技法】　求解异面直线所成角的方法 (1)平移法——步骤：①平移；②认定；③计算；④取舍． (2)向量法——步骤：①建系；②求两异面直线方向向量的坐标；③求两向量夹角的余弦值；④下结论． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (1)求证：AP⊥BC； 返回首页 二轮专题复习 (2)求直线BC与平面ABP所成角的正弦值． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (1)证明：A′B∥平面CD′F； 【解】　证明：如图，过点C作CG∥EF交EB于点G，连接A′G.因为EF∥AD，AB∥CD，∠DAB＝90°，所以四边形ADFE为矩形，四边形EFCG为矩形，所以EF綉AD，EF綉CG，所以CG綉AD，所以CG綉A′D′，所以四边形A′D′CG为平行四边形，所以CD′∥A′G.又A′G⊂平面A′BE，CD′⊄平面A′BE，所以CD′∥平面A′BE.因为CF∥EB，EB⊂平面A′BE，CF⊄平面A′BE，所以CF∥平面A′BE.又CD′，CF⊂平面CD′F，CD′∩CF＝C，所以平面CD′F∥平面A′BE. 因为A′B⊂平面A′BE，所以A′B∥平面CD′F. 返回首页 二轮专题复习 (2)求面BCD′与面EFD′A′所成的二面角的正弦值． 【解】　由(1)知A′E⊥EF，EB⊥EF，所以由二面角的定义可知，∠A′EB即为平面EFD′A′与平面EFCB所成的二面角，所以∠A′EB＝60°，同理∠D′FC＝60°.又D′F＝DF＝FC，所以△D′FC为等边三角形．过点A′作A′H⊥EB交EB于点H.因为EF⊥EB，EF⊥A′E，A′E∩EB＝E，A′E，EB⊂平面A′EB，所以EF⊥平面A′EB，又A′H⊂平面A′EB，所以EF⊥A′H.又A′H⊥EB，EB∩EF＝E，EB，EF⊂平面EFCB，所以A′H⊥平面EFCB．因此以F为坐标原点，直线FE、直线FC、过点F且平行于A′H的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 【解题技法】　利用向量法求二面角的方法步骤 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (2)若PA⊥平面ABCD，PA＝AC，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (1)求证：AC⊥BD； 解：证明：由BP⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，得BP⊥AC， 由点C在以AB为直径的半圆的圆周上，得BC⊥AC，因为BP∩BC＝B，且BP，BC⊂平面PBC，所以AC⊥平面PBC， 因为BD⊂平面PBC，所以AC⊥BD． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 考点二　求空间距离 返回首页 二轮专题复习 　(2025·肇庆二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面PCD． 返回首页 二轮专题复习 (1)证明：CD⊥平面PAC； 【解】证明：如图，在平面PAC内作AH⊥PC，交PC于点H. 因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，AH⊂平面PAC，AH⊥PC，所以AH⊥平面PCD，则AH⊥CD． 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD， 因为PA∩AH＝A，PA，AH⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 【解题技法】　(1)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积法． (2)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行．求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距离． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (2)当MN的长最小时，求点M到直线CD的距离． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 $