1.3.2 等比数列的前n项和 一课一练-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

2025-2026学年北师大版数学选择性必修第二册 第一章 数列 §3 等比数列 3.2 等比数列的前n项和 A 基础练丨知识测评 1.已知公比不为1的等比数列，其前项和为，，则 ( ) A.2 B.4 C.5 D.25 2.已知等比数列的前项和为，且，则的公比 为( ) A.2 B. C.2或 D.1或 3.（2025·浙江省杭州第四中学期末）设等比数列的前项和为，若 ，且，，成等差数列，则 ( ) A.63 B.31 C. D. 4.设等比数列的前项和为，已知，，则 ( ) A. B. C. D. 5.［多选题］在公比为整数的等比数列中，是数列的前 项和，若， ，则下列说法正确的是( ) A. B.数列 是等比数列 C. D.数列{ 是公差为2的等差数列 6.已知是等比数列的前项和，若存在，满足， ，则数列 的公比为___. 7.设数列的前项和满足，且，， 成等差数列. （1）求数列 的通项公式； （2）设数列{}的前项和为，求 . 8.设是等比数列，其前项和为，且， . （1）求数列 的通项公式； （2）若，求 的最小值. B 综合练丨高考模拟 9.（2025·浙江省杭州第四中学期末）数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了 是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出 ，不是质数．现设，表示数列的前项和．若 ，则 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 10.设为数列的前项和，，且.记 为数列{}的前项和，若对任意的，，则 的最小值为( ) A. B. C. D.1 11.［多选题］（2025·河南省南阳一中期中）设数列的前项和为 ，关于数列 ，下列命题正确的是( ) A.若，则 既是等差数列又是等比数列 B.若（，，为常数），则 是等差数列 C.若，则 是等比数列 D.若是等比数列，则,, 也成等比数列 12.（2024·湖北省武汉市华中师大一附中检测）把一个边长为1的正方形分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉（如图1-3.2-1（1））；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉（如图1-3.2-1（2））；如此继续下去，则 （1）图1-3.2-1（3）中共挖掉了____________________个正方形； （2）第 个图形挖掉正方形的面积和是 __________ 13.新考法 结构不良在且,,， 且 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答所给问题．已知等比数列的前项和为，且____，则是否存在正整数 ，使成立？若存在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由． 14.（2025·山东省淄博第七中学月考）设是首项为1的等比数列，数列 满足.已知，， 成等差数列. （1）求和 的通项公式； （2）记和分别为和的前 项和. 证明： . C 培优练丨能力提升 15.（2025·湖南省长沙市月考）设是等差数列， 是等比数列，公比大于0.已知，， . （1）求和 的通项公式； （2）设数列满足求 . 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数列 §3 等比数列 3.2 等比数列的前n项和 A 基础练丨知识测评 1.已知公比不为1的等比数列，其前项和为，，则 ( ) A.2 B.4 C.5 D.25 【答案】B【解析】设等比数列的公比为，则 ， 即，故，故 . 2.已知等比数列的前项和为，且，则的公比 为( ) A.2 B. C.2或 D.1或 【答案】C【解析】设等比数列的公比为 , 若（分情况讨论），则 ，不符合题意，故 . 当时，由，可得 ， 因为，所以，则或 ． 3.（2025·浙江省杭州第四中学期末）设等比数列的前项和为，若 ，且，，成等差数列，则 ( ) A.63 B.31 C. D. 【答案】A【解析】设公比为 ， 因为，，成等差数列，所以 ， 则，解得或 （舍去）. 因为，所以，故 ． 4.设等比数列的前项和为，已知，，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为,所以 , 所以 . 5.［多选题］在公比为整数的等比数列中，是数列的前 项和，若， ，则下列说法正确的是( ) A. B.数列 是等比数列 C. D.数列{ 是公差为2的等差数列 【答案】ABC【解析】，，， ，又公比为整数，故 ，故A正确． 易得，， 数列 是首项为4，公比为2的等比数列，故B正确． ，故C正确． ，数列（可由等比数列性质（6）直接判断 为等差数列）是公差为 的等差数列,故D错误． 6.已知是等比数列的前项和，若存在，满足， ，则数列 的公比为___. 【答案】2 【解析】设数列的公比为,当时，，与题中条件矛盾，故 . 则,即 . 由,得,即,所以 . 7.设数列的前项和满足，且，， 成等差数列. （1）求数列 的通项公式； 【答案】由已知，有 ， 即 . 从而， . 因为，，成等差数列，即 , 所以，解得 . 所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列. 故 . （2）设数列{}的前项和为，求 . 【答案】由（1）得 , 所以 . 8.设是等比数列，其前项和为，且， . （1）求数列 的通项公式； 【答案】设等比数列的公比为,, , ,, . （2）若，求 的最小值. 【答案】, , 即,,又,，即 的最小值为6. B 综合练丨高考模拟 9.（2025·浙江省杭州第四中学期末）数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了 是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出 ，不是质数．现设，表示数列的前项和．若 ，则 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B【解析】因为 ，所以，所以 是首项为1，公比为2的等比数列，所以．所以 ，解得 . 10.设为数列的前项和，，且.记 为数列{}的前项和，若对任意的，，则 的最小值为( ) A. B. C. D.1 【答案】A 【解析】由,得 , 所以 . 令,可得 , 又,所以, ． 所以数列{是以为首项, 为公比的等比数列, 则,所以 , 所以 , 所以 , 故 . 因为对任意的,,所以的最小值为 ． 11.［多选题］（2025·河南省南阳一中期中）设数列的前项和为 ，关于数列 ，下列命题正确的是( ) A.若，则 既是等差数列又是等比数列 B.若（，，为常数），则 是等差数列 C.若，则 是等比数列 D.若是等比数列，则,, 也成等比数列 【答案】BC 【解析】对于选项A，因为，即，可知数列 是等差数列，当时，数列 不是等比数列，故A错误. 对于选项B，因为 ， 当时， ； 当时， . 可知时，符合上式，综上所述， ， 可得，所以数列 是等差数列，故B正确. 对于选项C，因为 ， 当时， ； 当时， . 可知 时，符合上式， 综上所述，，可得，所以数列 是等比数列，故C正确. 对于选项D，当数列是等比数列时，取，则 ，此时 显然，，不是等比数列，故D错误.（【易错点】等比数列连续 项 和的片段和性质使用前提是,为奇数，或 ）故选 . 12.（2024·湖北省武汉市华中师大一附中检测）把一个边长为1的正方形分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉（如图1-3.2-1（1））；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉（如图1-3.2-1（2））；如此继续下去，则 （1）图1-3.2-1（3）中共挖掉了____________________个正方形； （2）第 个图形挖掉正方形的面积和是 __________ 【答案】 (1). (2) 【解析】 设第个图形共挖掉 个正方形，则，,, , ,原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为 . 13.新考法 结构不良在且,,， 且 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答所给问题．已知等比数列的前项和为，且____，则是否存在正整数 ，使成立？若存在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】选条件且 . 设等比数列的公比为 ， 则，解得 ， 所以， ， 则，解得 ， 所以存在正整数，使成立， 的最小值为7． 选条件 . 则 ， 因为是等比数列，所以，所以 ， 解得，所以 ， 则 ， 故不存在正整数，使 成立． 选条件，且 . 则，解得 ， 设等比数列的公比为 ， 则，解得或 （舍）， 所以， ， ，解得 ， 所以存在正整数，使成立， 的最小值为7． 14.（2025·山东省淄博第七中学月考）设是首项为1的等比数列，数列 满足.已知，， 成等差数列. （1）求和 的通项公式； 【答案】设的公比为，则 . 因为，，成等差数列，所以，解得 ， 故， . （2）记和分别为和的前 项和. 证明： . 【答案】由（1）知， ， ②， 得 ， 即 ， 整理得 ， 则，故 . C 培优练丨能力提升 15.（2025·湖南省长沙市月考）设是等差数列， 是等比数列，公比大于0.已知，， . （1）求和 的通项公式； 【答案】设等差数列的公差为,等比数列的公比为 .依题意,得 解得故, . 所以的通项公式为,的通项公式为 . （2）设数列满足求 . 【答案】 . 记 ①, 则 ②, 得, . 所以 . 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $