1.1 数列的概念及其函数特性 一课一练-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

第一章 数列 §1 数列的概念及其函数特性 A 基础练丨知识测评 1.（2025·安徽省蚌埠市期中）已知数列的首项，且 ，则这个数列的第4项是( ) A. B. C. D.6 1.B【解析】由和递推公式可得,, . 2.（2025·湖北省武汉市期中）已知数列满足 且数列是递增数列，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.A【解析】 数列满足且数列 是递增数列， 解得 .故选A． 3.数学文化 形数（2025·甘肃省兰州第一中学开学）毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究．他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数．形数是联系算术和几何的纽带．如图1-1-1，数列1，6，15，28， ，从第2项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第8项对应的六边形数为( ) A.91 B.120 C.153 D.190 3.B【解析】从第二个图形开始，把最外面六边形右侧两条边延长构成一个新的六边形，新六边形每条边上的点数比原来多一个， 因此，， ， , , ， ， ． 4.已知数列的前项和为，且，，，则 的通项公式 ( ) A. B. C. D. 4.C【解析】由，得 , 可得 ， 两式相减得，则 , 由连乘法可得, . 又由,,得，且,均满足上式，故 . 5.［多选题］（2025·河北省曲阳一中月考）下列有关数列的说法正确的是( ) A.数列，0，4与数列4，0， 是同一个数列 B.数列的通项公式为 ，则110是该数列的第10项 C.在数列，，， 中，第8项是 D.数列3，5，9，17，33， 的通项公式为 5.BCD【解析】对于选项A，数列，0，4与4，0， 中数字的排列顺序不同， 不是同一个数列，所以选项A不正确； 对于选项B，令，解得或 （舍去），所以选项B正确； 对于选项C，数列各项的绝对值为2,,, ，可改写为，，， ，且原数列 的奇数项为负，偶数项为正，所以原数列的一个通项公式为 ，所以 它的第8项为 ，所以C选项正确； 对于选项D，由数列3，5，9，17，33， 可改写为,,, , , ,可知数列的一个通项公式为，所以选项D正确．故选 ． 6.（2025·江西省丰城市第九中学段考）已知数列中，， ，则__； _______. 6. 【解析】 数列中，，， ， ， ， ， ， 数列 是以4为周期的周期数列. ， （【易错点】此处切勿写成 ）. , . 7.（2025·浙江省杭州市期中）已知数列的前项和为 ，且满足，则数列 的通项公式为_ ______________________. 7. 【解析】因为，所以，即 ． 当时， ， 当时， ，显然 不满足上式． 所以 8.已知数列的通项公式为 ． （1）30是不是数列 中的项？70呢？ 8.(1)【答案】根据题意， ， 若，即 ，无正整数解，则30不是数列的项， 若，即，解可得或 （舍），则70 是数列的第11项， （2）数列中有多少项是负数？ (2)【答案】根据题意，，若 ，解可得 ， 又，则 或3，则数列中有2项是负数. （3）当为何值时 有最小值？并求出这个最小值． 【答案】根据题意， ， 故当或时，有最小值，其最小值为 ． B 综合练丨高考模拟 9.数学文化 中国剩余定理（2025·江西省丰城市第九中学开学）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”），后来我国南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为( ) A.116 B.131 C.146 D.161 9.C【解析】在正整数中，被3除余2的数依次为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29， 32,35,38,41， ，， ,被5除余1的数依次为1，6，11，16，21，26，31， 36,41, ，， ,被3除余2且被5除余1的数为11，26，41， ，, . 故第10项为 . 10.数列的通项，则数列 中的最大项的值为( ) A. B. C. D. 10.B【解析】因为，则 ， 则 ， 令，即 ， 由，解得，所以 ， 令，解得, . 所以 ， 故数列中的最大项为，其值为 . 11.如图1-1-2，一系列椭圆 ，射线与椭圆交于点，设，则数列 的增减性为( ) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.既不是递增的，也不是递减的 11.B【解析】把代入，可得的横坐标 ，故 .易知要判断随着 的增大 的值是增大还是减小，只需研究 的值是增大还是减小即 可．将上式通分得 ，显然，随 着的增大的值逐渐减小，故数列 是递减数列． 12.新定义 等积数列 [多选题]（2025·江苏省盐城市期中）为提高学生学习数学的热情，某校积极筹建数学兴趣小组，小组成员积极创新试题，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项之积为同一个常数（不为0）.已知数列 是一个“等积数列”，,，其前项和为 ，则下列说法正确的是( ) A. B. C.的一个通项公式为 D. 12.ACD【解析】由“等积数列”定义得：，而，则 ，因此数列 奇数项相同，偶数项相同， 又，则当为奇数时， ， 由，得，则当为偶数时， . 对于A， ，A正确； 对于B， ，B错误； 对于C，若，则当为奇数时，，当为偶数时， ，符合题意，C正确； 对于D，当 为奇数时， ，满足 ， 当为偶数时， ，满足 ，D正确.故选 . 13.已知数列满足:设的前项和为 ，则当时，数列的通项公式为_ ______;当时， ___. 13. 【解析】当时，由 得 ,所以，则 . 当时，即,当时， , 所以 . 14.（2025·陕西省咸阳市期中）正项数列的前项和 满足： ． （1）求数列的通项公式 . 14.(1)【答案】由条件得 . 由题意知，则，所以 . 于是 ， 当时， ， 且满足上式.故 ． （2）令，数列的前项和为 ． 证明：对于任意的，都有 ． (2)【答案】 ， 则 ，故得证． C 培优练丨能力提升 15.已知数列满足， ,则( ) A. B. C. D. 15.B【解析】因为,,所以 ， 易知，所以有，所以可得 . 由，可得 ,即 . 一方面，由，累加可得 ， 所以，从而 . 另一方面，由（*）式可得,所以，又 ,所以 ,由 ，累加可得 ，所以 ，所以 .综上可知， .故选B. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数列 §1 数列的概念及其函数特性 A 基础练丨知识测评 1.（2025·安徽省蚌埠市期中）已知数列的首项，且 ，则这个数列的第4项是( ) A. B. C. D.6 2.（2025·湖北省武汉市期中）已知数列满足 且数列是递增数列，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.数学文化 形数（2025·甘肃省兰州第一中学开学）毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究．他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数．形数是联系算术和几何的纽带．如图1-1-1，数列1，6，15，28， ，从第2项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第8项对应的六边形数为( ) A.91 B.120 C.153 D.190 4.已知数列的前项和为，且，，，则 的通项公式 ( ) A. B. C. D. 5.［多选题］（2025·河北省曲阳一中月考）下列有关数列的说法正确的是( ) A.数列，0，4与数列4，0， 是同一个数列 B.数列的通项公式为 ，则110是该数列的第10项 C.在数列，，， 中，第8项是 D.数列3，5，9，17，33， 的通项公式为 6.（2025·江西省丰城市第九中学段考）已知数列中，， ，则__； _______. 7.（2025·浙江省杭州市期中）已知数列的前项和为 ，且满足，则数列 的通项公式为_ ______________________. 8.已知数列的通项公式为 ． （1）30是不是数列 中的项？70呢？ （2）数列中有多少项是负数？ （3）当为何值时 有最小值？并求出这个最小值． B 综合练丨高考模拟 9.数学文化 中国剩余定理（2025·江西省丰城市第九中学开学）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”），后来我国南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为( ) A.116 B.131 C.146 D.161 10.数列的通项，则数列 中的最大项的值为( ) A. B. C. D. 11.如图1-1-2，一系列椭圆 ，射线与椭圆交于点，设，则数列 的增减性为( ) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.既不是递增的，也不是递减的 12.新定义 等积数列 [多选题]（2025·江苏省盐城市期中）为提高学生学习数学的热情，某校积极筹建数学兴趣小组，小组成员积极创新试题，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项之积为同一个常数（不为0）.已知数列 是一个“等积数列”，,，其前项和为 ，则下列说法正确的是( ) A. B. C.的一个通项公式为 D. 13.已知数列满足:设的前项和为 ，则当时，数列的通项公式为_ ______;当时， ___. 14.（2025·陕西省咸阳市期中）正项数列的前项和 满足： ． （1）求数列的通项公式 . （2）令，数列的前项和为 ． 证明：对于任意的，都有 ． C 培优练丨能力提升 15.已知数列满足， ,则( ) A. B. C. D. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $