20.1 勾股定理及其应用 课后巩固练习2025-2026学年人教版八年级数学下册

2026 年春季人教版八年级(下) 第二十章 勾股定理 20.1 勾股定理及其应用 一、选择题 1.（25-26·江苏月考）已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，则斜边的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理即可求解． 【解答】解：根据勾股定理得： 斜边长为． 故选：  2.（25-26·江西期中）已知，的两条边的长分别为2、3，则边的长为（     ） A.1 B. C. D.或 【答案】D 【解析】本题主要考查勾股定理,分类讨论是解题的关键. 分两种情况讨论,然后运用勾股定理即可求出边 的长. 【解答】解：Rt 的两条边 ， 的长分别为2、3， 当边 , 为直角边时,则 ； 当边 为斜边时,则 ; 故选：D. 3.（25-26·江苏期中）如图，点在数轴上表示的数是（       ）         A. B. C. D. 【答案】A 【解析】先根据勾股定理求出 的长，即可求出点A所表示的数. 【解答】解：如图所示， 由图可知 所以点A到原点的距离为 故点A所表示的数是 故选：A 4.（25-26·全国期中）如图，正方形面积，，则正方形的边长为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的面积，掌握直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和是解题的关键．根据直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式，不难发现：，从而得到答案． 【解答】解： ，， 直角三角形中以直角边的平方与斜边的平方分别为和， 根据勾股定理，另一条直角边的平方为， ， 正方形的边长为， 故选：． 5.（25-26期末）如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了勾股定理与网格问题, 勾股定理与无理数, 由题意可得 , 然后通过勾股定理求出 即可, 掌握勾股定理的应用是解题的关键. 【解答】解：由题意可得， ， 故选：C. 6.（25-26·陕西期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质得 AD=BD，设 CD=xcm，则 AD=BD=BC-CD=(8-x)cm，在Rt 中利用勾股定理列出方程，求出x的值即可得出答案. 【解答】解：由折叠的性质得，AD=BD， 设CD=xcm，则 AD=BD=BC-CD=(8-x)cm，在Rt 中， 解得 x 的长为 cm. 故选：C. 7.（25-26·浙江开学）如图，在中，边上的中线，点在上，且，若，，则的长为（     ） A. B.2 C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查了等边对等角，勾股定理，三角形外角定理，等角对等边，解题的关键是掌握以上性质过点A作 AF DE于点F，根据中线得出BD=AD=CD=3，根据三角形的外角和内角得出 ，得出EF=DF ，然后利用勾股定理求出BC=2 ，最后利用三角形的面积进行求解即可. 【解答】解：如图所示，过点A作 于点F， 边上的中线 由勾股定理得， 由勾股定理得， 故选：C. 8.（25-26·全国同步）如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④．其中正确的结论个数是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查全等三角形的判定与性质的应用、勾股定理的证明、平行线的性质、完全平方公式、梯形和三角形的面积等知识，证明三角形全等以及发现图形中的边角关系是解答的关键．根据全等三角形的判定可判断①正确；再根据全等三角形的性质和平角定义可判断②正确；根据梯形的面积公式可判断③正确；根据可判断④正确，综合即可作出选择． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 又，， ，故①正确； ， ， ， ， ，故②正确； ，，，， 四边形的面积是，故③正确； ， ， ， ，即， ，故④正确， 综上，正确的结论有个， 故选：． 二、 填空题 9.（25-26·广东月考）在△ABC中，∠C = 90°，AB = 5，则____25____． 【答案】25 【解析】根据 的度数确定 为直角三角形，且AB为斜边，再根据勾股定理即可求解. 【解答】解： 中， 为直角三角形，且AB为斜边. 故答案为：25. 10.（25-26·江苏期末）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为___6_____． 【答案】6 【解析】本题考查了勾股定理, 正方形的面积, 熟记相关性质定理是解题的关键. 由勾股定理结合正方形的面积可知, , 再结合 三个正方形的面积分别为7、16、3, 即可推出结果. 【解答】解：如图， 由勾股定理结合正方形的面积可知, , 又 三个正方形的面积分别为7、16、3, 故答案为：6.  11.（24-25·四川月考）使用米长的梯子登建筑物，如果梯子的底部离建筑物的底部的距离不能小于米，问该梯子最多可登上_____12______ 米高的建筑物． 【答案】 【解析】根据题意画出图形，再根据勾股定理进行解答即可． 【解答】解：如图，梯子米， 若梯子的底部离建筑物的底部的距离不能小于米， 则米， 故答案为：12 12.（25-26·广东月考）如图，每个小正方形的边长都为，则的三边长，，的大小关系是______________（用“”连接）． 【答案】； 【解析】观察图形根据勾股定理分别计算出、、，根据二次根式的性质即可比较、、的大小． 【解答】解：在图中，每个小正方形的边长都为，由勾股定理可得： ， ， ， ，即， ， 故答案为：． 13.（25-26·浙江开学）如图，在中，，，，点，分别在和边上．若，，则的长为_____6___． 【答案】6 【解析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质与判定，勾股定理求得BC，进而可得 ，证明 ，进而得出EF=AD，证明CF=CA，即可求解. 【解答】解： 在 中， ，AB=12，AC=9, 如图，过点A作AF DE交BC于点F， 即 又 （ASA） 即 AD=EF 设 又 故答案为：6. 14.（24-25·重庆期中）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是____________． 【答案】 【解析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用两点之间线段最短． 【解答】 解：将台阶展开成平面图形： 在中，，， ， 其爬行的最短长度， 故答案为：． 三、 解答题  15.（25-26·四川月考）如图，在中，，若，． （1）求的长； （2）求的周长和面积． 【答案】的长为 的周长等于；的面积等于 【解析】（1）利用勾股定理求解； （2）利用三角形的周长和面积公式求解． 【解答】（1）解：，，， ， 的长为 （2）的周长等于， 的面积等于． 16.（25-26·江西开学）(10分) 网格纸上每个小正方形的边长为1． （1）在图1中，以端点均在网格格点上的线段为边画正方形． （2）在图2中，画底边长，腰的等腰，并求高的长度． 【答案】见解答 见解答， 【解析】（1）利用网格图的特征以及勾股定理画出图形即可； （2）方法一：根据等腰三角形的性质可得 BD=DC 然后在Rt 中，根据勾股定理解答即可；方法二：根据 解答即可. 【解答】 （1）解：如图1，正方形ABCD即为所求； 图1 图2 （2）解：如图2，等腰 即为所求. 方法一：在等腰 中， 在Rt 中， ，根据勾股定理得： 方法二：   17.（2025期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地垂直高一尺尺），将它水平向前推进两步尺），此时踏板垂直升高离地五尺尺），求秋千绳索或的长度． 【答案】14.5 【解析】本题考查勾股定理的应用,熟练掌握勾股定理是解题的关键. 设 , 根据题意易得到 , 在 Rt 中, 根据勾股定理得到 , 据此列方程, 解方程即可. 【解答】解：设 在Rt OEB中，由勾股定理得 解得 因此，秋千绳索的长度为14.5尺。  18.（25-26·广东月考）如图，在中，． （1）求证：； （2）当，，时，求的值． 【答案】证明见解答； ； 【解析】（1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【解答】（1）解：证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 19.（25-26·陕西月考）如图，将直角三角形纸片折叠，使得点与点重合，折痕为，，，． （1）求折痕的长； （2）求四边形的面积． 【答案】 【解析】（1）连接，根据勾股定理求出，由折叠可知，，．设，则．根据勾股定理可列方程，即可求得，再根据勾股定理即可得解． （2）根据求解即可． 【解答】 （1）解：连接， 在中，，，， ． 由折叠可知， ，，． 设，则． 在中，由勾股定理得：， ， 解得，即． 在中，，， 由勾股定理得：． （2）解：，． ． 20.（25-26期中）综合与实践 【动手操作】用四张全等的直角三角形纸片（如图1，两直角边长分别为，，斜边为）拼成含有正方形的图案（如图2），拼图时直角三角形纸片不能互相重叠． （1）【探究】研究发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：在图2中，大正方形的面积可表示为          ，也可表示为          ，因此，化简可得          ； （2）【实践】利用图1中的4个三角形组合成如图3所示的几个新图形，在图①-③中，图     ①     可证明勾股定理； （3）【发现】若将图1的2个三角形拼成如图4所示的图形，聪聪认真观察图4后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【答案】 ① 见解答 【解析】（1）明确大正方形面积的两种表示方法，通过面积相等建立等式，化简后得到勾股定理； （2）判断图形能否用面积法证明勾股定理，核心是能否用两种方式表示图形面积，进而推导出 （3）图4的图形类型为梯形，用梯形面积公式和“两个直角三角形+一个小三角形”的面积和建立等式，化简得到勾股定理 【解答】（1）解： 大正方形可拆分为边长为（b-a）的正方形和4个直角边分别为a，b的直角三角形， 故大正方形的面积可表示为 大正方形边长为c， 大正方形面积也可表示为 化简得 答： （2）解： 图 ①可拆分为边长为c的正方形和4个直角边分别为a，b的直角三角形， 其面积为 图 ①是边长为（a+b）的正方形， 其面积也可以表示为 化简得 故图 ①可证明勾股定理. 图 ② 、 ③无法由两种面积表达方式推导出勾股定理. 答： ① . （3）证明： 图4可拆分为2个直角边长分别为a，b的直角三角形和一个直角边为c的等腰直角三角形， 图4的面积可表示为 图4是上底为a，下底为b，高为（ ）的梯形， 图4的面积也可表示为 化简得 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年春季人教版八年级(下) 第二十章 勾股定理 20.1 勾股定理及其应用 一、选择题 1.（25-26·江苏月考）已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，则斜边的长为（    ） A. B. C. D.  2.（25-26·江西期中）已知，的两条边的长分别为2、3，则边的长为（     ） A.1 B. C. D.或 3.（25-26·江苏期中）如图，点在数轴上表示的数是（       ）         A. B. C. D. 4.（25-26·全国期中）如图，正方形面积，，则正方形的边长为（   ） A. B. C. D. 5.（25-26期末）如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（       ） A. B. C. D. 6.（25-26·陕西期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（   ） A. B. C. D. 7.（25-26·浙江开学）如图，在中，边上的中线，点在上，且，若，，则的长为（     ） A. B.2 C. D. 8.（25-26·全国同步）如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④．其中正确的结论个数是（   ） A. B. C. D. 二、 填空题 9.（25-26·广东月考）在△ABC中，∠C = 90°，AB = 5，则_______． 10.（25-26·江苏期末）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为_______． 11.（24-25·四川月考）使用米长的梯子登建筑物，如果梯子的底部离建筑物的底部的距离不能小于米，问该梯子最多可登上_________ 米高的建筑物． 12.（25-26·广东月考）如图，每个小正方形的边长都为，则的三边长，，的大小关系是______________（用“”连接）． 13.（25-26·浙江开学）如图，在中，，，，点，分别在和边上．若，，则的长为______． 14.（24-25·重庆期中）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是____________． 三、 解答题  15.（25-26·四川月考）如图，在中，，若，． （1）求的长； （2）求的周长和面积． 16.（25-26·江西开学）(10分) 网格纸上每个小正方形的边长为1． （1）在图1中，以端点均在网格格点上的线段为边画正方形． （2）在图2中，画底边长，腰的等腰，并求高的长度． 17.（2025期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地垂直高一尺尺），将它水平向前推进两步尺），此时踏板垂直升高离地五尺尺），求秋千绳索或的长度． 18.（25-26·广东月考）如图，在中，． （1）求证：； （2）当，，时，求的值． 19.（25-26·陕西月考）如图，将直角三角形纸片折叠，使得点与点重合，折痕为，，，． （1）求折痕的长； （2）求四边形的面积． 20.（25-26期中）综合与实践 【动手操作】用四张全等的直角三角形纸片（如图1，两直角边长分别为，，斜边为）拼成含有正方形的图案（如图2），拼图时直角三角形纸片不能互相重叠． （1）【探究】研究发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：在图2中，大正方形的面积可表示为        ，也可表示为        ，因此，化简可得          ； （2）【实践】利用图1中的4个三角形组合成如图3所示的几个新图形，在图①-③中，图         可证明勾股定理； （3）【发现】若将图1的2个三角形拼成如图4所示的图形，聪聪认真观察图4后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $