精品解析：山东青岛市市南区育才中学2025-2026学年下学期阶段性学业水平检测 七年级数学

2025——2026学年下学期阶段性学业水平检测初一数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 泉州湾跨海高铁大桥是世界首座跨海高铁大桥，其采用了自主创新的“石墨烯重防腐涂装体系”，将实现30年超长防腐寿命的突破，单层石墨烯的标准厚度为，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 3. 下列式子中，不能用平方差公式运算的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A B. 1 C. 2 D. 0 5. 如果(2x＋m)(x－5)展开后的结果中不含x的一次项，那么m等于( ) A. 5 B. －10 C. －5 D. 10 6. 如图，点C是线段的中点，点D在线段上，且，若，则线段的长为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 7. 方程与关于的一元一次方程的解相同，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则a，b，c之间满足的等式是（ ） A. B. C. D. 9. 设，则M与N的关系是（ ） A. B. C. D. 10. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（ ） A 3 B. 19 C. 21 D. 28 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 11. 已知，则______． 12. ，则的值为 ______． 13. 若是一个完全平方式，则的值为 ______． 14. 若，，试用含，的代数式表示 　 ． 15. 在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下面等号右边的式子的各项系数排成如图所示．这个图叫做“杨辉三角”， 请观察这些系数的规律，直接写出 ______．并说出第9行的第三个数是______． 16. 已知实数x、y满足关系式，则的最小值为 __________________ ． 三、（本大题共3小题，共21分） 17. 计算： （1）； （2）． 18 化简： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值，其中，． 五、解答题（本大题共6小题，共51分） 20. 如图，和谐广场有一块长为米、宽米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） （1）用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； （2）若，，求出绿化的总面积． 21. 如图，已知，平分，且，求的大小． ∵， ∴设，则， ∴________x． ∵平分， ∴． ∵， ∴，解得， ∴． 22. 随着时代和科技的快速发展，抖音电商利用自身的智能化推荐、定位、搜索等先进技术迅速占领线上购物市场．10月初，某抖音主播用11000元从厂家购进了A、B两种商品共500件，其中A商品每件进价40元，B商品每件进价10元． （1）求10月初购进A、B两种商品各多少件？ （2）该主播在抖音平台上出售10月初购进的A、B两种商品．A商品在进价的基础上加价50%出售，并全部售完：B商品的售价为30元/件，并以此价格售出后迎来了双“十一”促销活动，剩下的B商品在原来售价基础上打m折销售，并将剩下的商品全部售完．最后销售10月初购进的A、B两种商品一共获得的利润为9400元，求m的值． 23. 【实践操作】 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是_____． 【应用探究】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 24. 【知识技能】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：____________________； 图2表示：____________________； 解决问题】 （2）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是______． 【拓展提升】 （3）①若x满足；求______． ②若x满足；则______． 25. 如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为秒． （1），两点间的距离为______，点表示的数是______，点表示的数是______；(用含的代数式表示) （2）当点和相距个单位长度时，求运动时间的值； （3）若点为的中点，，求此时点表示的数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年下学期阶段性学业水平检测初一数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 泉州湾跨海高铁大桥是世界首座跨海高铁大桥，其采用了自主创新的“石墨烯重防腐涂装体系”，将实现30年超长防腐寿命的突破，单层石墨烯的标准厚度为，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方等内容，据此相关运算性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 下列式子中，不能用平方差公式运算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式依次判断即可． 【详解】解：A选项可用平方差公式，不符合题意； B选项可变形为，因此不能用平方差公式，故符合题意； C选项可以用平方差公式，不符合题意； D选项可以用平方差公式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式，掌握两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差是解题关键． 4. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的运算法则化简得出，对应相等求出的值，即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 故选：A． 5. 如果(2x＋m)(x－5)展开后的结果中不含x的一次项，那么m等于( ) A. 5 B. －10 C. －5 D. 10 【答案】D 【解析】 【详解】(2x＋m)(x－5)=2x2+mx-10x-5m，因展开后的结果中不含x的一次项，可得m-10=0，解得m=10，故选D. 6. 如图，点C是线段的中点，点D在线段上，且，若，则线段的长为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段中点的定义与性质，线段的和差关系，利用中点性质求出和的长度，再根据比例关系求的长度，最后分析线段组成，求出的长度． 【详解】解：∵点C是线段的中点，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 方程与关于的一元一次方程的解相同，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解第一个方程得到x的值，再利用同解的性质将x代入第二个方程，即可求出a的值 ． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∵方程与关于的一元一次方程的解相同， ∴将代入方程得 化简得， 去括号得， 移项整理得， 解得． 8. 已知，，，则a，b，c之间满足的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘，掌握同底数幂乘法法则是解题关键．根据指数运算法则，将30分解为已知的2的幂次相乘，进而比较指数得出关系式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选A． 9. 设，则M与N的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用；，由平方差公式和完全平方公式进行运算，即可求解；能熟练利用平方差公式和完全平方公式进行运算是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故选：B． 10. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（ ） A. 3 B. 19 C. 21 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】设甲正方形边长为，乙正方形边长为，根据题意分别得到，，两式相加可得，在图中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积． 【详解】解：设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则，，， ， ， 点为的中点， ， 图的阴影部分面积， ， ， 图的阴影部分面积 . 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 11. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ． 12. ，则的值为 ______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据零指数幂的意义，得到指数为0，列式求解即可. 【详解】解：由零指数幂的性质可知，任何非零数的0次幂等于1. ∵，且， ∴ 解得. 13. 若是一个完全平方式，则的值为 ______． 【答案】30或 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式的结构特征求解． 【详解】解：由题意得：， 因为多项式是完全平方式， 所以， 即， 解得：或． 故答案为：30或． 14. 若，，试用含，的代数式表示 　 ． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 15. 在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下面等号右边的式子的各项系数排成如图所示．这个图叫做“杨辉三角”， 请观察这些系数的规律，直接写出 ______．并说出第9行的第三个数是______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】观察图表寻找系数变化规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它两侧的边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，进而可写出的结果；找出第三项的系数规律，进而可知第9行的第三个数． 【详解】解：由题意可得， 第三行的第三项为， 第四行的第三项为， 第五行的第三项为， 第六行的第三项为， ， 第九行的第三项为． 16. 已知实数x、y满足关系式，则的最小值为 __________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查利用完全平方求最值问题．根据可得，进而可得，解得或，再将变形为，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴， ∴当时，有最小值， 最小值为：． 故答案为: ． 三、（本大题共3小题，共21分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）分别根据负指数幂、零指数幂、绝对值的定义计算每一项，再进行加减运算； （2）将底数统一为4或，利用积的乘方的逆运算简化计算，避免直接计算大数幂． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将式子变形为，再计算平方差公式，然后计算完全平方公式即可； （2）先计算多项式乘以多项式，再计算整式的加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用完全平方公式和平方差公式展开原式，去括号合并同类项得到最简结果，再代入x，y的值计算即可得到答案． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 五、解答题（本大题共6小题，共51分） 20. 如图，和谐广场有一块长为米、宽米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） （1）用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； （2）若，，求出绿化的总面积． 【答案】（1）平方米 （2）平方米 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式在几何图形中的应用，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）根据绿化的总面积等于大长方形面积减去小正方形面积，即可求解； （2）把，代入（1）所求结果中，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意， ， 绿化的总面积为平方米． 【小问2详解】 解：当，时，平方米， 绿化的总面积为平方米． 21. 如图，已知，平分，且，求的大小． ∵， ∴设，则， ∴________x． ∵平分， ∴． ∵， ∴，解得， ∴． 【答案】3，，，，，50，150 【解析】 【分析】本题考查了角度的计算，准确理解角平分线的定义是解题的关键．根据题意，结合几个角之间的数量关系，完善证明过程即可． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，解得， ∴． 22. 随着时代和科技的快速发展，抖音电商利用自身的智能化推荐、定位、搜索等先进技术迅速占领线上购物市场．10月初，某抖音主播用11000元从厂家购进了A、B两种商品共500件，其中A商品每件进价40元，B商品每件进价10元． （1）求10月初购进A、B两种商品各多少件？ （2）该主播在抖音平台上出售10月初购进的A、B两种商品．A商品在进价的基础上加价50%出售，并全部售完：B商品的售价为30元/件，并以此价格售出后迎来了双“十一”促销活动，剩下的B商品在原来售价基础上打m折销售，并将剩下的商品全部售完．最后销售10月初购进的A、B两种商品一共获得的利润为9400元，求m的值． 【答案】（1）10月初购进200件A商品，300件B商品； （2）m的值为9． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用． （1）设10月初购进x件A商品，则购进件B商品，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设10月初购进x件A商品，则购进件B商品， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：10月初购进200件A商品，300件B商品； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， 解得：． 答：m的值为9． 23. 【实践操作】 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是_____． 【应用探究】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 【答案】（1）；（2）①90000；② 【解析】 【分析】（1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可； （2）①先将原式变形为，然后利用（1）中结论求解即可； ②利用（1）的结论，把原式化为：，再连续利用平方差公式即可求解． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积为：；图②中阴影部分的面积为：； 则阴影部分的面积可以验证的公式是； （2）① ； ② ． 24. 【知识技能】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：____________________； 图2表示：____________________； 【解决问题】 （2）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是______． 【拓展提升】 （3）①若x满足；求______． ②若x满足；则______． 【答案】（1）；；（2）32；（3）①4；②． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式以及其变形公式，熟练掌握公式是解题的关键． （1）对于图1，根据大正方形的面积等于两个长方形面积与两个正方形面积之和，得到；对于图2，根据大正方形面积等于小正方形面积与四个长方形面积之和，得到； （2）设，，则，，根据完全平方公式的变形公式，计算出图中阴影部分面积； （3）①由，，以及完全平方公式的变形公式，计算得出答案； ②由，，以及完全平方公式的变形公式，计算得出答案． 【详解】（1）解：由图1可知，， 由图2可知，． （2）解：设，， ∵， ∴， ∵四边形，四边形都是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）①解：∵，， ∴． ②解：∵，， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为秒． （1），两点间的距离为______，点表示的数是______，点表示的数是______；(用含的代数式表示) （2）当点和相距个单位长度时，求运动时间的值； （3）若点为的中点，，求此时点表示的数． 【答案】（1）；；； （2）或； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用数轴上两点距离公式求距离，根据动点运动方向和速度，用初始位置加运动路程表示动点对应的数； （2）点和相距5个单位分两种情况：在左侧、在右侧，分别根据两点距离列一元一次方程求解； （3）先根据列方程求出的值，再利用中点公式求点表示的数，注意分在左侧和右侧两种情况讨论． 【小问1详解】 解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴、两点间的距离为； ∵点从点出发，以每秒个单位长度向右运动秒，点从点出发，以每秒5个单位长度向右运动秒， ∴点表示的数是；点表示的数是． 【小问2详解】 解：分两种情况讨论： ①当点在点左侧时，点表示的数减去点表示的数等于5， 则， 解得； ②当点在点右侧时，点表示的数减去点表示的数等于5， 即， 解得； 综上，运动时间的值为7或9． 【小问3详解】 解：∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴，点表示的数是， ∴， 由得，分两种情况： ①当点在点左侧时，此时方程为， 解得， 此时点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为； ②当点在点右侧时，此时方程为， 解得， 此时点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为； 综上，此时点表示的数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $