第7讲：排列与排列数【9个常考题型归纳】讲义-2025-2026学年高二数学下学期人教A版选择性必修第三册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【第7讲：排列与排列数】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A ·基础达标题型】 【题型1：排列数简单计算】 【练方法】 知识梳理 排列数定义：从个不同元素中取出个元素的排列数记为 公式： 特别地，， 适用场景：直接代入公式计算排列数，或解含排列数的方程/不等式 解题思路 1.明确和的取值范围（，） 2.代入排列数公式展开计算 3.若为方程/不等式，先化简为阶乘形式，再求解 4.验证解是否满足的条件 名师点睛 计算时优先用连乘形式，避免阶乘的复杂运算 解排列数方程时，要注意为正整数且，防止增根 记住常见阶乘值：，，，， 排列数与顺序有关，区分“排列”和“组合”的核心是是否考虑顺序 （25-26高二下·全国·课堂例题）求中的x．经典例题1例题 【答案】 【分析】应用排列数公式化简计算结合的范围求解. 【详解】原方程可化为， 即，化简得，解得． 由题意知解得． 所以原方程的解为． （25-26高二下·全国·课堂例题）计算：.经典例题2例题 【答案】 【分析】根据题意，利用排列数公式，准确计算，即可求解. 【详解】法一：根据排列公式，可得． 法二：根据排列数公式，可得． （24-25高二下·新疆哈密·月考）已知，则等于（    ）小试牛刀1 A．12 B．7 C．6或13 D．6 【答案】D 【分析】根据排列数公式，化简计算，结合的取值范围，即可得答案. 【详解】由题意，，即， 化简可得，即，解得或 因为，所以，故 故选：D. （23-24高二下·江苏苏州·月考）（1）解关于的不等式；小试牛刀2 （2）解不等式：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（2）将排列数表示为阶乘的形式，然后化简计算即可得解， 【详解】（1）依题意，有，， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又得， 所以的解集为. （2）因为， 所以，即， 整理得，解得，故， 所以不等式解集为. （24-25高二上·全国·课后作业）解下列方程或不等式．小试牛刀3 (1)=2； (2). 【答案】(1)n=5 (2)x=8 【分析】（1）根据条件，利用排列数公式即可求出结果； （2）先利用排列数公式得到 ，从而得到，对根据排列数公式要求，求出的范围，进而求出结果. 【详解】（1）因为=2， 由，解得， 由原式可得，解得或或． 又因为，所以． （2）因为<6， 由，解得且， 由原不等式可得， 化简可得，解得， 又且，所以． 【题型2：与排列数有关的证明】 【练方法】 知识梳理 核心工具：排列数公式、阶乘性质、排列数递推关系 常见结论： 目标：证明含排列数的等式或不等式 解题思路 1.将排列数统一化为阶乘形式： 2.对等式两边分别化简，转化为阶乘的运算 3.利用阶乘的性质（如）进行变形 4.证明两边化简后结果相等，或不等式成立 名师点睛 证明时优先将排列数化为阶乘，便于统一运算 递推式是高频考点，可用于简化计算 不等式证明常结合阶乘的放缩（如，） 注意阶乘的定义，避免遗漏边界情况 （24-25高二·全国·课堂例题）求证：．经典例题1例题 【答案】证明见解析 【分析】根据排列数公式可得 【详解】． 【多选题】（23-24高二下·广东佛山·月考）下列等式中，成立的有（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用排列数公式逐项计算、验证并判断作答. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，而，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，， D正确. 故选：ACD （24-25高二·全国·课后作业）求证：（，，且）．小试牛刀1 【答案】证明见解析 【分析】利用排列数计算公式化简计算等式左边即可得证. 【详解】依题意，左边 右边， 所以原等式成立． （25-26高二下·全国·课后作业）（多选）下列等式中，正确的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】利用排列数公式、组合数公式，逐项计算判断作答. 【详解】对于A，，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，. 故选：ABCD （24-25高二下·江苏徐州·月考）求解下列问题：小试牛刀3 (1)计算：； (2)求证：. (3)解关于的不等式：； 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）（2）（3）应用排列数公式化简求值、证明恒等关系及解不等式； 【详解】（1）； （2），. （3）依题意，有，可得， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又，得，所以的解集为. 【题型3：特殊元素/特殊位置优先】 【练方法】 知识梳理 场景：排列中存在特殊元素（如必须在首位、不能在末位）或特殊位置（如首位、末位、中间位置） 核心思想：优先处理有约束的元素或位置，再处理无约束的元素 本质：分类加法+分步乘法计数原理 解题思路 1.明确特殊元素/特殊位置的约束条件 2.优先安排特殊元素或特殊位置，计算方法数 3.再安排剩余无约束的元素，计算方法数 4.用分步乘法计算总方法数 5.若有多个特殊约束，需分类讨论（如“甲在首位”或“甲在末位”） 名师点睛 口诀：“特殊元素优先排，特殊位置优先占” 若特殊元素有多个，需注意它们之间的顺序 避免重复计数：同一元素不能同时被安排在多个位置 常见例子：数字排列中“0不能在首位”，优先排首位，再排其他位 （2026·山东淄博·一模）有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（    ）经典例题1例题 A．42 B．50 C．54 D．60 【答案】D 【分析】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论，结合排列数和组合数的计算公式，以及分类计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论： 当是第1个时，此时剩余的全排列，共有种不同的排法； 当不是第1个且不是最后一个时，先排第1个，从中选一人为第1个，有种选法； 再排，有三个位置可选，有种排法，最后三人全排列，有种排法， 所以共有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排列情况. （25-26高二下·全国·课堂例题）六人按下列要求站成一横排，分别有多少种不同的站法？经典例题2例题 (1)甲不站两端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端． 【答案】(1)（种） (2)（种） (3)（种） 【分析】（1）解法一：特殊元素优先排法，先安排甲再排其余人可得；解法二：特殊位置优先考虑法，先排两端的再排其余的可得；解法三：间接法，先不考虑限制计算总数，再考虑减去甲在两端的情况可得； （2）先排甲乙两个人再排其余人可得； （3）解法一：间接法，先计算总数有种排法，再减去甲站左端有，乙站右端有，再加上甲站左端且乙站右端有，从而可得结果；解法二：以甲的位置分两类计算，一类甲站右端有，二类甲在中间四个位置且乙不站右端有，进而可得结果. 【详解】（1）法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有种站法， 然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法，根据分步乘法计数原理， 共有（种）站法． 法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有种站法， 然后其余4人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有（种）站法． 法三：若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有种站法， 从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有（种）． （2）首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种， 再让其他4人在中间位置作全排列，有种，根据分步乘法计数原理， 共有（种）站法． （3）法一：甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种， 甲在左端且乙在右端的站法有种，共有（种）站法． 法二：以元素甲分类可分为两类：第一类，甲站右端有种； 第二类，甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有种， 故共有（种）站法． （25-26高二上·江西·期末）从0~7这8个数字中取出4个数字，试问：小试牛刀1 (1)能组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 【答案】(1)1470 (2)750 【分析】（1）根据首位不排0结合排列知识求解即可； （2）分个位为和个位不为的偶数两种情况讨论. 【详解】（1）首位不排0，共个； （2） 个位为0的四位数偶数：； 个位不为0的四位数偶数：， 总计个． （25-26高二上·上海浦东新·期末）若有5名同学排成一排，其中甲不能站排头，共有__________种不同的排法.小试牛刀2 【答案】96 【分析】运用特殊元素优先法先安排甲同学，再考虑其他同学即可. 【详解】因甲不能站排头，则先从除排头外的其他4个位置安排甲有4种排法，再在剩下的4个位置安排其他4名同学，有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种不同的排法. 故答案为：96. （25-26高二上·江西·期末）某文艺汇演有6名演员（含甲、乙）站成一排表演，若甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排法有（    ）小试牛刀3 A．480种 B．504种 C．360种 D．288种 【答案】B 【分析】根据题意，求得全排列数，再求得甲站在最左边，乙站最右边，以及甲站在最左边且乙站在最右边的排法数，结合间接法，即可求解. 【详解】由6名演员站成一排表演，共有种排法， 甲站在最左边，有种排法，乙站在最右边，有种排法， 甲站在最左端且乙站在最右端，有种排法， 所以甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排法有种排法. 故选：B. 【题型4：相邻问题捆绑法】 【练方法】 知识梳理 场景：要求某些元素必须相邻（如“甲乙必须相邻”“三个女生必须排在一起”） 核心方法：捆绑法，将相邻元素视为一个整体，先整体排列，再内部排列 本质：分步计数，先排整体，再排内部 解题思路 1.将相邻元素捆绑为一个“大元素” 2.计算这个“大元素”与其他元素的全排列数 3.计算相邻元素内部的全排列数 4.用分步乘法将两步结果相乘，得到总方法数 名师点睛 捆绑法的关键是“先整体，后内部”，顺序不能颠倒 若有多个捆绑组，需分别计算每个组的内部排列 相邻元素内部有顺序时，必须计算内部排列数 例子：个元素中个元素相邻，总方法数为 （2026·新疆·模拟预测）有5辆车停放在一排的5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放方法的总数为（    ）经典例题1例题 A．24 B．48 C．72 D．120 【答案】B 【详解】将甲、乙视为一个“整体”（捆绑），甲、乙内部有2种排法（甲左乙右或乙左甲右）， 把“甲乙整体”与另外3辆车看成4个元素一起排列，有种排法， 所以总的停放方法是种. （25-26高二上·江苏南通·期末）2个女生和2个男生站成一排合影，2个男生相邻的不同排法总数为（    ）经典例题2例题 A．12 B．24 C．36 D．72 【答案】A 【分析】根据相邻问题捆绑法求解即可. 【详解】把2个男生看作一个整体，内部有种排列方式 将这个男生整体和2个女生一起排列，相当于3个元素，有种排列方式, 所以，根据乘法原理，总的排法有：种不同排法. 故选：A （25-26高二下·全国·课堂例题）3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．小试牛刀1 (1)全体站成一排，男、女各站在一起； (2)全体站成一排，男生必须站在一起； (3)全体站成一排，男生不能站在一起； (4)全体站成一排，男女相间排列． 【答案】(1)（种）； (2)（种）； (3)（种）； (4)（种）. 【分析】（1）直接按相邻问题的排列计算，先分别排男生和女生，然后再男女各视成一整体再排可得； （2）直接按捆绑法计算，先排3名男生，然后再把男生看成一个整体和4名女生进行全排列可得； （3）直接按插空法排列计算，先排4名女生，再由这4名女生产生5个空中排3名男生可得； （4）先排3名男生，再由这3名男生产生的4个空中排4名女生可得. 【详解】（1）分三步完成：第一步：3名男生必须站在一起是男生的全排列，有种排法； 第二步：4名女生必须站在一起是女生的全排列，有种排法； 第三步：全体男生、女生各视为一个元素，有种排法． 由分步乘法计数原理知，共有（种）排队方法． （2）因为三名男生全排列有种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有种排法． 故有（种）排队方法． （3）先安排女生，共有种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有种排法，故共有（种）排法． （4）先排男生有种排法，产生4个空然后让4名女生插空有种排法，共有（种）排法． （2026·辽宁·模拟预测）已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（   ）个. 小试牛刀2 A．432 B．257 C．282 D．504 【答案】D 【分析】利用捆绑法和插空法来求个数即可. 【详解】第一步：把1、2、3、4、7、8奇偶数相间而排，共有种， 第二步：再把5、6两个数字一起插空，由于每一个空的旁边都是一奇一偶， 所以插入后奇数旁边放6，偶数旁边放5，则这7个空共有种排法， 根据分步计数乘法原理可得：这样的八位数有个， 故选：D. （25-26高二上·江西吉安·期末）某社区文化节需安排4个不同节目（古筝演奏、相声、吉他弹唱、民族舞），按表演先后顺序排定4个时段，每个时段表演一个节目，且节目不重复．请根据以下不同条件，分别计算符合要求的节目安排方案总数：小试牛刀3 (1)民族舞节目不能安排在第一个表演时段； (2)古筝演奏节目与相声节目必须相邻. 【答案】(1)18 (2)12 【分析】（1）先从古筝演奏、相声、吉他弹唱选一个安排第一个表演，再对剩下3个全排列即可求解； （2）将古筝演奏和相声看作一个整体，再和吉他弹唱、民族舞全排列即可求解. 【详解】（1）先安排第一个表演时段，有古筝演奏、相声、吉他弹唱3种选择； 剩下3个时段，对剩下3个节目全排列，有种， 所以总数为种； （2）将古筝演奏和相声看作一个“整体”，内部有种排列方式； 再把这个“整体”和吉他弹唱、民族舞进行全排列，有种排法， 所以总数为种. 【题型5：不相邻问题插空法】 【练方法】 知识梳理 场景：要求某些元素必须不相邻（如“甲乙不能相邻”“男生不能相邻”） 核心方法：插空法，先排无约束的元素，再将不相邻元素插入到空隙中 本质：分步计数，先排“隔板”，再插“元素” 解题思路 1.先排无约束的元素，计算排列数 2.找出这些元素形成的空隙数（包括两端） 3.将不相邻的元素插入到空隙中，计算排列数 4.用分步乘法将两步结果相乘，得到总方法数 名师点睛 插空法的关键是“先排不约束，后插不相邻” 空隙数=无约束元素个数+1（包括两端） 若不相邻元素有顺序要求，需计算排列数；若无顺序，用组合数 例子：个元素中个元素不相邻，总方法数为 （2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（    ）经典例题1例题 A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】B 【详解】第一类：先排3名男生，甲在两端的排序有种，再2名女生插空有种； 第二类：先排3名男生，甲在中间的排序有种，再2名女生插空有种， 故男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（种）. 【多选题】（25-26高二上·江苏南通·期末）文娱晚会中，学生的节目有9个，教师的节目有2个，则（   ）经典例题2例题 A．如果教师的节目不排在最后，那么不同排法的种数为 B．如果教师的节目不排在两端，那么不同排法的种数为 C．如果教师的节目必须相邻，那么不同排法的种数为 D．如果教师的节目不能相邻，那么不同排法的种数为 【答案】ACD 【分析】A选项，先把学生的节目选1个放在最后，剩余的10个节目进行全排列，A正确；B选项，先从学生的节目选2个放在两端，剩余的9个节目进行全排列，B错误；C选项，将2个教师的节目进行捆绑，再和9个学生的节目进行全排列，C正确；D选项，先安排9个学生的节目，再将2个教师的节目插空，D正确. 【详解】A选项，如果教师的节目不排在最后，从学生的节目选1个放在最后， 剩余的10个节目进行全排列，那么不同排法的种数为，A正确； B选项，如果教师的节目不排在两端，从学生的节目选2个放在两端， 剩余的9个节目进行全排列，那么不同排法的种数为，B错误； C选项，如果教师的节目必须相邻，将2个教师的节目进行捆绑，2个教师节目可以进行全排列， 再和9个学生的节目一共10个节目进行全排列，那么不同排法的种数为，C正确； D选项，如果教师的节目不能相邻，先安排9个学生的节目， 再将2个教师的节目插空，那么不同排法的种数为，D正确. 故选：ACD （25-26高二上·江西南昌·期末）三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为（    ）小试牛刀1 A．144 B．72 C．36 D．12 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式求解. 【详解】排3名学生有种方法，再将3名老师插入3名学生每个排列形成的间隙中， 由任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，得3名学生每个排列形成的中间两个间隙必排，有种方法， 所以不同的排法总数为种. 故选：B （25-26高二上·江西抚州·期末）某教室有一排个座位，4位男同学和3位女同学要坐下，但为了减少聊天，规定同性别的同学不能相邻而坐（即任意两位男生不相邻，任意两位女生不相邻）的坐法总数为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位，再将4位男生排入这4个空位，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种坐法. 故选：D. （2026·湖南永州·一模）现有4名男生和2名女生排成一行照相，要求女生不相邻，男生甲因身高原因不能站在整个队伍的最左端，则一共有______种不同的站法.小试牛刀3 【答案】 【分析】利用排除法和插空法求解. 【详解】先将4名男生排成一排，有种方法， 再在这4名男生产生的的空隙中插入2名女生有种方法， 则4名男生和2名女生排成一行照相，要求女生不相邻，有种方法， 先将男生甲排固定在整个队伍的最左端，再排其他3名男生，有种方法， 此时这3名男生之间和末尾产生的的空隙，将这2名女生插入这4个空隙， 有种方法， 则男生甲在最左端且女生不相邻的站法共有种方法， 故4名男生和2名女生排成一行照相，要求女生不相邻， 男生甲因身高原因不能站在整个队伍的最左端，一共有. 故答案为：. 【题型6：定序问题除序法】 【练方法】 知识梳理 场景：某些元素的顺序固定（如“甲乙丙必须按顺序排列”“三个女生身高固定，顺序不变”） 核心方法：除序法，先全排列，再除以定序元素的全排列数（消除重复） 本质：全排列中，定序元素的所有排列只算一种，故除以 解题思路 1.先对所有元素进行全排列，计算 2.找出定序元素的个数，计算它们的全排列数 3.总方法数= 4.若有多组定序元素，分别除以各组的全排列数 名师点睛 定序问题的本质是“消除重复计数”，定序元素的顺序固定，故它们的内部排列只算一种 若定序元素之间有其他元素，不影响除序法的应用 例子：个元素中个元素顺序固定，总方法数为 除序法也可用于“部分元素相同”的排列问题（如“aabbb”的排列数） （2026·山东滨州·一模）春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（    ）经典例题1例题 A．24 B．60 C．120 D．240 【答案】C 【分析】先利用捆绑法求出种类数，再利用倍缩法求出. 【详解】将捆绑看作一个整体，内部有种排列方式； 再将5个元素全排列有：， 故满足与相邻的排列共有种. 在所有排列中，在之前和在之后的排列数相等，各占总排列数的一半， 因此在之前，与相邻，不同的游览顺序有种. （25-26高二下·全国·课堂例题）7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？经典例题2例题 【答案】（种） 【分析】先进行7个全排列，再考虑4名男生没有顺序的站法，从而可得结果. 【详解】因为7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有种， 所以共有（种）不同的站法． 故共有种不同的站法. （25-26高三上·江西吉安·月考）育才学校校庆要编制一张演出节目单，5个舞蹈节目已排定顺序，要再插入4个歌唱节目，则共有_____种插入方法（用数字作答）.小试牛刀1 【答案】 【分析】利用倍缩法解决定序问题即可. 【详解】对全部的9个节目全排列，有种，已排定顺序的5个舞蹈节目的全排列数有种，所以满足题意的插入方法有（种）. 故答案为：. （2025高二·全国·专题练习）7名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他6名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有______种排法．小试牛刀2 【答案】20 【分析】法一：利用直接法求解即可；法二：先对6名同学作全排列，再去掉两边3人的排序即可求解. 【详解】解法1：甲站在中间，甲的左边和右边分别有3名同学，均按身高排列，排法只有1种． 先将6名同学分成两组，再排到甲的左边和右边去，排法共有种． 解法2：将除甲外的6名同学全排列，甲左边3名同学与右边3名同学顺序一定， 所以排法共有种． 故答案为：20. （24-25高二下·全国·课后作业）6个人站成一排，甲、乙、丙三人从左到右的顺序保持一定，有多少种不同的站法？小试牛刀3 【答案】120 【分析】由倍缩法解决定序问题即可. 【详解】（种）. 【B·能力提升题型】 【题型1：相邻问题与不相邻问题综合】 【练方法】 知识梳理 场景：同时存在相邻和不相邻的约束（如“甲乙必须相邻，丙丁不能相邻”） 核心思想：先处理相邻问题（捆绑法），再处理不相邻问题（插空法） 本质：分步计数，先捆绑，再插空 解题思路 1.先将相邻元素捆绑为一个“大元素”，计算内部排列数 2.排“大元素”与其他无约束元素，计算排列数 3.找出这些元素形成的空隙数 4.将不相邻元素插入到空隙中，计算排列数 5.用分步乘法将所有步骤结果相乘，得到总方法数 名师点睛 顺序：先捆绑，后插空，避免逻辑混乱 注意“大元素”与其他元素的排列，以及空隙的数量 若不相邻元素有多个，需确保它们都插入到不同的空隙中 此类问题是高考高频考点，需熟练掌握捆绑法和插空法的结合 （25-26高三上·河北衡水·期末）六艺，是我国周朝教育体系中的六种技能，即：礼､乐､射､御､书､数.在周朝官学中开设这六门课程，从这六门课中选5门，连排5节课，每门排一节，要求每天必须学“礼､乐､数”，并要求“礼”与“乐”相邻排课，但均不与“数”相邻排课，且“御”不能排在第一节，则不同的排课方案种数为（    ）经典例题1例题 A．24 B．48 C．64 D．128 【答案】C 【分析】本题相邻用捆绑法，不相邻用插空法，然后减去御在第一节的情况. 【详解】情况一：不选“御”，则课程为{礼, 乐, 数, 射, 书}，将(礼,乐)捆绑， 先排“射”､“书”有种，再将(礼,乐)和“数”插入3个空中，有种，(礼,乐)内部有种，共种； 情况二：选择“御”，则另一门从“射”､“书”中选，有种， 以选{礼, 乐, 数, 御, 射}为例，先不考虑“御”的限制，排法同情况一，有24种， 再减去“御”在第一节的情况：固定“御”在第一位，(礼,乐)只能在(2,3)或(4,5)位， 对应“数”和“射”的位置唯一确定，故有种，因此该课程组合有种排法. 综上所述，总共有种； 汇总两种情况，总排课方案为种. 故选：C （2025·贵州·模拟预测）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有______种．经典例题2例题 【答案】144 【分析】由题意，将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“数”进行全排列，再将“礼”和“书”排到所得排列的空隙中，最后将“射”和“御”交换位置， 根据分步计数原理即可求解. 【详解】先将“射”和“御”“捆绑”视为一个元素，再与“乐”和“数”一起排列， 有种不同的次序， 再将“礼”和“书”排到所得排列的空隙中（“射”和“御”中间不能排），有种不同的次序， 最后将“射”和“御”交换位置，有种不同排序， 根据分步乘法计数原理可知“六艺”讲座不同的次序共有种． 故答案为：. （24-25高二下·江苏南通·月考）现有五人站成一排，则相邻且不相邻的排法种数共有___________种．小试牛刀1 【答案】24 【分析】根据排列数以及分步计数原理即可求解. 【详解】根据题意，将，看成一个整体，，的排列方法有种方法， 然后将这个整体与进行全排列，即不同的排列方式有， 最后将，插入到三个空中的两个中，有种方法， 根据分步计数原理可知排法种数为， 故答案为：24. （22-23高二下·四川广安·期中）电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．小试牛刀2 (1)女生互不相邻的坐法有多少种？ (2)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 【答案】(1)1440 (2)960 【分析】（1）采用插空法即可求解. （2）利用插空法结合捆绑法可求解. 【详解】（1）先将4个男生排好，有种排法， 再在这4个男生之间及两头的5个空挡中插入3个女生有种方法， 故符合条件的排法共有(种). （2）先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法， 由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法， 最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法， 故符合条件的排法共有(种). （24-25高二下·湖北恩施·期末）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（   ）小试牛刀3 A．144 B．240 C．336 D．456 【答案】C 【分析】根据题意，先让“雨水”和“谷雨”不相邻，再让“雨水和“谷雨”不相邻且“白露和“寒露”相邻，分别求得不同的放置方式，结合间接法，即可求解. 【详解】根据题意，第一步，让“雨水”和“谷雨”不相邻，不同放置方式种数为； 第二步，让“雨水和“谷雨”不相邻且“白露和“寒露”相邻，不同放置方式种数为； 所以不同放置方式种数为. 故选：C. 【题型2：排列与古典概型综合的概率问题】 【练方法】 本质：先用排列数计算基本事件总数和事件A包含的事件数，再求概率 场景：排队、数字排列、座位安排等，结合古典概型 解题思路 1.用排列数计算所有可能的基本事件总数 2.分析事件A的约束条件，用排列数计算事件A包含的事件数 3.代入概率公式，计算概率 4.验证结果符合概率范围 名师点睛 概率计算的关键是准确计数，避免重复或遗漏 若事件A复杂，可先分类再分步，用排列数分别计算各类情况 注意“至少”“至多”“恰好”等关键词，对应不同的计数方法 例子：5人排队，甲乙相邻的概率= （2025高三·全国·专题练习）在七个数字1，2，3，4，5，6，7的所有排列中，求至少有两个相邻数字不互质的概率．经典例题1例题 【答案】 【分析】先排1，3，5，7再排6，由于6不和3相邻，在排好的排列中，除3的左右2个空，还有3个空可排6，最后排2和4，在剩余的4个空中排上2和4，再由乘法原理求出任意两个相邻数字都互质的情况，从而求得任意两个相邻数字都互质的概率.根据对立事件的概率求法，即可求得至少有两个相邻数字不互质的概率． 【详解】设为的任意排列． 令事件任意两个相邻数字都互质， 事件至少有两个相邻数字不互质， 则事件和事件是对立事件，所以. 第一步，先对数字作全排列，有种排列； 第二步，排数字6，6不能与3相邻．在数字已经排好的排列中，两两之间及首位末位设置5个空位， 除去3的左右2个空位，还有3个空位可以排数字6，故数字6有3种排法；排好6后，空位还剩4个； 第三步，排数字2，4，由于2，4，6彼此都不互质，都不能相邻，故只能在第二步剩下的4个空位排上数字2，4，共有种排法． 因此，任意两个数字都互质的排法共有种．而全排共有种排法， 因此，. 从而，所以至少有两个相邻数字不互质的概率是． （25-26高二上·江西南昌·期末）7名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁相邻的概率是______．经典例题2例题 【答案】 【分析】记事件甲与乙不相邻，记事件丙与丁相邻，求出、，利用条件概率公式可求得的值． 【详解】记事件甲与乙不相邻，记事件丙与丁相邻， 则，， 则， 故答案为：. （25-26高三上·河北张家口·期末）已知甲、乙、丙、丁四名学生利用假期的某周周一到周五去敬老院参加志愿者活动，每天去一人，且甲参加两天活动，其余三名学生每人一天，则安排甲不在相邻两天做志愿者的概率为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：先求出总情况数，再先全排列乙、丙、丁，然后插空得到满足题意的情况数，再利用古典概型计算概率即可得到答案；法二：先求出总情况数，再采用正难则反的原则即可得到答案. 【详解】解法1：总的安排方法数为种，其中乙、丙、丁全排列方法数为种， 甲在乙、丙、丁的排列形成的四个空当中任选两个的方法数为种， 故所求概率， 解法2：总的安排方法数为种，其中甲两天相邻的排列方法数为种， 故所求概率， 故选：B． （25-26高三上·重庆·月考）6名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁必须相邻的概率是________．小试牛刀2 【答案】/0.3 【分析】记事件甲与乙不相邻，记事件丙与丁相邻，求出、，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】依题意，6名同学排成一排，记事件甲与乙不相邻，则， 记事件丙与丁相邻，则， 由条件概率公式可得. 所以在甲与乙不相邻的条件下，丙与丁相邻的概率为. 故答案为：. （24-25高二下·江苏南京·期中）15个人围坐在圆桌旁，从其中任取4人，两两不相邻的概率是___________．小试牛刀3 【答案】 【分析】先让11个人入坐，再把其余4人插空求任取4人两两不相邻的入坐方法数，再应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】15个人围坐在圆桌旁从中任取4人，两两互不相邻， 先让11个人入坐，再把其余4人插空，共有种不同的围坐方法， 所求概率是． 故答案为： 【题型3：综合素养题型】 【练方法】 知识梳理 场景：以实际问题为背景（如课程表安排、人员调度、文化活动等），考查排列的综合应用 核心：将实际问题转化为排列模型，本质还是特殊元素、相邻、不相邻、定序等基础题型 目标：提取数学信息，建立排列模型，解决实际问题 解题思路 1.审题，提取核心约束条件（忽略背景描述） 2.将问题转化为排列问题，明确元素、位置、约束类型 3.选择合适的方法（优先法、捆绑法、插空法、除序法）计算方法数 4.结合其他知识点（如概率、最值）求解最终问题 5.验证结果符合实际意义 名师点睛 此类问题“起点高，落点低”，背景复杂但数学本质简单 优先识别约束类型：特殊元素→优先法，相邻→捆绑法，不相邻→插空法，定序→除序法 若有多个约束，按“先特殊，后一般；先捆绑，后插空”的顺序处理 注意实际问题中的限制（如“每天只能上一节数学课”），避免不符合实际的计数 此类问题是高考压轴题的常见类型，需多练习建模能力 （2025高三·全国·专题练习）设是数字1，2，3，4，5的排列．若不存在 使成立，则所有这样的排列数有_____种．经典例题1例题 【答案】42 【分析】先写出1，2，3，4的排列，满足条件的共有14种，再将数字5插入这14个排列中，得到满足条件的排列数. 【详解】依题意，排列中不存在顺序排列的3个数． 如对于1，2，3，4的排列，共有24种情形： 即有1432，2143，2413，2431，3142，3214，3241， 3412，3421，4132，4213，4231，4312，4321共14个排列满足题意． 当上述排列加入数字5时，如51432，15432，14532，14352，14325(划去的3个排列中含有顺序排列145，不合题意)． 考虑所有14个排列加入数字5时，满足题意的排列数为42． 故答案为：42 （2025·湖南永州·模拟预测）一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为，，，则事件”发生的概率为_____.经典例题2例题 【答案】 【分析】先计算事件总数，因为，得到，然后看不同的大小组合，最后排序计算符合条件的总数，然后计算概率即可. 【详解】所有投掷结果共有种， 由，不妨设， 则， 事实上，对于其他排序可得类似结果，则 所以 我们不妨设，则，还有一个数为 显然， 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 所以一共有种； 故事件“”发生的概率为 故答案为： （2025·湖南·模拟预测）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如：，，现将、、、、的函数值排成一列，则组成的不同五位数的个数为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出、、、、的值，结合倍缩法可求得结果. 【详解】由题意可知，，，，，， 所以，将、、、、的函数值排成一列， 则组成不同的五位数的个数为个. 故选：B. （2025·江西九江·一模）如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为______．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据相邻原则把9个灯区分为三类：第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区，然后由题意分别按各类中的两个保持灯区最终仍处于“点亮”状态，由此求得方法数，再求得总的方法数，最后由概率公式计算概率． 【详解】从9个灯区中随机先后按下两个灯区，共有种按法． 与相邻的灯区为；与相邻的灯区为，故将9个灯区分为三类：第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区．若要使得灯区最终仍处于“点亮”状态，则需在同类灯区中随机先后按两个不同灯区． ①若先后按下的是两个灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法； ②若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法； ③若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法．故灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为． 故答案为：． （2025·辽宁鞍山·二模）设、、、是、、、、、、、的一个排列，则满足，，，的排列共有________个；，则集合中所有元素的和为___________.小试牛刀3 【答案】 【分析】利用倍缩法可得出满足，，，的排列方法种数；设，，，，分析可得出的最大值为，最小值为，列表分析能取到区间内的所有偶数，即可得出集合中所有元素之和. 【详解】因为、、、是、、、、、、、的一个排列， 若满足，，，，则与、与、与、与的大小关系是确定的， 所以，满足条件的排列方法种数为种； 对于集合中的元素，不妨设，，，， 则 为偶数， 根据题意可知，，，，， 则， 不妨取，此时，取最小值， 当取最小值时，最大，且的最小值为， 则的最大值为，接下来验证可取内的所有偶数， 对取特殊值进行验证，列表如下： 因此，集合的所有元素之和为. 故答案为：；. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·河南驻马店·月考）可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据排列的计算公式即可求解. 【详解】 . 故选：C 2．（25-26高三上·贵州·月考）甲、乙、丙、丁、戊五人去甘肃、贵州、陕西三省旅游，每人只去一个省份，已知甲、乙都不去陕西，丙、丁去的省份不同，则这五人不同的选择共有（   ） A．36种 B．72种 C．60种 D．96种 【答案】B 【分析】先安排甲乙，然后安排丙丁，最后安排戊，由分步乘法计数原理计算即得. 【详解】先安排甲乙，分别在甘肃、贵州两省中人选一处，方法数有种， 然后安排丙丁，在三省中任选两处并考虑顺序，方法数有种， 最后安排戊，在三省中任选一处，方法数有种， 根据分步乘法计数原理，这五人不同的选择共有种. 故选：B 3．（25-26高二上·陕西渭南·月考）在某场城市马拉松比赛中，组委会需在连续的8个志愿服务站中安排甲、乙、丙3名“急救志愿者”.出于安全规范要求，要求任意两名急救志愿者不在同一个服务站，也不在相邻的服务站，则不同的安排方法种数为（   ） A．80 B．120 C．168 D．336 【答案】B 【分析】利用插空法求解即可. 【详解】将没有急救志愿者的5个服务站排成一排，形成6个空隙，从这6个空隙中选出3个安排急救志愿者， 因此不同的安排方法共有（种）. 故选：B 4．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）某羽毛球比赛结束，1名教练和3名学员站成一排拍照留念，其中教练不站在两边的排法种数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】求出4人随机站成一排的全排列数，然后求教练站两边的排列数，两数相减即可. 【详解】1名教练和3名学员站成一排，有种站法， 其中教练站两边有种站法，所以教练不站在两边的排法种数为. 故选：B 5．（2025·广东佛山·模拟预测）某学校的数学兴趣小组为了了解我国古代的数学成就，先后去图书馆借阅了5本古代数学名著：《周髀算经》､《九章算术》､《海岛算经》､《孙子算经》和《张丘建算经》，该小组每次随机借阅一本名著，且归还后再随机借阅下一本（已借阅的不会重复借阅）．则最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由古典概率的计算公式求解即可. 【详解】所有可能的借阅顺序总数为：， 最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》， 所以前两本的顺序可以是《周髀算经》、《九章算术》或者《九章算术》、《周髀算经》，有种情况， 最后一本已经确定是《孙子算经》，中间本为《海岛算经》、《张丘建算经》，有种情况， 设最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》为事件， 则， 故选：D. 6．（25-26高三上·贵州黔西南·月考）图书馆有4本不同的科普书籍（分别记为）和2本相同的故事书，现在需要将这6本书从左到右整齐摆放在书架上，则2本相同的故事书相邻摆放的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算全部书籍的排列数，利用捆绑法计算2本相同的故事书相邻的排列数，再求解概率即可. 【详解】由题意知，4本不同的科普书籍和2本相同的故事书的排列数为， 2本相同的故事书看作一个整体同其他4本书进行排列，排列数为， 所以2本相同的故事书相邻摆放的概率为， 故选：C. 7．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）某地文旅局联合多部门借助电商平台推销当地特色农产品，共有新鲜助农水果、核心助农产品、地域特色干货、五谷杂粮礼包、非遗手工艺品、限时秒杀六类选品，若要让限时秒杀类选品作为第一个链接上架，新鲜助农水果、核心助农产品作为相邻链接上架，且非遗手工艺品不能作为最后一个链接上架，则上架顺序有（   ） A．16 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种 【答案】C 【分析】根据题意可知限时秒杀类选品不需要考虑；因为新鲜助农水果、核心助农产品要相邻，所以将其捆绑考虑；先求出不限制非遗手工艺品上架顺序的排列种数，最后从总排列方式中减去非遗手工艺品作为最后一个链接上架的排列方式，即可得到符合条件的排列种数. 【详解】因为要让限时秒杀类选品作为第一个链接上架，所以只要考虑余下的5类选品即可； 因为新鲜助农水果和核心助农产品要作为相邻链接上架，所以将它们视为一个整体，其内部排列方式有（种）； 所以此整体与剩下的地域特色干货、五谷杂粮礼包、非遗手工艺品3类选品的排列方式有（种）； 因此不考虑其他限制的排列方式有（种）； 当非遗手工艺品作为最后一个链接上架的排列方式有（种）； 所以新鲜助农水果、核心助农产品作为相邻链接上架，且非遗手工艺品不能作为最后一个链接上架的上架顺序有（种）. 故选：C. 二、多选题 8．（24-25高二下·福建福州·月考）满足不等式 的的值可能为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】CD 【分析】根据排列数的计算公式化简即可求解. 【详解】由可得， 故，化简可得，故， 故选：CD 9．（23-24高二下·江苏连云港·月考）在高二元旦晚会上，有个演唱节目，个舞蹈节目．以下有关排列组合问题中正确的是（    ） A．有种不同的节目演出顺序 B．当个舞蹈节目接在一起时， 有种不同的节目演出顺序 C．当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，有种不同的演出顺序 D．若已定好节目单，后来情况有变， 需加上诗歌朗诵和快板个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有种不同的节目演出顺序 【答案】ACD 【分析】利用全排列判断A，利用捆绑法判断B，利用插空法判断C，首先考虑个节目全排列，再除以，即可判断D. 【详解】对于A：个节目全排列，有种不同的节目演出顺序，故A正确； 对于B：当个舞蹈节目接在一起时，把个舞蹈节目看成一个元素，与其他个节目全排列， 有种不同的节目演出顺序，而个舞蹈节目本身有种顺序， 所以共有种不同的节目演出顺序，故B错误； 对于C：把个演唱节目排列，有种顺序，再把个舞蹈节目插入到个空挡中，有种方法， 所以共有种不同的演出顺序，故C正确； 对于D：个节目全排列，有种不同的节目演出顺序，其中原来的个节目有种不同的节目演出顺序， 而现在原来的个节目顺序不变，只占其中一种，所以有种不同的节目演出顺序，故D正确， 故选：ACD． 10．（24-25高二下·安徽蚌埠·月考）某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（    ） A．若要求3名男生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法 B．若要求男生甲、乙、丙的顺序一定，则这6名同学共有120种不同的排法 C．若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有72种不同的排法 D．若要求男生甲不在排头女生乙不在排尾，则这6名同学共有504种不同的排法 【答案】ABD 【分析】利用捆绑法，消序法，插空法，间接法来求解带限制条件的排列问题即可. 【详解】对于A. 若要求3名男生相邻，则这6名同学共有种不同的排法，故A正确； 对于B. 若要求男生甲、乙、丙的顺序一定，则这6名同学共有种不同的排法，故B正确； 对于C. 若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有种不同的排法，故C错误； 对于D. 若要求男生甲不在排头女生乙不在排尾，则这6名同学共有种不同的排法，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 11．（24-25高二下·重庆渝中·月考）某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有__________种排法（数字作答）. 【答案】 【分析】根据特殊元素优先法分步完成即可. 【详解】依题意，完成这件事共分两步完成， 第一步：从4个歌唱节目中选2个排在一头一尾有种排法； 第二步：剩下的2个语言类节目和2个唱歌节目共4个节目在中间4个位置全排有种排法， 由分步乘法计数原理得一共种排法． 故答案为：. 四、解答题 12．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知，求 【答案】(1)64； (2)348； (3)7. 【分析】（1）（2）利用排列数公式计算即可. （3）利用排列数公式化简方程，再求解方程即得. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，即，则， 整理得，所以. 13．（24-25高二下·江苏盐城·月考）（1）计算：； （2）解不等式：. 【答案】（1）64；（2）3或4 【分析】（1）利用排列数公式计算即可； （2）根据排列数公式运算求解即可. 【详解】（1）. （2）因为，可知，且， 整理可得，解得， 且，所以或. 14．（24-25高二下·天津滨海新区·期中）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”．现有3名男生（甲、乙、丙）和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)男生甲坐第一个，女生都不坐最后一个的坐法有多少种？ (3)甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有多少种？ (4)男生有两人相邻且都不与第三位男生相邻的坐法有多少种？ 【答案】(1)576 (2)240 (3)3720 (4)2880 【分析】（1）根据排列中的相邻元素用捆绑法求解即可； （2）根据排列问题的特殊元素优先安排结合分步乘法计数原理求解即可； （3）根据排列问题的特殊元素优先安排分步乘法计数原理求解即可； （4）根据相邻元素捆绑，不相邻元素插空安排，结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】（1）先将4名女生排在一起，有种排法， 将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种排法； （2）从剩下的2名男生中选一位坐在最后一个座位，有2种排法， 因为男生甲坐第一个，则剩下的5人进行全排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种排法； （3）7个人全排列，有种排法， 甲坐第一个有种排法，乙坐第三个有种排法，甲坐第一个且乙坐第三个有种排法， 所以甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有种排法； （4）先排4名女生，有种排法， 从3名男生中选出2名男生相邻并看成一个整体，有种选法， 4名女生排好后产生5个空位，把男生整体和另一名男生插入5个空位中，有种插法， 根据分步乘法计数原理，共有种坐法． 15．（24-25高二下·吉林松原·月考）用1，2，3，4四个数字组成可有重复数字的三位数． (1)将这些数从小到大排列，求排在第22个的三位数是多少； (2)求个位数字比十位数字大的三位数的个数； (3)求能被3整除的三位数的个数． 【答案】(1)222 (2)24 (3)22 【分析】（1）利用分步乘法计数原理按百位上数字为1、2分类求解即得. （2）利用分步计数乘法原理，结合排除法列式求解. （3）利用分类加法计数原理，结合排列计数问题列式求解. 【详解】（1）百位数字是1的三位数有个；百位数字是2，十位数字是1的有4个， 接下来的数依次是221，222，所以第22个的三位数是222． （2）由分步乘法计数原理，所有的三位数有个， 其中个位数字与十位数字相等的三位数有个， 所以个位数字比十位数字大的三位数有个． （3）能被3整除的三位数分为三类： 第一类，全部由2组成或者全部由3组成，共有2个； 第二类，全部由1或4组成，共有个；   第三类，由1，2，3或者2，3，4组成，共有个，         所以由分类加法计数原理，能被3整除的三位数有个. 16．（24-25高二下·河北保定·期末）高二（3）班的3个男生，2个女生（含学生甲、乙）在寒假期间参加社会实践活动．（用数字作答下列问题） (1)社会实践活动有5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方案的种数； (2)活动后5人从左到右排成一排拍照，求甲不在正中间，乙不在排头的排法种数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过排列的方法求分配方案的种数； （2）方法一用间接法求排法种数，先全排，再减去不符合题意的即可；方法二用直接法，分①甲在排头，其他4人随机排和②甲不在排头也不在中间，乙不在排头两类计算 【详解】（1）5个人做5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，不同的分配方案总数为． （2）方法一：5人随机排有种排法，其中甲在正中间，其他4人随机排，有种排法，乙在排头，其他4人随机排，有种排法，甲在正中间，乙在排头，其他3人随机排，有种排法． 综上所述，甲不在正中间，乙不在排头的排法种数共有种． 方法二：甲不在中间，乙不在排头的排法可以分两类： ①甲在排头，其他4人随机排，则有种排法； ②甲不在排头也不在中间，甲有3个位置可以选择，乙不在排头，有3个位置可以选择，其他3人随机排，则有种排法. 综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种. 17．（24-25高二下·陕西榆林·月考）某班进行“数学与生活”演讲，有4名男生和3名女生参加，现要排出一个演讲次序．（结果用数字作答） (1)若4名男生相邻，共有多少种不同的排法？ (2)若3名女生不相邻，共有多少种不同的排法？ (3)若男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有多少种不同的排法？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 【分析】（1）利用“元素相邻捆绑法”求排法种数. （2）利用“元素不相邻插空法”求排法种数. （3）方法一：利用“特殊元素（位置）优先法”求排法种数；方法二：利用“间接法”求排法种数. 【详解】（1）若4名男生相邻，有种情况， 将4名男生看为一个整体，和3名女生进行排列，有种情况． 所以共有种不同的排法． （2）若3名女生不相邻，先安排4名男生，有种情况， 再将3名女生插入到4名男生形成的5个空中，有种， 所以共有种情况． （3）方法一：男生甲排第一名时，其他人可全排，有种排法； 男生甲不排第一名时，可从余下不含中间的5个位置任选1个，有种， 而女生乙可从除去第一名和男生甲的位置后剩下的5个中任选1个，有种， 其他人全排列，只有种不同排法， 共有种排法． 综上所述，男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有种不同的排法. 方法二：7名学生全排列，有种排法， 其中男生甲排中间，有种排法， 女生乙排第一名，有种排法， 其中都包含了男生甲排中间且女生乙排第一名的情形，有种， 所以男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有种不同的排法． 18．（25-26高二上·江苏南京·期末）用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. (1)求可组成多少个四位数； (2)求可组成多少个偶数互不相邻的六位数； (3)将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用排列的乘法原理，先确定千位数的限制条件，再计算剩余数字的全排列数； （2）采用插空法处理不相邻问题，先排列不受限制的元素，再分类讨论偶数插入时的首位限制； （3）通过逐位分类与排列计数，结合字典序排列规则定位具体位置对应的数. 【详解】（1）四位数的千位不能为，从数字中选不重复的四位数个数， 千位从中选，有种选法， 剩余三位从剩下的个数字中选个排列： 总数：. （2）用组成无重复数字的六位数，且偶数互不相邻 先排奇数，排列数：, 三个奇数从左到右形成个空隙， 个空隙中选个放入偶数（每个空隙一个偶数，保证偶数互不相邻）： 若空隙未被选：只能选空隙，偶数全排列种， 若空隙被选：空隙不能放，故从中选个放在空隙（种），剩余两个偶数放入另两个选中的空隙（种）， 包含空隙的空隙选择有种，每种对应种偶数排法，共种， 偶数排法总数：， 六位数总数：. （3）从小到大排列这些四位数，求第个数， 千位为时：后三位从剩余个数中选个排列，有个（第个）， 千位为时：也有个（第个）， 第个在千位为中排第个， 千位为时： 百位为：个（第个）， 百位为：个（第个）， 第个是，第个是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【第7讲：排列与排列数】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A ·基础达标题型】 【题型1：排列数简单计算】 【练方法】 知识梳理 排列数定义：从个不同元素中取出个元素的排列数记为 公式： 特别地，， 适用场景：直接代入公式计算排列数，或解含排列数的方程/不等式 解题思路 1.明确和的取值范围（，） 2.代入排列数公式展开计算 3.若为方程/不等式，先化简为阶乘形式，再求解 4.验证解是否满足的条件 名师点睛 计算时优先用连乘形式，避免阶乘的复杂运算 解排列数方程时，要注意为正整数且，防止增根 记住常见阶乘值：，，，， 排列数与顺序有关，区分“排列”和“组合”的核心是是否考虑顺序 （25-26高二下·全国·课堂例题）求中的x．经典例题1例题 （25-26高二下·全国·课堂例题）计算：.经典例题2例题 （24-25高二下·新疆哈密·月考）已知，则等于（    ）小试牛刀1 A．12 B．7 C．6或13 D．6 （23-24高二下·江苏苏州·月考）（1）解关于的不等式；小试牛刀2 （2）解不等式：. （24-25高二上·全国·课后作业）解下列方程或不等式．小试牛刀3 (1)=2； (2). 【题型2：与排列数有关的证明】 【练方法】 知识梳理 核心工具：排列数公式、阶乘性质、排列数递推关系 常见结论： 目标：证明含排列数的等式或不等式 解题思路 1.将排列数统一化为阶乘形式： 2.对等式两边分别化简，转化为阶乘的运算 3.利用阶乘的性质（如）进行变形 4.证明两边化简后结果相等，或不等式成立 名师点睛 证明时优先将排列数化为阶乘，便于统一运算 递推式是高频考点，可用于简化计算 不等式证明常结合阶乘的放缩（如，） 注意阶乘的定义，避免遗漏边界情况 （24-25高二·全国·课堂例题）求证：．经典例题1例题 【多选题】（23-24高二下·广东佛山·月考）下列等式中，成立的有（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高二·全国·课后作业）求证：（，，且）．小试牛刀1 （25-26高二下·全国·课后作业）（多选）下列等式中，正确的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高二下·江苏徐州·月考）求解下列问题：小试牛刀3 (1)计算：； (2)求证：. (3)解关于的不等式：； 【题型3：特殊元素/特殊位置优先】 【练方法】 知识梳理 场景：排列中存在特殊元素（如必须在首位、不能在末位）或特殊位置（如首位、末位、中间位置） 核心思想：优先处理有约束的元素或位置，再处理无约束的元素 本质：分类加法+分步乘法计数原理 解题思路 1.明确特殊元素/特殊位置的约束条件 2.优先安排特殊元素或特殊位置，计算方法数 3.再安排剩余无约束的元素，计算方法数 4.用分步乘法计算总方法数 5.若有多个特殊约束，需分类讨论（如“甲在首位”或“甲在末位”） 名师点睛 口诀：“特殊元素优先排，特殊位置优先占” 若特殊元素有多个，需注意它们之间的顺序 避免重复计数：同一元素不能同时被安排在多个位置 常见例子：数字排列中“0不能在首位”，优先排首位，再排其他位 （2026·山东淄博·一模）有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（    ）经典例题1例题 A．42 B．50 C．54 D．60 （25-26高二下·全国·课堂例题）六人按下列要求站成一横排，分别有多少种不同的站法？经典例题2例题 (1)甲不站两端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端． （25-26高二上·江西·期末）从0~7这8个数字中取出4个数字，试问：小试牛刀1 (1)能组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ （25-26高二上·上海浦东新·期末）若有5名同学排成一排，其中甲不能站排头，共有__________种不同的排法.小试牛刀2 （25-26高二上·江西·期末）某文艺汇演有6名演员（含甲、乙）站成一排表演，若甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排法有（    ）小试牛刀3 A．480种 B．504种 C．360种 D．288种 【题型4：相邻问题捆绑法】 【练方法】 知识梳理 场景：要求某些元素必须相邻（如“甲乙必须相邻”“三个女生必须排在一起”） 核心方法：捆绑法，将相邻元素视为一个整体，先整体排列，再内部排列 本质：分步计数，先排整体，再排内部 解题思路 1.将相邻元素捆绑为一个“大元素” 2.计算这个“大元素”与其他元素的全排列数 3.计算相邻元素内部的全排列数 4.用分步乘法将两步结果相乘，得到总方法数 名师点睛 捆绑法的关键是“先整体，后内部”，顺序不能颠倒 若有多个捆绑组，需分别计算每个组的内部排列 相邻元素内部有顺序时，必须计算内部排列数 例子：个元素中个元素相邻，总方法数为 （2026·新疆·模拟预测）有5辆车停放在一排的5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放方法的总数为（    ）经典例题1例题 A．24 B．48 C．72 D．120 （25-26高二上·江苏南通·期末）2个女生和2个男生站成一排合影，2个男生相邻的不同排法总数为（    ）经典例题2例题 A．12 B．24 C．36 D．72 （25-26高二下·全国·课堂例题）3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．小试牛刀1 (1)全体站成一排，男、女各站在一起； (2)全体站成一排，男生必须站在一起； (3)全体站成一排，男生不能站在一起； (4)全体站成一排，男女相间排列． （2026·辽宁·模拟预测）已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（   ）个. 小试牛刀2 A．432 B．257 C．282 D．504 （25-26高二上·江西吉安·期末）某社区文化节需安排4个不同节目（古筝演奏、相声、吉他弹唱、民族舞），按表演先后顺序排定4个时段，每个时段表演一个节目，且节目不重复．请根据以下不同条件，分别计算符合要求的节目安排方案总数：小试牛刀3 (1)民族舞节目不能安排在第一个表演时段； (2)古筝演奏节目与相声节目必须相邻. 【题型5：不相邻问题插空法】 【练方法】 知识梳理 场景：要求某些元素必须不相邻（如“甲乙不能相邻”“男生不能相邻”） 核心方法：插空法，先排无约束的元素，再将不相邻元素插入到空隙中 本质：分步计数，先排“隔板”，再插“元素” 解题思路 1.先排无约束的元素，计算排列数 2.找出这些元素形成的空隙数（包括两端） 3.将不相邻的元素插入到空隙中，计算排列数 4.用分步乘法将两步结果相乘，得到总方法数 名师点睛 插空法的关键是“先排不约束，后插不相邻” 空隙数=无约束元素个数+1（包括两端） 若不相邻元素有顺序要求，需计算排列数；若无顺序，用组合数 例子：个元素中个元素不相邻，总方法数为 （2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有（    ）经典例题1例题 A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【多选题】（25-26高二上·江苏南通·期末）文娱晚会中，学生的节目有9个，教师的节目有2个，则（   ）经典例题2例题 A．如果教师的节目不排在最后，那么不同排法的种数为 B．如果教师的节目不排在两端，那么不同排法的种数为 C．如果教师的节目必须相邻，那么不同排法的种数为 D．如果教师的节目不能相邻，那么不同排法的种数为 （25-26高二上·江西南昌·期末）三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为（    ）小试牛刀1 A．144 B．72 C．36 D．12 （25-26高二上·江西抚州·期末）某教室有一排个座位，4位男同学和3位女同学要坐下，但为了减少聊天，规定同性别的同学不能相邻而坐（即任意两位男生不相邻，任意两位女生不相邻）的坐法总数为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·湖南永州·一模）现有4名男生和2名女生排成一行照相，要求女生不相邻，男生甲因身高原因不能站在整个队伍的最左端，则一共有______种不同的站法.小试牛刀3 【题型6：定序问题除序法】 【练方法】 知识梳理 场景：某些元素的顺序固定（如“甲乙丙必须按顺序排列”“三个女生身高固定，顺序不变”） 核心方法：除序法，先全排列，再除以定序元素的全排列数（消除重复） 本质：全排列中，定序元素的所有排列只算一种，故除以 解题思路 1.先对所有元素进行全排列，计算 2.找出定序元素的个数，计算它们的全排列数 3.总方法数= 4.若有多组定序元素，分别除以各组的全排列数 名师点睛 定序问题的本质是“消除重复计数”，定序元素的顺序固定，故它们的内部排列只算一种 若定序元素之间有其他元素，不影响除序法的应用 例子：个元素中个元素顺序固定，总方法数为 除序法也可用于“部分元素相同”的排列问题（如“aabbb”的排列数） （2026·山东滨州·一模）春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（    ）经典例题1例题 A．24 B．60 C．120 D．240 （25-26高二下·全国·课堂例题）7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？经典例题2例题 （25-26高三上·江西吉安·月考）育才学校校庆要编制一张演出节目单，5个舞蹈节目已排定顺序，要再插入4个歌唱节目，则共有_____种插入方法（用数字作答）.小试牛刀1 （2025高二·全国·专题练习）7名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他6名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有______种排法．小试牛刀2 （24-25高二下·全国·课后作业）6个人站成一排，甲、乙、丙三人从左到右的顺序保持一定，有多少种不同的站法？小试牛刀3 【B·能力提升题型】 【题型1：相邻问题与不相邻问题综合】 【练方法】 知识梳理 场景：同时存在相邻和不相邻的约束（如“甲乙必须相邻，丙丁不能相邻”） 核心思想：先处理相邻问题（捆绑法），再处理不相邻问题（插空法） 本质：分步计数，先捆绑，再插空 解题思路 1.先将相邻元素捆绑为一个“大元素”，计算内部排列数 2.排“大元素”与其他无约束元素，计算排列数 3.找出这些元素形成的空隙数 4.将不相邻元素插入到空隙中，计算排列数 5.用分步乘法将所有步骤结果相乘，得到总方法数 名师点睛 顺序：先捆绑，后插空，避免逻辑混乱 注意“大元素”与其他元素的排列，以及空隙的数量 若不相邻元素有多个，需确保它们都插入到不同的空隙中 此类问题是高考高频考点，需熟练掌握捆绑法和插空法的结合 （25-26高三上·河北衡水·期末）六艺，是我国周朝教育体系中的六种技能，即：礼､乐､射､御､书､数.在周朝官学中开设这六门课程，从这六门课中选5门，连排5节课，每门排一节，要求每天必须学“礼､乐､数”，并要求“礼”与“乐”相邻排课，但均不与“数”相邻排课，且“御”不能排在第一节，则不同的排课方案种数为（    ）经典例题1例题 A．24 B．48 C．64 D．128 （2025·贵州·模拟预测）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有______种．经典例题2例题 （24-25高二下·江苏南通·月考）现有五人站成一排，则相邻且不相邻的排法种数共有___________种．小试牛刀1 （22-23高二下·四川广安·期中）电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．小试牛刀2 (1)女生互不相邻的坐法有多少种？ (2)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ （24-25高二下·湖北恩施·期末）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（   ）小试牛刀3 A．144 B．240 C．336 D．456 【题型2：排列与古典概型综合的概率问题】 【练方法】 本质：先用排列数计算基本事件总数和事件A包含的事件数，再求概率 场景：排队、数字排列、座位安排等，结合古典概型 解题思路 1.用排列数计算所有可能的基本事件总数 2.分析事件A的约束条件，用排列数计算事件A包含的事件数 3.代入概率公式，计算概率 4.验证结果符合概率范围 名师点睛 概率计算的关键是准确计数，避免重复或遗漏 若事件A复杂，可先分类再分步，用排列数分别计算各类情况 注意“至少”“至多”“恰好”等关键词，对应不同的计数方法 例子：5人排队，甲乙相邻的概率= （2025高三·全国·专题练习）在七个数字1，2，3，4，5，6，7的所有排列中，求至少有两个相邻数字不互质的概率．经典例题1例题 （25-26高二上·江西南昌·期末）7名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁相邻的概率是______．经典例题2例题 （25-26高三上·河北张家口·期末）已知甲、乙、丙、丁四名学生利用假期的某周周一到周五去敬老院参加志愿者活动，每天去一人，且甲参加两天活动，其余三名学生每人一天，则安排甲不在相邻两天做志愿者的概率为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·重庆·月考）6名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁必须相邻的概率是________．小试牛刀2 （24-25高二下·江苏南京·期中）15个人围坐在圆桌旁，从其中任取4人，两两不相邻的概率是___________．小试牛刀3 【题型3：综合素养题型】 【练方法】 知识梳理 场景：以实际问题为背景（如课程表安排、人员调度、文化活动等），考查排列的综合应用 核心：将实际问题转化为排列模型，本质还是特殊元素、相邻、不相邻、定序等基础题型 目标：提取数学信息，建立排列模型，解决实际问题 解题思路 1.审题，提取核心约束条件（忽略背景描述） 2.将问题转化为排列问题，明确元素、位置、约束类型 3.选择合适的方法（优先法、捆绑法、插空法、除序法）计算方法数 4.结合其他知识点（如概率、最值）求解最终问题 5.验证结果符合实际意义 名师点睛 此类问题“起点高，落点低”，背景复杂但数学本质简单 优先识别约束类型：特殊元素→优先法，相邻→捆绑法，不相邻→插空法，定序→除序法 若有多个约束，按“先特殊，后一般；先捆绑，后插空”的顺序处理 注意实际问题中的限制（如“每天只能上一节数学课”），避免不符合实际的计数 此类问题是高考压轴题的常见类型，需多练习建模能力 （2025高三·全国·专题练习）设是数字1，2，3，4，5的排列．若不存在 使成立，则所有这样的排列数有_____种．经典例题1例题 （2025·湖南永州·模拟预测）一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为，，，则事件”发生的概率为_____.经典例题2例题 （2025·湖南·模拟预测）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如：，，现将、、、、的函数值排成一列，则组成的不同五位数的个数为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·江西九江·一模）如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为______．小试牛刀2 （2025·辽宁鞍山·二模）设、、、是、、、、、、、的一个排列，则满足，，，的排列共有________个；，则集合中所有元素的和为___________.小试牛刀3 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·河南驻马店·月考）可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·贵州·月考）甲、乙、丙、丁、戊五人去甘肃、贵州、陕西三省旅游，每人只去一个省份，已知甲、乙都不去陕西，丙、丁去的省份不同，则这五人不同的选择共有（   ） A．36种 B．72种 C．60种 D．96种 3．（25-26高二上·陕西渭南·月考）在某场城市马拉松比赛中，组委会需在连续的8个志愿服务站中安排甲、乙、丙3名“急救志愿者”.出于安全规范要求，要求任意两名急救志愿者不在同一个服务站，也不在相邻的服务站，则不同的安排方法种数为（   ） A．80 B．120 C．168 D．336 4．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）某羽毛球比赛结束，1名教练和3名学员站成一排拍照留念，其中教练不站在两边的排法种数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．18 5．（2025·广东佛山·模拟预测）某学校的数学兴趣小组为了了解我国古代的数学成就，先后去图书馆借阅了5本古代数学名著：《周髀算经》､《九章算术》､《海岛算经》､《孙子算经》和《张丘建算经》，该小组每次随机借阅一本名著，且归还后再随机借阅下一本（已借阅的不会重复借阅）．则最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·贵州黔西南·月考）图书馆有4本不同的科普书籍（分别记为）和2本相同的故事书，现在需要将这6本书从左到右整齐摆放在书架上，则2本相同的故事书相邻摆放的概率（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）某地文旅局联合多部门借助电商平台推销当地特色农产品，共有新鲜助农水果、核心助农产品、地域特色干货、五谷杂粮礼包、非遗手工艺品、限时秒杀六类选品，若要让限时秒杀类选品作为第一个链接上架，新鲜助农水果、核心助农产品作为相邻链接上架，且非遗手工艺品不能作为最后一个链接上架，则上架顺序有（   ） A．16 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种 二、多选题 8．（24-25高二下·福建福州·月考）满足不等式 的的值可能为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 9．（23-24高二下·江苏连云港·月考）在高二元旦晚会上，有个演唱节目，个舞蹈节目．以下有关排列组合问题中正确的是（    ） A．有种不同的节目演出顺序 B．当个舞蹈节目接在一起时， 有种不同的节目演出顺序 C．当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，有种不同的演出顺序 D．若已定好节目单，后来情况有变， 需加上诗歌朗诵和快板个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有种不同的节目演出顺序 10．（24-25高二下·安徽蚌埠·月考）某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（    ） A．若要求3名男生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法 B．若要求男生甲、乙、丙的顺序一定，则这6名同学共有120种不同的排法 C．若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有72种不同的排法 D．若要求男生甲不在排头女生乙不在排尾，则这6名同学共有504种不同的排法 三、填空题 11．（24-25高二下·重庆渝中·月考）某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有__________种排法（数字作答）. 四、解答题 12．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知，求 13．（24-25高二下·江苏盐城·月考）（1）计算：； （2）解不等式：. 14．（24-25高二下·天津滨海新区·期中）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”．现有3名男生（甲、乙、丙）和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)男生甲坐第一个，女生都不坐最后一个的坐法有多少种？ (3)甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有多少种？ (4)男生有两人相邻且都不与第三位男生相邻的坐法有多少种？ 15．（24-25高二下·吉林松原·月考）用1，2，3，4四个数字组成可有重复数字的三位数． (1)将这些数从小到大排列，求排在第22个的三位数是多少； (2)求个位数字比十位数字大的三位数的个数； (3)求能被3整除的三位数的个数． 16．（24-25高二下·河北保定·期末）高二（3）班的3个男生，2个女生（含学生甲、乙）在寒假期间参加社会实践活动．（用数字作答下列问题） (1)社会实践活动有5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方案的种数； (2)活动后5人从左到右排成一排拍照，求甲不在正中间，乙不在排头的排法种数． 17．（24-25高二下·陕西榆林·月考）某班进行“数学与生活”演讲，有4名男生和3名女生参加，现要排出一个演讲次序．（结果用数字作答） (1)若4名男生相邻，共有多少种不同的排法？ (2)若3名女生不相邻，共有多少种不同的排法？ (3)若男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有多少种不同的排法？ 18．（25-26高二上·江苏南京·期末）用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. (1)求可组成多少个四位数； (2)求可组成多少个偶数互不相邻的六位数； (3)将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $