7.3.1 正弦函数的性质与图象课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

7.3 三角函数的性质与图象 7.3.1 正弦函数的性质与图象 第七章 三角函数 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 高考考向分析 06 高考模拟 05 知识测评 学习目标 01 4 必备知识解读 02 知识点1 正弦函数的性质 函数 定义域 值域 最值 当时，;当 时， 奇偶性 奇函数，图象关于原点中心对称 周期性 周期函数，周期为,最小正周期为 6 单调性 在区间 上单调递增，在 上单调递减 零点 续表 7 典例详解 例1-1 函数,, 的最大值和最小值分别是( ) C A.1， B.1， C.， D.1， 【解析】函数在区间上单调递增，故最大值是 ，最小值是 . 8 知识点2 正弦函数的图象 1 正弦函数的图象 正弦函数 的图象如图7.3.1-1所示. 图7.3.1-1 一般地， 的函数图象称为正弦曲线. 9 特别提醒 （1）作正弦函数图象时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数 值都为实数. （2）正弦曲线是轴对称图形，对称轴为 ，对称轴经过图象的 最高（低）点;正弦曲线也是中心对称图形，且对称中心为 . （3）正弦曲线相邻两条对称轴之间的距离、相邻两个对称中心的距离均为 ，对称中心到其相邻对称轴的距离为 . . . . . 10 2 五点法作图 从图7.3.1-1可以看出，以下五个点在确定, 的图象形状时起着 关键作用: ，，，，（最高点、最低点与 轴的交点）. 这五个点描出后，， 的图象形状就基本上确定了.因此，在精 确度要求不高的情况下，一般都是先找出确定图象形状的关键的五个点，然后再描 点作图，这种作图方法称为五点法. . . . . . . . . . . 11 典例详解 例2-2 [教材改编P42例4] （1）画出函数,, 的图象; 【解析】按五个关键点列表如下： 0 0 1 0 0 0 0 1 0 描点并用光滑的曲线连接起来，如图7.3.1-2，得到，, 的图象. 图7.3.1-2 12 （2）画出函数， 的简图. 【解析】按五个关键点列表如下： 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 描点并用光滑的曲线将它们连接起来，通过平移得到 （【想一想】如何画 ,的图象？）， 的图象， 如图7.3.1-3所示． 图7.3.1-3 . . 13 重难拓展 知识点3 函数周期性的探究 1 周期函数 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得对定义域内的每一个 ， 都满足,那么就称函数为周期函数，非零常数 称为这个函数的 周期． 对于一个周期函数 ，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这 个最小的正数就称为 的最小正周期． 说明 POINT 今后本书所提到的周期，如果不加特殊说明，均指最小正周期， . . 14 2 周期函数的理解 （1）不是所有的函数都是周期函数． （2）一个周期函数的周期不止一个，若有最小正周期，则最小正周期只有一个． （3）不是所有的周期函数都存在最小正周期．如常数函数 为常数 ， 是周期函数，但没有最小正周期． （4）若是函数的一个周期，则，且也是函数 的周期． （5）设周期为的函数的定义域为，若，则必有 ，且 ，因此周期函数的定义域一定是无限集． 15 （6）函数的周期性是函数在定义域上的整体性质，只有个别的 值或只差个别 的值满足都不能说是 的周期．若一个函数为周期函数，则只 需研究它在一个周期范围内的性质，就可以知道它的整体性质. 16 3 抽象函数的周期性 （1）若函数满足,则函数 是周期函 数， 为它的一个周期． （2）若函数满足,则函数 是周期 函数，为它的一个周期．若，则的一个周期为 . （3）若函数的图象有两条对称轴， ，则函数 是周期函数， 为它的一个周期． （4）若函数的图象存在对称中心，，则函数 为 周期函数，且 为它的一个周期． （5）若函数的图象存在对称轴，对称中心 ，则函数 为周期函数，且 为它的一个周期．#5 17 （6）若，则为函数 的一个周期. 说明 具有对称性、周期性的抽象函数具体化，可参考 的对称性、周 期性进行理解.#7 18 典例详解 例3-3 已知函数是定义域为的周期函数，其最小正周期为2，且当 时，,则 ___. 1 【解析】因为 是周期为2的函数，所以 . 19 例3-4 (2025·北京八中开学考试)已知定义在上的奇函数满足 ， 且在区间 上单调递增，则( ) D A. B. C. D. 20 【解析】满足 ， ， 函数 是以8为周期的周期函数， 则，， . 又是定义在上的奇函数，且满足 ， . 在区间上单调递增，在 上是奇函数， 在区间 上单调递增， ，即 . 21 例3-5 (2025·河南省实验中学期中)已知是定义在 上的偶函数，且它的图象关于 对称，当时，，则当时， _______ ________. 【解析】由题意可知，的图象有两条对称轴和 , 所以 是周期函数，且它的一个周期为4. 又当 时， , 所以 . 22 题型解析 03 题型1 定义域问题 例6 [教材改编P44 T4](2025·广东省茂名市期末)函数 的定义域为 __________________________. , 【解析】由,得,则 , . 故函数的定义域为 , . 24 在求解与三角函数综合的函数定义域时，要注意三角函数本身的特征和性质，在转 化为不等式（组）后，可以结合三角函数的单调性求解，也可以利用正弦函数的图 象求解. 25 题型2 值域与最值问题 1 已知有界性和单调性求值域（最值） 例7 [教材改编P43 T4]求使下列函数取得最大值和最小值时的 值，并求出函数的最 大值和最小值： （1） ; 【解析】由知，当,时，函数 取得最大 值， ； 当,时，函数取得最小值， . 26 （2） . 【解析】当时， ； 当时， . 则原解析式可化为 由，可知当,时，函数 取 得最小值， ; 当 ,时，函数取得最大值， . 27 （1） （2） 28 2 分离常量求值域（或最值） 例8 求函数 的值域. 【解析】 . 因为,所以，即 , 所以,所以函数的值域为 . 29 名师点评 也可利用正弦函数的有界性求解. 由，得,即,显然,故 . 因为,所以,解得 ， 所以函数的值域为 . 30 3 化为 型函数求值域（或最值） 例9（1）求函数 的最大值和最小值； 【解析】令 ,则 . 因为 （【重点掌握】注意此条件，函数所取最大值不是3，并且养成习惯： 换元要注意新元的取值范围），所以当 ， 即时，函数取得最大值, ; 当,即时，函数取得最小值, . . . 31 （2）求函数， 的最大值. 【解析】 需注意，与的大小关系不明确，需分情况讨论，切勿直接认为 的 最小值为0 . ①若，则当 时， 取得最大值， ; ②若，则当 时， 取得最大值， ； . . 32 ③若，则当 时， 取得最大值， . 综上，, ; , ; , . 33 （1） （2） 34 与正弦函数有关的函数的值域（最值）的求法 1.求形如 的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性 求解. 2.求形如，， 的函数的值域或最值时，可以通过 换元，令，将原函数转化为关于 的二次函数，利用配方法求值域或最值.求 解过程中要注意正弦函数的有界性. 3.求形如，的函数的值域，可以用分离常数法得到 的形式进而求解. 35 【变式题】 1.求出下列函数的值域： （1）， ； 【答案】因为，所以当时， 取最小值， ， 当时，取最大值， ， 所以函数的值域为 . 36 （2） ; 【答案】 ， 因为，所以 ， 所以，所以 ， 即函数的值域是 . （3） . 【答案】令，则 .原函数可变形为 ，所以当 时，该函数取得最小值 ；当 时，该函数取得最大值1. 故函数的值域为, . 37 4 已知函数值域（最值）求参数 母题 致经典·母题探究 例10 已知函数的值域为,，则 的最大值为___. 图7.3.1-4 【解析】作出正弦函数 的图象，如图7.3.1- 4所示， 函数的定义域为，值域为, ， 又，结合图象可知 的最大值 为 . 38 子题 子题1 已知函数的值域为[-,，则 的最小值为___. 【解析】当函数在上单调时， 的值最小，结合正弦函数 的图象可知，的最小值为 . 子题2 已知函数的值域为[-,，则 的取值范围为______. , 39 题型3 单调性问题 1 比较大小 例11 [教材改编P39例2]比较下列各组三角函数值的大小： （1）与 ; 【解析】因为 （同一单调区间），且正弦函数 在区间[-, 上单调递增， 所以 . . . 40 （2）与 ; 【解析】 （利用诱导公式化到同一单调区间）, . 因为 ,且正弦函数在区间, 上单调递减， 所以,即 . . . . . 41 （3）与 . 【解析】, （不同名化为同名）, 因为正弦函数在,上是增函数，且,所以 ,即 . . . 42 名师点评 大角的正弦函数值不一定大于小角的正弦函数值，正角的正弦函数值也不 一定大于负角的正弦函数值. 43 利用正弦函数的单调性比较大小的方法 1.同名函数：比较 与 的大小，若 , 在函数 的同一单调区间内， 则直接由单调性得大小；若 , 不在同一单调区间内，则要把它们转化到同一个单 调区间来讨论. 2.异名函数：比较 与 的大小，应先把 转化成 ，再依据正 弦函数的单调性进行比较. 44 【变式题】 2.若,, ,则( ) D A. B. C. D. 【解析】,（【易错点】切勿直接由 判 断，因为 ,所以由诱导公式将角转化到同一单调区间上 再比较大小）， 因为,, ， 所以 . 又函数在, 上单调递增, 所以 ， 即,即 . . . . . 45 2 求单调区间 例12 [教材改编P43练习A T3]函数 的单调递减区间是_____________ _______________. , 【解析】因为正弦函数在 , 上单调递增，函数 与正弦函数的单调性相反，所以函数 的单 调递减区间为[- , . 46 题型4 正弦曲线的应用 1 解不等式 例13 利用正弦曲线，解不等式： . 【解析】第一步：作出正弦函数在, 上的简图. 作出正弦函数在 上的图象，如图 7.3.1-5. 图7.3.1-5 47 第二步：确定在一个周期,内 的取值范围. 作出直线，根据特殊角的正弦值，可知该直线与， 的图象的 交点横坐标为和 ； 作出直线,根据特殊角的正弦值，可知该直线与, 的图象的交 点横坐标为和 . 则在上的解集为 . 第三步：利用正弦函数的周期性延拓到 上. 由正弦函数的周期性可知，不等式 的解集为 . 48 名师点评 利用正弦曲线解不等式（组），找到不等式对应方程的解，再根据图象的 特点找到不等式的解集，注意依据正弦函数的周期添加“”或“ ” 等. 49 2 求方程根（函数零点）的个数 例14 方程 的实根有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个 图7.3.1-6 【解析】在同一平面直角坐标系中作函数 与 的图象，如图7.3.1-6， 由图可以看出两函数图象有3个交点，所 以方程 的实根有3个. 名师点评 这是正弦函数与方程的根的综合问题，可转化为两个函数图象的交点个数 问题，利用数形结合求解.画出的图象，利用的图象过点 和点 来确定两图象交点的个数，准确画图是解答此类题的关键. 50 例15 (2025·山东省邹城市北大新世纪实验学校开学考试)函数 ，，的图象与直线 有且仅有两个不同的交点， 则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 【解析】 如图7.3.1-7，数形结合可知的取值范围是 . 图7.3.1-7 51 【问题质疑】 若改为零个、一个、三个、四个时，结果又如何？ 提示 若有零个不同交点，则或 ; 若有一个不同交点，则 ; 若有三个不同交点，则或 ; 若有四个不同交点，则 . 52 高考考向分析 04 考情揭秘 高考主要考查运用几何直观和代数运算的方法研究正弦函数的性质（最值、奇偶性、 单调性等）.题型以选择题为主，难度简单或中等. 核心素养：直观想象（利用图象直观给出相关信息），逻辑推理（推断函数所具有 的性质）. 54 考向 正弦函数的图象与性质 例16 (2024·全国甲卷)函数在区间 的图象大致 为( ) B A. B. C. D. 55 【解析】由题知函数的定义域为 ，关于原点对称， ，所以函数 为偶函数，函数图象关于 轴对称，排除A,C； ，排除D. 56 例17 (全国Ⅰ卷)关于函数 有下述四个结论: 是偶函数； 在区间， 上单调递增； 在 ,上有4个零点； 的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是( ) C A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 【解析】， 为偶函数， 故①正确； 当 时， , 在 上单调递减，故②不正确； 57 图7.3.1-8 在 上的图象如图7.3.1-8所示，由图可知函数 在 上只有3个零点，故③不正确; 与 的最大值都为1且可以同时取 到， 可以取到最大值2，故④正确. 综上，所有正确结论的编号是①④． 58 高考新题型专练 1.[多选题](2025·辽宁省鞍山市期中)已知函数 ，则下列说法正确的 是( ) ACD A.函数的最小正周期为 B.点是 图象的一个对称中心 C.的图象关于直线对称 D.在区间， 上单调递减 59 【解析】作出函数的图象，如图D 7.3.1-1，函数的最小正周期为 ，A正确； 图D 7.3.1-1 结合图象可知，不是图象的对称中心，的图象关于直线 对称， B错误，C正确； 由函数的图象可知，在区间[-，上单调递减，D正确．故选 . 60 2.[多选题](2025·黑龙江省七台河市期末)已知函数 ，下列结论正确的有 ( ) AD A.是周期函数 B. 的图象关于原点对称 C.的值域为， D.在区间， 上单调递增 【解析】设，则是周期为 的周期函数，则 是周期函数，故 A正确； ，则 的图象关于原点不对称，故B错误； ，，即的值域为， ，故C错误； 当，时，函数为增函数，为增函数，即 在 区间[-， 上单调递增，故D正确. 故选 . 61 知识测评 05 建议时间：30分钟 1.函数， 的大致图象是( ) B A. B. C. D. 【解析】利用五点法代入验证可得选项B正确. 63 2.(2025·山东省济宁市期末)，， ]的图象与直线 的交点个 数是( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】由五点法作出函数，，的图象（如图D 7.3. 所 示），由图可知其与直线 只有1个交点． 图D 7.3.1-1 64 3.不等式， 的解集为( ) B A., B., C., D., 【解析】，，结合函数的图象可得， 不 等式，的解集为, . 4.若函数的值域为，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 【解析】在时的值域为,因此，若函数的值域为 ，则 需使当时，，结合反比例函数的图象与性质可得 . 65 5.[多选题](2025·重庆市铜梁中学校月考)关于函数 的下述四个结论正 确的是( ) AD A.是偶函数 B.在区间， 上单调递增 C.在区间[- ，上有4个零点 D. 的最大值为2 图D 7.3.1-2 【解析】由题意函数 作出其图象如图D 7.3.1-2所示. 由图象可知 是偶函数，A正确； 在区间， 上单调递减，B错误； 在区间[- ， 上有3个零点，C错误； 的最大值为2，D正确. 66 6.［多选题］已知函数 ，下列说法正确的是( ) ABD A.的最大值为1 B. 是 的周期 C.的图象关于点，对称 D.在 上单调递增 【解析】由于函数，故函数 的 最小正周期为 ，故B正确. 由于函数在0，上单调递增，在上单调递减，在 , 上无定义，故在时取得最大值，即 ，故A，D正确. 对于C，由于当时，函数在该点处没有定义，故C错误．故选 ． 67 7.函数 的值域是________. 【解析】由此可得所求函数的值域为 . 68 8.设函数 ． （1）请指出函数 的定义域、周期性和奇偶性； 【答案】 函数， ， ，，故函数的定义域为 ， }． 显然，的周期即的周期，为 ． ， 为奇函数． 69 （2）请以正弦函数 的性质为依据，并运用函数的单调性定义证明： 在区间 上单调递减． 【答案】正弦函数在区间上单调递增，设 ，则 ，，即 . 故在区间 上单调递减． 70 高考模拟 06 建议时间：30分钟 9.(2025·吉林省长春市质检)设，，依次是方程， ， 的根，并且，则，， 的大小关系是( ) A A. B. C. D. 【解析】因为，，，所以 ，因为 ，,，所以，，因为当 时， 函数与函数 都是单调递增函数，结合两者图象可得，前 者的图象在后者的上方，所以，综上所述， . 72 10.(2025·上海交大附中期中)设，函数在区间上的最小值为 ,在 区间上的最小值为,当 变化时，下列不可能成立的是( ) D A.且 B.且 C.且 D.且 【解析】取，则在区间,上的最小值，在区间, 上 的最小值，选项A可能成立；取，则在区间, 上的 最小值，在区间,上的最小值 ，选项C可能成立； 取，则在区间,上的最小值，在区间, 上的最小 值 ，选项B可能成立.故选D. 73 11.［多选题］(2025·湖南省新化县第二中学期中)函数的定义域为 ， 值域为，则 的值可能是( ) ABD A. B. C. D. 【解析】作出函数在上的图象，如图D 7.3.1-3所示,函数 的定 义域为，值域为，由图可知，的最大值为, 的最 小值为.结合选项可知，的值可能是，， . 图D 7.3.1-3 74 12.新情境 高斯函数 ［多选题］(2025·重庆缙云教育联盟诊断)高斯是德国著名的数 学家，人们称他为“数学王子”，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其 名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过 的最大整数（例如： ），则 称为高斯函数．已知函数 ， ，下列结论中不正确是( ) AB A.函数是周期函数 B.函数的图象关于直线 对称 C.函数的值域是，1， D.函数 只有一个零点 75 【解析】当时， , 当时， , 76 图D 7.3.1-4 作出 的图象如图D 7.3.1-4所示, 由此可得，且 为偶函数但不是 周期函数， 又，所以的值域为 ，1， ，不是周期函数，图象也不关于直线 对称，故A，B错误,C正确. 令，得，因为的值域为 ，所以当 时，,且 ,有一解；当 时，,但 ,无解； 当时， ,但, 无解.故函数 只有一 个零点，D正确，故选 . 77 13.(2025·北京市清华附中开学考试)已知函数，若对任意 都有 ，则常数 的一个取值为__________________． （答案不唯一） 【解析】函数，若对任意都有 ，即 ，，故是 的周期， ，则常数的一个取值为 ． 78 14.若在区间上至少含有30个零点，求 的最小值． 【答案】根据，即 ， 故或, ， 在区间 上至少含有30个零点， 不妨假设（此时，），则此时的最小值为（此时， ）， 的最小值为 . 79 15.若，，，且满足，则 ___. 1 【解析】由已知可得易知函数在， 上 为增函数且是奇函数，由题意知，，，故 ，则 ，即，所以 . 80 谢谢观看 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 81 $