7.3.1正弦函数的性质（教学课件，含交互动画）高一数学人教B版必修第三册

第1课时 正弦函数的性质 7.3 三角函数的性质与图形 第七章 三角函数 学 习 目 标 1 2 3 掌握正弦函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性及零点等核心性质，理解最小正周期的定义. 能运用性质解决比较函数值大小、求最值等典型问题. 通过性质的系统学习，提升学生的数学抽象能力（从实际问题抽象出函数模型）和逻辑推理能力. 新课导入 想象一下，夜晚坐在这样绚丽的摩天轮上，随着它缓缓转动. 当我们把这个庞然大物‘拍扁’，抽象成右边的几何图形后， 图中的哪些量在变化？ 高度的变化是由角的变化引起的. 即：对于任意角 → 唯一的高度 本节课我们就来研究的性质 角在变，点的位置在变，高度也在变 新知探究 利用正弦线可以直观地表示正弦函数的函数值,图中就是角 的正弦线.由正弦线你能得出正弦函数 具有哪些性质？ 探究一：定义域与值域 ①定义域 因为任意角都有正弦，所以的定义域为 ②值域 由图可知，正弦线MP的长度范围为 的值域是. 知识小结 定义域、值域 正弦函数 定义域： 值域： ①当且仅当 ②当且仅当 典例分析 例1 已知 sin ,求 的取值范围. 解 ：因为-1,所以 由此解得 2< 【分析】将 视为函数 的函数值，再确保一个代数式能够成为函数值域内的一个有效值即可. 即时训练 1.已知，求的取值范围. 【分析】依据 的有界性建立关于参数的不等式并求解. 解：因为对于任意实数，正弦函数的值域为 已知且, 所以 必须满足： 解此不等式得： ,即 新知探究 探究二：奇偶性 若，则该函数为奇函数；若)，则该函数为偶函数.对比的关系，是什么函数？ ①由诱导公式，结合奇函数的特征可知， 正弦函数是奇函数 ②观察图像也可知，当自变量互为相反数时. 函数值也互为相反数，这正是奇函数的特征. ①代数角度 新知探究 探究三：周期性 自变量的值每增加或减少 的整数倍时 正弦值重复出现 ②图形角度 正弦函数的函数线每旋转一周 正弦值重复出现 点击以上图标，动态演示正弦线的周期性现象 新知探究 一般地对于函数,如果存在一个非零常数 T ,使得对定义域内的每一个 都满足 那么就称函数为周期函数.非零常数 T 称为此个函数的周期. 由周期函数的定义可知：正弦函数 是一 个周期函数. 正弦函数的周期： 正弦函数 的最小正周期： 知识小结 奇偶性、周期性 ①正弦函数是奇函数 注：其图像关于原点中心对称 ②正弦函数是周期函数 周期： 最小正周期： 即时训练 2.判断函数. 【分析】先看定义域是否关于原点对称，再验证与或的关系. 解：①函数的定义域是全体实数关于原点对称 ②将替换为,结合诱导公式 ③比较与、的关系 ∴该函数不是偶函数 ∴该函数不是奇函数 故函数既不是奇函数，也不是偶函数. 探究四：单调性 新知探究 只要知道正弦函数在一个长度为 的区间内的单调性，就能得到正弦函数在 上的单调性. 从增大到 ,是递增的 正弦函数 在区间上 在区间上 从1减少到-1,是递减的. 探究四：单调性、零点 新知探究 再结合正比例函数的周期性为可知： ①单调递增区间： ②单调递减区间： 如图，当时，正弦函数 的函数值为0，再结合正弦函数的周期为可知： 正弦函数的零点为 (). 知识小结 单调性、零点 正弦函数的单调性 一般地，正弦函数 ①单调递增：在区间上递增 ②单调递减：在区间上递减. 点击上面图标，进行动态演示 ③正弦函数的零点为 (). 典例分析 例2 不求值，比较和的大小. 解：因为 又因为在区间内递增，且，所以 因此 【分析】关键是化为同一象限内的角 即时训练 3.比较的大小. 【分析】利用诱导公式将其化简为锐角的正弦值，并在同一单调区间内利用正弦函数的单调性进行比较. 解： 锐角 和 均在区间 内，此时正弦函数 单调递增。 即： 典例分析 例2 求下列函数的最大值和最小值, 并求出取得最大值和最小值时 的值. （; 解： (1) 函数 与 同时取得最大值和最小值, 所以, 当 () 时, 取得最大值 ; 当 () 时, 取得最小值 . 【分析】函数为 的线性函数 。其最值点与 完全同步，只需将 的最大值和最小值代入即可 典例分析 【分析】通过，将复杂的三角函数最值问题，转化为在闭区间 ​ 上求熟悉的代数函数的最值问题。 （; （. （2）令，则 于是就转化为求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了. 因为时，，所以 因此 . 从而，此时，，即， ；，此时，. 典例分析 （3）令，则 因为时，，所以 因此 . 从而，此时，； ，此时，，即 或. 巩固提升 重点题型一：利用正弦函数有界性求参数范围 1.的定义域为求实数取值范围. 【分析】由于正弦函数 的值域是 的最小值为。因此，要使 恒成立，必须满足。 解：由,且对任意,需恒成立, 则必须不大于的最小值，即 故实数的取值范围是 巩固提升 重点题型二：正弦函数复合函数的最值问题 2.求函数 分析：令，则，函数转化为。求该函数再给定区间上的范围即可. 解：设，，则。 对称轴，计算关键点函数值： 当时， 当时， 当时，。 则最小值为，最大值为。 巩固提升 重点题型三：正弦函数单调性应用 3.比较 【分析】将以上角化为同一区间角，再根据每个区间三角函数的单调性进行比较即可. 解 在区间上正弦函数单调递增, 且, 因此, 即。 故大小顺序为: 。 巩固提升 重点题型四：正弦函数奇偶性、周期性判断与应用 4.判断 分析： 判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，然后计算并与比较。 解： 定义域为，关于原点对称。 对任意， 因此，函数是奇函数. 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! sin 正弦函数的性质 单位圆与正弦线演示 (人教B版) 重置 高中数学必修 当前数值 角度 x (弧度) 0.00π 角度 x (度) 0° 正弦值 sin(x) 0.000 交互控制 拖动改变角 x -2π 0 2π 4π 增加 2π (一圈) 自动演示 💡 观察重点： 当角 x 增加 2π 时，终边回到相同位置，红色正弦线 的长度和方向完全一致。 sin(x + 2kπ) = sin(x), k∈Z 📐 正弦函数性质演示 人教B版 · 必修 正弦线 MP 角度 $x$: 0° 弧度: 0 正弦值 $\sin x$: 0.00 📈 单调递增区间 拖动改变角度 重置 🎙️ 教学引导 1 观察正弦线变化 点击播放语音 2 单调递增区间 (I, IV) 3 单调递减区间 (II, III) 📚 核心知识点 正弦线 MP：点 P(x,y) 在单位圆上，过 P 作 x 轴垂线，垂足为 M，则有向线段 MP 的数量即为 $\sin x$。 单调递增：当 $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi]$ (第一、四象限) 时，正弦线从 -1 增至 1。 单调递减：当 $x \in [\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi]$ (第二、三象限) 时，正弦线从 1 减至 -1。 正弦函数的性质 人教B版 · 必修三 1. 知识点回顾 2. 易错点警示 3. 解题技巧 课堂小结 · 数学 知识点回顾 函数 y = sin x 的基本性质 定义域： R 值域： [-1, 1] 周期性： 最小正周期 T = 2π 奇偶性： 奇函数 对称性 对称轴方程： x = kπ + π 2 (k ∈ Z) 对称中心： (kπ, 0) (k ∈ Z) 单调性 单调递增区间： [2kπ - π 2 , 2kπ + π 2 ] (k ∈ Z) 单调递减区间： [2kπ + π 2 , 2kπ + 3π 2 ] (k ∈ Z) 易错点警示 忽视参数 k ∈ Z 在写出对称轴、对称中心或单调区间时，必须注明 k ∈ Z。正弦函数是周期函数，其性质在定义域内是重复出现的，漏写 k 会导致答案不完整。 混淆对称轴与对称中心 对称轴是直线 x = ...，此时函数取得最大值或最小值（y = ±1）； 对称中心是点 (..., 0)，此时函数值为 0。 记忆口诀：峰谷对应轴，零点对应心。 复合函数的单调性 对于 y = sin(ωx + φ)，若 ω < 0，需先利用诱导公式将 ω 化为正数，或使用“同增异减”原则判断。直接套用公式容易出错。 解题技巧 1. 整体代换法 处理 y = Asin(ωx + φ) 型函数性质时，将 (ωx + φ) 看作一个整体 t。 求单调递增区间步骤： 令 t = ωx + φ 列不等式： 2kπ - π 2 ≤ t ≤ 2kπ + π 2 解关于 x 的不等式，注意 k ∈ Z 2. 向量辅助理解（拓展） 正弦函数可以看作单位圆上动点 P 的纵坐标。设向量 OP 与 x 轴正方向夹角为 x，则 P 点坐标为 (cos x, sin x)。 利用向量旋转的思想，可以直观理解诱导公式，例如： sin(x + π) = -sin x 对应向量反向。 $