7.1.1 角的推广课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

7.1 任意角的概念与弧度制 7.1.1 角的推广 第七章 三角函数 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 学习目标 01 4 必备知识解读 02 知识点1 任意角的概念 1 角的概念 一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角.这样定义的角，由于 是旋转生成的，所以也常称为转角. 6 2 角的表示与分类 7 知识剖析 （1）正确理解正角、负角、零角的定义，关键是看角的终边的位置是由 角的始边所对应的射线绕它的端点按照逆时针方向旋转、顺时针方向旋转还是没有 旋转得到的. （2）角的概念推广以后，角的大小可以是任意的，不再局限于 （角 在 范围内指 ，其他类同）. （3）角的形成包含两个“元素”：旋转的方向与旋转的绝对量 .作图时，常 用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量. 8 3 角的加减运算的一个几何意义 图7.1.1-1 不妨设 与 都为正角. 以 的终边为始边作 ，则以 的始边为始边，以 的终边为终边的角即 ，如图7.1.1-1（1）所示. 与 的关系是旋转的绝对量相同，但旋转的方 向相反.根据这一点， 可以化为 ，即我 们可以将 与 的减法转化为 与 的加法.以 的 终边为 的始边作出 ，便可以得到 ，如图 7.1.1-1（2）所示. 说明 若是多个角的和与差,则按照上面的作法, 依次作出即可. 9 典例详解 例1-1 每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟. 这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是( ) D A. B. C. D. 【解析】根据定义，分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又周角为 ，所以 有 ,即分针走过的角度是 . 10 【问题质疑】 正常情况下，钟表的指针旋转所成的角均为负角，为什么？ 提示 根据任意角的概念，射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺 时针方向旋转形成的角为负角.由于钟表的指针均为顺时针方向旋转，因此形成的角 均为负角. 图7.1.1-2 例1-2 图7.1.1-2中，射线绕端点旋转到， ， 的位置所成的角______,_______, _____. 【解析】 是一个正角， ， 是一个负角， , 是一个 正角， . 11 知识点2 象限角与终边相同的角 1 象限角、轴线角 为了方便起见，通常将角放在平面直角坐标系中来讨论，并约定：角的顶点与 坐标原点重合，角的始边落在 轴的正半轴上．这时，角的终边在第几象限，就把这 个角称为第几象限角．如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称为 轴线角. 12 2 终边相同的角 任意两个终边相同的角，它们的差一定是 的整数倍．因此，所有与 终边 相同的角组成一个集合，这个集合可记为 , }.（不可省略） 即集合的每一个元素的终边都与 的终边相同，时对应元素为 . 辨析比较 终边相同的角与相等的角 终边相同的角和相等的角是两个不同的概念.若两个角相等，则这两个角一定是 终边相同的角；两个终边相同的角不一定相等，二者相差 的整数倍. . . 13 发散探讨 如何写与角 终边相同的角的集合？ （1）找出 内与 终边相同的角 ，具体操作可类比整数除法，得出 的形式，其中将 作被除数， 作除数，整数是商， 为余 数； （2）将与角 终边相同的角的集合写成 ， ｝. 说明 此处要求 只是我们书写时的一种习惯. 14 3 象限角、轴线角的集合表示 （1）象限角的集合表示 说明 象限角的集合表示形式不唯一，如第四象限角也可以表示为 , ，但本质是一样的. 15 （2）轴线角的集合表示 （【教材深挖】该知识点是对教材第6页【例4】的深挖） 角的终边的位置 角的集合表示 终边落在 轴正半轴上 , } 终边落在 轴负半轴上 , } 终边落在 轴正半轴上 , } 终边落在 轴负半轴上 , } 终边落在 轴上 , } 终边落在 轴上 , } 终边落在坐标轴上 , } 16 发散探讨 如何理解轴线角中<m></m> ，<m></m> ，<m></m> ?能否推广? 可以理解为角的终边每旋转<m></m> ，<m></m> ，<m></m> ，就到了所求位置.比如，终边 落在坐标轴上：<m></m> 角的终边每旋转<m></m> 都落在坐标轴上，故角的集合可写成 <m></m> ,<m></m>，即<m></m> ,<m></m>｝. 此表示可以进行推广，比如，终边落在直线<m></m>上的角的集合：先确定一个角， 如<m></m> ，由于角的终边每旋转<m></m> 都落在直线<m></m>上，故终边落在直线<m></m>上的 角的集合为<m></m> ，<m></m>}. 17 典例详解 例2-3 [多选题] (2025·河南省邓州市第一高级中学月考)与 角终边相同的角的 集合是( ) AC A. ,} B. , } C. ,} D. , } 【解析】与 角终边相同的角可写为 , ,又 ,所以 角与 角的终边相同,所以与 角终边 相同的角也可写作 , . 18 例2-4 (2025·河南省洛阳市强基联盟联考)角 的终边在( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】因为 ，且 ，所以角 的终边在第三象限. （【解题思路】在 内，找出与所给角终边相同的角，该角终边所在象限 即为所求角终边所在象限） 19 例2-5 [教材改编P7练习A T5] 以下命题正确的是( ) D A.终边重合的两个角相等 B.小于 的角都是锐角 C.第二象限的角是钝角 D.锐角是第一象限的角 【解析】当 ， 时， 与 终边重合，但两个角不相等，A错误; ，但 不是锐角，B错误; 是第二象限角，但不是钝角，C错误; 锐角一定是第一象限角，D正确. 20 教材深挖 此处对教材第7页【练习A】第5题进一步分析、探究. （1）锐角、 的角、小于 的角及第一象限角的范围如下表所示： 角 集合表示 锐角 的角 小于 的角 第一象限角 , } 21 图7.1.1-3 （2）锐角、 的角、小于 的角及第一象限角的关系 用维恩图表示，如图7.1.1-3所示. 22 重难拓展 知识点3 两角的终边的对称、垂直与两角的关系 角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，当它们具有对称关系或垂直关系 时，对应的角就有一定的关系，一般地，我们有如下结论： 角 ， 终边的位置关系 ， 的关系 关于 轴对称 关于 轴对称 关于原点对称 关于直线 对称 关于直线 对称 在一条直线上 垂直 23 典例详解 例3-6 若角 的终边与 角的终边关于轴对称且 ，则角 的 值为_____________. 或 24 【解析】 如图7.1.1-4，设 图7.1.1-4 角的终边为射线，射线关于轴对称的射线为，则以射线 为终边的一个 角为 ，所以以射线为终边的角的集合为 , }.又 ，令或，得 或 . 由角 的终边与 角的终边关于轴对称，得 , . 又 ,令或，得 或 . 25 题型解析 03 题型1 终边相同的角的应用 1 求与所给角终边相同的角 例7 求满足下列条件，且与 角终边相同的角. （1）最大的负角； 【解析】因为 ,所以与 角终边相同的角的一般 形式为 ，.（【另解】也可不对 处理，直接写为 ,但后续计算较麻烦） 27 （3） 内的角. 【解析】由 , 得 ,解得 , 又,所以或0，此时 或 . 故 内的角为 ， . 【解析】当时， ，故最小的正角为 . （2）最小的正角; 当时, ，故最大的负角为 . 28 确定在某范围内终边相同的角的基本思路 求与已知角 终边相同的角时，先将这样的角表示成 的形式，然后 采用赋值法求出满足条件的角，或通过解不等式（组）确定 的值，求出满足条件的角. 29 【变式题】 1.[教材改编P7练习A T4] 写出与 角终边相同的角的集合，并把集合 中满足 不等式 的元素 写出来. 【答案】 ，故与 角终边相同的角的集合可以表示为 ， }. 令 ，，解得 ,0,1, 则在集合中满足不等式 的元素 为 , , . 30 2 求终边在某条直线上的角的集合 例8 [教材改编P7练习B T2] 如图7.1.1-5，写出终边在直线 上的角的集合. 图7.1.1-5 学审题 POINT 边读边想:有两类角，且这两类角相差 的整数倍. . . 31 【解析】 满足条件且终边在第一象限的角的集合 , }; 满足条件且终边在第三象限的角的集合 （与相差 ） , }. 于是，终边在直线上的角的集合 , , , , , }. 在 范围内，当角的终边在第一象限时，对应角为 ； 旋转 后，终边落在第三象限. 故终边在直线上的角的集合 , }. . . 32 名师点评 注意 ，}和 ， }需要合并成 ， }.整数集可以按照奇数 、偶数 分为两个集合，而按照奇数、偶数分成的两个集合， 可以再合并为整数集. 33 3 终边对称的角的表示 例9（1）如图7.1.1-6，若角 的终边与 角的终边关于直线 对称，且 ,则角 _____________. 或 图7.1.1-6 34 【解析】如图7.1.1-7所示，设 角的终边为射线，射线关于直线 对称的射 线为，则以射线为终边的一个角为 ，所以以射线 为终边的角的集合为 , }. 图7.1.1-7 又 ，故 ,,解得 或1. 故角 的值为 或 . 35 （2）若角 的终边与 角的终边关于原点对称，则角 ______________________. , 图7.1.1-7 【解析】如图7.1.1-7，设 角的终边为射线，射线 关 于原点对称的射线为，以射线 为终边的一个角为 ，故 , . 名师点评 （1）若所求角 的终边在某条射线上，则所求角的 集合为 ， }. （2）若所求角 的终边在某条直线上，则所求角的集合为 ， }. 36 题型2 区域角的表示与象限角的判定 1 区域角的表示 区域角的求解方法 1.区间角、区域角的定义 介于两个角之间（两类角的区别之处.）的角的集合称作区间角，如 .终边介于某两角终边之间（两类角的区别之处.）的角的集合称作区域角， 显然区域角包括无数个区间角.#1.2.1 . . . . 37 2.区域角的写法 （1）若角的终边在一个扇形区域内，写区域角时，首先依逆时针方向由小到大写出 一个区间角，再在它的两端分别加上“ ”，右端末尾注明“ ”即可；（2） 若角的终边在两个对称的扇形区域内，写区域角时，可以先写出终边在每条直线上 的角的集合，进而得到区域角的范围. 注意:在书写集合时，若边界线是实线，则对应的不等式包含等号，若边界线是虚线， 则对应的不等式不包含等号.#1.3.2 38 例10 如图7.1.1-8所示，写出终边在阴影区域Ⅰ,Ⅱ（不包括边界）的角的集合. 图7.1.1-8 39 【解析】 第一步:根据图形写出终边在每个区域内的角的集合. 在 范围内，终边在阴影区域Ⅰ,Ⅱ（不包括边界）的角 应分别满足 ， . 所以终边落在阴影区域Ⅰ，Ⅱ（不包括边界）中的角的集合分别为 ， , , }. 第二步:对写出的两个集合求并集，并化简. 满足题意的角的集合为 , , , 40 终边在第一、三象限内的边界线上的一个角为 ，则终边在该边界线 上的角可写为 , ;（【关键点】找出终边落在区域边界上的角）终 边在第二、四象限内边界线上的一个角为 ，则终边在该边界线上的角可写为 ，.故所求角的集合为 , }. . . , , ｝. 41 2 判断一个角是第几象限角 例11 [教材改编P7练习A T3] 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 轴的 正半轴重合，作出下列各角，指出它们是第几象限角，并指出在 范围内 与其终边相同的角. （1） ； 【解析】 角是第一象限角. ，所以在 范围内，与 角终边相同的角是 角. （2） ； 【解析】 角是第四象限角. ,所以在 范围内,与 角终边相同的角是 角. 42 （3） ； 【解析】 角是第二象限角. ，所以在 范围内,与 角终边相同的角是 角. （4） . 【解析】 角是第三象限角. ，所以在 范 围内,与 角终边相同的角是 角. 43 【解析】作出各角如图7.1.1-9所示. 图7.1.1-9 44 名师点评 作给定的各个角时，可先找出在 范围内与其终边相同的角，然 后根据角的表示方式，利用正角逆时针旋转相应的圈数，负角顺时针旋转相应的圈 数，在图形中标注相应的圈数和旋转方向即可. 45 例12 (2025·辽宁省朝阳市期末)已知 是第二象限角，则 是( ) A A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】由 是第二象限角可得， ， . 所以， ， 即 ， ， 所以 为第一象限角.（【另解】利用特殊值进行验证，如取 ，则 ，显然该角是第一象限角） 46 给定一个角，判断它是第几象限角的思路 判断角 是第几象限角的常用方法为将 写成 （其中, 在 范围内）的形式，观察角 的终边所在的象限即可. 47 3 角 所在象限的判定 例13 [教材改编P7想一想] 若角 是第二象限角，试确定角 , 分别是第几象限角. 48 【解析】 是第二象限角， . （1）,故 可能是第三象限角、第 四象限角或终边在 轴负半轴上（角的终边也可以在坐标轴上，切勿遗漏）的角. （2） . 当时，,此时， 是第一象限角； 当时，,此时， 是第 二象限角； . . . . . . 49 当时，,此时， 是第 四象限角. 综上所述， 可能是第一象限角或第二象限角或第四象限角. 图7.1.1-10 如图7.1.1-10，将每个象限三等分，并从 轴正半轴起，按逆时针 方向将每个区域依次标上一、二、三、四. 为第二象限角， 角 的终边在标号为二的区域， 故 可能是第一象限角或第二象限角或第四象限角. . . 50 易错警示 处理本题时常出现两种错误： （1）遗漏 可能是终边在 轴的非正半轴上的角； （2）由 是第二象限角，仅想到 ,从而得到 ,仅得到 是第一象限角，而丢掉 是第二、第四象限角的情况. 51 例14 已知 是第一象限角， 是第二象限角，试确定 角的终边所在的位置. 【解析】由已知得 ， ①, ， ②. ,得 ,, ， 所以 ，， . 当，时， ， , 则角的终边在第一象限或第二象限或 轴的正半轴上； 当,时， , , 52 则角的终边在第三象限或第四象限或 轴的负半轴上. 综上所述，角的终边可能在第一象限或第二象限或第三象限或第四象限或 轴上. 名师点评 解决与字母有关的问题时，要注意同一字母在不同式子中的取值有时是不 相同的.一般这样的两个式子在运算时应将其中的字母区分开，如本题中一个取 ， 另一个取 . 53 确定角 所在象限的两种基本方法——不等式法、几何法 （【教材深挖】此处是对教材第7页【想一想】的深挖与探究） 一、不等式法 （1）由角 的范围用表示，，求出角 的范围； （2）通过对进行分类讨论，判断角 所在象限. 54 二、几何法 （1）画出区域：将坐标系每个象限等分，得到 个区域. 图7.1.1-11 （2）标号：自 轴正半轴起，按逆时针方 向把每个区域依次标上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ（如图 7.1.1-11所示）. （3）确定区域：找出与角 所在象限标号 一致的区域，即为所求. 说明：当，时，角 的终边在 四个象限都有分布，一般不讨论研究. 55 【变式题】 2.(2025·陕西省西安市期中)已知角 是第三象限角，则角 是( ) D A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 【解析】 因为 是第三象限角，所以 ,所以 .当 时， ,此时是第二象限角；当 时， ,此时 是第四象限角. 所以 可能为第二或第四象限角. 56 图D 7.1.1-1 如图D 7.1.1-1，先将各象限分成两等份，再从 轴正半 轴起，按逆时针依次将各区域标上一、二、三、四、一、二、三、 四，则标有三的区域即角的终边所在的区域，故角 为第二或第 四象限角. 57 新考法·情境应用 例15 新情境 花样滑冰 花样滑冰是冰上运动项目之一．运动员通过冰刀在冰面上划 出图形，并表演跳跃、旋转等高难度动作．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒 内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．运动员顺时针旋 转两圈半所得角的度数是_______，逆时针旋转两圈半所得角的度数是______． 【解析】顺时针旋转两圈半所得角的度数是 ， 逆时针旋转两圈半所得角的度数为 ． 58 图7.1.1-12 例16 新情境 时辰醒钟 如图7.1.1-12是古代的时辰醒钟，此醒钟 直径12.5厘米，厚7.5厘米，由古代宫廷钟表处制造，以中国传统 的一日十二个时辰（分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、 申、酉、戌、亥）为表盘显示，其内部结构与普通机械钟表的内 部结构相似.则从丑时到午时指针旋转的角度是( ) C A. B. C. D. 【解析】一日十二个时辰，则一个时辰所对应的圆心角为 ，丑时与午时 相差5个时辰，由于指针为顺时针旋转，故从丑时到午时指针旋转的角度为 . 59 知识测评 04 建议时间：20分钟 1. 角是( ) C A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】因为 ，且 为第三象限角且 与 终边相同， 故 角是第三象限角． 61 2.(2025·陕西省榆林市绥德一中质检)下列各角中，与 角终边相同的是( ) D A. B. C. D. 【解析】与 角终边相同的角为 ，，当 时， ,所以与 角终边相同的是 ． 3.一场数学考试120分钟，时针旋转的角度为( ) D A. B. C. D. 【解析】一场数学考试120分钟,即2个小时，时针顺时针旋转 ，所以 时针旋转的角度为 . 62 4.若 是第四象限角，则 是( ) D A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】 是第四象限角， , ,则 ,,故 是第四象限角. 5.若角 ， ，，，则角 与 的终边 的位置关系是( ) D A.重合 B.关于原点对称 C.关于轴对称 D.关于 轴对称 【解析】 角 的终边和 角的终边相同，角 的终边与 角的终边相 同， ， 角 与 的终边关于 轴对称. ， 角 与 的终边关于 轴对称. 63 6.(2025·浙江省淳安县汾口中学月考)下列命题正确的是( ) D A.终边与始边重合的角是零角 B.终边与始边都相同的两个角一定相等 C.三角形内角必为第一或二象限的角 D.若 ，则 是第三象限角 【解析】 终边与始边重合，不是零角，A不正确； 与 角的终边相同， 但不相等，B不正确；三角形的内角为锐角或钝角或直角，直角不在象限内，故C不 正确；若 ，则 的终边在第三象限，故D正确． 64 7.与 角终边相同的角可表示为________________________，其中最小正角是 _____. 【解析】因为 ,所以与 角终边相同的角可表示为 ,，令,则 ，所以与 角终边相同的最小 正角为 ． 65 8.分别写出与下列各角终边相同的角的集合，并把中在 内的元素写出来： （1） ； 【答案】 ,,中在 内的元素是 ， ， . （2） ； 【答案】 ,,中在 内的元素是 ，， . （3） . 【答案】 ,,中在 内的元素是 ， ， . 66 高考模拟 05 建议时间：25分钟 9.将轴正半轴绕原点顺时针旋转 ，得到角 ，则下列与 终边垂直的角是 ( ) C A. B. C. D. 【解析】将轴正半轴绕原点顺时针旋转 ，得到角 ，所以，设与 终边垂直的角是 ，则 ，，令,得 ,所以 是与 终边垂直的角．故选C． 68 10.(2025·江苏省无锡市辅仁高级中学质检)集合 ,中的角 的终边在直角坐标系中 的位置是( ) C A. B. C. D. 【解析】当,时， ；当 , 时， ，所以角 的终边位于第一或第三 象限或 轴上，故选C. 69 11.［多选题］(2025·江西省上饶市第一中学月考)若角 的终边在第三象限，则 的 终边可能在( ) ACD A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 图D 7.1.1-1 【解析】 为第三象限角， ， ， ， .当 时， ,，此时 位于第一 象限； 当时， , ,此时 位于第 三象限； 70 当时， ，，此时 位于 第四象限. 综上所述，的终边可能在第一、三、四象限，故选 ． 将平面直角坐标系中的每一个象限进行三等分，从 轴非负半轴起，按逆时 针方向把各等分区域依次循环标上号码1，2，3，4，如图D7.1.1-1所示． 是第三象限角， 图中标有数字3的区域（不包括边界），即 的终边所在的区域， 故 是第一象限角或第三象限角或第四象限角． 71 12.已知点位于轴正半轴上，射线为坐标原点 在1秒内转过的角为 ,经过2秒到达第三象限，若经过15秒后又恰好回到出发点，则 ____________. 或 【解析】 且, 必有 , . 又， , , ,又 ,或，故 或 . 72 13.已知集合 ,,,则 _________________________. , , , 【解析】由可得， ,得 ,， ,0,1,2，则 ， ,, . 73 14.已知角 的终边落在图7.1.1-1中阴影部分（不包括边界），试表示出角 的取值 集合，并判断 是否在该集合内. 图7.1.1-1 【答案】由题图可知，终边落在射线 上的角构成的集合 ,},终边落在射线 上的角构成的集合 ,},所以角 的取值集合可表示为 , }.因为 ,所以 不在该集合内. 74 图7.1.1-2 15.(2025·江苏省通州高级中学月考)如图7.1.1-2，一只红蚂蚁与 一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点 按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过 角，黑蚂蚁每秒 爬过 角（其中 ），如果两只蚂蚁都在第14 秒回到点，并且在第2秒时均位于第二象限，求 ， 的值． 75 【答案】根据题意可知 ， 均为 的整数倍， 故可设 ，， ， ， 则 ，, ， ． 又由 ，知 ， 由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限, ， 都是钝角，即 ，即 ， , ， , . ，，又， ， ，, , . 76 谢谢观看 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 77 $