1.3乘法公式全题型讲义2025-2026学年北师大版七年级数学下册

北师大新版七年级数学下册1.3乘法公式全题型讲义 题型1：判断是否能用平方差公式计算 例题1（基础判断） 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A.(2x+y)(2y-x) B.(-x+1)(-x-1) C.(a-b)(b-a) D.(x+3)(x+3) 解析： 1.平方差公式结构特征：两个二项式相乘，“一同一反”（一项相同，一项互为相反数）； 2.逐项分析： A：两项均不同（2x与-x，y与2y），不能； B：相同项-x，互为相反数项1与-1，能； C：两项互为相反数（a-b=-(b-a)），不能； D：两项均相同，为完全平方，不能； 3.结果：选B。 例题2（复杂结构判断） （多选）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A.(x-y+z)(x+y-z) B.(x+y-z)(-x-y+z) C.(x-y-z)(-x+y+z) D.(x-y-z)(x+y+z) 解析： 1.变形后判断“一同一反”： A：(x-(y-z))(x+(y-z))，相同项x，互为相反数项-(y-z)与+(y-z)，能； B：(x+y-z)(-(x+y-z))，两项互为相反数，不能； C：-(x-y-z)(x-y-z)，两项相同，不能； D：(x-(y+z))(x+(y+z))，相同项x，互为相反数项-(y+z)与+(y+z)，能； 3.结果：选AD。 题型总结 特征：判断两个多项式相乘是否符合“一同一反”结构，含直接判断和变形后判断； 技巧：先分组变形（添括号），将多项式转化为“(相同项)±(相反项)”形式，再判断； 步骤：观察多项式结构→分组变形（含符号调整）→验证“一同一反”→得出结论。 变式训练（3道） 1.变式1：下列能用平方差公式的是（ ） A.(a+2b)(2a-b) B.(-m-n)(-m+n) C.(3x-y)(-3x+y) D.(x+1)(-x-1) 2.变式2：判断(x-2y+3z)(x+2y-3z)能否用平方差公式，若能，写出相同项和相反项；若不能，说明理由 3.（多选）变式3：下列能用平方差公式的是（） A.(a-b-c)(a+b-c) B.(a+b-c)(-a-b+c) C.(a-b-c)(-a+b+c) D.(a-b-c)(a-b+c) 题型2：利用平方差公式直接计算（含符号变化） 例题1（基础直接计算） 计算：(-3x+4y)(-3x-4y) 解析： 1.识别结构：相同项-3x，互为相反数项4y与-4y； 2.套用公式：（相同项）²-（相反项）²，即； 3.计算结果：。 例题2（符号复杂计算） 计算： 解析： 1.前两项变形：； 2.再乘第三项：； 3.结果：。 题型总结 特征：直接应用平方差公式计算，含基础结构和符号复杂结构，需准确识别“相同项”和“相反项”； 技巧：符号调整优先，将多项式整理为“(相同项)±(相反项)”形式，再套用公式，注意系数平方； 步骤：识别相同项与相反项→套用公式（相同项²-相反项²）→化简结果。 变式训练（3道） 1.变式1：计算(-5x-2y)(5x-2y) 2.变式2：计算 3.变式3：计算 题型3：利用平方差公式计算三项多项式 例题1（分组变形+平方差） 计算：(x+y-z)(x-y+z) 解析： 1.分组变形：将后两项看作整体，添括号得[x+(y-z)][x-(y-z)]； 2.套用公式：； 3.展开化简：； 4.结果：。 例题2（双分组+平方差） 计算：(a+b-c-d)(a-b+c-d) 解析： 1.分组变形：前两项、后两项分别分组，得[(a-d)+(b-c)][(a-d)-(b-c)]； 2.套用公式：； 3.展开化简：； 4.结果：。 题型总结 特征：多项式含三项或四项，需通过分组转化为“一同一反”的二项式结构，再用平方差公式； 技巧：分组核心是“凑相同项和相反项”，通常将含相同字母的项分为一组，互为相反数的项分为一组； 步骤：分组添括号→转化为二项式结构→套用平方差公式→展开剩余整式→化简。 变式训练（3道） 1.变式1：计算(2x-y+3)(2x+y-3) 2.变式2：计算(m+n-p-q)(m-n+p-q) 3.变式3：计算(3a-2b+5c)(3a+2b-5c) 题型4：平方差公式连环计算+补数连环求值 例题1（连环乘法求值） 计算： 解析： 1.逆用平方差公式拆项：； 2.展开连环式： ； 3.约分简化： ； 4.结果：。 例题2（补数连环求值） 计算： 解析： 1.补数变形：2025=2024+1，2023=2024-1； 2.套用平方差公式：； 3.计算结果：-1。 题型总结 特征：含连环乘法或补数结构，需通过平方差公式拆项或变形，实现约分或简化计算； 技巧：连环乘法逆用平方差拆项，补数计算将原式转化为“(a+b)(a-b)”结构，再化简； 步骤：变形拆项/补数→套用平方差公式→约分/合并同类项→得出结果。 变式训练（3道） 1.变式1：计算 2.变式2：计算 3.变式3：计算（提示：补乘(2-1)） 题型5：平方差公式简便计算（含大数、小数） 例题1（大数简便计算） 计算：9999×10001 解析： 1.变形为补数结构：9999=10000-1，10001=10000+1； 2.套用平方差公式：； 3.计算结果：100000000-1=99999999。 例题2（小数简便计算） 计算：49.8×50.2 解析： 1.变形为补数结构：49.8=50-0.2，50.2=50+0.2； 2.套用平方差公式：； 3.计算结果：2500-0.04=2499.96。 题型总结 特征：计算对象为接近整十、整百、整千的大数或小数，通过变形转化为平方差公式结构； 技巧：将数拆分为“a+b”与“a-b”（a为整数，b为小数或整数），再套用公式简化计算； 步骤：拆分为“a±b”结构→套用平方差公式→计算整数平方与小数/整数平方→求差。 变式训练（3道） 1.变式1：计算199×201 2.变式2：计算30.1×29.9 3.变式3：计算 题型6：平方差公式逆用 例题1（基础逆用） 解析： 1.识别结构：两项均为平方项，符号相反，符合平方差公式逆用条件； 2.多次逆用公式： 第一步：； 第二步：继续逆用； 3.结果：。 例题2（含符号与多项式的逆用） 解析： 1.调整结构：提取负号得； 2.逆用平方差公式：(m-n+x-y)(m-n-x+y)； 3.整理结果：(m-n+x-y)(m-n-x+y)（或分组书写）。 题型总结 特征：将平方差形式的多项式分解为两个二项式相乘，含基础平方项和复杂结构（符号、多项式）； 技巧：先整理为“”形式（调整符号、提取系数平方），再逆用公式； 步骤：整理为“”→逆用公式(a+b)(a-b)→检查是否能继续逆用→最终结果。 变式训练（3道） 1.变式1：逆用平方差公式 2.变式2：逆用平方差公式 3.变式3：逆用平方差公式和完全平方公式 题型7：与平方差公式有关的化简求值 例题1（化简后代入求值） 先化简，再求值：(2x+y)(2x-y)-(x-2y)(x+2y)，其中x=2，y=-1 解析： 1.分别套用平方差公式化简： ； 2.合并同类项：； 3.代入求值：； 4.结果：15。 例题2（整体代入求值） 已知a+b=5，a-b=3，求的值 解析： 1.逆用平方差公式拆分：，2a+2b=2(a+b)； 2.整体代入：5×3+2×5=15+10=25； 3.结果：25。 题型总结 特征：先通过平方差公式化简代数式，再代入字母值或整体代入已知条件求值； 技巧：化简时合并同类项要彻底，整体代入需先将所求代数式变形为含已知整体的形式； 步骤：化简代数式（平方差公式+合并同类项）→代入已知条件（直接/整体）→计算结果。 变式训练（3道） 1.变式1：先化简，再求值：(3a-2b)(3a+2b)-4a(a-b)，其中a=-1，b=2 2.变式2：已知，x+y=6，求2x-2y的值 3.变式3：已知，a+b=4，求的值 题型8：判断是否能用完全平方公式计算 例题1（基础判断） （多选）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ） A.(x+y)(x-y) B.(x-2y)(x-2y) C.(a+b)(2a+b) D.(m-n)(-m+n) 解析： 1.完全平方公式结构特征：两个相同的二项式相乘（）； 2.逐项分析： A：平方差公式，不能； B：，相同二项式相乘，能； C：两项不同，不能； D：，可变形为相同二项式相乘，能； 3.结果：选BD。 例题2（复杂结构判断） （多选）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ） A. B.(x-y+z)(x+y-z) C.(a+b+c)(a+b+c) D.(m-n-p)(-m+n+p) 解析： 1.变形后判断“相同二项式”： A：，单个多项式平方，符合完全平方结构，能； B：平方差结构，不能； C：，相同多项式平方，能； D：，可变形为相同多项式平方，能； 3.结果：选ACD。 题型总结 特征：判断多项式是否为“相同二项式/多项式相乘”或“单个多项式平方”，含直接判断和变形后判断； 技巧：关注“是否相同”，含符号变形后相同（如-(a-b)=b-a），多项式平方需看作整体； 步骤：观察多项式结构→符号/分组变形→验证“相同多项式”→得出结论。 变式训练（3道） 1.（多选）变式1：下列能用完全平方公式的是（ ） A.(2a-3b)(-2a+3b) B.(x+1)(x-1) C.(m+n)(m+n) D.(p-q)(q-p) 2.变式2：判断能否用完全平方公式，若能，写出展开的中间步骤；若不能，说明理由 3.（多选）变式3：下列能用完全平方公式的是（ ） A.(a-b+c)(a-b+c)B.(x+y-z)(x-y+z)C.(3m-2n)(-3m+2n)D.(4a+b)(4a+b) 题型9：利用完全平方公式直接计算（含符号变化） 例题1（基础直接计算） 计算： 解析： 1.识别结构：相同二项式(-2x-3y)，可变形为-(2x+3y)，平方后为正； 2.套用公式：，其中a=-2x，b=-3y； 3.计算结果：。 例题2（含系数与多项式的计算） 计算： 解析： 1.分组变形：将3a-2b看作整体，得； 2.套用完全平方公式：； 3.展开化简：； 4.结果：。 题型总结 特征：直接应用完全平方公式计算，含基础二项式、符号复杂二项式和多项式平方； 技巧：多项式平方需分组看作整体，符号处理遵循“负负得正”，系数平方和乘积项的2倍要准确； 步骤：变形为“”结构（分组/符号调整）→套用公式（）→展开化简。 变式训练（3道） 1.变式1：计算 2.变式2：计算 3.变式3：计算（提示：先逆用积的乘方，再用完全平方） 题型10：利用完全平方公式简便计算 例题1（大数简便计算） 计算： 解析： 1.变形为完全平方结构：999=1000-1； 2.套用公式：； 3.计算结果：1000000-2000+1=998001。 例题2（凑整简便计算） 计算： 解析： 1.变形识别完全平方：4050=2×2025，原式为； 2.套用公式：（a=2025，b=2024）； 3.计算结果：。 题型总结 特征：计算对象为接近整十、整百的大数或可凑整的代数式，通过变形转化为完全平方公式结构； 技巧：大数变形为“a±b”（a为整数），代数式需识别“”的完全平方特征； 步骤：变形为完全平方结构→套用公式→计算整数平方与乘积项→化简结果。 变式训练（3道） 1.变式1：计算 2.变式2：计算 3.变式3：计算 题型11：完全平方公式逆用 例题1（基础逆用） 解析： 1.识别结构：三项式，首末项为平方项（、），中间项为2×2x×3y的相反数； 2.逆用公式：； 3.结果：。 例题2（含符号与多项式的逆用） 解析： 1.调整结构：提取负号得； 2.识别完全平方：； 3.结果：（或）。 题型总结 特征：将完全平方形式的三项式分解为相同二项式相乘，含基础结构、符号调整和多项式项； 技巧：先整理为“”形式（提取负号、调整项的顺序），再逆用公式； 步骤：整理为标准完全平方三项式→逆用公式→整理最终结果。 变式训练（3道） 1.变式1：逆用完全平方公式 2.变式2：逆用完全平方公式 3.变式3：逆用完全平方公式 题型12：与完全平方公式有关的化简求值 例题1（化简后代入求值） 先化简，再求值：，其中x=1，y=-2 解析： 1.分别展开化简： ； 2.合并同类项：； 3.代入求值：； 4.结果：13。 例题2（整体代入求值） 已知，求的值 解析： 1.变形为完全平方形式：； 2.整体代入：； 3.结果：7。 题型总结 特征：先通过完全平方公式化简代数式，再代入字母值或整体代入已知条件求值； 技巧：整体代入需将所求代数式变形为含已知整体的完全平方形式（补全2ab项）； 步骤：化简代数式（完全平方公式+平方差/合并同类项）→变形凑完全平方（整体代入）→代入计算。 变式训练（3道） 1.变式1：先化简，再求值：，其中a=2，b=-1 2.变式2：已知m-n=4，mn=3，求的值 3.变式3：已知，ab=3，求的值 题型13：完全平方公式变形求值（核心培优） 例题1（经典三式变形） 已知，ab=6，求a+b和a-b的值 解析： 1.变形公式：，； 2.代入计算： →a+b=±5； →a-b=±1； 3.结果：a+b=±5，a-b=±1。 例题2（复杂变形求值） 已知，求的值 解析： 1.等式变形：x≠0，两边除以x得→； 2.完全平方变形：； 3.代入计算：； 4.结果：23。 题型总结 特征：利用完全平方公式的核心变形（），结合已知条件求值； 技巧：关键是“凑出完全平方”，含等式两边同除以字母（不为0）、补全2ab项等； 步骤：选择合适的完全平方变形公式→代入已知条件（、ab等）→计算开方/化简。 变式训练（3道） 1.变式1：已知，，求和ab的值 2.变式2：已知，求的值 3.变式3：已知，求的值 题型14：求完全平方公式中的参数值（培优） 例题1（单项参数） 若是完全平方式，求k的值 解析： 1.识别完全平方结构：； 2.中间项公式：kx=±2×x×4； 3.求解k：k=±8； 4.结果：k=8或k=-8。 例题2（多项参数） 若是完全平方式，求m的值 解析： 1.识别完全平方结构：，，原式为； 2.展开对比中间项：； 3.列方程求解：m-2=±12→m=14或m=-10； 4.结果：m=14或m=-10。 题型总结 特征：已知多项式为完全平方式，求其中的参数值，含单项参数和多项参数； 技巧：先确定首末项的平方根（a和b），再根据中间项±2ab列方程求解参数； 步骤：分解首末项为平方项→确定a和b→根据中间项列方程→求解参数（注意正负）。 变式训练（3道） 1.变式1：若是完全平方式，求n的值 2.变式2：若是完全平方式，求k的值 3.变式3：若是完全平方式，求m的值 题型15：利用完全平方公式求最值（培优） 例题1（求最小值） 求代数式的最小值 解析： 1.配方变形：； 2.分析平方项：（任何实数的平方非负）； 3.求最小值：当（x=2）时，最小值为1； 4.结果：最小值为1。 例题2（求最大值） 求代数式的最大值 解析： 1.配方变形：提取负号得； 2.分析平方项：（平方项非负，乘负数后非正）； 3.求最大值：当（x=3）时，最大值为8； 4.结果：最大值为8。 题型总结 特征：通过配方将二次三项式变形为“”形式，利用平方项的非负性求最值； 技巧：配方时先整理二次项系数为1（提取系数），再补全常数项（一次项系数一半的平方）； 步骤：配方变形→分析平方项的取值范围→确定最值（a>0求最小值，a<0求最大值）。 变式训练（3道） 1.变式1：求代数式的最小值 2.变式2：求代数式的最大值 3.变式3：求代数式的最小值及此时x的值 题型16：整体思想+完全平方公式变形求值（培优） 例题1（整体代入变形） 已知a+b+c=10，ab+bc+ac=25，求的值 解析： 1.变形公式：； 2.逆用求目标式：； 3.代入计算：； 4.结果：50。 例题2（复杂整体变形） 已知x-y=2，y-z=3，求的值 解析： 1.推导变形公式：； 2.求x-z：x-z=(x-y)+(y-z)=2+3=5； 3.代入计算：； 4.结果：19。 题型总结 特征：将所求代数式通过完全平方公式变形为含已知整体（如a+b+c、x-y）的形式，整体代入求值； 技巧：核心是记忆完全平方公式的拓展变形（如三项式平方、两两差平方和），灵活凑整体； 步骤：推导/套用拓展变形公式→计算所需整体值→整体代入→化简计算。 变式训练（3道） 1.变式1：已知m+n-p=5，mn-mp-np=3，求的值 2.变式2：已知a-b=1，b-c=2，求的值 3.变式3：已知x+y=4，xy=2，求的值（提示：先求） 题型17：平方差、完全平方公式与积的乘方综合化简（培优） 例题1（综合乘法公式+积的乘方） 计算： 解析： 1.先算括号内平方差：； 2.逆用积的乘方：； 3.再用平方差公式：； 4.完全平方展开：； 5.结果：。 例题2（复杂综合化简） 计算： 解析： 1.逆用积的乘方：； 2.逆用平方差公式：； 3.化简括号：； 4.结果：。 题型总结 特征：融合平方差、完全平方公式与积的乘方（正用/逆用），综合性强，需灵活切换公式； 技巧：优先逆用积的乘方或平方差公式简化结构，再展开完全平方，避免直接硬算； 步骤：观察式子结构→逆用公式简化（积的乘方/平方差）→套用剩余公式→合并同类项化简。 变式训练（3道） 1.变式1：计算 2.变式2：计算 3.变式3：计算 题型18：完全平方公式综合变形求值（培优） 例题1 已知：，求(x-2023)(2024-x)的值。 解析： 设a=x-2023，b=2024-x，则： a+b=(x-2023)+(2024-x)=1​ 已知 由： 1=10+2ab 所以。 例题2 已知：，求(3a+2)(1-3a)的值。 解析： 设m=3a+2，n=1-3a，则： m+n=(3a+2)+(1-3a)=3​ 已知 由： 9=25+2mn 所以。 题型总结： 特征： 已知条件：两个含同一未知数的代数式的平方和（形如，k为常数）。 结构特点：A与B相加（或相减）后，未知数项抵消，结果为一个常数（如A+B=C或A-B=C）。 目标：求这两个代数式的乘积。 技巧： 1.换元简化：将两个代数式分别设为A、B，把复杂数字结构转化为简洁的字母形式。 2.公式变形： 若A+B=C，用； 若A-B=C，用。 3.整体代入：将已知的和的值代入公式，直接解出AB。 步骤： 1.设元：令，。 2.求：计算A+B或A-B，消去未知数，得到常数C。 3.套公式：根据选择对应的完全平方公式。 4.解方程：代入和C，解出AB，即为所求。 变式训练（3道） 变式1.已知：，求(m-100)(101-m)的值。 变式2.已知：，求(2x+5)(3-2x)的值。 变式3.已知：，求(a-2025)(a-2026)的值。 变式训练参考答案 题型1：判断是否能用平方差公式计算 1.变式1：选B 2.变式2：能，相同项x，相反项-(2y-3z)与2y-3z 3.变式 3：选AD 题型2：利用平方差公式直接计算 1.变式1： 2.变式2： 3.变式3： 题型3：利用平方差公式计算三项多项式 1.变式1： 2.变式2： 3.变式3： 题型4：平方差公式连环计算+补数连环求值 1.变式1： 2.变式2：-1 3.变式3： 题型5：平方差公式简便计算 1.变式1：39999 2.变式2：899.99 3.变式3：-1 题型6：平方差公式逆用 1.变式1：(5a+4b-4c)(5a-4b+4c) 2.变式2：x(x+1)(x-1) 3.变式3： 题型7：与平方差公式有关的化简求值 1.变式1：，值为5×1+4×(-2)-4×4=5-8-16=-19 2.变式2：4 3.变式3：6 题型8：判断是否能用完全平方公式计算 1.变式1：选ACD 2.变式2：能，3.变式3：选ACD 题型9：利用完全平方公式直接计算 1.变式1： 2.变式2： 3.变式3： 题型10：利用完全平方公式简便计算 1.变式1：1004004 2.变式2：1 3.变式3：10000 题型11：完全平方公式逆用 1.变式1： 2.变式2： 3.变式3： 题型12：与完全平方公式有关的化简求值 1.变式1：12ab，值为12×2×(-1)=-24 2.变式2：22 3.变式3：16 题型13：完全平方公式变形求值 1.变式1：，ab=1 2.变式2：±5 3.变式3： 题型14：求完全平方公式中的参数值 1.变式1：16 2.变式2：或 3.变式3：m=7或m=-1 题型15：利用完全平方公式求最值 1.变式1：最小值2 2.变式2：最大值13.变式 3：最小值1，x=1 题型16：整体思想+完全平方公式变形求值 1.变式1：31 2.变式2：7 3.变式3：24 题型17：平方差、完全平方公式与积的乘方综合化简 1.变式1： 2.变式2： 3.变式3： 题型18：完全平方公式综合变形求值（培优） 1.设a=m-100，b=101-m，则a+b=1， ​ 答案： 2.设a=2x+5，b=3-2x，则a+b=8， ​ 答案： 3.设a=a-2025，b=a-2026，则a-b=1， ​ 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $