浙江省杭州学军中学2025-2026学年高一下学期数学周末练2

杭州学军中学2025学年高一（下）数学周末练2 出题：黄峰 审题：杨海江 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为虚数单位，若，则（  ） A． B．2 C． D．2i 2．如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（  ） A． B． C． D． 3．如图，已知等腰三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（   ） A． B．1 C． D． 4．在四边形中，，且，则（  ） A． B． C． D． 5．在中，角的边分别为，知，，则下列判断中错误的是（  ） A．若，则 B．若该三角形有两解 C．周长的最小值为12 D．面积的最大值 6．在中，角、、所对的边分别为、、，若，为的角平分线，且，，则的值为（  ） A． B． C． D． 7．记，设，为平面内的非零向量，则（　　） A． B． C． D． 8．如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，已知是平面四边形内一点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知是虚数单位，，复数是共轭复数，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 10．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（  ） A．若，则点是边的中点 B．若，则点在边的延长线上 C．若，则点是的重心 D．若，且，则的面积是的面积的 11．在中，给出下列四个命题，其中正确的命题是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图是一个正四棱台，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2和6，体积为，则侧面积为_________． 13．已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为___________. 14．在中，角，，的对边分别为，，，且，，若当，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知是复数，与均为实数. （1）求复数； （2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 16．如图，长方体的体积是为的中点，平面将长方体分成三棱锥和多面体两部分，其中． （1）求三棱锥的体积； （2）求多面体的表面积． 17．在中，为三个内角为三条边，且 （1）判断的形状； （2）若，求的取值范围． 18．如图，已知，，，圆A是以A为圆心半径为2的圆，圆B是以B为圆心、半径为1的圆，设点E，F分别为圆A，圆B上的动点，∥（且和同向），设. （1）当，且时，求的值； （2）用，表示出，当，的值为多少时，取最小值并求出最小值. 19．在中，，为的中点，. （1）若，求的长； （2）若，求的长. 学科网（北京）股份有限公司 $ 《杭州学军中学2025学年高一（下）数学周末练2》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D A C B D D ABD ACD 题号 11 答案 AB 1．B 【分析】首先根据复数代数形式的除法法则化简复数，再求得共轭，即可求解 【详解】解：， 则． 故选：B． 2．B 【分析】由向量的线性运算，可得解 【详解】由题意，． 故选：B 3．D 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】在直观图中，，而，因此是等腰直角三角形， 利用斜二测画法的定义，画出原图形，    由等腰斜边，得， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故选：D 4．A 【分析】推出四边形为平行四边形，且，且平分，得到四边形为菱形，且，为等边三角形，，利用，两边平方得到. 【详解】因为，所以且， 故四边形为平行四边形， 设都是单位向量，且， 两边平方得，即， 所以，解得， 故， 又均为单位向量，故， 即，且平分， 故四边形为菱形，且， 故为等边三角形，， ，两边平方得 ， 故. 故选：A 5．C 【分析】对于ABC，根据正、余弦定理结合基本不等式即可解决；对于D，由面积公式及正弦定理得，根据基本不等式解决即可. 【详解】对于A，，，由正弦定理得， 所以，故A正确； 对于B，由正弦定理得得，所以， 因为，则有两个解，所以该三角形有两解，故B正确； 对于C，由，得 ， 所以，当且仅当时取等号，此时三角形为等边三角形，周长最大，周长为12，故C错误； 对于D，由选项C知，，当且仅当时取等号， 故 所以面积的最大值为，故D正确. 故选：C. 6．B 【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，然后由，结合三角形的面积公式可求得的值，进而可求得的值，再利用余弦定可求得的值. 【详解】因为，由正弦定理可得， 所以，， 由余弦定理可得，因为，所以，， 因为，由可得， 即，解得，， 由余弦定理可得， 因此，. 故选：B. 7．D 【分析】根据向量加法减法的几何意义和向量数量积运算，结合排除法解题. 【详解】对于A选项：考虑，根据向量加法减法法则几何意义知： ，所以A错误； B选项：根据平面向量数量积可知：不能保证恒成立， ， 所以它们的较小者一定小于等于，所以B错误D正确； C选项：考虑 ，所以C错误. 故选：D 【点睛】此题考查向量相关新定义问题，其本质考查向量加减法运算的几何意义，平面向量数量积的运算和辨析，综合性较强，解题中结合排除法得选项. 8．D 【分析】由数量积的几何意义，先求在上的投影的取值范围，再乘以，则可得到的取值范围. 【详解】如图，延长，过点做交的延长线于点. 因为，，,所以. 由图可知当在点处时，在上的投影有最大值1， 当在点处时，在上的投影有最小值， 又因为，所以的取值范围是. 故选：D 9．ABD 【分析】依题意可得，再根据复数代数形式的运算法则一一判断即可. 【详解】因为，复数是共轭复数, 所以，所以，故A正确； ，故B正确； 因为虚数不能比较大小，故C错误； ，故D正确； 故选：ABD 10．ACD 【分析】判断命题真假；将前面条件进行化简，去判断点M的位置（D中若能判断M位置也是一定得出面积比值）. 【详解】A中：,即： ,则点是边的中点 B. ,则点在边的延长线上，所以B错误. C. 设中点D,则,，由重心性质可知C成立. D．且设 所以，可知三点共线，所以的面积是面积的 故选择ACD 【点睛】通过向量加减运算，进行化简去判断点M的位置，难度较大. 11．AB 【分析】对ABD，利用正弦定理，同角三角函数的基本关系来判断， 对D变形，逐一判断每个因式的正负. 【详解】解：对于A：在中，， 所以若A＜B，则sinA＜sinB正确； 若sinA＜sinB，则A＜B，所以B正确； 对于C： 当时，0＜2A≤π，0＜2B≤π，0≤， sin2A＞0，sin2B＞0，cos（B−A）＞0 ∴则； 当 时（A和B不可能同时在第二象限）， π＜2A＜2π，0＜2B≤π，∴sin2A＜0，sin2B＞0 当0≤A−B≤时，cos（B−A）＞0， ∴则， 当 时，cos（B−A）＜0， ；故C错误； 对于D： ， 故D错误； 故选：AB． 12． 【分析】设该正四棱台的高、斜高分别为h，，先根据体积列方程求出，进而可得，在利用面积公式求侧面积. 【详解】设该正四棱台的高、斜高分别为h，， 由已知得， 所以，， 所以正四棱台侧面积为． 故答案为：． 13． 【分析】把两边平方得到关于的一元二次不等式，利用一元二次不等式恒成立的条件以及两向量夹角的余弦公式求得结果. 【详解】，是单位向量，由得：， 依题意，不等式对任意实数恒成立， 则，解得， 而，则， 又，函数在上单调递减， 因此， 所以向量，的夹角的取值范围为. 故答案为：. 14． 【分析】由正弦定理解三角形，将边长转化为角即，代入进行化简，求出函数取得最大值时的结果 【详解】由正弦定理可得： , , 且 为满足存在最大值 ， 令 则 ， 当存在最大值时， 即 解得 综上可得 故正数的取值范围是 【点睛】本题在求含有边长的取最值时，利用正弦定理将其转化为角的问题，这样运用辅助角公式来求解，限制角的范围，求出结果，在解答此类题目时一般将边化为角来求解． 15．（1）；（2） 【分析】（1）设，化简和，利用复数为实数的条件求出，的值，即得复数． （2）化简式子，利用实部大于且虚部大于列不等式组组，解不等式组求得实数的取值范围 【详解】（1）设,则， ， 因为与都是实数，所以，解得， 所以； （2）由（1）知， 所以， 因为在复平面上对应的点在第一象限， 所以， 解得：， 即实的取值范围是． 16．(1)2 (2)． 【分析】（1）首先由长方体的体积确定的长，再根据三棱锥的体积，即可求解. （2）分别求多面体每个面的面积，再求和. 【详解】（1）长方体的体积是为的中点，， ，则， 在长方体中，侧棱和底面垂直，平面； ． （2）， ， 多面体的表面积为 ． 17．（1）是等腰三角形． （2） 【分析】（1）根据正弦定理可得，再分情况讨论可得即可判断； （2）由两边平方结合（1）中，化简得到再根据可得，化简可得，从而得到的范围 【详解】（1）由正弦定理有：，故，即，因为，故，所以或. 若，且，∴，不成立；故，又，故，∴是等腰三角形． （2）由两边平方得，由（1），所以，即，又，因为，所以，即，所以，化简可得，所以，故 18．(1) (2)，最小值为 【分析】（1）以点A为原点，AB所在直线为x轴，与AB垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则由题意可求出的坐标，从而可求出， （2）由题意及（1）可知A（0，0)，从而表示出，然后利用三角函数的性质可求得其最小值 【详解】（1）如图，以点A为原点，AB所在直线为x轴，与AB垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系. 则A（0，0)，则， 所以 （2）由题意及（1）可知A（0，0) ， 所以 所以 因为，所以    所以 ， 因为， 所以 所以，时的最小值为 19．(1)； (2). 【分析】（1）在中，利用余弦定理可求得，在中，再利用余弦定理，即可求得； （2）如图，延长，使，则为等腰三角形，进而可得，则，则，结合平面向量基本定理，可得，联立即可求解. 【详解】（1）如图，在中，，，， 根据余弦定理，得， 又在中，，，， 根据余弦定理，得， 解得； （2）如图，延长，使，则为等腰三角形，， ， 又，所以，所以， 所以，则，即， 所以，则， 又，， 所以， ， 所以， 所以，即，解得或（舍）. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $