08与平面向量交汇问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版高中数学必修二解三角形微专题——08 正（余）弦定理与平面向量交汇问题 一、题型梳理 题型1、正（余）弦定理与投影向量交汇问题 题型2、向量与三角形形状判断交汇问题 题型3、向量与求解三角形内角交汇问题 题型4、向量与求解三角形边长交汇问题 题型5、向量与三角形面积交汇问题 题型6、向量与三角形周长交汇问题 二、典例讲解 题型1、正（余）弦定理与投影向量交汇问题 例1．如图，在中，，于，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知及余弦定理得，再由投影向量的求法求在上的投影向量. 【详解】由题设，，则，，故， 所以，所以在上的投影向量为.故选：A. 例2．在中，，，平面内一点O满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理、勾股定理可得是直角三角形，点是的外心，，再利用投影向量定义可得答案. 【详解】在中，，，由余弦定理得， 所以，即，是直角三角形，又，所以点是的外心，且点是斜边的中点，的等边三角形，且，则向量在向量上的投影向量为.故选：C.    例3．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，且，点在边上，向量在向量和上的投影向量的模相等，则_____. 【答案】/ 【分析】利用余弦定理求出a，然后根据向量数量积的定义列方程求出c，最后根据已知条件推出BD为的平分线，即可利用角平分线的性质进行求解. 【详解】由余弦定理知，得，又因为，，所以，因为向量在向量和上的投影向量的模相等，所以，所以为的平分线，故. 例4．在中，，上存在一点，使得，为的中点. (1)若，求的面积； (2)若在上的投影向量为，求的大小. 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）根据余弦定理，求得，得到，结合，即可求解； （2）过作，得到，设，得到，再在中，由正弦定理求得，联立方程组，得到，即可求解. 【详解】（1）在中，，由余弦定理得，解得：，又因为且为上的一点，则，可得， 所以. （2）因为为的中点，且在上的投影向量为，过作，垂足为， 则为等腰三角形，所以，设，可得，①在中，由正弦定理得：，即，②，联立①②，可得，因为，可得或，解得或. 题型2、向量与判断三角形形状交汇问题 例5．已知的三内角所对的边分别是，设向量，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】利用平面向量平行的条件得，再利用余弦定理可得边的关系，即可得解. 【详解】由题意，向量，且，则，故，整理得到，故，故或，即或，故的形状为等腰或直角三角形.故选：D. 例6．在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】由向量，共线可得，利用正弦定理结合倍角公式分析可得，同理可得，即可判断结果. 【详解】因为向量，共线，则，由正弦定理可得：，则，因为，则，可知，，，均不为，可得，则，即；同理由向量，共线可得：；综上所述：.所以的形状为等边三角形.故选：A 例7．设向量满足，则当的最大值时，共起点的向量的终点所构成的三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】根据题意作出图形，先判断四点共圆，易看出当为圆的直径时，取最大值，推出，通过计算的三边长得出结论. 【详解】 由可得，因，故.如图，分别作出则依题意，,,由可知四点在一个圆上，故当为该圆的直径时, 取最大值，此时.在中，由余弦定理，，即，设四边形的外接圆半径为,由正弦定理，,解得，则,于是,故是等边三角形，即共起点的向量的终点所构成的三角形为等边三角形.故选：C. 题型3、向量与求解三角形内角交汇问题 例8．的三个内角所对边的长分别为，设向量．若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量数量积的坐标表示，再由余弦定理即可求得. 【详解】由可得，即可得， 所以，因此，又，所以.故选：A 例9．在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，向量，且满足，则角A＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由结合正弦定理得到，然后利用余弦定理求解. 【详解】解：因为，向量，且， 所以，由正弦定理得，即， 由余弦定理得，所以，因为，所以，故选：C. 例10．在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得，由余弦定理可求. 【详解】因为向量，， 因为，所以，即，由余弦定理可得.因为，所以，故选：B. 例11．中，分别是角的对边，向量，，∥且，则＝（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】A 【分析】由两向量的坐标及两向量平行满足的条件列出关系式，利用同角三角形函数间的基本关系求出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出的度数，再利用正弦定理化简已知的等式，利用两角和与差的正弦函数公式化简后根据的值不为0，求出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出的度数，即可求出的度数． 【详解】向量，，且，，即，为三角形的内角，，把利用正弦定理化简得：，即，，，又为三角形的内角，，则．故选：． 【点睛】本题考查了正弦定理，平面向量共线定理的应用，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题． 题型4、向量与求解三角形边长交汇问题 例12．在中，，向量在上的投影向量为，，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到方程组，求得，得到，，再利用余弦定理，即可求得的长. 【详解】因为，向量在上的投影向量为，可得在上的投影的数量为，即，又因为，可得，即联立方程组，可得，因为，所以，可得，， 由余弦定理得，所以.故选：C. 例13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据平行条件结合正弦定理得出，再根据即可求出. 【详解】由题意得，，结合正弦定理得，因，则，则，若，则，与上式矛盾，故，则，因，则，因为AC边上的中线，则，则，则. 故选：C 例14．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的值； (3)若点D满足，，，求． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据两个平面向量互相垂直的性质，结合平面向量数量积的坐标表示公式、同角的三角函数关系式中的商关系进行求解即可； （2）由三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可； （3）根据平面向量数量积运算性质，对已知等式两边同时平方进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为是锐角三角形，所以，因此， 所以由； （2）因为的面积为，所以，由余弦定理得， ； （3）由 . 题型5、向量与三角形面积交汇问题 例15．已知向量，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量公式求出向量与的夹角及模长，利用三角形面积公式求得面积，运用三角函数性质求得最值. 【详解】，，, ，其中，故， ，故当时，即时，取最大值为.故选：C. 例16．在△ABC中，分别是角的对边，若，，向量， 且. 则△ABC的面积是_________ 【答案】/ 【分析】先根据向量平行求出，结合余弦定理可得，利用面积公式可求答案. 【详解】因为，；所以， 解得；，即，解得； 又，所以，所以△ABC的面积为. 例17．在中，角的对边分别为.已知向量，，且. (1)求角的大小； (2)若是的中点，，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先利用向量平行的坐标表示可得，再根据正弦定理边化角化简求解即可； （2）由是的中点可得，再利用向量数量积的运算律可得，结合基本不等式和三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，，且，所以， 由正弦定理得，因为在中，，所以，， 所以，又，所以； （2）因为是的中点，所以，， 因为，所以，化简得， 所以，当且仅当时，等号成立，所以的面积，即面积的最大值为. 题型6、向量与三角形周长交汇问题 例18．已知在三角形中，角的对边分别为，且，角为锐角，向量与共线，且，则三角形的周长为______. 【答案】/ 【分析】根据与共线，得到，即，求得角，再根据，利用正弦定理求得2R，然后将转化为边，再结合余弦定理求得即可. 【详解】因为与共线，所以，即，所以，因为，所以，则，解得，因为，设三角形外接圆的半径为，由正弦定理得， 又因为，由正弦定理得，即，由余弦定理得，即，即，所以，解得，所以三角形的周长为， 【点睛】本题关键是由和求得外接圆半径，将转化为边结合余弦定理而得解。 例19．在中，向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标公式，三角恒等变换求得； （2）根据正弦定理即可求解. 【详解】（1）向量，，且，因为，，所以； （2）因为，所以，解得，因为，， 所以， 故所求为. 【跟踪训练】 专题08 解三角形与平面向量交汇问题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，内角所对的边分别为．向量．若，则角C的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用共线向量的坐标表示，结合余弦定理求解即得. 【详解】在中，由，，得， 整理得，由余弦定理得，而，所以.故选：C 2．在△ABC中，，，设，，则向量在向量方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理可得，再利用投影向量的定义求解. 【详解】根据余弦定理可得，∴，∴向量在上的投影向量为.故选：D． 3．在中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，若，则角A的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用垂直的数量积为0与余弦定理求解即可. 【详解】因为,所以,即,所以因为,故故选：B． 【点睛】本题主要考查了向量垂直与数量积的运用以及余弦定理求角度的问题,属于基础题型. 4．在中，已知，，，则向量在方向上的投影为（    ）． A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形内角和及正弦定理求得、，再根据向量投影的定义求结果. 【详解】由题设，则，可得，所以向量在方向上的投影为.故选：C 5．已知中，角所对的边分别为，设向量，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】根据向量共线的坐标运算得，利用正弦定理以及两角差的正弦公式得到，即可判断. 【详解】在中，因为，且，所以，由正弦定理得，所以，即，又，则，则，所以，所以该三角形为等腰三角形.故选：A 6．在中，角所对的边分别为，向量，若，则内角A的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量平行列出方程，结合正弦定理求得的大小. 【详解】由于，所以，由正弦定理得，，，由于，所以，所以三角形的内角为锐角，所以.故选：D 7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，向量，且满足，则角A＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求出. 【详解】由，得，根据正弦定理，，即，则，因为，所以.故选：B． 8．在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量，，共线，则形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】由向量共线的坐标运算可得，利用正弦定理化边为角，再展开二倍角公式整理可得，结合角的范围求得，同理可得，则答案可求． 【详解】解：向量，共线，．由正弦定理得：． ．，所以，则． ，即．同理由，共线，可得．形状为等边三角形．故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，，，D为边的中点，则（    ） A． B． C．当为的重心时，为钝角 D．向量在向量方向上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】由余弦定理可得AB正确；由向量共线的性质可得C错误；由投影向量的计算可得D正确. 【详解】对于A，由余弦定理得，故A正确； 对于B，由及余弦定理，得，故B正确. 对于C，取的中点，因为，所以，当为的重心时，，所以为直角，故C错误. 对于D，由及，得向量在向量方向上的投影向量为，故D正确.故选：ABD 10．在中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．若，则 【答案】AC 【分析】A选项对题干条件直接根据数量积的定义，化简成，然后根据边角转化求解；B选项利用两角和的正切公式求解；C选项结合正弦定理，投影向量公式求解；D选项根据正弦定理算出三边长度之后根据数量积定义求解. 【详解】A选项，对于，根据数量积的定义展开可得，， 即，即，由正弦定理，， 即，则为锐角，由，解得，，A选项正确， B选项：由A选项和题干可知，，，故，B选项错误. C选项：在方向上的投影向量为，由B知，，，且，解得，由正弦定理，，则，C选项正确. D选项：由正弦定理，，即，解得， 于是，，D选项错误. 故选：AC 11．如图，点是所在平面内的一点，，，，、分别为边、的中点，与交于点，则（   ） A． B．在上的投影向量等于 C． D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据余弦定理直接计算判断A，根据投影向量的法则求解判断B，根据的特点，建立平面直角坐标系，运用平面向量的坐标运算求得判断C，结合平面向量的线性运算、数量积的运算及二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，在中，，，，所以由余弦定理得 ，故A错误； 对于B，在上的投影向量等于，故B正确； 对于CD，如图，以为原点，以为轴，过点A与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，又，所以，故C正确；设，则，，所以 ，当且仅当时等号成立，即的最小值为，故D正确.故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在锐角中，内角所对的边分别为，设向量且，若，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据向量平行及正弦定理化简得出三角形为等边三角形即可得解. 【详解】由可得，由正弦定理可得，由，所以，又，所以，所以为正三角形，. 13．已知在中，角的对边分别为，，为的内心，为与同向的单位向量，则在上的投影向量为__________（用表示） 【答案】 【分析】利用余弦定理求出，设的内切圆切于点，即可求出，再根据数量积的运算律求出，最后根据投影向量的定义计算可得. 【详解】由余弦定理，所以， 设的内切圆切于点，即，则， 所以，所以在上的投影向量为. 14．在中，角、、的对边分别为、、．向量，，且．若边，，的平分线交于点，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】由题意得出，结合余弦定理可求得角的值，利用平面向量数量积的定义可求得的值，结合余弦定理可得出的值，再利用并结合三角形的面积公式可求得的长. 【详解】因为，则，所以， 由余弦定理可得，又因为，故， 由平面向量数量积的定义可得，故， 所以，可得， 故，故， 因为的平分线交于点，则， 由三角形的面积公式可得， 即，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知的内角的对边分别为，向量，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标公式和余弦定理，余弦函数的图象即可求得答案； （2）先由（1）的结论和基本不等式推出，利用三角形面积公式即可求得其最大值. 【详解】（1）因为，所以，即， 由余弦定理得，因为，所以． （2）由（1）得，即，当且仅当时，等号成立， 则，所以当时，面积的最大值为． 16．记的内角所对的边分别为，向量，且. (1)求角A； (2)若，点为的内心，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由向量平行的坐标表示和正弦定理边化角得即可求解； （2）法一：先由内心定义得，进而求出，接着由余弦定理得，再由基本不等式求出结合面积公式即可求解；法二：先由结合求出得到 ，接着在中由余弦定理结合基本不等式得即可分析求解. 【详解】（1）由题意得，由正弦定理得， 因为，所以，所以，所以，又，所以. （2）解法一：由（1）知，因为点为的内心， 所以， 由三角形内角和定理得. 在中，由余弦定理得，又， 所以，由基本不等式得， 所以，当且仅当等号成立. 所以的面积 所以的面积的最大值为； 解法二：设的内切圆半径为，所以的面积， 又，所以，因为点为的内心， 所以， 在中，由余弦定理得，即，所以， 即，由基本不等式得，解得，当且仅当等号成立. 所以，所以的面积的最大值为. 17．在中，角，，的对边分别为，，，其中，向量，满足，，且. (1)若为的外接圆半径，求； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）首先根据数量积的的坐标表示，结合正弦定理角化边和余弦定理求角，即可求外接圆半径； （2）首先根据正弦定理表示，再结合三角函数恒等变形，以及三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，， 根据正弦定理角化边可知，，即，所以， 所以，又因为，所以，即； （2）由正弦定理可知，， 所以，因为是锐角三角形，且， 所以，则，所以的范围是，则的取值范围是， 又，所以的周长的取值范围是. 18．在中，内角、、所对的边分别为，其中，设向量，. (1)若，求； (2)在（1）的条件下，设点O为的所在平面内一点，且满足，求的值； (3)若，求内切圆面积的最大值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）利用数量积的坐标运算化简即可； （2）利用向量减法化简，再利用数量积的运算律得O为的外心，再利用正弦定理即可； （3）利用余弦定理化简可得，由内切圆半径结合不等式放缩得出范围，进而求出面积的最大值. 【详解】（1）由题意可得，，解得，又因为，则. （2）因为，可得， 解得，，即，可知为的外心, 在中由正弦定理得，所以． （3）由，利用余弦定理可得， 化简得，由，得，所以，且， 所以的内切圆半径， 又，得，等号成立条件为，所以， 故的内切圆面积，所以的内切圆面积的最大值是. 19．在锐角中，角的对边分别是，向量，且. (1)求； (2)若，求面积的最大值； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示，，利用正弦定理及和差公式可得，进而得即可求得角； （2）由，得到，两边平方，结合和，可得，利用基本不等式即可求解； （3）有正弦定理可得，再利用和差及辅助角公式化解，结合锐角三角形确定范围即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 由正弦定理得，所以. 因为，所以， 所以，，所以.因为，所以. （2）因为，所以，所以， 所以，因为，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 则的面积，即面积的最大值为. （3）由正弦定理可得，则， 故， 因为是锐角三角形，所以解得，所以，所以，则，即的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高中数学必修二解三角形微专题——08 正（余）弦定理与平面向量交汇问题 一、题型梳理 题型1、正（余）弦定理与投影向量交汇问题 题型2、向量与三角形形状判断交汇问题 题型3、向量与求解三角形内角交汇问题 题型4、向量与求解三角形边长交汇问题 题型5、向量与三角形面积交汇问题 题型6、向量与三角形周长交汇问题 二、典例讲解 题型1、正（余）弦定理与投影向量交汇问题 例1．如图，在中，，于，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 例2．在中，，，平面内一点O满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 例3．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，且，点在边上，向量在向量和上的投影向量的模相等，则_____. 例4．在中，，上存在一点，使得，为的中点. (1)若，求的面积； (2)若在上的投影向量为，求的大小. 题型2、向量与判断三角形形状交汇问题 例5．已知的三内角所对的边分别是，设向量，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 例6．在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 例7．设向量满足，则当的最大值时，共起点的向量的终点所构成的三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 题型3、向量与求解三角形内角交汇问题 例8．的三个内角所对边的长分别为，设向量．若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 例9．在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，向量，且满足，则角A＝（　　） A． B． C． D． 例10．在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（   ） A． B． C． D． 例11．中，分别是角的对边，向量，，∥且，则＝（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 题型4、向量与求解三角形边长交汇问题 例12．在中，，向量在上的投影向量为，，则（    ） A．5 B． C． D． 例13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 例14．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的值； (3)若点D满足，，，求． 题型5、向量与三角形面积交汇问题 例15．已知向量，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 例16．在△ABC中，分别是角的对边，若，，向量， 且. 则△ABC的面积是_________ 例17．在中，角的对边分别为.已知向量，，且. (1)求角的大小； (2)若是的中点，，求面积的最大值. 题型6、向量与三角形周长交汇问题 例18．已知在三角形中，角的对边分别为，且，角为锐角，向量与共线，且，则三角形的周长为______. 例19．在中，向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的周长． 【跟踪训练】 专题08 正（余）弦定理与平面向量交汇问题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，内角所对的边分别为．向量．若，则角C的大小为（    ） A． B． C． D． 2．在△ABC中，，，设，，则向量在向量方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 3．在中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，若，则角A的大小为（    ） A． B． C． D． 4．在中，已知，，，则向量在方向上的投影为（    ）． A． B．2 C． D． 5．已知中，角所对的边分别为，设向量，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 6．在中，角所对的边分别为，向量，若，则内角A的大小为（    ） A． B． C． D． 7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，向量，且满足，则角A＝（    ） A． B． C． D． 8．在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量，，共线，则形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，，，D为边的中点，则（    ） A． B． C．当为的重心时，为钝角 D．向量在向量方向上的投影向量为 10．在中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．若，则 11．如图，点是所在平面内的一点，，，，、分别为边、的中点，与交于点，则（   ） A． B．在上的投影向量等于 C． D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在锐角中，内角所对的边分别为，设向量且，若，则的面积为______． 13．已知在中，角的对边分别为，，为的内心，为与同向的单位向量，则在上的投影向量为__________（用表示） 14．在中，角、、的对边分别为、、．向量，，且．若边，，的平分线交于点，则的长为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知的内角的对边分别为，向量，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 16．记的内角所对的边分别为，向量，且. (1)求角A； (2)若，点为的内心，求面积的最大值. 17．在中，角，，的对边分别为，，，其中，向量，满足，，且. (1)若为的外接圆半径，求； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 18．在中，内角、、所对的边分别为，其中，设向量，. (1)若，求； (2)在（1）的条件下，设点O为的所在平面内一点，且满足，求的值； (3)若，求内切圆面积的最大值. 19．在锐角中，角的对边分别是，向量，且. (1)求； (2)若，求面积的最大值； (3)若，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $