精品解析：广东梅州市梅县区高级中学2025-2026学年度第二学期高一数学收心考

梅溪高中2025-2026学年度第二学期高一数学收心考 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A B. C. D. 2. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若为函数的零点，则所在区间为（ ） A. B. （1，2） C. D. 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 16 6. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的偶函数，当时单调递增，且，则 的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若对任意，都有成立，则的值为 A. B. 1 C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A B. C D. 11. 若函数，定义域为，下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. ，使 C. 在和上单调递减 D. 的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为______． 13. 已知，则______. 14. 若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围___________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算以下的值： （1）； （2）； （3）化简：已知，求. 16. 春节期间，“旅游潮”、“探亲潮”将为交通带来巨大压力．已知某火车站候车厅，候车人数与时刻t有关，时刻t满足，．经观察，当时，候车人数达到满厅人数5000人，当时，候车人数相对于满厅人数减少，减少人数与成正比．已知时，候车人数为3800人，记候车厅候车人数为． （1）求的表达式； （2）铁路系统为了体现“人性化”管理，每逢整点时，会给旅客提供免费面包，数量为，求t为何值时，需要提供的免费面包数量最少． 17. 已知函数， （1）求函数的最小正周期和对称中心坐标； （2）求函数的单调递增区间； （3）当时，求的最大值以及取得最大值时的值． 18. 已知函数的图象过点． （1）求实数的值； （2）证明：函数为偶函数； （3）求关于的不等式的解集． 19. Sigmoid函数是一个特殊的函数，在人工智能领域和生物学中发挥着重要的作用，其数学表达式是 （1）判断的单调性，并用定义证明； （2）设函数 求 的值； （3）若函数 在 上有零点，求实数k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梅溪高中2025-2026学年度第二学期高一数学收心考 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出二次不等式的解，利用充分条件、必要条件的定义求解即可 【详解】由 若成立，则不一定成立，即充分性不成立； 若成立，则一定成立，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B, 3. 若为函数的零点，则所在区间为（ ） A. B. （1，2） C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】函数为上的增函数， 又， 且， 因为， 所以所在区间为. 故选：B 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数的性质可得，根据对数的运算及对数函数的单调性可比较的大小. 【详解】∵，， ∴. 故选:B. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 6. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性即可判断. 【详解】令,则. 由，解得或，故函数的定义域为或. 又函数在上单调递减，在上单调递增, 在上单调递增，则函数在上单调递增. 故选：B. 7. 已知是定义在上的偶函数，当时单调递增，且，则 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由是定义在上的偶函数，偶函数在对称区间上单调性相反得时单调递减，由，得或，求解即可. 【详解】由是定义在上的偶函数，当时单调递增， 所以当时单调递减，由，可得， 由，可得或， 所以或， 故选：D 8. 已知函数，将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若对任意，都有成立，则的值为 A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简的解析式，再利用正弦型函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得的值． 【详解】 ，（其中，）， 将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，得到 ， ∴，，解得，故选D. 【点睛】本题主要考查辅助角公式，的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知不等式解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】分析可知，且的根为，利用韦达定理求，即可判断ABC；代入不等式运算求解即可判断D. 【详解】因为不等式的解集为或， 可知，且的根为，故A正确； 则，可得， 则，，B正确；C正确； 因为，即，且， 则0，解得， 所以的解集为，D错误． 故选：ABC． 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可求得所求；对于B，结合选项A中结论，判断得，从而求得的取值范围即可判断；对于D，利用选项C中的结论求得，进而求得，即可解答. 【详解】对于A，由①，以及， 对等式①两边取平方得，则②，故A正确； 对于B，∵，∴，由②知，，故B正确； 对于C，又，故C错误； 对于D，由方程，解得，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 若函数，定义域为，下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. ，使 C. 在和上单调递减 D. 的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性判断A；令，求出的值和定义域比较判断B；分别在和研究函数单调性判断C；求出函数的值域判断D. 【详解】对于A，，定义域为，关于原点对称， ， 所以为偶函数，关于轴对称，故A正确； 对于B，，则， 即，解得，与定义域矛盾， 所以不存在，使，故B错误； 对于C，， 因为当和，单调递增， 所以单调递减，即单调递减，故C正确； 对于D，由选项C可知，， 因为且，则且， 所以且，即且， 所以的值域为，故D错误， 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为______． 【答案】## 【解析】 【详解】由题意得， 记扇形的半径为r，因为圆心角为，弧长为，所以半径， 所以扇形的面积为. 13. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用弦化切可求得结果. 【详解】因为，所以 . 故答案为：. 14. 若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得“，使得”真命题，分离参数可得在内有解，利用基本不等式求出即可. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即， 因为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算以下的值： （1）； （2）； （3）化简：已知，求. 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）利用指数运算法则计算可得结果； （2）根据对数运算法则直接计算即可； （3）利用诱导公式化简可得，再将其代入计算可得结果. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式. 【小问3详解】 由，得， 即， 所以. 16. 春节期间，“旅游潮”、“探亲潮”将为交通带来巨大压力．已知某火车站候车厅，候车人数与时刻t有关，时刻t满足，．经观察，当时，候车人数达到满厅人数5000人，当时，候车人数相对于满厅人数减少，减少人数与成正比．已知时，候车人数为3800人，记候车厅候车人数为． （1）求的表达式； （2）铁路系统为了体现“人性化”管理，每逢整点时，会给旅客提供免费面包，数量为，求t为何值时，需要提供的免费面包数量最少． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）依题意设得的解析式，代入，确定参数，即得的表达式； （2）根据分段函数解析式，分别利用基本不等式和函数的单调性求其最值并比较即得. 【小问1详解】 依题意，当时，设， 因，解得， ， 【小问2详解】 当， ， 当且仅当时等号成立； 当时，在上为减函数，故得. 又，所以当时，需要提供的面包数量最少． 17. 已知函数， （1）求函数的最小正周期和对称中心坐标； （2）求函数的单调递增区间； （3）当时，求的最大值以及取得最大值时的值． 【答案】（1）最小正周期，对称中心为，； （2），； （3）最大值为，对应. 【解析】 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式化简函数式，应用正弦型函数性质求最小正周期及对称中心； （2）根据正弦函数的单调性，求的单调递增区间； （3）由，结合正弦型函数性质求最大值并确定对应值． 【小问1详解】 由， 所以最小正周期， 令，则，，即对称中心为，. 【小问2详解】 令，，则，， 所以函数的单调递增区间为，. 【小问3详解】 由，则，故， 所以，函数最大值为，此时. 18. 已知函数的图象过点． （1）求实数的值； （2）证明：函数为偶函数； （3）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）a， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知点的坐标代入即可求解； （2）结合偶函数的定义即可证明； （3）结合指数函数的单调性即可求解． 【小问1详解】 函数的图象过点， 所以，即，， 则，则，所以； 【小问2详解】 证明：函数， 故为偶函数； 【小问3详解】 不等式可化为， 即， 解得， 所以， 故不等式的解集为． 19. Sigmoid函数是一个特殊的函数，在人工智能领域和生物学中发挥着重要的作用，其数学表达式是 （1）判断的单调性，并用定义证明； （2）设函数 求 的值； （3）若函数 在 上有零点，求实数k的取值范围. 【答案】（1）上单调递增，证明见解析 （2）1012 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性定义证明即可； （2）根据结构特征，，采用首位相加求解即可； （3）依题意得，，换元令，转换为关于的方程在上有解，进而得到答案. 【小问1详解】 在上单调递增，证明：任取，且， ， 因为，所以，所以， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 由题意得， 所以， 故. 所以 【小问3详解】 故， 令，当时，. 在上有零点，故关于的方程在上有解. 方程可化为. 令，则，且， 因为函数在上单调递增，所以当时，， 故实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第二问，重点考查倒序相加法求解，关键在于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $