解三角形中的三角形性质问题、周长问题、面积问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

解三角形中的三角形形状问题、周长问题、面积问题专项训练 解三角形中的三角形形状问题、周长问题、面积问题专项训练 考点目录 解三角形中的三角形形状问题 解三角形中的三角形周长问题 解三角形中的三角形面积问题 考点一 解三角形中的三角形形状问题 例1．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】 ， ，或， 当时，因为，所以，因此该三角形是直角三角形； 当时，可得， 由正弦定理可得：，所以由，可得，因此该三角形是等腰三角形， 综上所述：该三角形是等腰或直角三角形. 故选：D 例2．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【详解】因为，，所以或者. 即或者（）. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：C 例3．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）在中，已知，则的形状是______． 【答案】等腰三角形 【详解】根据正弦定理和余弦定理，可化为， ∴，即，则， ∴为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形 例4．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，已知，则的形状为______ 【答案】等腰或直角三角形 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 变式1．（24-25高一下·河南安阳·期末）在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【详解】方法一  ，， ， ， ，或， 又由可知，，， ，为直角三角形．故A正确. 方法二 ：记的内角所对的边分别为，由正弦定理、余弦定理及题设条件可得，且， 化简得，，即， 为直角三角形.故A正确. 故选：A. 变式2．（24-25高一下·河北承德·期末）在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又， 所以，，即， 所以一定是等腰三角形， 故选：B. 变式3．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，满足，则的形状为_________. 【答案】等腰或直角三角形 【详解】根据题意，， 即， 利用正弦定理，得， 则，， 所以或， 即或， 则的形状为等腰或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 变式4．（24-25高一下·江苏·月考）在中，角的对边分别为，若，，则的形状是______． 【答案】等边三角形 【详解】由， 可得：， 即，又， 所以，即， 又， 所以， 所以的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形 考点二 解三角形中的三角形周长问题 例1．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 由正弦定理得：， 又，， 即， ， 又，，， 又，. （2）由余弦定理得：， ， 即， 或（负值舍去）， . 的周长为. 例2．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期末）在中，角，，的对边分别是，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以. （2），解得， 由余弦定理可得， 解得， 所以得周长为. 例3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知内角的对边分别为，点是的内心，若,. (1)求角； (2)延长AM交BC于点，若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得，由正弦定理可得 ， 故可得，即，而，故 （2）因为点是的内心，，， 因，，则 从而，. 又，所以，即. 由余弦定理可得. 将代入上式化简得. 解得，因为，所以. 所以的周长为. 例4．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为. (1)若顶点的坐标为，求的面积； (2)若，求锐角周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意， ， ， ， 所以的面积为. （2）设角所对的边分别分， ， ， ， 因为是锐角三角形，，得， ，故， ， 即周长的取值范围为. 变式1．（24-25高一下·湖北武汉·期末）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的大小； (2)若的面积为且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得． 即， 因为，所以． 所以． 因为，，所以， 因为，所以． （2）因为，所以， 由余弦定理得， 由，可得， 所以，所以的周长为． 变式2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中角A、B、C所对的边长为a、b、c，向量，且. (1)若，求 (2)若，求的周长 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）向量，由，得， 在中，由正弦定理得，而，则， 当时，由余弦定理得， ，所以. （2）当时，则， 由（1）知，则，显然为锐角， 解得，由正弦定理得， 所以的周长. 变式3．（24-25高一下·甘肃金昌·期中）已知中，内角的对边分别为，若向量，且向量. (1)求角的值； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 即， 所以， 因为，所以. （2）由正弦定理，将代入，得， 因为，所以， 所以， 故的周长为. 变式4．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以， 即，即， 所以， 因为，所以，； （2）由余弦定理及， 得，即， 即，又，即， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以周长， 所以周长最大值为． 考点三 解三角形中的三角形面积问题 例1．（24-25高一下·广东江门·期末）已知，，，，O为坐标原点． (1)求向量与的夹角； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，因为， 所以，解得， 所以， 所以向量与的夹角的余弦值为， 故向量与的夹角为； （2）因为，与的夹角为， 所以的面积为. 例2．（24-25高一下·北京房山·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，，且由余弦定理可得， 则，， 又， （2）根据三角形的面积公式可得， 的面积为. 例3．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求角A； (2)若角A的平分线交BC边于D且，求的面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），由正弦定理可得 所以 所以 ， 因为，所以 所以， ， . （2）如图：    由 得 由 得 （当时等号成立） 故的面积的最小值为. 例4．（24-25高一下·四川巴中·期中）已知，其中，. (1)求的对称中心； (2)在中，角、、的对边分别为，，.若 ①，试判断三角形的形状； ②若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①等边三角形；② 【详解】（1）因为，， ， ， 令，可得， 所以函数的对称中心为. （2）①因为， 所以， 因为，所以， 因为，由正弦定理得， 由余弦定理得，即 所以，又， 所以三角形为等边三角形. ②因为，， 即，即， 当且仅当时，等号成立， 又因为， 所以面积的最大值为. 变式1．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）在中，角，，的对边分别是，，，且. (1)求角的大小； (2)若，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 根据正弦定理可得， 即， 即，， 所以，又，则. （2）由，可得，， 因为，所以①， 因为，所以②， 联立①②可得，解得. 故的面积为. 变式2．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． (1)求函数的单调递增区间； (2)若锐角的内角的对边分别为，且，， （ⅰ）求的值． （ⅱ）求面积的取值范围． 【答案】(1)． (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）， 由f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，得， 所以． 令，解得， 所以函数的单调递增区间为． （2）（ⅰ）已知，由，得， 由正弦定理，得，， 所以； （ⅱ）由（ⅰ）可知，， ， 由△ABC是锐角三角形，有，得，， 则，所以， 即面积的取值范围是． 变式3．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 【答案】(1)； (2)，. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 则，而，所以. （2）由（1）知，而，由正弦定理得， 由，得，则， ， 所以的面积. 变式4．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若是边的中点，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）方法1：由正弦定理可化为 ， ∴，∴． ∵，∴， ∵，∴． 方法2：∵，由余弦定理得 ， 化简可得，∴， ∵，∴． （2）∵为边中点，∴， ∴， ∵，∴， ∵（当且仅当时等号成立）， ∵， ∴，∴面积的最大值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形中的三角形形状问题、周长问题、面积问题专项训练 解三角形中的三角形形状问题、周长问题、面积问题专项训练 考点目录 解三角形中的三角形形状问题 解三角形中的三角形周长问题 解三角形中的三角形面积问题 考点一 解三角形中的三角形形状问题 例1.(25-26高一上上海杨浦期末)已知ABC的三个内角A,B,C满足sinC=sin2A+sinA-B),则ABC的 形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 例2.(24-25高一下·黑龙江黑河·期末)若sin2A=sin2B,则ABC为() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等边三角形 例5.2425商-下内家古包头月考)在8C中，已知6。测48c的形状是 例4.2425商-下江苏商通期)在4c中，已知。平四行示08·则40C的形状为 c0sB-cosC,则4BC的形状为() 变式1.(24-25高一下·河南安阳期末)在ABC中，sin4=sinC-sinB, A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形 解三角形中的三角形形状问题、周长问题、面积问题专项训练 变式2.(24-25高一下·河北承德期末)在ABC中，已知2 sinAsinC(cosB-1+sin2B=0,则ABC一定是() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.锐角三角形 变式3.Q425商-下江苏南家期术)在C中，满足B测48C约形状为 25高下江苏月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,若b=csB’C=号， 形状是· 2 解三角形中的三角形形状问题、周长问题、面积问题专项训练 考点二 解三角形中的三角形周长问题 例1.(24-25高一下·辽宁大连·期末)己知ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=bcosC+csinB (1)求角B; (2)若b=V5,a=1,求ABC的周长. 例2.(2425高一下·新疆克拉玛依期末)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c且a2+c2-b2=√3aC (I)求角B的大小； (2)若a=2V3,ABC的面积为23，求ABC的周长 解三角形中的三角形形状问题、周长问题、面积问题专项训练 例3.(24-25高一下·四川成都期末)已知ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点M是ABC的内心，若a=2, √5 bcos4=asin B. M B D (1)求角A; ②延长M交BC于点D,若4D-25,求4BC的周长 例4.(24-25高一下·安徽蚌埠·期末)在平面直角坐标系中，ABC的顶点A,B的坐标分别为(4,1)，(7,5) (1)若顶点C的坐标为(2,0)，求ABC的面积； ②若∠C=骨求锐角A8C周长的取值花围 解三角形中的三角形形状问题、周长问题、面积问题专项训练 变式1.(24-25高一下·湖北武汉·期末)在ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 (2c-a)cos B=bcos A. (I)求角B的大小： (2)若ABC的面积为8V3且b=6,求ABC的周长. 变式2.(24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔月考)在ABC中角A、B、C所对的边长为a、b、c,向量 m=(4,sin C),n=(3,sin B),m//n,b+c=14. C (1)若BC=4,求tan 2 (2)若A=2B,求ABC的周长 解三角形中的三角形形状问题、周长问题、面积问题专项训练 变式3.(24-25高一下·甘肃金昌期中)已知ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若向量 m=(b+a,c,i=(b+c,a-b,且向量m/1n (I)求角A的值： (2)若b=4,a=45,求ABC的周长. 变式4.(25-26高三上·甘肃兰州期末)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 √3 asinC=c(2+cosA. (1)求角A的大小： (2)若a=2√3，求ABC的周长的最大值. 6 解三角形中的三角形形状问题、周长问题、面积问题专项训练 考点三 解三角形中的三角形面积问题 例1.(24-25高一下广东江门期末)己知A1,5),B(-2,y),C(4,25),AB/1BC,0为坐标原点. (1)求向量OA与OB的夹角： (2)求△0AB的面积. 例2.(24-25高一下·北京房山期末)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且a=5,b=7, c=8 (1)求∠B; (2)求ABC的面积 解三角形中的三角形形状问题、周长问题、面积问题专项训练 例3.(24-25高一下·湖南岳阳期末)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足 3(acosC-b)=3csin A. (1)求角A; (2)若角A的平分线交BC边于D且AD=2,求ABC的面积的最小值. 例4.(24-25高一下-四川巴中期中)己知f(x)=m.n-1,其中m=(5,2cosx),n=(sin2x,cosx(x∈R) (1)求f(x的对称中心： (2)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,C若f(A)=1 ①sin2A=sinBsinC,试判断三角形的形状； ②若a=2V5,求ABC面积的最大值， 解三角形中的三角形形状问题、周长问题、面积问题专项训练 变式1.(25-26高三上湖北武汉·开学考试)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,C,且 2asinAcosB+bsin2A=2acosC. (1)求角C的大小： (2)若a=3,且AB.BC=-6,求ABC的面积. 变式2.(24-25高一下·江苏常州期中)已知m=(V5 sinx,cos@x,n=(cos@x,-cos@x(0>0,x∈R), f小对=后员一子且八的图象上相邻两条对款维之间的距离为子 (1)求函数∫(x)的单调递增区间； (2)若锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=√3，fB)=0, (i)求 a+c 的值。 sin 4+sinC (ⅱ)求△ABC面积的取值范围. 0 解三角形中的三角形形状问题、周长问题、面积问题专项训练 变式3.(24-25高一下·江苏南京·期末)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 csinB+3bcosC =0. (1)求角C; (2)若c=√5，b=√2，求B及ABC的面积. 变式4.(24-25高一下·四川眉山期末)己知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且 (a-2b)cosC+ccosA=0. (1)求C; (2)若D是AB边的中点，CD=3,求ABC面积的最大值. o