4.4.2 平面与平面垂直 课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

4.4 平面与平面的位置关系 4.4.2 平面与平面垂直 第4章 立体几何初步 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 二面角 1 二面角的定义 （1）半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分,其中每一部分都称为半平面. （2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.这条直 线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面. 6 2 二面角的表示 （1）如图4.4.2-1（1），棱为或、面分别为 ， 的二面角记作二面角 或 . 图4.4.2-1 （2）如图4.4.2-1（2）,若在 ， 内（棱以外的半平面部分）分别取点, ,则 这个二面角可记作二面角或 . 7 3 二面角的平面角 自然语言 图形语言 符号语言 在二面角 的棱上任取一点 , 以点为垂足，在半平面 和 内分别 作垂直于棱的射线和，则射线 和构成的 叫作二面角的平面角. ,, , , , 为二面角 的平面角. 8 4 二面角大小的度量 （1）二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这 个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫作直二面角. （2）当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是 ；当二面角的两 个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是 .所以二面角的平面角 的范 围是 ． . . . . . . 9 知识剖析 二面角的平面角的内蕴 （1）二面角的平面角的大小由二面角的两个半平面的位置唯一确定，与棱上点的位 置无关. （2）平面角的两边分别在二面角的两个半平面内，且两边都与二面角的棱垂直，由 这个角所确定的平面和二面角的棱垂直. 10 典例详解 【想一想丨问题质疑】 你能想明白为什么通过定义二面角的平面角来度量二面角吗？ 提示 度量一个量时，必须考虑“存在性”与“唯一性”的问题，如果在二面角的棱上 任取一点，从这点出发，分别在两个半平面内任作一条射线，虽然它们可以构成一 个平面角，但是这样的角的大小会由于所作的射线的位置不同而改变，因此不具有 “唯一性”.但如果所作射线与二面角的棱垂直，因为在一个平面内经过棱上一点只能 引棱的一条垂线，所以过棱上一点所作的角是唯一确定的.另外，由等角定理，可以 保证在棱上取不同点时所作角的大小相等.因此，这样的角不仅是存在的，而且是唯 一的，所以可以刻画二面角的大小. 11 例1-1 以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面 角．其中可能为钝角的有( ) B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【解析】异面直线所成的角 的范围为 ，直线和平面所成的角 的范 围为 ，二面角的平面角 的范围为 ，只有二面角的平 面角可能为钝角． 12 图4.4.2-4 例1-2 如图4.4.2-4，在正方体中，, 交于 点，给出三个角,, ,其中能作为二面角 的平面角的是_________. 【解析】连接，由正方体的性质知, , ,, 平面 , 平面 . , 平面 , ,,是二面角 的平面角. 13 知识点2 面面垂直的定义及判定定理 1 平面与平面垂直的定义 一般地,两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互 相垂直．（两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况）平面 与 垂直，记作 . . . . . 14 2 两个平面互相垂直的画法 如图4.4.2-2，在画两个垂直的平面时,通常把表示直立平面的平行四边形的竖边 画成与表示水平平面的平行四边形的横边垂直. 图4.4.2-2 15 3 平面与平面垂直的判定定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果一个平面过另一个平面的垂 线，那么这两个平面垂直. 若 , ,则 . 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 16 4 判定定理的应用 （1）判定两个平面互相垂直. （2）找出一个平面的垂面. 发散探讨 过平面外一点，有且只有一个与已知平面垂直的平面吗? 不止一个，事实上有无数个，过平面外一点可以作平面的一条垂线，过该垂线 可以作出无数个平面,由平面与平面垂直的判定定理可知这些平面都与已知平面垂直， 所以过平面外一点，可以作无数个与已知平面垂直的平面. 17 典例详解 例2-3 (2025·陕西省西安市期末)设 , 是两个不同的平面，, 是两条不同的直线， 且 , ，下列结论正确的是( ) A A.若 ,则 B.若 ,则 C.若 ,则 D.若 ,则 【解析】由面面垂直的判定定理可知A正确. 18 图4.4.2-5 例2-4 如图4.4.2-5,若垂直于矩形 所在的平面，则该几何 体的表面中相互垂直的面有( ) D A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 【解析】由 平面，知平面 平面 ，平面 平面 ； 因为,,,所以 平面,则平面 平面 ; 因为,,,所以 平面,则平面 平面 ;因 为,,,所以 平面,则平面 平面 .所 以题图中相互垂直的面共有5对. 19 知识点3 平面与平面垂直的性质定理 1 平面与平面垂直的性质定理 自然语言 图形语言 符号语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一 直线垂直于这两个平面的交线，那么 这条直线与另一个平面垂直. 若 ， ， ， ，则 . 知识剖析（1）平面与平面垂直的性质定理成立的条件有三个： ①两个平面垂直；②有一条直线在其中一个平面内；③这条直线垂直于两个平面的 交线.（2）如果两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两条直线可能平行、相交 （含垂直相交）或异面. 20 2 性质定理的作用 （1）证明线面垂直、线线垂直； （2）构造面的垂线. 21 典例详解 例3-5 已知平面 , 和直线, ，则下列命题中正确的是( ) D A.若 ,,,则 B.若, ,,则 C.若 , ,则 D.若 ,, ，,则 【解析】A项中缺少了条件 ，故A错误. B项中缺少了条件 ，故B错误. C项中缺少了条件， ，故C错误. D项具备了面面垂直的性质定理中的全部条件，故D正确. 22 重难拓展 知识点4 二面角的作法及一个求二面角的特殊方法 1 作二面角的平面角的常用方法 方法 内容 图例 定义 法 在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作 垂直于棱的射线，这两条射线所成的角即二面角的平面 角. 垂面 法 过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个 半平面各有一条交线，这两条交线所成的角即二面角的 平面角． 23 方法 内容 图例 垂线 法 过二面角的一个面内异于棱上的点 向另一个平面作垂 线，垂足为，由点向二面角的棱作垂线，垂足为 ， 连接，则 为二面角的平面角或其补角． （又称三垂线定理法） 转化 法 分别作与二面角的两个半平面垂直的直线，这两条直线 所成的角即二面角的平面角或其补角. 续表 24 2 求二面角的平面角的步骤 （1）作出（找出）二面角的平面角. （2）证明它是二面角的平面角. （3）求出这个角的大小. （4）说明二面角为多少度． 这个过程可以简记为：作（找）、证、求、答． . . 25 3 关于二面角的一个结论 设二面角 的大小为，是 内任一平面图形的面积， 它在平面 内的投影的面积为,则 . 我们从简单图形进行探究： 已知：二面角 的度数为,在平面 内有 ，面积 为,它在 内的投影为,面积为 . 求证： . 26 图4.4.2-3 证明：不妨假定的边在上（则与重合， 与重合），如图4.4.2-3，作边上的高,则在 内的 投影为.根据投影的性质，知 . 则 . 把换为 内的多边形或其他任意图形，所证公式 仍然成立. 因此，我们得到求二面角的另外一种方法——投影面积法.（解答题使用此公式 时需先证明） 如果能够找到一个半平面内的图形在另一个半平面内的投影图形，那么投影图形的 面积与原图形的面积的比值即二面角的余弦值的绝对值. . . 27 典例详解 例4-6 在直三棱柱中，,若为 的中点，试找出二面角 的平面角. 【解析】如图4.4.2-6，设为的中点，连接 ， 图4.4.2-6 28 则,故 平面 . 由，为的中点，得 . 又，且,故 平面 ， 故， ， 所以为所求二面角 的平面角． 29 例4-7 (2025·山东省日照市期中)已知正三棱锥 的棱长都为2，则侧面和底面 所成二面角的余弦值为( ) C A. B. C. D. 图4.4.2-7 【解析】 如图4.4.2-7所示，过点作 底面,点 为 垂足，连接,,,则 , , 点为等边三角形 的中心. 延长交于点，连接 , 30 则, , 为侧面与底面 所成的二面角的平面角. ， 在中， . 三个侧面在底面上的投影完全相同,都是底面正三角形面积的 ,且正三棱锥 的四个面面积相同, 由知，侧面和底面所成二面角（显然为锐角）的余弦值为 . 31 知识点5 直线、平面位置关系中的相关结论及其转化 1 判定直线与直线垂直的方法 （1）定义法:两条直线所成的角为 ，则这两条直线互相垂直. （2）利用直线与平面垂直的性质： , . （3）若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条. 32 2 判定直线与平面垂直的方法 （1）定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直. （2）利用直线与平面垂直的判定定理：,, , , . （3）利用平面与平面垂直的性质定理： ,, , . （4）如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面， 即, . （5）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另 一个平面，即 , . 33 3 平面与平面垂直的其他性质与结论 （1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的 直线在第一个平面内. 即 , ,, . （2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平 面.即 , . （3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在 另一个平面内.即 ， 或 . 34 （4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平 面.即, , . （5）三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.即 ，, , , ,,, . 35 4 线、面垂直位置关系的相互转化 36 5 平行关系与垂直关系的相互转化 37 典例详解 例5-8 (2025·北京市十一学校段考)已知,是平面 外的两条不同直线.给出下列三个 论断: ； ； . 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题：______ ____________________________________________________________. 若, ,则 （或若 ， ，则，答案不唯一） 【解析】其中两个论断作为条件，一个论断作为结论，可组成3个命题. 命题若, ,则 ，此命题不正确，可以举一个反例，例如在正方 体中，设平面为平面 ，和分别为和 ，满足条 件，但结论不成立. 38 命题若, ,则 ，此命题正确.证明：作直线，且与 相交， 故与确定一个平面 ，且，因为 ，所以平面 与平面 相交，设 ，则，又, ，所以，又，所以，又 在平 面 外， ，故 . 命题若 , ,则，此命题正确.证明：过直线 作一平面，且与平 面 相交，交线为，因为 ，所以.因为 ， ，所以 ，又 ，所以 . 39 例5-9 [多选题] 已知，是两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列 四个命题中的真命题是( ) AD A.若 ， ，，则 B.若 ， ，，则 C.若 ， ，，则 D.若 ， ， ，则 40 【解析】对于A，可以得到平面 ， 互相垂直，其中一种示意图如图 4.4.2-8（1） 所示，故A为真命题；对于B，平面 ， 可能垂直，如图 4.4.2-8（2）所示，故B为 假命题；对于C，平面 ， 可能垂直，如图4.4.2-8（3）所示，故C为假命题；对于 D，由 ， 可得 ，因为 ，所以过作平面 ，且 ，如 图4.4.2-8（4）所示，所以与交线平行，因为，所以 ，故D为真命题. 图4.4.2-8 41 题型解析 03 题型1 求二面角 1 找二面角的平面角 例10 如图4.4.2-9，在正方体 中： 图4.4.2-9 43 （1）求二面角 的大小； 【解析】在正方体中， 平面，所以， ， 因此为二面角的平面角.在中， ，所以二 面角的大小为 . （2）求二面角 的大小. 【解析】因为 平面,所以,，为二面角 的平面角.由正方体的结构特征不难发现，平面 平面 ,故所求二面角的大 小为 又 ，所以二面角的大小为 . . . . . 44 45 2 作二面角的平面角 图4.4.2-10 例11 如图4.4.2-10所示，, 为二面角内部一点. , ,垂足分别为, . （1）证明： ； 【解析】 平面, . 46 （2）若为等边三角形，求二面角 的大小. 图4.4.2-11 【解析】设平面与棱交于点,连接, ,则易得 ,，如图4.4.2-11，则 即所求二面角的 平面角. 为等边三角形， ， . 故二面角 的大小为 . 47 思路点拨 （1）由, , 推出 平面 ，从而得出 ;（2）可转化为求 ，再求出二面角的平面角的大小，即得二面角 的大小. （1）二面角的平面角的顶点是二面角棱上任意一点，为了解题方便， 可以把其放在某一特殊位置，这要具体问题具体分析. （2）求二面角的关键是找出（或作出）其平面角，再把平面角放到三角形中求解. 一般采取垂线法来作平面角，即过二面角的一个半平面内不在棱上的一点作另一个 半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角. 48 【变式题】 图4.4.2-12 1.将等腰直角三角形沿斜边上的高 折成一个二面角 ，如图4.4.2-12所示，此时 ，那么这个 二面角的大小是( ) A A. B. C. D. 【解析】因为，，所以 为二面角 的平面角.设等腰直角三角形的直角边长为2，则 ， 所以.连接，因为, ， 所以,所以，所以 ，即二面角 的大小是 . 49 2.(2025·天津经济技术开发区第一中学月考)如图4.4.2-13所示，在三棱锥 中，，都是等边三角形，且，,求二面角 的大小． 图4.4.2-13 50 【答案】如图D 4.4.2-1,取的中点，连接， . 图D 4.4.2-1 因为，是的中点，所以 ， 同理可证 ， 所以是二面角 的平面角． 在中， ， ， ， 所以.同理可得 . 又，所以 是等边三角形， 所以 ，即二面角的大小为 . 51 题型2 面面垂直判定定理的应用 图4.4.2-14 例12 (2026·北京四中开学考试)如图4.4.2-14，在四棱锥 中， 平面，, . （1）求证： 平面 ; 【解析】因为 平面,所以 . 又,,所以 平面 . 52 （2）求证：平面 平面 . 【解析】 因为, , 所以 . 因为 平面,所以 . 又，所以 平面 . 因为 平面,所以平面 平面 . 因为, 平面 , 所以 平面 . 又 平面,所以平面 平面 . 53 名师点评 本题中的模型涉及了四个面都是直角三角形的三棱锥——鳖臑.此类问题 常考查的是线线、线面、面面之间的垂直关系. 54 图4.4.2-15 例13 (2025·山西省大同市浑源七中月考)如图4.4.2-15，在三棱 锥中，，，分别为棱，， 的中点．已知 ，，， . 求证： （1）直线平面 ； 【解析】因为，分别为棱， 的中点， 所以 . 又 平面， 平面 ， 所以直线平面 . 55 （2）平面 平面 . 【解析】因为，，分别为棱，，的中点，， ， 所以，, . 因为，所以 ， 所以 ，即 . 又，，所以 . 因为， 平面， 平面 ， 所以 平面 . 又 平面，所以平面 平面 . 56 利用判定定理证明面面垂直的一般方法 先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明 面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明. 57 【变式题】 图4.4.2-16 3.如图4.4.2-16,在四棱锥中，底面是边长为 的正方形， 侧棱， . 求证： （1） 平面 ； 【答案】，，, ， 则.同理可证 . 又，且 平面， 平面 ， 平面 . 58 （2）平面 平面 . 【答案】 由（1）知 平面，又 平面 ， 四边形是正方形， . 又，且 平面， 平面， 平面 . 又 平面， 平面 平面 . 设与交于点,连接（图略），易知 . 四边形是正方形， . 又, 平面, 平面, 平面 . 又 平面, 平面 平面 . 59 题型3 面面垂直性质定理的应用 1 证明线线垂直 例14 在三棱锥中， 平面，平面 平面.求证： . 60 【解析】如图4.4.2-17所示，在平面内作于点 . 图4.4.2-17 平面 平面，且平面 平面 , 平面 . 又 平面， . 平面， 平面， . , 平面 . 又 平面， . 61 2 证明线面垂直 图4.4.2-18 例15 如图4.4.2-18，正方形和四边形 所在的平面互 相垂直，，,，求证： 平面 . 62 【解析】如图4.4.2-19，设，连接, . 图4.4.2-19 由易知，则 . 又,所以四边形为菱形，所以 . 因为四边形为正方形，所以 . 又平面 平面,且平面 平面 , 所以 平面,所以 . 又,所以 平面 . 63 在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作 辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化 为线面垂直，进而转化为线线垂直． 64 【变式题】 4.[多选题] (新高考全国Ⅱ卷)下列各正方体中，为下底面的中心，，为顶点， 为所在棱的中点，则满足 的是( ) BC A. B. C. D. 65 图D 4.4.2-2 【解析】对于A，如图D 4.4.2-2（1），由，可知 , ,,四点共面，所以直线在平面 内，所以直线 与 相交,但不垂直. 对于B，如图D 4.4.2-2（2），取的中点，连接, , 则,因为平面 平面， 平面 ,所 以 平面，所以,又, ,所 以,又，所以 平面,所以 . 66 对于C，如图D 4.4.2-2（3），作于，连接,,,,因为平面 平面,且平面 平面, 平面且,所以 平面 .因为平面,所以,又,，所以 平面 ,又，所以 平面.因为 平面，所以 . 对于D,如图D 4.4.2-2（4），取棱的中点，连接，则，连接 ，不 妨设正方体的棱长为2，则,,,则 ,所以 ，所以不垂直于，即不垂直于.故选 . 67 题型4 垂直关系的相互转化 例16 (2025·四川省成都市期中)如图4.4.2-20，平面 平面,平面 平 面, 平面,点 为垂足. 图4.4.2-20 68 （1）求证： 平面 ; 【解析】 如图4.4.2-21，在平面内取一点,作于点 . 图4.4.2-21 平面 平面,且交线为, 平面 . 平面， . 作于点,同理可证 . ,都在平面内，且 ， 平面 . 69 图4.4.2-22 如图4.4.2-22，在平面内作直线 ，在平面 内作直线 ， 由平面 平面，平面 平面，得 平面，同理可证 平面， . 又 平面， 平面，平面 . 又 平面，平面 平面， ， 平面 . 70 （2）当点为的垂心时，求证： 是直角三角形. 【解析】如图4.4.2-21，连接并延长交于点 . 图4.4.2-21 点是的垂心， . 又 平面, 平面, . 71 , 平面 . 又 平面, . 由（1）知 平面,又 平面 , , 平面 . 又 平面, , 即 是直角三角形. 72 73 例17 (2025·广西南宁市月考)如图 4.4.2-23所示，在四棱锥中，底面 是边长为的正方形，,分别为,的中点，侧面 底面 ，且 . 图4.4.2-23 （1）求证：平面 ； 【解析】连接，则是的中点，为的中点，故在中, ，又 平面， 平面，平面 . 74 （2）求证：平面 平面 . 【解析】 平面 平面，平面 平面,， 平面 ， 平面,则 . 又, ,即 . 又, 平面 . 又 平面， 平面 平面 . 思路点拨 （1）在平面内找与 平行的直线即可；（2）综合面面垂直的性质 定理和判定定理证明. 75 （1）在有关垂直问题的证明过程中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转 化.因此，判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键. （2）空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则.解题时，要通 过几何图形自身的特点，如等腰（等边）三角形的“三线合一”、中位线定理、菱形 的对角线互相垂直等，得出一些题目所需要的条件.对于一些较复杂的问题，注意应 用转化思想解决问题. 76 【变式题】 图4.4.2-24 5.(2025·北京市第一五九中学期中)如图 4.4.2-24，在四棱锥 中，，，，平面 平 面，，点，分别是， 的中点． 求证： （1） 平面 ； 【答案】因为平面 平面，且 垂直于这两个平面 的交线，所以 平面 . 77 （2）平面 ； 【答案】因为，，为 的中点， 所以，且,所以四边形 为平行四边形, 所以 . 又 平面， 平面，所以平面 . 78 （3）平面 平面 . 【答案】由（2）知四边形为平行四边形,因为 , 所以四边形为矩形，所以, . 由（1）知 平面,所以 . 因为,所以 平面,所以 . 因为点，分别是，的中点，所以 , 所以，又,所以 平面 . 因为 平面,所以平面 平面 . 79 考情揭秘 高考对本节的考查一是面面垂直的判定定理和性质定理,可能会结合线线、线面、面 面的平行或垂直关系进行综合考查,根据题意作出辅助线是解题的关键；二是二面角 的计算，是高考的热点，主要是通过找出或作出二面角的平面角，求解二面角的大 小.高考中多以选择题、解答题中的一问的形式出现,难度中等. 核心素养：直观想象（观察空间几何体的直观图得出面面的垂直关系），逻辑推理 （判定定理、性质定理的应用），数学运算（二面角的求解）. 80 考向1 面面垂直的判定定理的应用 例18 (2025·天津)已知，为两条直线， ， 为两个平面，则下列结论中正确的 是( ) C A.若 ， ，则 B.若 ， ，则 C.若 ， ，则 D.若 ， ，则 【解析】对于A，若 ， ，则或, 异面,故A错误； 对于B，若 ， ，则 ，故B错误； 对于C，若 ， ，则 ，故C正确； 对于D，若 ， ，则 或与 相交或 ,故D错误. 81 例19 (2022·全国乙卷)在正方体中，,分别为， 的中点，则 ( ) A A.平面 平面 B.平面 平面 C.平面平面 D.平面平面 82 图4.4.2-25 【解析】如图4.4.2-25，对于选项A，在正方体 中，因为,分别为， 的中点，所以 ,又,所以，又易知 , ，从而 平面，又 平面 ， 所以平面 平面 ，故选项A正确； 对于选项B，因为平面 平面 ，所以由选项 A知，平面 平面 不成立，故选项B错误； 对于选项C，由题意知直线与直线 必相交，故平面 与平面 不平行，故选项C错误； 对于选项D，连接，，易知平面平面，又平面 与平面 有公共点，所以平面与平面 不平行，故选项D错误. 83 例20 (2025· 全国一卷节选)如图4.4.2-26，在四棱锥中， 底面 ，.证明：平面 平面 . 图4.4.2-26 【解析】因为 平面, 平面,所以,又 , ,所以 平面,又 平面，所以平面 平面 ． 84 例21 (2023·全国甲卷)如图4.4.2-27，在三棱柱中， 平面 ， ． 图4.4.2-27 85 （1）证明：平面 平面 ； 【解析】因为 平面, 平面 ， 所以 ， 因为 ，所以 , 又,, 平面 , 所以 平面 , 又 平面,所以平面 平面 . 86 （2）设，，求四棱锥 的高． 图4.4.2-28 【解析】如图4.4.2-28，过点作,交于点 ，由（1） 知平面 平面 ， 又平面 平面, 平面 ，所以 平面 ， 即四棱锥的高为 . 由题意知，, ,则 ,故 . 87 又, ,所以 . 由 ， 得， 【另解】在等腰直角三角形中， 为斜边 中线，所以 故四棱锥 的高为1. 88 命题 探源 求平面与平面垂直,往往求的是立体图形中的侧面、截面、底面之间的垂直关 系，本题和教材第179页例5，练习第2题等皆是如此，利用立体图形中的线面 之间的位置关系和数量关系进行求解. 89 图4.4.2-29 变式探源 (2023·全国乙卷节选)如图4.4.2-29，三棱锥 中， ，,，,,, 的 中点分别为,,,,点在上， . 90 （1）证明：平面 ； 图4.4.2-30 【解析】如图4.4.2-30,因为，,，是 的中点，所以，所以 . 记与的交点为,则 ， 又 ， , 所以 ， 所以 , 所以 , 91 又 ， ，所以,所以 , 同理可得,所以是 的中点. 因为,分别是, 的中点， 所以 , 同理可得，所以 ， 又 平面， 平面 ， 所以平面 . 92 （2）证明：平面 平面 . 【解析】, , 又 ， 所以 , 所以 . 由于，所以 ， 又,， 平面, 平面 , 所以 平面 . 又 平面,所以平面 平面 . 93 考向2 二面角 1 求二面角 例22 (全国Ⅲ卷改编)如图 4.4.2-31所示，边长为2的正方形 所在的平面与半圆 弧所在平面垂直，是上异于, 的点. 图4.4.2-31 94 （1）证明：平面 平面 ; 【解析】由题设知，平面 平面,且两平面的交线为 . 因为, 平面 , 所以 平面,故 . 因为为上异于,的点，且为直径，所以 . 又,所以 平面 . 而 平面,故平面 平面 . 95 （2）若为的中点，求面与面 所成二面角的正弦值. 【解析】如图4.4.2-32，当为的中点时，为 的中点. 图4.4.2-32 取的中点，的中点，连接,, ， 96 则，，所以为平面与平面 所成二面角的平面 角（或其补角）. 易知,, , 则 . 所以面与面所成二面角的正弦值是 . 思路点拨 （1）在平面或平面 中选择一条直线证明该直线垂直于另外一 个平面；（2）将几何体补成长方体，作出二面角的平面角，把其放到三角形中求其 正弦值. 97 2 已知二面角求其他值 例23 (2023·全国乙卷)已知为等腰直角三角形,为斜边, 为等边三角形, 若二面角为 ，则直线与平面 所成角的正切值为( ) C A. B. C. D. 图4.4.2-33 【解析】如图4.4.2-33所示，取的中点为，连接， ， 则， . 又, 平面,,于是 平面 ， 即为二面角的平面角，于是 .设 ，则， ， 98 在中，由余弦定理可得 . 由正弦定理得 ， 即,显然 是锐角， 所以 ， 所以 ,故选C. 99 图4.4.2-34 例24 (2024· 新课标Ⅰ卷节选)如图4.4.2-34，四棱锥 中， 底面，,, . 若,且二面角的正弦值为,求 . 【解析】 （考虑到平面 平面，故过点 作交 线的垂线，利用面面垂直的性质定理可知即为平面 的垂线） 100 图4.4.2-35 如图4.4.2-35，作于点,于点，连接 , 底面, 平面 ， 平面 底面 . 平面 底面,, 底面 , 平面 . 平面, . ,,, 平面, 平面 , 平面 . 101 平面, . ,, 平面, 平面 , 为二面角 的平面角. 由,可知 , 设,,易知,,则 ， . . 102 平面, 平面, . ,解得 , 在直角三角形中， , ,解得, , , . 103 图4.4.2-36 （利用投影面积法求解） 如图4.4.3-36，过点作 于点,连接,可证得 平面 ,（证明方法见方法1） 在平面上投影为 . 设二面角的平面角为 ,则 ， 不妨设,则, , 在中，易得, , ,即 , . . . 104 平面, 平面, , 又, 平面， 平面,, 平面 . 平面, , 为直角三角形. . ， ， , 解得,即 . 105 高考新题型专练 1.[多选题] (2025·山东省平邑第一中学月考)在棱长为2的正方体 中， 已知点在面对角线上运动，点，，分别为，，的中点，点 是该正方体表面及其内部的一动点，且平面 ，则下列选项正确的是 ( ) ABD A.平面 B.平面 平面 C.过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为 D.动点的轨迹所形成区域的面积是 106 【解析】对于A，如图D 4.4.2-3,，， ， ， 平面平面 . 平面，平面 ，故A正确. 图D 4.4.2-3 图D 4.4.2-4 对于B，如图D 4.4.2-4,连接,，， ， 平面 . 平面， ， 107 同理，，， 平面 ， 又 平面， 平面 平面 ，故B正确. 对于C，如图D 4.4.2-5，作出过，，三点的平面截正方体 所 得的截面图形， 由图可知截面为正六边形，边长为， 截面面积为 ，故 C错误. 图D 4.4.2-5 图D 4.4.2-6 108 对于D，如图D 4.4.2-6，平面 ， 由面面平行的性质得始终在平面 内， 动点的轨迹所形成区域的面积是 ，故D正确． 故选 ． 109 图4.4.2-37 2.新考法 结构不良 如图4.4.2-37，在直三棱柱 中， ，分别为棱， 的中点． （1）求证：平面 . 【答案】因为，分别为棱， 的中点，所以 ，且 ， 即四边形为平行四边形，则 ， 因为 平面， 平面 ， 所以平面 . 110 （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件. 条件①： ； 条件②： ． 求证：平面 平面 ． 【答案】选条件①： ． 由 平面， 平面，可得 ， 而，所以 平面 ， 又 平面 ， 所以平面 平面 . 111 选条件②： ， 由为的中点，可得 ， 因为 平面， 平面 ， 所以 ， 又，所以 平面 ， 因为 平面 ， 所以平面 平面 ． 112 知识测评 04 建议时间：20分钟 图4.4.2-1 1.如图4.4.2-1,在三棱锥中, 平面, , 则二面角 的大小为( ) A A. B. C. D. 【解析】因为 平面, 平面， 平面 ， 所以,,因此，为二面角 的平面 角，又 ，故选A. 114 2.(2025·湖北省荆州市成丰学校月考)在正方体中，截面 与底 面所成的二面角 的正切值等于( ) C A. B. C. D. 图D 4.4.2-1 【解析】如图D 4.4.2-1，连接交于点，则 ,连接 ,则,所以为二面角 的平面角.设 ,则,所以 . 115 3.(2025·广东省东莞市五校联考)把边长为4的正方形沿对角线 折成空间四边 形，使得平面 平面，则空间四边形的对角线 的长为 ( ) A A.4 B. C.2 D. 图D 4.4.2-2 【解析】如图D 4.4.2-2所示，取的中点，连接, ，则 ， ， 因为平面 平面，且平面 平面 ，所 以 . 又 , 所以，所以 . 116 图4.4.2-2 4.［多选题］(2025·安徽省庐巢联盟月考)如图4.4.2-2，在正方体 中，下列四个推断中正确的是( ) BCD A. B. C.平面平面 D.平面 平面 【解析】因为，所以直线与所成的角为 ，故A不正 确.因为，，所以，故B正确.因为 ， ,,，所以平面平面 ,故C正确.因 为，,，所以 平面 ,又 平面，所以平面 平面 ,故D正确. 117 5.［多选题］(2025·福建省福州市长乐第一中学月考)已知空间中的两条直线， 和 两个平面 ， ，则 的充分条件是( ) ACD A. ， B. ， ， C. ，， D.， ， 【解析】对于选项A， ，则有 内的一条直线 ， 因为 ，所以 ，又 ，所以 ， 即条件“ ， ”能够得到 ， 所以选项A符合题意； 118 对于选项 B， ， ，不一定能够得出结论 ， ， 也可能 相交或平行，因此选项B不符合题意； 对于选项C， ，，所以 ， 又 ，所以 ，因此选项C符合题意； 对于选项D，因为， ，所以 ，或 ，又 ， 所以 ，因此选项D符合题意．故选 ． 119 6.如图4.4.2-3所示，在四棱锥中，底面是菱形，侧面 是等边三角 形，且平面 平面，为棱上一点，若平面 平面 ，则 __. 图4.4.2-3 120 【解析】如图D 4.4.2-3，取的中点，连接交于点，连接， ， 图D 4.4.2-3 ，， ． 平面 平面， ， 平面 . 平面， 平面 平面，又平面 平面 ， ， . 121 7.如图4.4.2-4，已知，分别是正三棱柱的侧棱和 上的点，且 .设平面与平面相交于直线,求二面角 的大小． 图4.4.2-4 122 图D 4.4.2-4 【答案】如图D 4.4.2-4所示，延长交的延长线于点 ， 连接,则是平面与平面的公共点, 为这两个 平面的交线 ． 因此，所求二面角即为二面角 ，且 ， ，分别为， 的中点． ， . 平面， 平面 ， . 123 又，为平面 内的两条相交直线， 平面 . 平面， . 是二面角 的平面角． 由知，则 . 故所求二面角的大小为 . 124 8.如图4.4.2-5,为正三角形， 平面，，且 ， 是 的中点． 图4.4.2-5 125 求证： （1） ； 图D 4.4.2-5 【答案】设，则 . 如图D 4.4.2-5，作交于点，则 . 因为 平面 ， 所以， . 因为, , 所以 . 又,所以 平面， , 所以,所以 . 126 （2）平面 平面 ； 图D 4.4.2-5 【答案】如图D 4.4.2-5所示，取的中点，连接， ，则 ，且 , 所以四边形为平行四边形，所以 . 因为 平面，所以， . 由（1）知，又为的中点，所以 . 因为, 平面, 平面 , 所以 平面，又 平面,所以平面 平 面 . 127 （3）平面 平面 . 【答案】由（2）知 平面，而 平面，所以平面 平面 . 高考模拟 05 建议时间：30分钟 图4.4.2-6 9.(2025·湖南省长沙市长郡中学月考)如图4.4.2-6，点 为正 方形的中心，为正三角形，平面 平面 ,是线段 的中点，则( ) B A.，且直线， 是相交直线 B.，且直线， 是相交直线 C.，且直线， 是异面直线 D.，且直线， 是异面直线 130 图D 4.4.2-6 【解析】如图D 4.4.2-6，取的中点，连接， ， ，，因为是正三角形，所以 . 设，则 . 因为点是正方形 的中心， 所以,, . 因为平面 平面，平面 平面 , 所以 平面， 平面 ， 所以， ， 所以在中，，在中， ， 所以在等腰三角形中，，所以 . 易知, 是相交直线. 131 图4.4.2-7 10.(2025·四川省资阳市期末)如图 4.4.2-7，在四面体 中， 若，，是 的中点，则下列结论正确的是 ( ) C A.平面 平面 B.平面 平面 C.平面 平面 D.平面 平面 132 【解析】，，是的中点，， ， ，， 平面 ， 平面 ， 又 平面， 平面 平面 ，故C正确； 图D 4.4.2-7 在平面内取点，作， ，垂足分别为 ， ，如图D 4.4.2-7， 平面 平面，平面 平面 ， 平面，又 平面 ， 则有 ， 若平面 平面，同理可得 ， 133 而，， 平面 ， 平面，而与平面 不一定垂直，故A错误； 过作边上的高，连接 ， 由条件易知，，故是边 上的高， 则是二面角的平面角，而不一定是直角，即平面 与平面 不一定垂直，故B错误； 平面，则是二面角的平面角， 不一定是直角， 则平面与平面 不一定垂直，故D错误． 134 11.［多选题］(2025·云南省曲靖市期末)在四棱锥中，侧棱 底面 ，底面为菱形，过点分别作，的垂线，垂足分别是， ，底面 对角线的交点为，过点作的垂线，垂足为 ，则( ) ABD A.平面 平面 B.平面 平面 C.平面 平面 D.，，， 四点不可能共面 【解析】如图D 4.4.2-8， 底面， 平面， ， 图D 4.4.2-8 135 由四边形为菱形知，且 ， 平面， ， ，， 平面 ， 又 平面， 平面， 平面 平面，平面 平面 ，故A，B正确； 过作于 ， 假设平面 平面，为平面与平面的交线， 平面 ， 平面， ， 136 又， 平面 ， 同理得 平面，，这与， 相交矛盾， 平面 平面 不成立，故C错误； 若，，，四点共面，则 平面，则平面 平面 ，由C知不正 确； 故，，， 四点不可能共面，故D正确． 故选 ． 137 12.(2025·清华大学附属中学月考)如图4.4.2-8，在四棱锥中，底面 为 正方形， 底面，，为线段的中点，为线段 上的动 点，平面与平面______（填“垂直”或“不垂直”）； 的面积的最大值为 ____. 垂直 图4.4.2-8 138 【解析】因为 底面， 平面 ， 所以 ， 又底面为正方形，所以 ， 又，， 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面，所以 ， 又，所以为等腰直角三角形，且为线段 的中点，所以 ， 139 又，， 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面，所以平面 平面 ． 因为 平面， 平面，所以 ， 所以当最大时， 的面积的最大， 当位于点时，最大且此时 ， 所以的面积的最大为 . 140 图4.4.2-9 13.新考法 结构不良 如图4.4.2-9，平行四边形 的边 所在的直线与菱形 所在的平面垂直，且 ， ． （1）求证：平面 平面 ； 【答案】，， 是等边 三角形. ，为中点，故， . 平面， . ， 平面 . 平面， 平面 平面 ． 141 （2）若，____，求二面角的余弦值．从 ， 这两个条件中任选一个填入上面的横线上，并解答问题． 【答案】选①.由（1）知 平面 ， ，， ， 平面平面， 平面 . 平面， 平面 ， ， ， 是二面角 的平面角. ， ， ，， ， 二面角的余弦值为 ． 142 选②.由（1）得 平面 ， ，， ， 平面平面， 平面 . 平面， 平面，， ， 为二面角 的平面角. ，，, , ， 二面角的余弦值为 . 143 图4.4.2-10 14.(2025·浙江省台州市期中)如图4.4.2-10，在三棱柱 中，，，点为线段 中点，侧面 为矩形． （1）证明：平面 平面 ； 【答案】，点为线段中点， ，又 由侧面为矩形，可得 .由三棱柱 ，可得， ， ， 平面，平面， 平面 平面 . 144 （2）若，二面角的正切值为，求与平面 所成角的 正弦值． 【答案】由（1）知，，为二面角 的平面角， ,, , ,, . ，设， . 又 ， 145 在 中， ，即 ，整理得，解得或 （舍去）， 又，由（1）可得平面 平面 ， 为与平面 所成的角. 在中，由正弦定理可得 ， . 故所求正弦值为 . 146 15.(2025·四川省广安中学模拟)如图4.4.2-11，在四棱锥中， , ，为棱的中点，异面直线与 所成 的角为 . 图4.4.2-11 147 （1）在平面内找一点，使得直线平面 ，并说明理由； 图D 4.4.2-9 【答案】在梯形中，与 不平行.如图D 4.4.2-9，延 长，,相交于点 平面，点 为所求的一个点. 理由如下. 由已知，，且 , 所以四边形是平行四边形,从而 . 又 平面， 平面,所以平面 . （延长至点，使得，连接 ,则所找的点可以是 直线 上任意一点） 148 （2）若二面角的大小为 ，求直线与平面 所成角的正弦值. 【答案】由已知，，, , 所以 平面.从而 . 所以是二面角的平面角，所以 . 图D 4.4.2-9 如图D 4.4.2-9，过点作,交的延长线于点 ，连接 . 易知 平面 ， 从而 . 又，所以 平面 . 所以平面 平面 . 149 过作于，则 平面 . 所以是与平面 所成的角. 设，则在中， . 在中， ,,所以 . 在中， , 所以，即直线与平面 所成角的正弦 值为 . 谢谢观看 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 151 $