4.4.2 平面与平面垂直（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

4.4.2　平面与平面垂直 基础过关练 题组一　平面与平面垂直的判定 1.(2025安徽阜阳临泉第一中学开学考试)已知不同直线a,b与不同平面α,β,γ,下列能使α⊥β成立的条件是(　　) A.α⊥γ,β⊥γ　　B.α∩β=a,b⊥a,b⊂β C.a∥β,a∥α　　D.a∥α,a⊥β 2.(2025江苏淮安洪泽中学期中)如图,在平行四边形ABCD中,AB⊥BD,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面有(　　) A.1对　　B.2对　　C.3对　　D.4对 3.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,PA⊥AB,PA⊥AD,F是PB的中点,连接AC,BD,且AC与BD交于点E,连接EF. (1)求证:EF∥平面PCD; (2)求证:平面PBD⊥平面PAC. 题组二　平面与平面垂直的性质 4.(2025甘肃张掖民乐第一中学质检)已知平面α⊥平面β,直线l⊄α,则“l⊥β”是“l∥α”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.(多选题)关于三个不同的平面α,β,γ与一条直线l,下面命题中为真命题的是(　　) A.若α⊥β,则α内一定存在直线平行于β B.若α与β不垂直,则α内一定不存在直线垂直于β C.若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,则l⊥γ D.若α⊥β,则α内所有直线都垂直于β 6.(2025河北石家庄无极文苑中学开学考试)正方形ACDE所在的平面与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点,则CD与GF所成角的余弦值为(　　) A.　　B.-　　C.　　D.- 7.(2025四川德阳绵竹南轩中学月考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,E,F分别为PC,BD的中点. (1)求证:EF∥平面PAD; (2)求证:平面PAB⊥平面PDC. 8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且∠DAB=60°,△PAD为等边三角形,G为边AD的中点,平面PAD⊥平面ABCD. (1)求证:BG⊥平面PAD; (2)若E为边BC的中点,在边PC上是否存在点F,使平面DEF⊥平面ABCD?证明你的结论. 题组三　二面角 9.(2025上海华东政法大学附属中学月考)下列关于二面角的平面角的说法,正确的是(　　) A.两条边分别在构成二面角的两个半平面内的角 B.过二面角的棱上一点且两边分别垂直于棱的角 C.构成二面角的两个半平面被一个垂直于棱的平面所截得的角 D.任一平面去截构成二面角的两个半平面所得的角 10.如图,将正方形ABCD沿对角线AC折叠后,平面BAC⊥平面DAC,则二面角B-CD-A的余弦值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 11.(2025上海师范大学附属中学月考)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,AB=1,AD=2,则二面角P-BC-D的大小是　　　　.  12.(2024天津河西期末)如图,在一个平面角大小为60°的二面角的棱上有A、B两点,线段AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,并且都垂直于棱AB,若AB=AC=1,BD=2,则CD的长为　　　　.  13.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=120°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,且AD=CD=BC=CF=1. (1)求证:EF⊥平面BCF; (2)求平面FAB与平面FCB的夹角的余弦值. 能力提升练 题组一　平面与平面垂直的判定 1.如图,等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,将△AED沿DE翻折成△A'ED,在翻折过程中,下列命题中真命题的个数为(　　) ①恒有A'F⊥DE; ②异面直线A'E与BD不可能垂直; ③恒有平面A'GF⊥平面BCED; ④动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上. A.1　　B.2　　C.3　　D.4 2.(多选题)(2025河北保定名校协作体模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别为棱AA1,A1D1,AB,DC的中点,点P是正方形BB1C1C的中心,则下列结论正确的是(　　) A.E,F,M,P四点共面 B.平面PEF截正方体所得截面是等腰梯形 C.EF∥平面PMN D.平面MEF⊥平面PMN 3.(2024甘肃白银靖远第一中学期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=30°,PD⊥平面ABCD,AD=2,E为AB上一点,且=m,F为PD的中点. (1)若m=,证明:直线AF∥平面PEC; (2)是否存在一个常数m,使得平面PED⊥平面PAB?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 题组二　平面与平面垂直的性质 4.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,点C是动点,则动点C的运动轨迹是(　　) A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点 5.(2024陕西安康中学等校模拟)已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为菱形,其中∠BCD=120°,SA=SB=2AB=SC,点H在线段SB上,若平面SAB⊥平面CDH,则=　　　　.  6.如图,在矩形ABCD中,AB=3,E,F分别在线段BC,AD上,EF∥AB,现将矩形ABEF沿EF折起,记折起后为矩形MNEF,且平面MNEF⊥平面ECDF. (1)求证:NC∥平面MFD; (2)若EC=3,求证:ND⊥FC. 题组三　二面角 7.(2024甘肃甘南卓尼柳林中学期末)已知圆锥的顶点为P,母线长为2,轴截面为△PAB,∠APB=120°,若C为底面圆周上异于A,B的点,且二面角P-AC-B的大小为,则△PAC的面积为(　　) A.4　　B.2　　C.2　　D.2 8.(2025湖南长沙一中月考)如图,水平放置的正方形ABCD的边长为1,先将正方形ABCD绕直线AB向上旋转45°,得到正方形ABC1D1,再将所得的正方形绕直线BC1向上旋转45°,得到正方形A2BC1D2,则平面A2BC1D2与平面ABCD所成角的大小为(　　) A.30°　　B.45°　　C.60°　　D.90° 9.如图,在四棱锥E-ABCD中,平面ABCD⊥平面ABE,AB∥DC,AB⊥BC,AB=2BC=2CD=2,AE=BE=,点M为BE的中点. (1)求证:CM∥平面ADE; (2)求二面角E-BD-C的正弦值. 10.(2025甘肃张掖月考)如图,三棱锥P-ABC中,PC,AC,BC两两垂直,BC=PC=1,AC=2,E,F,G分别是AB,AC,AP的中点. (1)求证:平面GFE∥平面PCB; (2)求二面角B-AP-C的正切值; (3)求直线PF与平面PAB所成角的正弦值. 答案与分层梯度式解析 4.4.2　平面与平面垂直 基础过关练 1.D 2.C 4.A 5.ABC 6.C 9.C 10.C 1.D　对于A,若α⊥γ,β⊥γ,则α,β可能平行,也可能相交,A错误; 对于B,若α∩β=a,b⊥a,b⊂β,由线面垂直的判定定理可知,b与α不一定垂直,所以α与β不一定垂直,B错误; 对于C,若a∥α,a∥β,则α,β可能平行,也可能相交,C错误; 对于D,设过直线a且与平面α相交的平面与平面α的交线为c,则a∥c,因为a⊥β,所以c⊥β,又c⊂α,所以α⊥β,D正确. 2.C　因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊥BD,AB⊂平面ABD,所以AB⊥平面BCD. 又AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCD. 因为CD⊂平面BCD,所以AB⊥CD, 又BD⊥CD,AB∩BD=B,AB,BD⊂平面ABD, 所以CD⊥平面ABD. 又CD⊂平面ACD,所以平面ABD⊥平面ACD. 综上,平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面ACD,共有3对. 3.证明　(1)由题知,E是BD的中点,F是PB的中点,∴EF∥PD, 又∵EF⊄平面PCD,PD⊂平面PCD, ∴EF∥平面PCD. (2)∵PA⊥AB,PA⊥AD,AB∩AD=A,AB,AD⊂平面ABCD,∴PA⊥平面ABCD, ∵BD⊂平面ABCD,∴PA⊥BD, ∵底面ABCD是菱形,∴BD⊥AC, 又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC, ∴BD⊥平面PAC, 又BD⊂平面PBD, ∴平面PBD⊥平面PAC﹒ 4.A　设α∩β=m,在平面α内作a⊥m, 因为平面α⊥平面β,所以a⊥β, 又l⊥β,所以a∥l, 又l⊄α,a⊂α,所以l∥α,故充分性成立. 当平面α⊥平面β,直线l⊄α,l∥α时,l与平面β可能相交,可能平行,故必要性不成立. 故“l⊥β”是“l∥α”的充分不必要条件. 5.ABC　对于A,假设α∩β=a,则α内所有平行于a的直线都平行于β,故A为真命题;易知B为真命题; 对于C,如图,设α∩γ=a,β∩γ=b,m⊂α,n⊂β,且m⊥a,n⊥b, ∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥γ,n⊥γ,∴m∥n, ∵m⊂α,n⊄α,∴n∥α, ∵n⊂β,α∩β=l,∴n∥l,∴l⊥γ,故C为真命题; 对于D,根据两个平面垂直的性质定理可知D为假命题. 6.C　连接AG,如图所示. ∵四边形ACDE为正方形,∴AE⊥AC,AE∥CD. ∵平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE∩平面ABC=AC,AE⊂平面ACDE,∴AE⊥平面ABC. ∵AG⊂平面ABC,∴AE⊥AG. ∵AC=BC=2,∠ACB=90°,F、G分别是线段AE、BC的中点, ∴AG==,AF=1, ∴FG==, ∴cos∠AFG==. ∵AE∥CD,∴CD与GF所成角的余弦值为. 7.证明　(1)连接AC,易知F为AC与BD的交点,且F为AC的中点,∵E为PC的中点,∴EF∥PA, 又PA⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,∴EF∥平面PAD. (2)∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊥AD,CD⊂平面ABCD, ∴CD⊥平面PAD, 又PA⊂平面PAD,∴CD⊥PA. ∵PA=PD=AD,∴△PAD是等腰直角三角形,且∠APD=,即PA⊥PD, 又CD∩PD=D,且CD,PD⊂平面PCD, ∴PA⊥平面PDC, ∵PA⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PDC. 8.解析　(1)证明:如图,连接BD,因为底面ABCD是菱形,所以AB=AD,又因为∠BAD=60°,所以△ABD是等边三角形. 因为G为边AD的中点,所以BG⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BG⊂平面BAD,BG⊥AD, 所以BG⊥平面PAD. (2)存在点F,且F为PC的中点. 证明如下:取PC的中点F,连接DF,EF,EG,CG,DE,PG,且CG与DE交于点M,连接FM. 因为AD∥BC且AD=BC,E,G分别是BC,AD的中点,所以CE∥DG,且CE=DG. 则四边形CEGD是平行四边形, 所以CM=MG. 又因为CF=FP,所以MF∥PG. 因为△PAD是等边三角形,G是AD的中点, 所以PG⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以PG⊥平面ABCD,所以MF⊥平面ABCD. 又MF⊂平面DEF, 所以平面DEF⊥平面ABCD. 9.C　对于A,此时两条边不一定垂直于二面角的棱,故A错误; 对于B,此时两边不一定在两个半平面内,故B错误; 对于C,符合二面角的平面角的定义,故C正确; 对于D,此时棱不一定垂直于该平面与构成二面角的两个半平面的两条交线,故D错误. 10.C　设正方形的边长为a,取AC的中点O,连接BO,则BO⊥AC.过O作AD的平行线OE交CD于E,连接BE.∵平面BAC⊥平面DAC,平面BAC∩平面DAC=AC,BO⊥AC,∴BO⊥平面DAC,∴BO⊥CD,又OE⊥CD, ∴CD⊥平面BOE,∴CD⊥BE, ∴∠BEO即为二面角B-CD-A的平面角. 易知BO=a,OE=, 由BO⊥OE得,△BOE为直角三角形, ∴BE2=BO2+OE2=a2,∴BE=a, ∴cos∠BEO===. 11.答案　 解析　过P作PM⊥AD,垂足为M,过M作MN⊥BC,垂足为N,连接PN. 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PM⊥AD,PM⊂平面PAD, 所以PM⊥平面ABCD, 又BC⊂平面ABCD,故PM⊥BC, 又BC⊥MN,MN∩PM=M,MN,PM⊂平面PMN, 故BC⊥平面PMN, 又PN⊂平面PMN,故BC⊥PN, 所以二面角P-BC-D的平面角为∠PNM. 在Rt△PMN中,PM=,MN=1,∠PMN=, 则tan∠PNM==,则∠PNM=. 故二面角P-BC-D的大小为. 12.答案　2 解析　过点A作AE∥BD,且AE=BD,连接DE、CE, ∵BD⊥AB,∴AE⊥AB,又AC⊥AB, ∴∠CAE即为二面角的平面角,∴∠CAE=60°, ∴CE= ==. ∵AC⊥AB,AE⊥AB,AC∩AE=A,AC,AE⊂平面CAE,∴AB⊥平面CAE. 由AE∥BD,AE=BD,知四边形ABDE为平行四边形,∴DE∥AB,DE=AB,∴DE⊥平面CAE, 又CE⊂平面CAE,∴DE⊥CE, ∴CD===2. 13.解析　(1)证明:在梯形ABCD中,∵AB∥CD,AD=CD=BC,∴梯形ABCD为等腰梯形, ∵∠BCD=120°, ∴∠DAB=∠ABC=60°,∠ADC=120°, ∴∠DAC=∠ACD=30°,∴∠ACB=90°,∴BC⊥AC. ∵四边形ACFE为矩形, ∴EF∥AC,EF⊥CF,∴EF⊥BC, 又CF∩BC=C,CF,BC⊂平面BCF, ∴EF⊥平面BCF. (2)如图,取BF的中点G,连接CG,AG, ∵BC=FC,∴CG⊥BF. ∵BC=FC,AC=AC,∠ACF=∠ACB=90°, ∴Rt△ACF≌Rt△ACB, ∴AF=AB,∴AG⊥BF, ∴∠AGC为平面FAB与平面FCB所成的锐二面角, 在Rt△ABC中,BC=1,∠ABC=60°, ∴AB=2,AC=. ∵平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,FC⊥AC,FC⊂平面ACFE, ∴FC⊥平面ABCD, ∵BC⊂平面ABCD,∴FC⊥BC. 在Rt△BCF中,BC=CF=1,∴BF=,CG=, 在Rt△AGB中,AG===, 在△ACG中,根据余弦定理,得cos∠AGC====, ∴平面FAB与平面FCB的夹角的余弦值为. 能力提升练 1.C 2.BD 4.D 7.B 8.C 1.C　易知G为DE的中点,A'D=A'E,FE=FD,∴FG⊥DE,A'G⊥DE,又FG∩A'G=G,∴DE⊥平面FGA',又A'F⊂平面FGA',∴A'F⊥DE,故①正确; 易知EF∥BD,故异面直线A'E与BD所成的角(或其补角)为∠A'EF,当A'E2+EF2=A'F2时,异面直线A'E与BD垂直,故②错误; 由①证得DE⊥平面FGA',又DE⊂平面BCED,故平面A'GF⊥平面BCED,故③正确; 由③证得平面A'GF⊥平面BCED,故动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上,故④正确. 故真命题的个数为3. 2.BD　对于A,如图,设H,Q,K分别为BC,CC1,C1D1的中点,连接EF,EM,MH,HQ,QK,FK,易知经过E,F,M三点的平面截正方体所得的截面是正六边形FEMHQK,∵点P在平面FEMHQK外,∴E,F,M,P四点不共面,A错误; 对于B,连接BC1,BE,易知EF∥BC1,EF=BC1,BE=C1F,则平面PEF即为平面C1BEF,故平面PEF截正方体所得截面为等腰梯形C1BEF,B正确; 对于C,取BB1的中点G,连接GQ,MG,MN,NQ,易知GQ∥MN,则平面PMN即为平面QGMN, 易知HQ∥EF,又HQ与平面PMN相交, ∴EF不平行于平面PMN,C错误; 对于D,∵△AEM,△BMG都是等腰直角三角形, ∴∠AME=∠BMG=45°,∴∠EMG=90°,∴EM⊥MG, ∵M,N分别是AB,CD的中点,∴MN∥AD,又AD⊥平面ABB1A1,∴MN⊥平面ABB1A1,∵EM⊂平面ABB1A1,∴EM⊥MN, ∵MG∩MN=M,MG,MN⊂平面PMN,∴EM⊥平面PMN, ∵EM⊂平面MEF,∴平面MEF⊥平面PMN,D正确. 3.解析　(1)证明:取PC的中点M,连接FM,EM,如图所示. 因为F,M分别为PD,PC的中点, 所以FM∥CD,FM=CD. 因为=,所以E为AB的中点, 又四边形ABCD为菱形,所以AE∥CD,AE=CD, 所以FM∥AE,FM=AE, 所以四边形AEMF为平行四边形,所以AF∥EM, 又AF⊄平面PEC,EM⊂平面PEC, 所以直线AF∥平面PEC. (2)存在.当m=时,平面PED⊥平面PAB. 要使平面PED⊥平面PAB,需AB⊥DE. 因为PD⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PD⊥AB, 假设AB⊥DE,因为PD⊥AB,AB⊥DE,PD∩DE=D,PD,DE⊂平面PED, 所以AB⊥平面PED, 又AB⊂平面PAB,所以平面PED⊥平面PAB. 因为AB=AD=2,∠DAB=30°, 所以AE=ADcos 30°=, 所以m==. 4.D　∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⊂平面PAC,平面PAC∩平面PBC=PC,∴AC⊥平面PBC. ∵BC⊂平面PBC,∴AC⊥BC,∴∠ACB=90°, ∴动点C的运动轨迹是以线段AB为直径的圆(除去A,B两点). 5.答案　 解析　设平面CDH与直线SA交于点G,连接DG,HG,取AB的中点M,连接SM,CM,如图, 设SM与GH交于点E,连接CE. 因为CD∥AB,CD⊄平面SAB,AB⊂平面SAB, 所以CD∥平面SAB, 又平面SAB∩平面CDH=HG,CD⊂平面CDH, 所以CD∥HG,所以HG∥AB, 在菱形ABCD中,∠BCD=120°, 所以△ABC是等边三角形,则CM⊥AB, 而SA=SB,M为AB的中点,所以SM⊥AB, 又SM∩CM=M,SM,CM⊂平面SCM, 所以AB⊥平面SCM, 而CE⊂平面SCM,所以CE⊥AB,从而CE⊥HG. 因为平面SAB⊥平面CDH,平面SAB∩平面CDH=HG,CE⊂平面CDH, 所以CE⊥平面SAB, 又SM⊂平面SAB,所以CE⊥SM. 设AB=1,则SA=SB=2,SC=, 且CM=,SM==, 在△SCM中,cos∠SCM==-,所以∠SCM=135°,sin∠SCM=,则CE====, EM==, 所以===. 6.证明　(1)因为四边形MNEF,四边形ECDF都是矩形,所以MN∥EF∥CD,MN=EF=CD, 所以四边形MNCD是平行四边形,所以NC∥MD. 因为NC⊄平面MFD,MD⊂平面MFD, 所以NC∥平面MFD. (2)如图,连接ED. 因为平面MNEF⊥平面ECDF,且NE⊥EF, 所以NE⊥平面ECDF,所以FC⊥NE. 又EC=CD=3,所以四边形ECDF为正方形,所以FC⊥ED. 又NE∩ED=E,NE,ED⊂平面NED, 所以FC⊥平面NED,所以ND⊥FC. 7.B　由题意得PA=PB=2, 设底面圆心为O,取AC的中点H,连接PH,PO,OH,OC, 因为∠APB=120°,PA=PB=2,O为AB的中点,所以∠APO=∠BPO=60°,OP=1,AO=OB=. 因为PA=PC,OA=OC,所以PH⊥AC,OH⊥AC, 故二面角P-AC-B的平面角为∠PHO,则∠PHO=, 则OH=OP=1,PH=OP=, 则AH=HC===,所以AC=2, 所以△PAC的面积为AC·PH=×2×=2. 8.C　将正方形ABC1D1放于两个全等的正方体的公共面上,正方形ABCD和正方形A2BC1D2的位置如图所示,连接MD1,PC1,PA,A2C1,AN, 易知平面ABCD∥平面MD1C1P,所以平面A2BC1D2与平面ABCD所成的角可转化为平面A2BC1D2与平面MD1C1P所成的角. 易知MP⊥平面MAD1N, 因为AN⊂平面MAD1N,所以MP⊥AN, 又MD1⊥AN,MD1,MP⊂平面MD1C1P,MD1∩MP=M, 故AN⊥平面MD1C1P, 同理可证得AP⊥平面A2BC1D2, 则平面A2BC1D2与平面MD1C1P所成的角等于直线AP与AN所成的角, 由△APN为等边三角形,可得AP与AN所成的角为∠PAN=60°,故平面A2BC1D2与平面ABCD所成角的大小为60°. 9.解析　(1)证明:如图,取AE的中点N,连接NM,ND, 因为M是EB的中点,所以MN是△AEB的中位线, 所以MN∥AB且MN=AB, 又AB∥CD,AB=2CD, 所以MN∥CD,且MN=CD, 所以四边形MNDC是平行四边形, 所以CM∥DN, 又DN⊂平面ADE,CM⊄平面ADE, 所以CM∥平面ADE. (2)如图,取AB的中点F,连接EF,CF,且CF交BD于点O,连接OE, 由AB∥DC,AB⊥BC,AB=2CD,得四边形CDFB是正方形,所以CF⊥BD, 因为AE=BE,所以EF⊥AB, 因为平面ABCD⊥平面ABE,平面ABCD∩平面ABE=AB,EF⊂平面ABE, 所以EF⊥平面ABCD,又BD⊂平面ABCD, 所以EF⊥BD,EF⊥OF. 又因为EF∩OF=F,EF,OF⊂平面EFO, 所以BD⊥平面EFO, 又OE⊂平面EFO,所以BD⊥OE, 所以∠EOC是二面角E-BD-C的平面角, 在Rt△EFO中,易知OF=,EF==, 则OE===, sin∠EOF===, 所以sin∠EOC=sin(π-∠EOF)=sin∠EOF=, 所以二面角E-BD-C的正弦值为. 10.解析　(1)证明:因为E,F,G分别是AB,AC,AP的中点, 所以EF∥BC,GF∥PC. 因为EF⊄平面PCB,BC⊂平面PCB, 所以EF∥平面PCB, 因为GF⊄平面PCB,PC⊂平面PCB, 所以GF∥平面PCB, 又EF∩GF=F,EF,GF⊂平面GFE, 所以平面GFE∥平面PCB. (2)如图,过点C作CH⊥PA,垂足为H,连接HB. 因为BC⊥PC,BC⊥AC,且PC∩AC=C,PC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC, 又PA⊂平面PAC,所以BC⊥PA. 又PA⊥CH,CH∩BC=C,CH,BC⊂平面BCH, 所以PA⊥平面BCH, 又BH⊂平面BCH,所以BH⊥PA, 所以二面角B-AP-C的平面角是∠BHC. 在Rt△PCA中,PA==,所以由等面积法得×2×1=××CH,解得CH=, 所以tan∠BHC===, 所以二面角B-AP-C的正切值是. (3)设PB的中点为K,连接KC,AK. 因为△PCB为等腰直角三角形,所以KC⊥PB. 因为AC⊥PC,AC⊥BC,PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PCB, 所以AC⊥平面PCB, 又PB⊂平面PCB,所以AC⊥PB. 又PB⊥KC,AC∩KC=C,AC,KC⊂平面AKC, 所以PB⊥平面AKC. 又PB⊂平面PAB,所以平面AKC⊥平面PAB. 在平面AKC内,过点F作FM⊥AK,垂足为M,连接PM, 由面面垂直的性质定理得FM⊥平面PAB, 则直线PF与平面PAB所成的角是∠MPF. 易得CK=,PB=,AB=,则AK==, 在△ACK中,由等面积法得×2×=××2FM,解得FM=, 在Rt△FMP中,PF=,FM=, 所以sin∠MPF===, 故直线PF与平面PAB所成角的正弦值是. 7 学科网（北京）股份有限公司 $