3.4 复数的三角表示 课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

3.4 复数的三角表示 第3章 复数 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 复数旋转任意角 1 旋转 乘任意复数的几何意义是:将复数对应的平面向量逆时针旋转 . 2 旋转 虚数单位乘任意复数的几何意义是：将复数对应的平面向量逆时针旋转 . 3 旋转任意角 用 乘任意复数，其几何意义是：将复数 对应的平面向量逆时针 旋转角 . 6 典例详解 例1-1 [教材改编P118例2]根据 乘任意复数 的几何意义计算： . 【解析】设 ,则用 乘任意复数，其几何意义是将 对应的向 量旋转 . 于是，用乘的几何意义是将对应的向量连续旋转三个 ，也就是将 对应的向 量旋转 ，又由乘任意复数的几何意义可知， ，即 . 7 知识点2 复数的三角表示 1 复数的三角表示 如图3.4-1，我们可以用刻画向量大小的模和刻画向量方向的角 来表示复数 . 图3.4-1 一般地，任何一个复数都可以表示成 的形式. . . 8 概念名称 概念的说明 模 是复数的模， 辐角 是以轴的正半轴为始边，为终边的角，记作 ,且 ,.当 时，称其为复数的辐角主值.若 是 的辐角主值，则的全部辐角 三角形式 称为复数 的三角形式，该式的结构特征是:模非 负，角相同，余弦前，加号连 . . . . 9 2 三角形式下的复数相等 如果,则，辐角 可以取任意值，对每个值仍有 . 两个复数, 相等的充分必要条 件是，或且 , . 10 典例详解 例2-2 下列复数中是三角形式的是( ) B A. B. C. D. 【解析】复数的三角形式是 ，观察所给的四个复数，只有B中的复 数是三角形式，注意式子中各个位置的符号. 11 例2-3 [教材改编P119例3]将代数形式的复数 改写成三角形式. 【解析】 因为,,在复平面内与 对应 的点在第一象限,所以,从而的三角形式为 . . . . 12 知识点3 复数三角形式的乘除运算 1 复数乘法运算的三角表示及其几何意义 图3.4-2 将复数，分别写成三角形式 , . 13 画出，对应的向量，（如图3.4-2），乘 可分两步实现: 首先，用乘,得到, 对应的向量 由 对应的向量旋转角得到，此时模,辐角 . 然后，用乘 ，得到,对应的向量由 对 应的向量乘实数而伸缩得到，此时模 ，辐角 . 由此得复数与 的乘法公式： . 14 上式表明，两个复数乘积的模等于它们的模的乘积，乘积的辐角等于它们的辐 角之和. 以上公式也可以直接做复数乘法而得到： ， 其中用到余弦和正弦的和角公式. 说明 POINT 这是复数乘法的几何意义 15 2 复数除法运算的三角表示及其几何意义 对于,,当即 时，设它 们的商的三角形式为，则由得 ， ，因此， . 由此可得两个复数, 的除法公式: . 上式表明，两个复数相除（除数不为0），商的模等于它们的模的商，商的辐角 等于它们的辐角之差. 16 上述式子也可由下面方法得到： 因为 , 所以根据复数除法的定义，有 . 图3.4-3 如图3.4-3，两个复数,相除时，先分别画出与, 对应 的向量,,然后把向量绕点按顺时针方向旋转角 （如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角 ）,再 把它的模变为原来的倍，得到向量,表示的复数就是商 . 这是复数除法的几何意义. . . 17 典例详解 例3-4 不用计算，猜测 的值为___. 1 图3.4-3 【解析】的辐角为 .如图3.4-4所示， 对应的向量为，则 对应的向量为 ，对应的向量为.显然 表示的复数为1. 18 【归纳总结】 根据两个复数乘法运算的三角表示及其几何意义，可以推广到 个复数相乘 的情况，即 【解析】共轭复数在复平面内对应的点关于轴对称，因此 是 的一个辐角,则 , 故 , 特别地，当, 时， ，其中 （三角形式的乘方运算）. 例3-5 若非零复数，则 ____. . . 19 【问题质疑】 你能根据例 中的结论，用另一种思路推导复数除法运算的三角表示吗？ 提示 由例我们可以得到：若非零复数,则 ，则 ,即 . 这样一来，如果, ,则 ，即 . 20 题型解析 03 题型1 复数的代数形式与三角形式的互化 1 将复数的代数形式化为三角形式 例6 [教材改编P120练习]把下列复数表示成三角形式. （1） ； 【解析】由,，知点 在第二象限，故辐角为第二象限的角. . 又,所以辐角主值为 . 因此复数的三角形式为 . 22 （2） . 【解析】由,，知，辐角主值为 ,因此复数 的三角形式为 . 23 例7 求复数 的模与辐角主值. 【解析】 . , , ， ], . , , 故复数的模是,辐角主值是 . 24 易错警示 从形式上看， 似乎就是三角形式，不少同学认为 ， . 错误之处在于他们没有考虑角 的范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前， 加号连”来判断是否为三角形式. 复数的代数形式转化为三角形式的步骤：①求出模；②确定辐角；③写出三角形式. 25 【变式题】 1.把下列复数表示成三角形式： （1）5； 【答案】 ; （2） ; 【答案】 ; （3） ; 【答案】 ; 26 （4） ; 【答案】 ; （5） ; 【答案】 ; （6） . 【答案】（其中 ）. 27 2 将复数的三角形式化为代数形式 例8 将下列复数表示成代数形式: （1） ; 【解析】 . （2） . 【解析】 . 名师点评 将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出即可. 28 题型2 三角形式下的复数的乘、除运算 例9 计算下列各式，并把结果化为代数形式： （1） _ _________________. 【解析】 . （2） ____________. 【解析】 . 29 例10 设复数，求 的模和辐角主值. 30 【解析】（注意辐角主值的范围，化简要彻底） ， 复数的模为32，辐角主值为 . . . . . . . 31 三角形式下复数的乘、除运算的关键点 复数三角形式下的乘法法则:模数相乘,辐角相加； 复数三角形式下的乘方法则:模数乘方,辐角 倍； 复数三角形式下的除法法则:模数相除,辐角相减. 32 【变式题】 2.求 的值. 【答案】 , ], , 所以原式 . 33 题型3 复数乘、除运算的几何意义的应用 例11 如图3.4-5，若与分别表示复数,,求 ,并 判断 的形状. 图3.4-5 34 【解析】欲求,可计算 . , 且 . 设, ， 由余弦定理,得， , 又 , 为有一锐角为 的直角三角形. 名师点评 此题利用复数除法运算的三角表示的几何意义来解决三角形中角的大小问 题，十分方便. 35 知识测评 04 1.将代数形式的复数 改写成三角形式为( ) D A. B. C. D. 【解析】因为在复平面内所对应的点在虚轴正半轴上，所以易知 , ,从而可知 . 2.复数 的辐角主值是( ) A A. B. C. D. 【解析】复数 （先变形为三角形式，再判断辐角主值），故复数 的辐角 主值为 ,故选A. . . 37 3.复数 的一个辐角为( ) B A. B. C. D. 【解析】 . 则所求的一个辐角为 .故选B. 4.，则 的值等于( ) C A.3 B.12 C. D. 【解析】由题意，得 ，由复数相等 的定义，得 解得, .故选C. 38 5.已知虚数满足，表示 的共轭复数，则下列结论不正确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】 虚数满足 , ， ,故A错误； 表示的共轭复数， , ,故B正确； ,故C正确； ,故D正确.故选A. 39 6. ______. 【解析】 （化为三角形式） . （利用共轭复数的性质） 设,则 . 则 . 40 谢谢观看 湘教版A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 41 $