3.4 复数的三角表示（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

该高中数学课件聚焦复数的三角表示及运算，从虚数单位i的几何意义（旋转90°）切入，衔接复数代数形式，通过旋转任意角引出辐角概念，搭建从几何直观到三角形式的学习支架。 其亮点在于以几何意义为核心，通过旋转操作（数学眼光的几何直观）和运算规律推导（数学思维的推理能力），结合典例（如-1+i化三角形式）实现数形结合。帮助学生发展直观想象与逻辑推理，教师可借助清晰脉络提升教学效率。

    i2=-1的几何意义及旋转任意角 知识点 1 必备知识 清单破 *3.4　复数的三角表示 1.虚数单位i乘任意复数z的几何意义是:将复数z对应的平面向量旋转90°. 2.用cos α+isin α乘任意复数z,其几何意义是:将复数z对应的平面向量旋转角α. 第3章　复数 高中同步 　复数的三角表示 知识点 2 1.辐角 以原点O为顶点,x轴的正半轴为始边,复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量 所在的射线为终边 的角θ,称为复数z=a+bi的辐角,记作arg z=θ. 2.复数z=a+bi(a,b∈R)的三角形式:z=r(cos θ+isin θ),其中r= ,cos θ= ,sin θ= . 如果z=0,则|z|=0,辐角θ可以取任意值,对每个值仍有z=r(cos θ+isin θ). 两个复数z1=|z1|(cos θ1+isin θ1),z2=|z2|(cos θ2+isin θ2)相等的充分必要条件是|z1|=|z2|=0,或|z1|=|z2|> 0且θ2=θ1+2kπ,k∈Z. 第3章　复数 高中同步 　复数三角形式的运算 　　设z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1·z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]; =  = [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)](z2≠0). 这就是说,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,乘积的辐角等于它们的辐角之和;两个复 数相除(除数不为0),商的模等于它们的模的商,商的辐角等于它们的辐角之差. 推广:[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),其中n∈N+. 知识点 3 第3章　复数 高中同步 　复数乘除法的几何意义 知识点 4 1.复数乘法的几何意义 两个复数z1,z2相乘时,如图1,先分别画出与z1,z2对应的向量 , ,然后把向量 绕点O按逆 时针方向旋转角θ2(如果θ2<0,就要把 绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来 的r2倍,得到向量 , 表示的复数就是z1z2. 第3章　复数 高中同步 2.复数除法的几何意义 两个复数z1,z2相除时,如图2,先分别画出与z1,z2对应的向量 , ,然后把向量 绕点O按顺 时针方向旋转角θ2(如果θ2<0,就要把 绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来 的 ,得到向量 , 表示的复数就是 .   图1       图2 第3章　复数 高中同步 知识辨析 1.在复数z=r(cos θ+isin θ)中,r能为0吗? 2.复数z=2有三角形式吗? 3.复数的代数形式是唯一的吗?复数的三角形式是唯一的吗? 4.复数z=1+i的三角形式可以为z=  吗? 第3章　复数 高中同步 一语破的 1.能.r为复数的模,当r=0时,z=0. 2.有.复数z=2的三角形式可以为z=2(cos 0+isin 0). 3.复数的代数形式是唯一的,但是复数的三角形式不唯一,因为辐角不唯一. 4.可以.由已知可得r= = ,辐角可以取 . 第3章　复数 高中同步 　复数的代数形式与三角形式的互化  定点 1 关键能力 定点破 1.复数z=r(cos θ+isin θ)的结构特点 (1)r是复数的模,r= ≥0,其中z=a+bi(a,b∈R); (2)式中的三角函数是同一个辐角θ的余弦和正弦; (3)cos θ在前,sin θ在后; (4)cos θ和sin θ之间用“+”连接. 第3章　复数 高中同步 2.复数的代数形式化为三角形式的方法 将复数的代数形式化为三角形式,要从复数三角形式的概念出发,关键是确定两个要素:一是 复数的模,二是复数的辐角.复数z=a+bi(a,b∈R)的模可以直接利用公式r= 求出;其辐 角的求法并不唯一,可以利用cos θ= 先求出cos θ,再根据复数的几何意义,由复数对应点的坐 标Z(a,b)确定辐角θ的终边所在的象限,进而求出辐角θ;也可以利用sin θ= 或tan θ= (a≠0)求 出sin θ或tan θ,再由辐角θ的终边所在的象限,利用“已知三角函数值求角”的方法,求出辐角 θ. 第3章　复数 高中同步 典例    (1)将复数z=-1+ i表示成三角形式为　　　　　　　　    . (2)将复数z=6 表示成代数形式为　　　　　　　    . z=2 z=-3-3 i 第3章　复数 高中同步 解析    (1)由z=-1+ i可知其在复平面内对应的点为Z(-1, ),在第二象限内, 故辐角为第二象限角. 又tan θ= =- , ∴arg z= . ∵r= =2, ∴复数z=-1+ i的三角形式为z=2 . (2)z=6  =6  =-3-3 i. 第3章　复数 高中同步     复数乘、除法的三角形式运算的应用  复数乘除运算的三角形式的两个注意点 (1)转化:一般将两个复数均转化为复数的三角形式的标准形式. (2)运算特点:乘法法则的特点为“模相乘,辐角相加”;乘方法则的特点为“模乘方,辐角n 倍”;除法法则的特点为“模相除,辐角相减”. 定点 2 第3章　复数 高中同步 典例1　如果θ∈ ,那么复数(1+i)·(cos θ-isin θ)的三角形式是 (　    ) A.   B. [cos(2π-θ)+isin(2π-θ)] C.   D.   A 思路点拨    首先将1+i和cos θ-isin θ化为三角形式,然后进行三角形式的乘法运算,再把结果 化为三角形式. 第3章　复数 高中同步 解析    因为1+i=  , cos θ-isin θ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ), 所以(1+i)(cos θ-isin θ) =   =  . 第3章　复数 高中同步 典例2　在复平面内,把复数z1与z2对应的向量 , 分别按逆时针方向旋转 和 后,重合 于向量 且模相等,已知z2=-1- i,求复数z1的代数形式. 思路点拨    先利用复数乘法的几何意义得出把复数z1与z2对应的向量 , 分别按逆时针方 向旋转后所对应的复数,再利用复数三角形式的乘除运算求出z1. 第3章　复数 高中同步 解析    由复数乘法的几何意义得 z1 =z2 , 又z2=-1- i =2 , ∴z1=  =2 =- + i. 第3章　复数 高中同步 $