3.1 复数的概念、3.2 复数的四则运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

3.1 复数的概念 3.2 复数的四则运算 第3章 复数 湘教版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 认识复数 1 复数的引入 为了解决 这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数 ，使得是方程的解，即使得 . 2 复数的概念 引进数后，我们把实数与的乘积记作,实数与的和记作.形如 （其中,）的数称为复数，其中称为复数的实部，称为复数 的虚 部， 称为虚数单位. 6 3 复数的表示 复数通常用字母表示，即 ,这一表示形式称为复数的代数形 式.我们一般将复数的实部记作,虚部记作 . 习惯上用表示全体复数组成的集合（称为复数集），于是, . 7 4 复数的分类 对于复数，当且仅当时，它是实数；当 时，它叫作虚数 （【注意】虚数不能比较大小）；当且 时，它叫作纯虚数. 实数集是复数集的真子集，即 . 复数 可以分类如下： 复数 . 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图3.1-1表示. 图3.1-1 . . 8 典例详解 例1-1 [教材改编P101例1](2025·浙江省宁波市期末)复数 的虚部为( ) B A. B. C. D. 【解析】复数的虚部为的系数.（此处易误认为虚部为 ） 例1-2 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数: 4,,,, . 【解析】4，，，，的实部分别是4，2， ，5，0；虚部分 别是0，，， ，6. 4是实数；，，，是虚数，其中 是纯虚数. 9 例1-3 [教材改编P102例2]若复数为纯虚数，则实数 的值 为( ) B A.2 B. C.2或 D.1或 【解析】 复数 为纯虚数，（实部为0，虚部不为0） 解得 . . . 10 知识点2 两个复数相等 若两个复数， 的实部与虚部分别相等，则称这两个复 数相等，即且.（【理清逻辑】和 有一个不 成立时，就有 ） 特别提醒 （1）应用复数相等的充要条件时应先将复数化为 的形 式，即分离实部和虚部. （2），，的充要条件是且 . . . 11 发散探讨 虚数为什么不能比较大小？ 引入虚数单位后，规定,但 与0的大小关系不能确定.理由如下： 若，则,两边同乘，得,即 ,与实数系中数的大小规定 相矛盾；若，则 ,与实数系中数 的大小规定也是矛盾的. 故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分. 若两个复数用“ ”或“ ”连接，则必为实数. . . 12 典例详解 例2-4 下列说法正确的是( ) A A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等 B.是纯虚数 C.如果复数是实数，那么， D.复数 不是实数 【解析】若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚部分别相等， 即这两个复数相等，故A正确； B中，当时， 是实数，故B错误； 要使复数是实数，只需 ，所以C错误； D中，当时，复数 是实数，故D错误. 13 知识点3 复数的加减法 1 复数的加法法则 设， 是任意两个复数，则它们的和是 .（实部与实部相加，虚部与虚部相加） 2 复数的减法运算 复数减法是加法的逆运算，即复数减去复数 的差是指满足 的复数，记作 . 根据复数相等的定义得,，所以， ，因此 .（实部与实部相减，虚部与虚部相减） . . . . 14 知识剖析 对复数的加减法的理解 （1）两个复数的和仍然是一个确定的复数.但是两个虚数之和不一定是一个虚 数.如 . （2）两个复数的差是一个确定的复数.但是两个虚数之差不一定是一个虚数， 如 . （3）复数的加减法可以推广到多个复数相加减的情形：各复数的实部分别相加 减，虚部分别相加减. 15 3 复数的加法满足的运算律 对任意,, ，有 （1）交换律： ； （2）结合律： . 16 典例详解 例3-5 计算： （1） ； 【解析】 . （2） ； 【解析】 . （3） . 【解析】 . 17 例3-6 [教材改编P106例1]已知复数，，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 ． 例3-7 已知复数，，（ 为虚数单位），则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】，， , . 18 知识点4 复数的乘法与乘方 1 复数的乘法 一般地，设,，称为与 的积，规定 . 乘法运算的结果可以用多项式的乘法运算得出： . 两个复数的乘积还是一个复数.复数的乘法与多项式的乘法相似，只是在运算过程中 要把换成 ，并且把实部与虚部分别合并. 说明 POINT 规定 . 19 2 复数乘法的运算律 对于任意,, ，有 （1）交换律： ； （2）结合律： ； （3）分配律： . 3 复数的乘方 复数的乘方运算是指几个相同复数相乘.在复数集中，实数集中的正整数指数幂 运算律仍然成立，即对任何复数，，及正整数，，有 , , . 20 典例详解 例4-8 (2025·甘肃省临潭二中模拟)复数 的实部与虚部相等，则 实数 ( ) B A. B.0 C.1 D.2 【解析】 ,且该复数的实部与虚部相等, ，解得 ． 例4-9 复数，，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 . 21 知识点5 复数的除法 对任意两个复数,,,,,且 ，有 .（将商的分子、分母同乘以 就可将 分母化为正实数 ，从而将商化为复数的代数形式） 说明 POINT 两个复数的商仍为复数.#1.1.1 . . 22 知识剖析 1.复数的除法与实数的除法有所不同，对于实数的除法，可以直接约分化简， 得出结论，但对于复数的除法，因为分母为复数，所以一般不能直接约分化简. 2.复数除法的一般做法：通常先把写成 的形式，再把分子 与分母同时乘以适当的非零复数，将分母化为实数，最后将结果化简，即 .#1.2.2 23 典例详解 例5-10 (2023·天津)已知是虚数单位，化简 的结果为______. 【解析】 . 例5-11 (2025·天津市塘沽一中月考)若复数，为虚数单位 是纯虚数，则实 数 的值为( ) A A. B. C.4 D.6 【解析】由题意可知，因为 为纯虚数， 所以解得 ． 24 重难拓展 知识点6 复数范围内实系数一元二次方程的根 若一元二次方程，且，， ，（注意是实系数方 程）则 当时,方程有两个不相等的实根, ; 当时,方程有两个相等的实根 ; 当时,方程有两个虚根, .（这充分体现了 的规定） . . . . 25 典例详解 例6-12 [多选题]在复数范围内，方程 的一个根是( ) AD A. B. C. D. 【解析】 , 的平方根为 . . 结合选项可知选 . 26 知识点7 复数运算的常用技巧 （4） ; （5）,,, . 27 典例详解 例7-13 计算： . 【解析】因为 , 所以原式 . 28 题型解析 03 题型1 复数的分类 例14 (2025·山东省实验中学月考)已知,复数,当 为何值时，复数 满足下列条件？ （1） 为实数； 【解析】要使为实数,需满足 , 且有意义，即,解得 .（【注意】分母不为0，保证分式有意 义） . . 30 （2） 为虚数； 【解析】要使为虚数,需满足 , （虚数需满足虚部不为0） 且有意义，即,解得且 . （3） 为纯虚数. 【解析】要使为纯虚数,需满足,且 , 解得或 . . . 31 32 求解复数分类问题的关键 （1）复数为纯虚数的充要条件是且 . （2）复数为实数的充要条件是 . （3）复数为虚数的充要条件是 . 依据复数的类型求参数时要先确定使代数式有意义的参数的取值，再结合以上结论 求解. 33 【变式题】 1.(2025·重庆市调研)“”是“复数 为纯虚数”的 ( ) A A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】若，则复数是纯虚数，若复数 是纯虚数， 则且，所以，因此“ ”是“复数 为纯虚数”的充要条件. 34 题型2 复数相等的充要条件 例15（1）若,求实数, 的值. 【解析】由复数相等的充要条件，（两复数实、虚部分别相等）得 解得 （2）已知成立，求实数 的值. 【解析】因为,,所以由，可得 解得或 所以 . . . 35 （3）若关于的方程有实根，求实数 的值. 【解析】设方程的实根为 , 则原方程可变为 ,（【巧转化】把复系数方程有实 根的问题转化为两个复数相等的问题） 所以 （复数问题“实数化”是解决复数问题的重要方法）解得 或 . 思路点拨 第（1）小题中出现复数的等式，应转化为两个复数相等的问题来解决； 第（2）小题只需将0看作 即可转化为复数相等的问题；对于第（3）小题，先 设出方程的实根，然后代入，最后转化为复数相等的问题. . . . . 36 复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数.解决复数相等问题 的步骤：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相 等列方程组求解. 37 题型3 复数的加、减运算 例16（1）计算: . 【解析】 . （2）设,，,,且,求 . 【解析】,, , , . 38 解决复数加、减运算的思路 两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）.复数的 减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个 复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）. 39 【变式题】 2.若复数满足，则 ( ) D A. B.7 C. D.5 【解析】由得，则 解得 则 . 40 题型4 复数的乘、除运算 例17 计算： （1） ; 【解析】原式 . 41 （2） ； 【解析】原式 . 42 （3） . 【解析】原式 . 43 例18 [多选题]已知复数，其中 是虚数单位，则( ) ABD A. 的实部为 B.的虚部为 C. D. 【解析】, 的实部为 ，A正确; ,的虚部为 ,B正确； ,C错误; , 正确. 44 例19（1）设复数满足，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意得,则 . （2）(2025·湖南省株洲市期末)若复数满足，其中为虚数单位，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 . 45 （3）设是虚数单位，则复数 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 . （4）已知（为虚数单位），则复数 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意得,则 . 46 名师点评 上述试题具有一个共同特征，那就是都是运用知识点7中的小结论来命制 的.熟悉结论之后，便可以快速得解: （1）注意到，可以快速得到 ； （2）注意到，可以快速得到 ； （3）直接利用结论 可快速得到答案； （4） . 47 解决复数的乘、除运算问题的思路 1.复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成 ，并将实部、 虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如 , . 2.复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母 “实数化”的方法，使分母成为实数，再计算. 48 【变式题】 3.已知是实数，是实数，则 的值为( ) A A. B. C.0 D. 【解析】是实数， ,即 . 49 题型5 解复数方程 例20 已知是方程 的一个根. （1）求实数， 的值； 【解析】把代入方程，得 ， 解得 50 （2）结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明. 【解析】由（1）知方程为 . 设另一个根为 ，由根与系数的关系， 得 ， . 把代入方程 ， 则左边 右边， （实系数一元二次方程的虚根是成对出现的）是方程的另一个根. . . 51 52 【变式题】 4.(2025·广东省深圳市期末)已知是关于的方程 的一个 根，则 的根为( ) D A. B. C. D. 【解析】是关于的方程 的一个根， 则也是关于的方程 的一个根， 故解得 则，即，解得 ． 53 核心素养聚焦 考情揭秘 高考比较重视对复数的四则运算的考查，另外以四则运算为背景考查复数的相关概 念以及复数相等也是高考中的常客，在进行除法运算时容易出现计算错误，应多加 注意.题型主要为选择题、填空题，题目简单. 核心素养：数学运算（复数的四则运算、复数相等运算等）. 54 考向1 复数的四则运算 例21（1）(2025·全国一卷) 的虚部为( ) C A. B.0 C.1 D.6 【解析】 ，其虚部为1. （2）(2025·全国二卷)已知，则 ( ) A A. B. C. D.1 【解析】 . 55 考向2 相等复数下的四则运算 例22（1）(2024·新课标Ⅰ卷)若,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 （解方程法） 因为，所以 ， 即，即 ， 所以 . （取倒数法） 因为，所以 ，（题眼） 即 ， 即，所以 . . . 56 （2）(2024·北京)若复数满足,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意得， . （3）(2023·全国甲卷)设，，则 ( ) C A. B. C.1 D.2 【解析】因为,所以 且 ，解得 .故选C. 57 （4）(2022·全国乙卷)设,其中， 为实数，则( ) A A., B., C., D., 【解析】 由题意知，所以解得 故选A. 由题意知 ， 所以解得 故选A. 58 命题 探源 复数的四则运算是高考最重要的考点之一，涉及复数的绝大部分的考题都 围绕着四则运算展开.本题可以视为取材于教材【习题3.2】第6题. 素养 探源 素养 考查途径 数学运算 通过运算法则求解. 59 变式探源 (全国甲卷)已知,则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 . 60 知识测评 04 建议时间：20分钟 1.复数 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 ． 2.(2025·吉林省长春市第十七中学期中)已知,,（ 为虚数单位）， 则( ) B A., B., C., D., 【解析】，则由，得, ． 62 3.已知复数，则集合 中元素的个数是( ) A A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】 ， 故集合 中有4个元素. 4.(2023·全国甲卷) ( ) C A. B.1 C. D. 【解析】由题意知， . 63 5.若虚数是关于的方程的一个根，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意可得， ，所以 ，故，，则 . 64 6.［多选题］下列关于复数的说法正确的是( ) AC A.复数是实数的充要条件是 B.复数是纯虚数的充要条件是 C.复数是纯虚数的充要条件是且 D.复数是实数的充分不必要条件是 【解析】复数是实数的充要条件是 ，所以选项A正确,D错误； 复数是纯虚数的充要条件是且 ，所以选项B错误，C 正确.故选 ． 65 7.［多选题］已知复数 ，则( ) BC A. B.是纯虚数 C. D. 是实数 【解析】由题意知，,则， ,是 纯虚数,故A正确，B错误； ，故C正确； ,是纯虚数，故D错误.故选 . 66 8.已知复数，当实数取什么值时，复数 满足 下列条件？ （1） 是实数； 【答案】当，即或时， 是实数. （2） 是虚数； 【答案】当，即且时， 是虚数. （3） 是纯虚数. 【答案】当即时， 是纯虚数. 67 高考模拟 05 9.若复数满足方程，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】依题意， ， 所以 . 69 10.已知复数的实部为4，其中，为正实数，则 的最小值 为( ) D A.3 B.4 C. D. 【解析】，其实部为4，则 ， 解得，则，当且仅当，即， 时，等 号成立，故的最小值为 ． 70 11.(2025·安徽省六安第一中学模拟)复数，满足 ， ，并且，则 的取值范围是( ) C A. B.[-, C.[-, D., 【解析】， ， . ， 当时， 取得最小值，为；当时， 取得最大值，为7． 故 的取值范围是[-, ]． 71 12.［多选题］已知复数 ，则下列说法正确的是( ) BC A.的虚部为 B.的实部为4 C. D. 【解析】，， ， 的实部为4，虚部为2，故A选项错误,B选项正确; ，故C选项正确; ，故D选项错误.故选 ． 72 13.［多选题］(2025·广东省广州市第十六中学月考)已知复数满足 ，则 下列关于复数 的结论正确的是( ) ABD A. B. C. D.复数是方程 的一个根 【解析】由,得 , , . ， 复数是方程的一个根．故选 . 73 14.已知复数满足,求复数 的实部的最小值. 【答案】设,, ，则 . 由，得，（因为虚数不能比较大小，所以 必为实数） 则（当时，）,从而 ，此时仍有 ， 从而,所以 . 故的最小值为 . . . 74 谢谢观看 湘教版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 75 $