5.1.1 课时1 变化率问题与瞬时速度 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“变化率问题与瞬时速度”，通过观看运动员跳水视频导入，结合高度函数h(t)=-4.9t²+2.8t+11引出运动快慢问题，以平均速度为支架，通过“三步法”、典例及自主练，逐步过渡到瞬时速度的极限定义。 其亮点是以高台跳水现实情境为载体，通过问题驱动和数据表格分析渗透极限思想，体现用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。典例与自主练结合，助学生理解概念本质，为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

5.1.1 课时1 变化率问题与瞬时速度 第五章 一元函数的导数及其应用 观看视频：运动员从起跳到入水的过程中包含哪些阶段？ 新课导入 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系： 问题：如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ h(x)＝－4.9t2＋2.8t＋11 ►课本P59 新课导入 由生活经验可知，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段会运动得越来越慢，在下降阶段会运动得越来越快。 平均速度指运动员在某一时间段[t1，t2]的平均变化率 我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态。 ►课本P59 知识讲解 (一) 平均变化率 ★ 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. ▲ 如何求在 x1≤x≤x2 这段区间上的平均变化率？ (1)计算函数的增量： ∆y＝f (x2)－f (x1) ； (2)计算自变量的改变量： ∆x＝x2－x1； (3)相除，得平均变化率： . “三步法” 知识讲解 根据函数关系：h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11， 计算：运动员在0～0.2s，1～1.5s 这两段时间内的平均速度. ①在0≤t≤0.2这段时间里，平均速度为 ②在1≤t≤1.5这段时间里，平均速度为 在 t1≤t≤t2 这段时间内的平均速度＝ ►课本P59 ＝1.82(m/s) ＝-9.45(m/s) 典例剖析 典例1. 已知 s(t)＝5t2. (1)求t从3秒到3.1秒的平均速度；(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度. (1) (2) 解析： 知识运用 自主练 一物体的运动方程是 s＝3＋t2，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度为( ) A. 0.41 B. 3 C. 4 D. 4.1 D 解析： 典例2. 求函数 y＝2x2＋3 在 x0 到 x0＋∆x之间的平均变化率，并求 当 x0＝2，∆x＝ 时该函数的平均变化率. 解析：当自变量从x0变化到 x0＋∆x时，函数的平均变化率为 当 x0＝2，∆x＝ 时，平均变化率为 典例剖析 知识运用 解析：因为f(x)＝2x2＋3x－5， 所以∆y＝f (x1＋∆x)－f (x1) ＝2(x1＋∆x)2＋3(x1＋∆x)－5－(2x12＋3x1－5) ＝2[(∆x)2＋2x1∆x]＋3∆x＝2(∆x)2＋(4x1＋3)∆x 自主练 已知函数 f(x)＝2x2＋3x－5 . (1)求当 x1＝4，且∆x＝1时，函数增量∆y和平均变化率 ； (2)求当 x1＝4，且∆x＝0.1时，函数增量∆y和平均变化率 . 知识运用 自主练 已知函数 f(x)＝2x2＋3x－5 . (1)求当 x1＝4，且∆x＝1时，函数增量∆y和平均变化率 ； (2)求当 x1＝4，且∆x＝0.1时，函数增量∆y和平均变化率 . (1)当x1＝4，且∆x＝1时，∆y＝2＋(4×4＋3)×1＝21 所以 ＝21. (2)当x1＝4，且∆x＝0.1时，∆y＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1 ＝0.02＋1.9＝1.92 所以 ＝19.2 ∆y＝2(∆x)2＋(4x1＋3)∆x 计算运动员在 这段时间里的平均速度： 0≤t≤ 我们发现，运动员在这段时间里的平均速度为 0 . 显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态； 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态. h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11 ►课本P60 知识讲解 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 瞬时速度：指物体在某一时刻的速度。 设运动员在 t0 时刻附近某一时间段内的平均速度是，如果不断缩短这一时间段的长度，那么平均速度将越来越趋近于运动员在 t0 时刻的瞬时速度. (二) 瞬时速度 ►课本P60 知识讲解 (二) 瞬时速度 为了求运动员在 t＝1 时刻的瞬时速度，我们在 t＝1之后或之前，任意取一个时刻1＋∆t，∆t 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为零. 当∆t＞0时，1＋∆t 在1之后；当∆t＜0时，1＋∆t 在1之前。 ►课本P60 知识讲解 当∆t＜0时，在时间段[1＋∆t，1]可作类似处理。为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格： 当∆t＞0时，计算时间段[1，1＋∆t]内的平均速度，用近似表示运动员在 t＝1 时的瞬时速度： ＝－4.9∆t－7 ►课本P60 h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11 知识讲解 当∆t＜0时，在时间段[1＋∆t，1]内 当∆t＞0时，在时间段[1，1＋∆t]内 ∆t ∆t -0.01 0.01 -0.001 0.001 -0.0001 0.0001 -0.00001 0.00001 -0.000001 0.000001 ...... ...... -6.951 -6.9951 -6.99951 -6.999951 -6.9999951 -7.049 -7.0049 -7.00049 -7.000049 -7.0000049 通过观察可得，当∆t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－7. ＝－4.9∆t－7 ＝－4.9∆t－7 ►课本P60 事实上，由 可以发现，当∆t无限趋近 于0时，－4.9∆t也无限趋近于0，所以平均速度无限趋近于－7， 这与前面得到的结论一致. 数学中，我们把－7叫做“当△t无限趋 近于0时， 的极限”，记为： ＝－4.9∆t－7 －7 ►课本P61 知识讲解 ►课本P61 从物理的角度看，当时间间隔|∆t|无限变小时，平均速度就无限趋近于 t＝1 时的瞬时速度，因此，运动员在 t＝1时的瞬时速度是－7. 表示“当t＝1，∆t 趋近于0时，平均速度趋近于确定值－7”. 辨析 瞬时速度 平均速度 区别 联系 刻画某一时刻运动状态 刻画某一段时间内运动状态 瞬时速度是平均速度的极限值； 平均速度 瞬时速度v (t0) 知识讲解 小结 1. 平均速度的计算： 在时间段[t0，t0＋∆t]内的平均速度为 2. 瞬时速度的计算： 在 t0 时刻的瞬时速度为 知识讲解 典例剖析 典例3. 前面问题中运动员运动状态函数关系为h(t)＝-4.9t2＋4.8t＋11. (1)求运动员在 t＝2s 时的瞬时速度； (2)求运动员在 t＝0.5s 时的瞬时速度； 典例剖析 典例3. 前面问题中运动员运动状态函数关系为h(t)＝-4.9t2＋4.8t＋11. (1)求运动员在 t＝2s 时的瞬时速度； 典例剖析 典例3. 前面问题中运动员运动状态函数关系为h(t)＝-4.9t2＋4.8t＋11. (2)求运动员在 t＝0.5s 时的瞬时速度； 知识运用 自主练 某物体的运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若 ＝18 m/s，则下列说法中正确的是(　 ) A. 18 m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B. 18 m/s是物体从3s到(3＋Δt)s这段时间内的速度 C. 18 m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D. 18 m/s是物体从3s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度 C 知识运用 ►课本P62 自主练 一个小球从 5m 的高处自由下落，其位移y(单位：m)与时间 t(单位：s)之间的关系为 y(t)＝－4.9t2 . 求 t＝1s 时小球的瞬时速度. 典例剖析 典例4. 一质点的运动方程为 s＝8－3t2，其中 s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s). (1)求该质点在[1，1＋∆t]这段时间内的平均速度； (2)求质点在t＝1时的瞬时速度. 解：(1)该质点在[1，1＋∆t]这段时间内的平均速度为 (2)由(1)知，当∆t趋近于0时，趋近于， ∴该质点在t＝1时的瞬时速度为. 知识运用 自主练 火箭发射 t s 后，其高度(单位：m)为 h(t)＝0.9t2. 求 (1)在1≤ t ≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度； (2)发射后第 10 s时，火箭爬高的瞬时速度. ►课本P61 知识运用 自主练 已知质点 M 做直线运动，且位移(单位：cm)随时间(单位：s)变化的函数为 s＝2t2＋3. (1)当 t＝2，∆t＝0.01时，求平均速度； 解： (1)当，时，. 知识运用 自主练 已知质点 M 做直线运动，且位移(单位：cm)随时间(单位：s)变化的函数为 s＝2t2＋3. (2)求质点 M 在 t＝2 时的瞬时速度. 解： (2)当时，瞬时速度 即质点 M 在 t＝2 时的瞬时速度为 1. 如何计算平均速度与瞬时速度？二者有什么关系？ 瞬时速度的本质是平均速度的极限. (1)平均速度： (2)瞬时速度： 2. 本节课学习到了哪些思想方法？ 极限思想 课堂总结 A 1. 质点运动规律为 s(t)＝t2＋3，则从 3 到 3＋Δt的平均速度为( ) A. 6＋Δt B. 6＋Δt C. 3＋Δt D. 9＋Δt B 2. 如果质点按规律 s＝3t2 运动，则在 t0＝3时的瞬时速度为( ) A. 6 B. 18 C. 54 D. 81 当堂检测 Lavf55.33.100 提示：要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt，求出相应的位移的改变量Δs，再求出平均速度eq \o(v,\s\up16(－))＝eq \f(Δs,Δt)，最后计算当Δt趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)趋近于的常数，就是物体在该时刻的瞬时速度． $