5.3.1 函数的单调性 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版 选择性必修 第二册 5.3.1函数的单调性 第五章 一元函数的导数及其应用 1.利用导数求曲线的切线 知识回顾 2.函数单调性的定义 一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，有 　 (1)若f(x1)<f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数. (2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数. 知识回顾 1.理解导数与函数的单调性的关系； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法； 3.会用导数求函数的单调区间. 学习目标 自学指导 阅读课本84--86页，完成以下问题： 问题1：函数的单调性与导数的关系。 问题2：利用导数判定函数单调性的步骤。 t h a O b (1) t h a O b (2) 思考1 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象. 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 思考2 我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系. 那么，我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢? 当t∈(0, a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0, a)内单调递增； 当t∈(a, b)时，h'(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a, b)内单调递减. 这种情况是否具有一般性呢? t h a O b (1) t h a O b (2) 思考3 观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系. x y O (1) x y O (2) x y O (3) x y O (4) 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a, b)上, 如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增; 在某个区间(a, b)上, 如果f'(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减. 教师点拨 函数的单调性与导数的关系 思考1 如果在某个区间上恒有f′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性? 函数y=f(x)在这个区间上是常数函数. 思考2 存在有限个点使得f'(x)=0, 其余点都恒有f ′(x)>0, 则f(x)有什么特性? x y O f(x)仍为增函数. 小组互助 练习 已知函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的大致图象可能为(　　) C 例1 利用导数判断下列函数的单调性: 小组互助 ① 确定函数的定义域； ② 求出函数的导数f (x)； ③ 判定导数f (x)的符号； ④ 确定函数f(x)的单调性. 判断函数单调性的步骤： 教师点拨 小组互助 1. 判断下列函数的单调性: 证明： 例2 x y O 1 4 小组互助 x y O a b c x y O a b c 例3 已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(　　) D 1. 函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内， 若f′(x)>0，则y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增； 若f′(x)<0，则y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减； 若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性． 2. 函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大．　 教师点拨 小组互助 D 小组互助 变式3 函数y=f(x)在定义域 内可导,其图象如图所示.记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式f'(x)<0的解集为　　　　　　　　.  若本题条件不变,求不等式xf'(x)>0的解集. 例4 x y O -1 1 • 2 • 小组互助 求函数y=f(x)的单调区间的步骤： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 特别提醒:(1)单调区间不能用“∪”符号连接,只能用“,”或“和”隔开. (2)导数法求得的单调区间一般用开区间表示. 教师点拨 小组互助 变式4（1） 求函数f(x)=ln(2x+3)+x2的单调区间. （2）求函数f(x)=x2e-x的单调区间. （2）函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间为(0,2). 1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间: 26 探究 研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,＋∞)上增长快慢的情况. x y O (2) x y O 1 • (1) 一般地，如果一个函数在某一范围内 导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快， 这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)； 反之，函数在这个范围内变化得较慢， 函数的图象就比较“平缓”. 小组互助 例5 讨论函数f(x)=x2-aln x(a≥0)的单调性. 解含参数的函数的单调性问题常见的分类讨论标准: (1)方程f'(x)=0是否有根; (2)若f'(x)=0有根,求出根后判断其是否在定义域内; (3)若根在定义域内且有两个,比较根的大小分类讨论. 教师点拨 小组互助 变式5 已知函数f(x)= x2+aln x(a∈R,a≠0),求f(x)的单调区间. 课后反思 1.函数单调性与导数符号的关系是： 2.判定函数单调性的步骤： ①求出函数的定义域； ②求出函数的导数f (x)； ③判定导数f (x)的符号； ④确定函数f(x)的单调性. 变式1 求证:函数f(x)=ex+在区间(0,+∞)内是增函数. 变式2 设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　) ∪(2,3) ∪(1,2) （1）函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为. $