精品解析：广东广州市天河区2026届普通高中毕业班适应性训练（二模）数学试卷

2026届普通高中毕业班适应性训练 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校､班级､姓名､座位号和考号 填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分､在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解分式不等式得出集合，再应用交集定义计算求解. 【详解】集合，则. 故选：C. 2. 在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（　　） A. 56 B. C. 70 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二项式的展开式即可求解. 【详解】第4项的二项式系数为． 3. 已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算法则，求出复数z，即可求解. 【详解】由，得， 所以复数z在复平面内对应的点为， 所以对应点位于第三象限. 故选:C. 【点睛】本题考查复数的除法运算，以及复数的几何意义，属于基础题. 4. 已知等比数列满足，，记为其前项和，则（ ） A. 4 B. 6.5 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项可知，结合可得，即可得结果. 【详解】因为数列为等比数列，且，则， 又因为，即， 可得，可得， 所以. 5. 函数是奇函数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数定义：若是奇函数，则对任意都满足，且定义域为时必有. 【详解】代入得，因此， 代入得，结合即， 整理得对任意恒成立，平方化简得对任意恒成立，因此， 因此是奇函数等价于且，即， 反之若，必有， 此时确实是奇函数，故充要条件为. 6. 在中，已知，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据数量积公式确定的形状，再代入投影向量的公式. 【详解】两边平方得，即， 又两边平方得， 即，即， 如图，，向量与的夹角为， 所以向量在上的投影向量为. 7. 已知点在圆上，点，当最大时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】数形结合确定当最大时点位置，即可利用两角和的余弦公式求值. 【详解】设圆的圆心为，则，半径， 过作圆的切线，设交点为，如图， 由图可知，当与圆相切，且点在第四象限时，最大， 因为，所以, 又，所以, 所以. 8. 在锐角中，角所对的边分别为且，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角公式可得，根据一元二次方程有解，可由判别式，结合三角函数的性质可得，，即可根据正弦定理求解. 【详解】由可得， 因此， 由于， 故，即，又，故， 结合为锐角，则，故,且，此时， 因此且，故， 又，则， 故， 由于，则，， 故. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为普及法制教育，对50名市民开展了一次法律知识竞赛答题活动，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖. 成绩/分 92 93 95 96 98 99 100 人数 5 7 8 14 13 下列结论正确的是（ ） A. 众数为99 B. 极差为9 C. 分位数为96 D. 平均数大于中位数 【答案】AC 【解析】 【详解】根据题意，总共有50名市民， 所以成绩为或的共人， 则99分有14人，众数为99，A正确； 极差为，B错误； 因为，则第13个数分值为96，C正确； 中位数是第25和第26两个数的平均数，由于这两个数都是99， 所以中位数为99， 设成绩为的有个人， 平均数为 ， 所以平均数小于中位数，D错误. 10. 如图，在正四面体中，点分别为各棱的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 直线与直线所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，取中点，连接，利用线面垂直的判定定理得平面，再由性质可得；对于B，利用等腰三角形性质和中位线性质得，同理，从而可得线面垂直；对于C，设正四面体棱长为1，顶点在平面上的射影为点，则为的重心，分别求出体积即可判断；对于D，为直线与直线所成的角，利用余弦定理求解. 【详解】对于A，取中点，连接， 在正四面体中，根据题意，可得， 所以，同理， 又平面， 所以平面，平面，则， 又，所以，A正确； 对于B，根据正四面体的性质可知，则，又， 所以，同理， 又平面， 所以平面，B正确； 对于C，设正四面体棱长为1， 顶点在平面上的射影为点，则为的重心， 所以， 所以， ， 所以，C错误； 对于D，因为， 所以为直线与直线所成的角， 则，D正确. 11. 对于函数，下面说法正确的有（ ） A. 当时，函数有两个零点 B. 当时，函数不存在极值点 C. 当最小值为时， D. 当时，函数在区间单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AB，利用导数分析极值点及零点即可判断；对于C，由最值可确定，进而得到，结合最值即可判断；对于D，对求导，利用导数确定单调性即可． 【详解】函数的定义域为，， 当时，，解得， 不妨取，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ， 易知当时，函数，此时函数只有一个零点，故A错误； 当时，若，因，则，，则在上单调递增，无极值点； 若，因，则,，则在上单调递减，无极值点； 综上，当时，函数不存在极值点，故B正确； 由A项分析可知，当最小值为时，有， ，即， 令，则，即， 令，， 当时，,当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，的解为， 即，，此时，即，故C正确； 当时，函数 由，可得，即函数的定义域为， 则，因， 则， 故当时，，即在上单调递减，故D正确． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则的渐近线为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由双曲线方程为，知：双曲线的实轴长为，虚轴长为， 由题意得：，解得， 双曲线的渐近线方程为， 因此，的渐近线为. 13. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由在区间上单调递增，得到在区间上恒成立，从而得到在区间内恒成立，即，计算得解. 【详解】，， 在区间上单调递增， 在区间上恒成立， 在区间上恒成立， ，在区间内恒成立， ，， 的取值范围为. 14. 我们把经过同一点且半径相等的圆称为共点等圆.在平面上过同一点有个共点等圆，其中任何两个圆都有两个不同的交点，但任何三个圆除点外无其他公共点，记这个共点等圆共有个交点，若，则__________. 【答案】21 【解析】 【详解】过同一点有个等圆，当增加第个圆时， 第个圆与前个圆各有一个除外的交点， 因此递推关系为：， 当时，三个等圆过同一点， 每两个圆有个交点，但是公共点， 所以除外，每两个圆有个交点， 三个圆中两两组合的数量为， 因此， 由递推关系式可得： ， ， ， 将这些式子累加得： ， 所以， 又因为，所以，整理得：， 因式分解得：，解得：或， 又， 所以. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的周期为，且. （1）求函数的解析式； （2）比较与的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据周期求，再根据对称性求，求函数的解析式； （2）代入函数解析式，结合诱导公式化简，再根据单调性比较大小. 【小问1详解】 由条件可知，，得， 可知，函数关于直线对称， 所以，得, 因为，所以时，， 所以； 【小问2详解】 ， ， 在区间单调递增，所以，则， 所以. 16. 某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为. 2 5 6 8 9 16 20 21 28 10.96 19.24 22 27.52 30.28 （1）求的值； （2）现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望； （3）已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好. 【答案】（1） （2） 0 1 2 （3）经验回归方程的拟合效果不良好 【解析】 【分析】（1）求出根据回归直线必过样本中心点求解即可； （2）可能取值为，求出对应概率，进而得到分布列和期望； （3）求出代入公式，即可得到答案. 【小问1详解】 ， ， 因为，即， 解得. 【小问2详解】 5组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值， 所以可能取值为， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 期望. 【小问3详解】 ， ， 所以经验回归方程的拟合效果是不良好. 17. 已知函数. （1）直线过点且与曲线相切，求直线方程； （2）已知在导函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切.若，且，求数列的前项之和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设切点坐标为，根据导数的几何意义可得切线方程为，代入点可得，即可得结果； （2）根据题意可知的圆心和半径，结合两圆外切可知数列是以首项，公差的等差数列，结合裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 因为，则， 设切点坐标为，则切线斜率， 可得切线方程为，即， 代入点可得，解得， 所以直线方程为. 【小问2详解】 由（1）可知：，则， 由题意可知：的圆心为，半径， 因为与外切，则， 可得，且， 整理可得，即， 可知数列是以首项，公差的等差数列， 则，即， 则， 所以. 18. 如图.底面为平行四边形的直四棱柱，点为边上的中点，点是空间一点. （1）证明：平面； （2）若平面与平面所成角的余弦值为，求； （3）若，直线平面，则在平面内是否存在点，使得的长为定值，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）不存在 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理进行证明. （2）以为基底，利用空间向量表示平面与平面所成角的余弦值，列式可求. （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量探索的存在性. 【小问1详解】 连接，交于点，连接.如图： 因为四棱柱为直四棱柱，所以四边形为矩形， 所以为中点，又为中点， 所以，又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 以为基底，设， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 令，则，所以. 设平面的法向量为， 又，. 由， 所以. 令，则，. 所以. 又. ， . 由， 所以， 所以或（舍去）. 所以. 【小问3详解】 因为三棱柱为直四棱柱，且，故可以为原点，所在的射线为轴，建立如图空间直角坐标系. 则，，，. 设，则，，， 因为平面，所以. 整理得，即在以为球心，为半径的球上，也在平面：上，其中平面的一个法向量， 要使得为定值，则， 由已知，由（2）得平面的法向量， 而，且点平面， 则平面， 则直线与平面无交点，故不存在点使得为定值. 19. 已知点为抛物线的焦点，点在上. （1）求的方程与点F坐标： （2）过点的直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线相交于两点. （i）若为线段的中点，求证：直线为抛物线的切线； （ii）若直线为抛物线的切线，过点作直线的垂线，垂足为，求的最大值. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）将点代入得到，从而得到抛物线的标准方程和焦点坐标； （2）（i）由过点的直线与抛物线相交于两点得到此直线一定存在斜率，设过点的直线方程为点斜式，代入抛物线得到关于的一元二次方程，设，根据韦达定理写出，结合中点坐标公式得到点的坐标，同时得到的坐标，求出，利用导数的几何意义求出在点处的切线的斜率，从而得到与切点为的斜率相等，故直线为抛物线的切线； （ii）由（i）知，当为抛物线的切线时，， ，求出，利用点斜式求出直线的方程，由过点作直线的垂线，垂足为，得到在直线上从而得到点的坐标，由得到，利用数量积求出的坐标，利用两点间距离公式求出通过构造函数，利用判别式法求值域即可得到的最大值. 【小问1详解】 点在，， ，； 点为抛物线的焦点，； 【小问2详解】 （i）过点的直线与抛物线相交于两点，此直线一定存在斜率， 设过点的直线方程为， 将代入，得到， 整理得到， 如图，设，则有， 为线段的中点，， ，， ， 在直线上，， ，，， 在上，，， ， ， ，，， 切点为，， 与切点为的斜率相等，直线为抛物线的切线； （ii）由（i）知，当为抛物线的切线时， ，， ，， 直线的方程为， 如图，作出符合题意的图形， 过点作直线的垂线，垂足为， 在直线上，，， ，，， ，， ，， ， ，， ，，， ，， 设，整理得到， 则，解得， 的最大值为，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届普通高中毕业班适应性训练 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校､班级､姓名､座位号和考号 填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分､在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（　　） A. 56 B. C. 70 D. 3. 已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知等比数列满足，，记为其前项和，则（ ） A. 4 B. 6.5 C. 8 D. 12 5. 函数是奇函数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在圆上，点，当最大时，则（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角所对的边分别为且，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为普及法制教育，对50名市民开展了一次法律知识竞赛答题活动，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖. 成绩/分 92 93 95 96 98 99 100 人数 5 7 8 14 13 下列结论正确的是（ ） A. 众数为99 B. 极差为9 C. 分位数为96 D. 平均数大于中位数 10. 如图，在正四面体中，点分别为各棱的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 直线与直线所成角的余弦值为 11. 对于函数，下面说法正确的有（ ） A. 当时，函数有两个零点 B. 当时，函数不存在极值点 C. 当最小值为时， D. 当时，函数在区间单调递减 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则的渐近线为__________. 13. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________. 14. 我们把经过同一点且半径相等的圆称为共点等圆.在平面上过同一点有个共点等圆，其中任何两个圆都有两个不同的交点，但任何三个圆除点外无其他公共点，记这个共点等圆共有个交点，若，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的周期为，且. （1）求函数的解析式； （2）比较与的大小. 16. 某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为. 2 5 6 8 9 16 20 21 28 10.96 19.24 22 27.52 30.28 （1）求的值； （2）现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望； （3）已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好. 17. 已知函数. （1）直线过点且与曲线相切，求直线方程； （2）已知在导函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切.若，且，求数列的前项之和. 18. 如图.底面为平行四边形的直四棱柱，点为边上的中点，点是空间一点. （1）证明：平面； （2）若平面与平面所成角的余弦值为，求； （3）若，直线平面，则在平面内是否存在点，使得的长为定值，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由. 19. 已知点为抛物线的焦点，点在上. （1）求的方程与点F坐标： （2）过点的直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线相交于两点. （i）若为线段的中点，求证：直线为抛物线的切线； （ii）若直线为抛物线的切线，过点作直线的垂线，垂足为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $