2026年中考数学一轮复习 基础、中档题组专项练二（五大题型）

基础、中档题组专项练（五大题型） 题型一、计算题 1.(1)计算： ； (2)化简： ． 2.（1）计算：  ； （2）化简：  ． 3.（1）计算：2－1－(3－π)0＋ ； （2）化简：( －1)÷ . 4.(1)计算：(－2)2＋( －1)0－| －2|； (2)化简：( －1)÷ . 5.以下是小飞同学进行整式化简的过程，请根据下列化简步骤回答问题： 化简：3xy－2x2－4(xy－x2) 原式＝3xy－2x2－(4xy－4x2)第一步　　　　　　 ＝3xy－2x2－4xy－4x2第二步　　　　　　 ＝－xy－6x2第三步　　　　　　 (1)①以上步骤中，第一步依据的运算律是________； A. 加法结合律B. 加法交换律C. 乘法分配律 ②从第________步开始出现错误，出现错误的原因是_______； (2)请写出正确的化简流程，并计算当x＝2，y＝－1时该整式的值． 题型二、统计 6.随着春节成功列入世界非物质文化遗产名录，全球范围内对春节文化的关注度日益提升．某校为了评估学生对春节文化知识的掌握程度，举行春节文化知识竞赛，七，八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，根据这10人的决赛成绩，制作了统计图和数据分析表． 平均数 中位数 众数 方差 七年级 a 85 85 c 八年级 86 b 100 160 根据以上信息，解答下面的问题： （1）              ，              ，              ． （2）分析以上数据，你认为该校七、八年级代表队中哪个年级学生掌握春节文化知识较好？请说明理由(写出一条即可)． 7.某校为了了解九年级600名同学对共青团知识的掌握情况，对他们进行了共青团知识测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，记分数为x，过程如下： 【收集数据】 甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100 乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90，93 【整理数据】 班级 75≤x＜80 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100 甲 1 1 3 4 6 乙 1 2 3 5 4 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 a 93 41.1 乙 90 87 b 50.2 【应用数据】 （1）根据以上信息，可以求出：a＝      分，b＝      分； （2）若规定测试成绩90分及以上为优秀，请估计参加本次测试的600名学生中成绩为优秀的有多少人； （3）根据以上数据，你认为哪个班本次测试的整体成绩较好？请说明理由（理由不少于两条）． 8.随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如DeepSeek、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从A，B两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对A，B两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．语言交互能力得分(满分10分) A：5  6  6  8  8  8  8  9  9  10 B：6  6  6  6  7  8  9  9  10  10 b．数据分析能力得分(如图)(满分10分) c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表     产品 统计量 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 A m 8 8 7.0 P   B 7.7 7.5 n 6.9 7   根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：m＝            ，n＝            ，p＝            ，                (填“＞”或“＜”)； (2)通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，至少从两个角度说明理由； (3)你认为小罗还需要了解哪些信息，举例说明(列出一条即可)． 9. (2025濮阳一模节选)在全球半导体竞争中，内存芯片领域是关键战场，国产DDR5内存的高良品率领先业界.质检部门抽查了甲、乙两家芯片制造企业的良品率(说明：良品率≥70％为合格，良品率＜70％为不合格)，整理了最近20批次的数据.分为6组(良品率用x表示)： A组(0％≤x＜65％)、B组(65％≤x＜70％)、C组(70％≤x＜75％)、D组(75％≤x＜80％)、E组(80％≤x＜85％)、F组(85％≤x≤90％). 部分统计信息如下： 甲、乙制造厂20批次芯片良品率统计表 制造厂 甲 乙 平均数 72.4％ 78.2％ 众数 68％ c 中位数 d 77％ 方差(×103) 5.74 4.17 甲制造厂被抽取的20批芯片良品率频数 分布直方图 第9题图① 乙制造厂被抽取的20批芯片良品率扇形统计图 第9题图② 已知： 甲厂C组(70％－75％)的良品率数据为：70％，71％，72％，73％，74％； 乙厂D组(75％－80％)的良品率数据为：76％，76％，76％，76％，76％，78％. 根据以上信息解答下列问题： (1)扇形统计图中，D组数据对应的圆心角为 度，表中c的值为 ％，d的值为 ％； (2)对比甲、乙两厂的数据，判断哪家制造厂的芯片质量更高，并说明理由(至少两条). 综合训练 10. (2025山西)近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵.为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查(调查问卷如下图)，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图(不完整).请认真阅读上述信息，回答下列问题： 第10题图 (1)扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 °；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 人，并补全条形统计图； (2)若该校共有1 500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； (3)假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议. 题型三、尺规作图 11.如图，在△ABC中，AB＝AC，AG为△ABC的外角∠BAE的平分线，BF⊥AG，垂足为F，点D为BC上一点，连接DF，交AB于点O． （1）在不添加新的线的前提下，请增加一个条件：            ，使得四边形AFBD为矩形，并说明理由； （2）若四边形AFBD为矩形，请用尺规作图的方法作一个菱形ABPC，使BC为菱形的一条对角线．（保留作图痕迹，不写作法） 12.如图，在△ABC中，AB＝AC． (1)若以点A为圆心的圆与边BC相切于点D，请在图中作出点D；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若该圆与边AC相交于点E，连接DE，点为该圆上任意一点(不与点D、点E重合)，连接EF、DF，求证：∠CDE＝∠F． 13.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°． (1)尺规作图：请在图①的△ABC内作一点P，使点P在以BC为直径的圆上，且点P到AB，BC的距离相等；(请保留作图痕迹，写出必要的文字说明) (2)在(1)的条件下，若AB＝4，BC＝2，求直径BC、弦BP、 围成的封闭图形的面积．(如需画草图，请使用备用图) 14.如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC． （1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长． 15.如图是一张矩形纸片ABCD，对角线AC与BD相交于点O． (1)如图①中，在BC边上求作一点E，使得△CDE沿着DE折叠后，点C落在线段OC上；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)如图②中，在(1)的条件下，点C的对应点为点F，若OF＝AB，求 的值． 题型四、方程、函数的实际应用 16.为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知购买3个足球和2个篮球共需460元；购买1个足球比购买1个篮球多花20元． (1)求足球和篮球的单价分别是多少元？ (2)学校准备购买这两种球共100个，要求篮球数量不超过足球数量的3倍，请设计最省钱的购买方案； (3)在(2)设计的方案下，学校购买时正好赶上商场店庆，商品进行折扣销售，学校共付了6800元，如果两种球折扣相同，求店庆期间商场的折扣． 17.一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利情况如表所示： 销售方式 粗加工后销售 精加工后销售 每吨获利（元） 1000 2000 已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完． （1）如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？ （2）若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？此时如何分配加工时间？ 18.在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车和2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． （1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； （2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车共100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购进中级型汽车的数量不低于25辆时，100辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆才能使W最大？W最大为多少万元？ 19.为增强体育锻炼，提高群众身体素质，阳光社区申请了专项资金，准备购买A，B两种体育锻炼器材，安装在后山公园，用于社区居民锻炼身体．已知每套A种器材价格比B种器材多200元，每套A种器材需占地5m2，每套B种器材需占地4m2，购买3套A种器材和5套B种器材共需15000元． （1）A，B两种体育锻炼器材的单价分别是多少元？ （2）阳光社区申请到专项资金50000元，购买20套A，B两种体育锻炼器材，经预算，安装前期准备工程的费用不少于专项资金的四分之一，安装这20套体育锻炼器材占地的最大面积是多少平方米？ 20.2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相.第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生.已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元. (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元? (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案? (3)设学校投入资金W元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少?最少资金是多少元? 题型五、反比例函数综合题 21.如图，小郑用等腰三角形ABC和矩形BCDE拼成了一个“笔尖”图案（五边形ABEDC），在平面直角坐标系中，点A落在x轴上，BC落在y轴上，AB=AC，反比例函数y= （k≠0）的图象过点D和AB的中点F（2  ，2）. （1）求反比例函数的表达式； （2）求BE的长. 22.如图①，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(－4，0)和(0，－2)，现将线段AB平移得到线段DC，已知C，D两点的坐标分别为(6，m)和(n，p)． (1)直接写出n的值； (2)如图②，若反比例函数y＝ (x＞0)的图象同时经过C，D两点． ①求该反比例函数的解析式； ②连接AD，BC，BC与x轴交于点E，求点E到AD所在直线的距离． 23.如图，等腰直角三角形ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，顶点C在反比例函数y= （x＞0）的图象上，且AC⊥x轴，已知∠ABC=90°，AB=BC，S△ABC=4. (1)求该反比例函数的表达式； (2)在反比例函数y= （x＞0）的图象上是否存在点N，使四边形ABCN是正方形?若存在，请加以说明，并求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.  24.如图，反比例函数y=- 的图象与经过原点的直线y=kx+a交于A(b，2)，B两点. (1)填空：a=            ，b=            ，点B的坐标为            . (2)直接写出不等式- ＞kx+a的解集. (3)以AB为边在AB上方作等边三角形ABC，求点C的坐标. 25.如图，已知反比例函数  的图象经过点A（4，2），过点A作AC⊥y轴于点C，点B为该反比例函数图象上的一点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD，直线BC与x轴的负半轴交于点E． （1）求反比例函数表达式； （2）若BD＝2OC，判断四边形ACED的形状，并说明理由． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 基础、中档题组专项练（五大题型） 题型一、计算题 1.(1)计算： ； (2)化简： ． 解：(1)原式＝－1+2 9                   ＝－10+2 ； (2)原式 •         •           •          ＝－x(x+1)       ＝－x2－x． 2.（1）计算：  ； （2）化简：  ． 解：（1）原式    ； （2）原式  =  ． 3.（1）计算：2－1－(3－π)0＋ ； （2）化简：( －1)÷ . (1)原式＝ －1＋ ＝ ； (2)原式＝ · ＝ · ＝ . 4.(1)计算：(－2)2＋( －1)0－| －2|； (2)化简：( －1)÷ . 解：(1)原式＝4＋1－(2－ ) ＝5－2＋ ＝3＋ ； (2)原式＝ ÷ ＝ · ＝ . 5.以下是小飞同学进行整式化简的过程，请根据下列化简步骤回答问题： 化简：3xy－2x2－4(xy－x2) 原式＝3xy－2x2－(4xy－4x2)第一步　　　　　　 ＝3xy－2x2－4xy－4x2第二步　　　　　　 ＝－xy－6x2第三步　　　　　　 (1)①以上步骤中，第一步依据的运算律是________； A. 加法结合律B. 加法交换律C. 乘法分配律 ②从第________步开始出现错误，出现错误的原因是_______； (2)请写出正确的化简流程，并计算当x＝2，y＝－1时该整式的值． (2)3xy－2x2－4(xy－x2) ＝3xy－2x2－(4xy－4x2) ＝3xy－2x2－4xy＋4x2 ＝－xy＋2x2. 当x＝2，y＝－1时，原式＝－2×(－1)＋2×22＝10. 题型二、统计 6.随着春节成功列入世界非物质文化遗产名录，全球范围内对春节文化的关注度日益提升．某校为了评估学生对春节文化知识的掌握程度，举行春节文化知识竞赛，七，八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，根据这10人的决赛成绩，制作了统计图和数据分析表． 平均数 中位数 众数 方差 七年级 a 85 85 c 八年级 86 b 100 160 根据以上信息，解答下面的问题： （1）              ，              ，              ． （2）分析以上数据，你认为该校七、八年级代表队中哪个年级学生掌握春节文化知识较好？请说明理由(写出一条即可)． 解：（1）85；80；70； 【解法提示】  ，由图可知，  . （2）七年级学生掌握春节文化知识较好． 理由：①七年级和八年级的平均数接近，但七年级的中位数大于八年级的中位数，∴七年级学生掌握春节文化知识较好； ②七年级的方差小于八年级的方差，∴七年级学生掌握春节文化知识较好． 7.某校为了了解九年级600名同学对共青团知识的掌握情况，对他们进行了共青团知识测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，记分数为x，过程如下： 【收集数据】 甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100 乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90，93 【整理数据】 班级 75≤x＜80 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100 甲 1 1 3 4 6 乙 1 2 3 5 4 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 a 93 41.1 乙 90 87 b 50.2 【应用数据】 （1）根据以上信息，可以求出：a＝      分，b＝      分； （2）若规定测试成绩90分及以上为优秀，请估计参加本次测试的600名学生中成绩为优秀的有多少人； （3）根据以上数据，你认为哪个班本次测试的整体成绩较好？请说明理由（理由不少于两条）． 解：（1）100，91； 【解法提示】在78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100这组数据中，100出现的次数最多，∴a＝100；乙班15名学生测试成绩中，中位数是第8个数，即为出现在90≤x＜95这一组中的91，∴b＝91． （2）根据题意得：600 380（人）． 答：估计参加本次测试的600名学生中成绩为优秀的有380人； （3）甲班本次测试的整体成绩较好．理由如下： ∵甲班学生测试成绩的平均数92高于乙班学生测试成绩的平均数90，且甲班方差41.1＜乙班方差50.2， ∴甲班本次测试的整体成绩较好（说法不唯一，合理即可）． 8.随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如DeepSeek、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从A，B两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对A，B两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．语言交互能力得分(满分10分) A：5  6  6  8  8  8  8  9  9  10 B：6  6  6  6  7  8  9  9  10  10 b．数据分析能力得分(如图)(满分10分) c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表     产品 统计量 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 A m 8 8 7.0 P   B 7.7 7.5 n 6.9 7   根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：m＝            ，n＝            ，p＝            ，                (填“＞”或“＜”)； (2)通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，至少从两个角度说明理由； (3)你认为小罗还需要了解哪些信息，举例说明(列出一条即可)． 解：(1)7.7，6，7.5，＞； 【解法提示】A人工智能产品语言交互能力得分的平均数为 7.7，∴m＝7.7，B人工智能产品语言交互能力得分的10个数据中，6分最多，∴n＝6，A人工智能产品数据分析能力得分的10个数据由小到大排列的第5个数据为7分，第6个数据为8分，∴p＝(7+8)÷2＝7.5，从折线统计图明显可以看出A人工智能产品数据分析能力得分波动大于B人工智能产品数据分析能力得分，∴ . (2)我认为小罗应该选择A，理由如下： 从语言交互能力得分来看，A和B的平均数一样，但是A的中位数和众数均高于B； 从数据分析能力得分来看，A的平均数高于B，且A的中位数也大于B；(理由合理即可) (3)还需要了解两个人工智能产品的安全性、准确性、运算速度与效率等方面．(答案不唯一) 9. (2025濮阳一模节选)在全球半导体竞争中，内存芯片领域是关键战场，国产DDR5内存的高良品率领先业界.质检部门抽查了甲、乙两家芯片制造企业的良品率(说明：良品率≥70％为合格，良品率＜70％为不合格)，整理了最近20批次的数据.分为6组(良品率用x表示)： A组(0％≤x＜65％)、B组(65％≤x＜70％)、C组(70％≤x＜75％)、D组(75％≤x＜80％)、E组(80％≤x＜85％)、F组(85％≤x≤90％). 部分统计信息如下： 甲、乙制造厂20批次芯片良品率统计表 制造厂 甲 乙 平均数 72.4％ 78.2％ 众数 68％ c 中位数 d 77％ 方差(×103) 5.74 4.17 甲制造厂被抽取的20批芯片良品率频数 分布直方图 第9题图① 乙制造厂被抽取的20批芯片良品率扇形统计图 第9题图② 已知： 甲厂C组(70％－75％)的良品率数据为：70％，71％，72％，73％，74％； 乙厂D组(75％－80％)的良品率数据为：76％，76％，76％，76％，76％，78％. 根据以上信息解答下列问题： (1)扇形统计图中，D组数据对应的圆心角为 度，表中c的值为 ％，d的值为 ％； (2)对比甲、乙两厂的数据，判断哪家制造厂的芯片质量更高，并说明理由(至少两条). 解：(1)108，76，70.5； 【解法提示】D组数据对应的圆心角为360°×30％＝108°；乙制造厂被抽取的20批次芯片中：A组有20×5％＝1个批次，B组有20×5％＝1个批次，C组有20×20％＝4个批次，D组有20×30％＝6个批次，E组有20×20％＝4个批次，F组有20×20％＝4个批次，其中乙制造厂D组的良品率中，良品率为76％的有5个批次，故乙制造厂的20批次芯片良品率的众数是76％；结合频数分布直方图和甲制造厂C组的良品率可得，甲制造厂的20批次芯片良品率的中位数是＝70.5％. (2)乙制造厂的芯片质量更高， 理由：乙制造厂芯片良品率的平均数比甲制造厂高，乙制造厂芯片良品率的方差比甲制造厂小，故乙制造厂的芯片质量更高.(答案不唯一，合理即可) 综合训练 10. (2025山西)近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵.为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查(调查问卷如下图)，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图(不完整).请认真阅读上述信息，回答下列问题： 第10题图 (1)扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 °；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 人，并补全条形统计图； (2)若该校共有1 500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； (3)假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议. 解：(1)36；135；补全条形统计图如解图； 用电动自行车或私家车接送 孩子的家长人数条形统计图 第10题解图 (2)1 500×30％＝450(人)， 答：估计用私家车接送孩子的家长有450人； (3)原因：①由扇形统计图可知，接送孩子的电动自行车和私家车的比例较大，为45％＋30％＝75％，容易造成放学后校门口交通拥堵；②由条形统计图可知，在12：00～12：10时段，接送孩子的电动自行车和私家车的数量较多，容易造成放学后校门口交通拥堵等. 建议：①建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子；②建议用电动自行车和私家车接送孩子的家长，在条件允许的情况下避开12：00～12：10时段接送孩子等.(答案不唯一，原因及建议各写出一条即可) 题型三、尺规作图 11.如图，在△ABC中，AB＝AC，AG为△ABC的外角∠BAE的平分线，BF⊥AG，垂足为F，点D为BC上一点，连接DF，交AB于点O． （1）在不添加新的线的前提下，请增加一个条件：            ，使得四边形AFBD为矩形，并说明理由； （2）若四边形AFBD为矩形，请用尺规作图的方法作一个菱形ABPC，使BC为菱形的一条对角线．（保留作图痕迹，不写作法） 解：（1）AD⊥BC（答案不唯一）， 【解法提示】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠EAB＝∠ABC+∠C，AG平分∠EAB，∴∠BAG＝∠ABC，∴AG∥BC，∵BF⊥AG，∴BF⊥BC，∵AD⊥BC，∴∠AFB＝∠FBD＝∠ADB＝90°，∴四边形AFBD是矩形. （2）如图，四边形ABPC即为所求． 12.如图，在△ABC中，AB＝AC． (1)若以点A为圆心的圆与边BC相切于点D，请在图中作出点D；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若该圆与边AC相交于点E，连接DE，点为该圆上任意一点(不与点D、点E重合)，连接EF、DF，求证：∠CDE＝∠F． 解：(1)如答案图①，点D即为所求； 答案图① (2)如答案图②，延长DA，与⊙A交于点G，连接GE， ∵BC是⊙A的切线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CDE+∠ADE＝90°， ∵DG为直径， ∴∠DEG＝90°， ∴∠G+∠ADE＝90°， ∴∠G＝∠CDE， ∵∠G＝∠F， ∴∠CDE＝∠F． 答案图② 13.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°． (1)尺规作图：请在图①的△ABC内作一点P，使点P在以BC为直径的圆上，且点P到AB，BC的距离相等；(请保留作图痕迹，写出必要的文字说明) (2)在(1)的条件下，若AB＝4，BC＝2，求直径BC、弦BP、 围成的封闭图形的面积．(如需画草图，请使用备用图) 解：(1)如答案图①，点P即为所作； 答案图① (2)如答案图②，连接OP，过点P作PD⊥BC于点D， ∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝2， ∴cos∠ABC  ， ∴∠ABC＝60°． 由(1)知，OB＝OC＝OP＝1，BP为∠ABC的平分线， ∴∠OBP  ∠ABC＝30°， ∴∠COP＝2∠CBP＝60°， ∴DP＝OP•sin∠COP＝1  ， ∴直径BC、弦BP、  围成的封闭图形的面积为S△BOP+S扇形COP  1 ． 答案图② 14.如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC． （1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长． 解：（1）如解图，线段CD即为所求； （2）如解图，连接BD，OC交于点E， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝ ＝6， ∵BC＝CD， ∴ ＝ ， ∴OC⊥BD于点E， ∴BE＝DE， 设OE为x， ∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2， ∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2， 解得x＝ ， ∵BE＝DE，BO＝OA， ∴AD＝2OE＝ ， ∴四边形ABCD的周长为6+6+10+ ＝ ． 解图 15.如图是一张矩形纸片ABCD，对角线AC与BD相交于点O． (1)如图①中，在BC边上求作一点E，使得△CDE沿着DE折叠后，点C落在线段OC上；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)如图②中，在(1)的条件下，点C的对应点为点F，若OF＝AB，求 的值． (1)解：如答案图，E是所求作的点； (2)解：如答案图，连接DF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC＝OD，AB＝CD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵OF＝AB， ∴CD＝OF， 由折叠得DC＝DF， ∴∠DCF＝∠DFC， ∴∠OCD＝∠DCF＝∠ODC＝∠DFC， ∴△OCD∽△DCF， ∴ ， 设CF＝x，CD＝y，则有OC＝x+y， ∴ ， 整理得x2+xy－y2＝0， 解得 ， (舍去)， ∴ ， ∴ ． 答案图 题型四、方程、函数的实际应用 16.为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知购买3个足球和2个篮球共需460元；购买1个足球比购买1个篮球多花20元． (1)求足球和篮球的单价分别是多少元？ (2)学校准备购买这两种球共100个，要求篮球数量不超过足球数量的3倍，请设计最省钱的购买方案； (3)在(2)设计的方案下，学校购买时正好赶上商场店庆，商品进行折扣销售，学校共付了6800元，如果两种球折扣相同，求店庆期间商场的折扣． 解：(1)设足球的单价是x元，篮球的单价是y元， 依题意得： ，解得 ， 答：足球的单价是100元，篮球的单价是80元； (2)设购买m个足球，则购买(100－m)个篮球， 依题意得100－m≤3m，解得m≥25. 设学校购买100个球所需费用为w元，则w＝100m＋80(100－m)＝20m＋8000. ∵20＞0，∴w随m的增大而增大， ∴当m＝25时，w取得最小值， ∴最省钱的购买方案为足球25个，篮球75个； (3)当m＝25时，w＝20×25＋8000＝8500， 设店庆期间商场的折扣是a折，则8500× ＝6800，解得a＝8， ∴店庆期间商场的折扣是8折． 17.一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利情况如表所示： 销售方式 粗加工后销售 精加工后销售 每吨获利（元） 1000 2000 已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完． （1）如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？ （2）若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？此时如何分配加工时间？ 解：（1）设应安排x天进行精加工，y天进行粗加工， 根据题意得  ， 解得  ， 答：应安排4天进行精加工，8天进行粗加工． （2）设精加工m吨，则粗加工（140﹣m）吨，根据题意得W＝2000m+1000（140﹣m）＝1000m+140000， ∵要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完， ∴  ≤10，解得m≤5， ∴0≤m≤5， 又∵在一次函数W＝1000m+140000中，k＝1000＞0， ∴W随m的增大而增大， ∴当m＝5时，W最大＝1000×5+140000＝145000， ∴精加工天数为5÷5＝1，粗加工天数为（140﹣5）÷15＝9， ∴安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为145000元． 18.在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车和2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． （1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； （2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车共100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购进中级型汽车的数量不低于25辆时，100辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆才能使W最大？W最大为多少万元？ 解：（1）设中级型汽车的进货单价为x万元，紧凑型汽车的进货单价为y万元， 由题意得 ， 解得 ， 答：中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车的进货单价为16万元； （2）设购进中级型汽车a辆，则购进紧凑型汽车(100－a)辆， W＝(27－24)a＋(20－16)(100－a)＝－a＋400， 由题意得a≥25， ∵－1＜0， ∴W随a的增大而减小， ∴当a＝25时，W取最大值，最大值为－25＋400＝375， 此时，紧凑型汽车的数量为100－a＝100－25＝75（辆）， 答：该经销商应购进中级型汽车25辆，紧凑型汽车75辆，才能使W最大，W最大为375万元． 19.为增强体育锻炼，提高群众身体素质，阳光社区申请了专项资金，准备购买A，B两种体育锻炼器材，安装在后山公园，用于社区居民锻炼身体．已知每套A种器材价格比B种器材多200元，每套A种器材需占地5m2，每套B种器材需占地4m2，购买3套A种器材和5套B种器材共需15000元． （1）A，B两种体育锻炼器材的单价分别是多少元？ （2）阳光社区申请到专项资金50000元，购买20套A，B两种体育锻炼器材，经预算，安装前期准备工程的费用不少于专项资金的四分之一，安装这20套体育锻炼器材占地的最大面积是多少平方米？ 解：（1）设A种体育锻炼器材的单价是x元，B种体育锻炼器材的单价是y元， 根据题意得  ， 解得  ． 答：A种体育锻炼器材的单价是2000元，B种体育锻炼器材的单价是1800元； （2）设购买m套A种体育锻炼器材，则购买(20－m)套B种体育锻炼器材， 根据题意得50000－[2000m＋1800(20－m)]≥50000  ， 解得m  ， 设安装这20套体育锻炼器材占地的面积是w平方米，则w＝5m＋4(20－m)， 即w＝m＋80． ∵1＞0， ∴w随m的增大而增大， 又∵m  ，且m为正整数， ∴当m＝7时，w取得最大值，最大值为7＋80＝87(平方米)． 答：安装这20套体育锻炼器材占地的最大面积是87平方米． 20.2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相.第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生.已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元. (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元? (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案? (3)设学校投入资金W元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少?最少资金是多少元? 解：(1)设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要x元和y元，由题意，得 ，解得  ； 答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要88元和68元； (2)设购买“蜀宝”m个，则购买“锦仔”(30-m)个， ∴2 160≤88m+68(30-m)≤2 200， 解得6≤m≤8， ∴m=6,7,8，30-m=24,23,22； ∴共有3种方案： 方案一：购买“蜀宝”6个，“锦仔”24个； 方案二：购买“蜀宝”7个，“锦仔”23个； 方案三：购买“蜀宝”8个，“锦仔”22个； (3)由题意，得：W=88m+68(30-m)=20m+2 040， ∴W随着m的增大而增大， ∴当m=6时，即方案一需要的资金最少，最少资金是20×6+2 040=2 160(元). 答：购买“蜀宝”6个，“锦仔”24个，需要的资金最少，最少资金是2 160元. 题型五、反比例函数综合题 21.如图，小郑用等腰三角形ABC和矩形BCDE拼成了一个“笔尖”图案（五边形ABEDC），在平面直角坐标系中，点A落在x轴上，BC落在y轴上，AB=AC，反比例函数y= （k≠0）的图象过点D和AB的中点F（2  ，2）. （1）求反比例函数的表达式； （2）求BE的长. 解：（1）∵反比例函数y= 的图象过点F（2 ，2）， ∴k=2 ×2=4 ， ∴反比例函数的表达式是y= ； （2）如答案图，过点F作FH⊥x轴于点H，则FH∥OB，FH=2， ∵F为AB的中点， ∴FH为△ABO的中位线， ∴OB=2FH=4. ∵AB=AC，OA⊥BC， ∴O为边BC的中点， ∴OC=OB=4， ∴点D的纵坐标为－4， 令y= =－4， 解得x=－ ， ∴CD= ， ∵四边形BCDE为矩形， ∴BE=CD= . 答案图 22.如图①，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(－4，0)和(0，－2)，现将线段AB平移得到线段DC，已知C，D两点的坐标分别为(6，m)和(n，p)． (1)直接写出n的值； (2)如图②，若反比例函数y＝ (x＞0)的图象同时经过C，D两点． ①求该反比例函数的解析式； ②连接AD，BC，BC与x轴交于点E，求点E到AD所在直线的距离． 解：(1)n＝2； (2)①由题意可得6m＝2p，由平移性质可知，p－m＝0－(－2)，即p－m＝2， 联立，得 ，解得 ，∴C(6，1)，D(2，3)，(4分)∴将C(6，1)代入y＝ ，解得k＝6，∴反比例函数的解析式为y＝ ； ②如解图，设AD交y轴于点M，连接ME， 由平移的性质可知，AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形， 设BC所在直线的解析式为y＝ax＋b(a≠0)，将B(0，－2)，C(6，1)代入， 得 ， 解得 ，∴BC所在直线的解析式为y＝ x－2. 将y＝0代入y＝ x－2中，得x＝4，∴E(4，0)， 同理可得AD所在直线的解析式为y＝ x＋2，将x＝0代入y＝ x＋2中，得y＝2，∴M(0，2)． 在Rt△OAM中， 由勾股定理得AM＝ ＝2 ， 设点E到AD所在直线的距离为h，∴在△AEM中，由等面积法，得 AE·OM＝ AM·h，∴ ×(4＋4)×2＝ ×2 h，解得h＝ ，∴点E到AD所在直线的距离为 . 23.如图，等腰直角三角形ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，顶点C在反比例函数y= （x＞0）的图象上，且AC⊥x轴，已知∠ABC=90°，AB=BC，S△ABC=4. (1)求该反比例函数的表达式； (2)在反比例函数y= （x＞0）的图象上是否存在点N，使四边形ABCN是正方形?若存在，请加以说明，并求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.  解：（1）过点C作CD⊥y轴于点D，则四边形OACD是矩形， ∴S矩形OACD=2S△ABC=8，∴k=8， 故反比例函数的表达式为y= (x＞0). （2）存在. 如解图，连接BN交AC于点E， 则EN=BE=CE=AE，BN⊥AC，∴BN//x轴. 设CE=m. ∵S△ABC=4， ∴ ×2m×m=4，∴m=2（负值已舍去）， ∴AE=2，BN=4，∴N(4，2). 对于y= ，当x=4时，y=2， 故点N在反比例函数y= (x＞0)的图象上， 故在反比例函数y= (x＞0)的图象上存在点N，使四边形ABCN是正方形，点N的坐标为(4，2). 解图 24.如图，反比例函数y=- 的图象与经过原点的直线y=kx+a交于A(b，2)，B两点. (1)填空：a=            ，b=            ，点B的坐标为            . (2)直接写出不等式- ＞kx+a的解集. (3)以AB为边在AB上方作等边三角形ABC，求点C的坐标. 解：(1)0，-3，(3，-2)； 【解法提示】∵直线y=kx+a经过原点，∴a=0.∵点A(b，2)在反比例函数y=-  的图象上，∴b=-  =-3，∵反比例函数y=-  的图象和直线y=kx+a均关于原点对称，∴点B与点A关于原点对称，∴B(3，-2). (2)-3＜x＜0或x＞3； (3)由题意得OA=OB. 如图，在等边三角形ABC中，∠CAB=60°，连接OC，则OC⊥AB， 过点C作CE⊥y轴于点E，过点A作AD⊥y轴于点D，则∠ADO=∠CEO=90°， ∴∠OAD+∠AOD=90°. 又∵∠EOC+∠AOD=90°， ∴∠OAD=∠EOC， ∴△ADO∽△OEC， ∴ = = =tan∠CAB= ， ∴EC=2 ，OE=3 ， ∴C(2 ，3 ).  25.如图，已知反比例函数  的图象经过点A（4，2），过点A作AC⊥y轴于点C，点B为该反比例函数图象上的一点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD，直线BC与x轴的负半轴交于点E． （1）求反比例函数表达式； （2）若BD＝2OC，判断四边形ACED的形状，并说明理由． 解：（1）把A（4，2），代入反比例函数的表达式得  ， 解得k＝8， ∴反比例函数表达式为  ； （2）∵反比例函数表达式为 ，AC⊥y轴，BD⊥x轴，A（4，2）， ∴AC＝4，OC＝2， ∴C（0，2）， ∵BD＝2OC， ∴BD＝2×2＝4， ∵BD⊥x轴， ∴点B的纵坐标为4，代入 中，得 ， 解得x＝2， ∴B（2，4）. 设直线BC的函数表达式为y＝ax+b（a   ）， 则有  ， 解得  ， ∴直线BC的函数表达式为y＝x+2， 令y＝0，得0＝x+2， 解得x＝ 2， ∴E（ 2，0）， ∴DE＝2 （ 2）＝4， ∵AC＝4，DE＝4，AC∥DE， ∴四边形ACED为平行四边形． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $