专题03 利用导数研究函数的极值与最值8大重点题型（专项训练）数学人教A版选择性必修第二册

专题03 利用导数研究函数的极值与最值 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、函数图象与极值（点）的关系（常考点） 1 题型二、求函数的极值（点）（不含参）（重点） 3 题型三、讨论含参函数的极值（点）（难点） 4 题型四、利用函数的极值（点）求参数（难点） 5 题型五、求函数的最值（不含参）（重点） 6 题型六、讨论含参函数的最值（难点） 7 题型七、利用函数的最值求参数（难点） 9 题型八、函数单调性、极值与最值的综合应用（难点） 10 B综合攻坚・能力跃升 12 题型一、函数图象与极值（点）的关系 1．已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（   ）    A．在上单调递减 B．在处取得最大值 C．在处取极小值 D．在上至少有一个零点 2．已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 3．如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（    ）． A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点 C．3个极大值点，无极小值点 D．2个极小值点，无极大值点 4．（多选）如图是导函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 5．（多选）已知定义在区间上的函数的导函数为的图象如图所示，则下列结论一定正确的是（    ） A．在上单调递增 B． C．有且仅有一个极大值 D．至多有3个零点 6．（多选）定义在上的可导函数的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数的最大值为 C．1是函数的极小值点 D．3是函数的极小值点 题型二、求函数的极值（点）（不含参） 7．若函数，则下列选项中，为函数的极大值点的是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知函数，则（   ） A． B．在上单调递减 C．当时， D．的最小值为 9．若是函数的极值点，则的极小值为_____. 10．已知函数． (1)若，求函数的极值； 11．已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间； (3)求的极值. 12．求下列函数的极值点和极值． (1)； (2)； (3)． 题型三、讨论含参函数的极值（点） 13．已知函数. (1)讨论函数极值点的个数，并说明理由； 14．设函数，曲线在点处的切线斜率为3． (1)求a的值； (2)设函数． （i）讨论极值点的个数； 15．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数． 16． （1）讨论函数 的单调性并求极值， 17．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线斜率； (2)讨论函数的极值； 题型四、利用函数的极值（点）求参数 18．已知函数，若为的极小值点，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或3 19．若函数有极值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（   ） A． B． C． D． 21．若函数存在极大值和极小值，则极小值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________． 23．已知函数有两个极值点，则的取值范围是____________. 题型五、求函数的最值（不含参） 24．已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 25．若函数在区间存在最大值，则可以取的值为（    ） A． B． C． D． 26．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减 C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值 27．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，下列选项中正确的有（   ） A．函数必有极值 B．函数必有最值 C．函数必有零点 D．函数必为非奇非偶函数 28．已知函数. (1)求的图象在处的切线方程； (2)求在区间上的最大值； 29．已知函数在处有极大值． (1)求实数a的值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 30．已知函数 (1)当时，求函数在上的值域； 31．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的取值范围． 题型六、讨论含参函数的最值 32．设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； 33．已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 34．已知函数. (1)讨论的最值； 35．已知函数，． (1)讨论函数的最值； 36．已知函数. (1)讨论的最值； 37．已知函数. （1）讨论函数的单调区间并求其最值； 题型七、利用函数的最值求参数 38．函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 39．若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 40．若函数的最小值为，则___________ 41．已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为______. 42．已知. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若的最小值为2，求实数的值； 43．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若有极值，且的最大值大于，求的取值范围； 44．已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 45．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数的值. 题型八、函数单调性、极值与最值的综合应用 46．已知函数定义在上，记的导函数为. (1)求的单调区间与最小值； (2)若，讨论函数的极值点个数； 47．已知函数，，其中为自然对数的底数. (1)若为的极值点，求的单调区间和最大值； (2)是否存在实数，使得的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 48．已知函数，当时，取得极值. (1)求a，b的值； (2)若函数在区间上的最大值为2，求k的取值范围. 49．已知函数． (1)当，时，求的单调区间及极值； (2)若，且的最大值小于，求a的取值范围； 50．设函数 (1)当时，求的极值； (2)已知，若单调递增，求的最大值； (3)已知，设为的极值点，求的最大值. 1．函数的极值点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 3．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数的极值点为c，e C．函数的极大值为 D．函数在上递增，在上递减 4．已知函数在上的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 5．（多选）若函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．的解集为 B．函数有一个极值点 C．函数的单调递增区间为 D．是函数的极小值点 6．（多选）已知函数，下列说法正确的有（    ） A．函数既有极大值又有极小值 B．函数的极小值点为1 C．若函数有二个零点，则或 D．若，则 7．若关于的不等式有解，则的取值范围是______. 8．已知函数.若对，都有恒成立，则的取值范围为______. 9．已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围为___________． 10．已知函数． (1)当时，求的极值； 11．已知函数 (1)求在区间的最大值和最小值； (2)讨论函数的单调区间与极值； 12．已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围． 13．已知函数. (1)求的单调区间与极值点； 14．已知函数，，. (1)讨论的单调性; (2)若与有相同的最小值，求实数的值; 15．已知函数. (1)若函数在上不单调，求实数a的取值范围； (2)求函数在上的最大值； 16．已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极大值点，求的取值范围； (3)若在上存在最大值，求的取值范围以及的值域. 17．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，，求实数λ的取值范围． 18．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)当时，若的最小值是，求的最大值. 19．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 20．已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最小值为，求实数的值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 利用导数研究函数的极值与最值 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、函数图象与极值（点）的关系（常考点） 1 题型二、求函数的极值（点）（不含参）（重点） 5 题型三、讨论含参函数的极值（点）（难点） 9 题型四、利用函数的极值（点）求参数（难点） 14 题型五、求函数的最值（不含参）（重点） 18 题型六、讨论含参函数的最值（难点） 23 题型七、利用函数的最值求参数（难点） 26 题型八、函数单调性、极值与最值的综合应用（难点） 32 B综合攻坚・能力跃升 39 题型一、函数图象与极值（点）的关系 1．已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（   ）    A．在上单调递减 B．在处取得最大值 C．在处取极小值 D．在上至少有一个零点 【答案】C 【分析】根据图像得的单调性，逐项验证即可求解. 【详解】由图可知：当时，，当时，，当时，，当时，， 所以的减区间为，增区间为，故A错误， 和为极大值点，不能确定的大小，为极小值点，故B错误，C正确；由于与0的大小不确定，故D错误. 故选：C. 2．已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，由可知是函数的极小值点，则，即可求出的值，即可求出函数解析式，再检验，最后再解不等式. 【详解】函数，则， 由图象可知，是函数的极小值点，则，解得， 此时，所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则是函数的极小值点，符合题意；， 所以不等式，即，解得， 所以不等式的解集为． 故选：C． 3．如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（    ）． A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点 C．3个极大值点，无极小值点 D．2个极小值点，无极大值点 【答案】A 【分析】作出与直线平行且与的图象相切的直线，即可结合图象判断的正负性，从而判断函数单调性，从而求得函数极值点的个数. 【详解】作出与直线平行且与的图象相切的直线， 设切点的横坐标从小打到依次为， 则方程有三个根，即， 因， 则结合图象可知， 当时；时，； 时，；时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 故和为极小值点，为极大值点， 故有个极小值点，个极大值点. 故选：A. 4．（多选）如图是导函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 【答案】ABD 【分析】由图像与性质关系可得答案. 【详解】对于A，由图可得时，，则在上单调递增，故A正确； 对于B，由图可得时，，则在上单调递减，故B正确； 对于C，由图可得，则不在时取得极大值，故C错误； 对于D，由图可得时，，则在上单调递减，在上单调递增，则在时取得极小值，故D正确． 故选：ABD 5．（多选）已知定义在区间上的函数的导函数为的图象如图所示，则下列结论一定正确的是（    ） A．在上单调递增 B． C．有且仅有一个极大值 D．至多有3个零点 【答案】ACD 【分析】根据的图象，分析的单调性、极值、最值、零点即可. 【详解】根据的图象，可得： 当时，恒成立，所以在上单调递增，所以A正确； 当时，，所以在上单调递减， 所以，所以不是函数的最小值，所以B不正确； 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 当时，恒成立，所以在上单调递增. 所以函数仅在处有极大值，所以C正确. 由函数的单调性，知函数图象与直线最多有三个交点，所以至多有3个零点，所以D正确. 故选：ACD. 6．（多选）定义在上的可导函数的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数的最大值为 C．1是函数的极小值点 D．3是函数的极小值点 【答案】AC 【分析】根据图像的符号确定函数的单调性，根据单调性比较大小，判断极值、最值即可逐项判断． 【详解】由图可知，当时，， 所以函数在上单调递增， ，故A正确； 由函数在上单调递增，， 则不是函数的最大值，故B错误； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以1是函数的极小值点，故C正确； 由图可知的左右两侧， 所以3不是函数的极值点，故D错误． 故选：AC． 题型二、求函数的极值（点）（不含参） 7．若函数，则下列选项中，为函数的极大值点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的性质及极大值点的意义判断即可. 【详解】函数 ， 由，得函数的极大值点， 当时，，不存在整数使得，，，A是；BCD不是. 故选：A 8．（多选）已知函数，则（   ） A． B．在上单调递减 C．当时， D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据题意，求得，直接代入计算即可判断A；求得函数的单调性和最小值，可判定BD；分析函数值正负即可判断C. 【详解】对A，由函数，可得，则，故A错误； 对BD，当时，，在上单调递减，故B正确； 当时，，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，且极小值为，也为最小值，所以D正确； 对C，当时，，则，故C正确； 故选：BCD. 9．若是函数的极值点，则的极小值为_____. 【答案】 【分析】求得，根据，得到，进而求得函数的单调性，结合极值点和极值的定义，代入计算，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 因为是函数的极值点，可得，解得， 所以， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值为. 故答案为：. 10．已知函数． (1)若，求函数的极值； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）根据导函数判断函数的单调性即可； 【详解】（1）当时，，则， 当变化时，的变化情况如下表所示： 1 0 0 单调递增 单调递减 0 单调递增 当时，函数取得极大值，极大值为， 当时，函数取得极小值，极小值为0． 11．已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间； (3)求的极值. 【答案】(1)； (2)的递增区间为和，递减区间为； (3)极大值为，极小值为. 【分析】（1）由斜率乘积为，求得参数的取值； （2）求导后根据导函数的正负来确定原函数的增减区间； （3）由第二问的增减性结合极值定义求得极值. 【详解】（1）， 则， 由题意可得，解得. （2）由，故，定义域， 则，， 由得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为和，的递减区间为. （3）由可知，在处取得极大值； 在处取得极小值. 12．求下列函数的极值点和极值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)极小值点3，极小值，极大值点，极大值． (2)极小值点1，极小值3，无极大值点，无极大值． (3)极小值点0，极小值，极大值点2，极大值． 【分析】（1）（2）（3）先求函数的定义域，再对函数求导，利用导函数的符号确定函数的单调性，即可求得函数的极值； 【详解】（1）的定义域为，则， 令，得． 当x变化时，变化情况如下表： x 3 + 0 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 因此当时，有极大值，，当时，有极小值，， 故该函数的极小值点是3，极小值为；极大值点是，极大值为． （2）函数的定义域为， 则，令，得． 当x变化时，的变化情况如下表： x 1 0 + 递减 极小值3 递增 因此当时，有极小值，并且． 故该函数的极小值点是1，极小值为3；无极大值点，无极大值. （3）函数的定义域为R． 则．令，得或． 当x变化时，的变化情况如下表： x 0 2 0 + 0 递减 极小值0 递增 极大值 递减 由上表可以看出，当时，函数有极小值，且． 当时，函数有极大值，且， 故该函数的极小值点是0，极小值为0；极大值点是2，极大值为． 题型三、讨论含参函数的极值（点） 13．已知函数. (1)讨论函数极值点的个数，并说明理由； 【答案】(1)当时，函数无极值点；当时，函数有一个极值点.理由见解析. 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，从而确定其极值点的个数； 【详解】（1）函数的定义域为. . 当时，恒成立，所以单调递增，所以无极值点； 当时，令，则；令，则. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以有一个极小值点，即，无极大值点. 综上所述，当时，函数无极值点；当时，函数有一个极值点. 14．设函数，曲线在点处的切线斜率为3． (1)求a的值； (2)设函数． （i）讨论极值点的个数； 【答案】(1)； (2) （i）答案见解析；（ 【分析】（1）求出，由曲线在点处的切线斜率为3，得到计算得到的值. （2）（i）求出，求出，设，求出，利用导数法求出的单调性，得到的最大值，对的最大值与的大小进行分类讨论得到极值点的个数； 【详解】（1），，， ， 曲线在点处的切线斜率为3， ，. （2）（i）,则. 令. 令，解得，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减． . ①当时，，故在上恒成立． 所以在上单调递减，此时无极值点． ②当时，， 令． 在上大于0，在上小于0， 故，故有，故， 当时,； 又因为时，； 故在和上各有一个零点．共有两个零点． 此时有两个极值点. 综上所述，当时，有两个极值点；当吋，无极值点. 15．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照，，，分类讨论研究函数的单调性，进而利用极值点的定义求解即可. 【详解】（1）∵， ∴， ∴在处的切线方程为，即． （2）由题意，函数的定义域为． ， ①当时，由，得，由，得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得极小值． ②当时，， ∴在上单调递增，无极值． ③当时，由，得或， 由，得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得极大值，在处取得极小值． ④当时，由，得或， 由，得， ∴在单调递增，在单调递减， ∴在处取得极大值，在处取得极小值． 综上，当时，的极值点个数为0； 当时，有1个极值点； 当且时，有2个极值点． 16． （1）讨论函数 的单调性并求极值， 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析； 【分析】（1）先求出导函数，再分和两种情况讨论单调性及极值； （2）构造函数，再应用导函数得出函数单调性及最小值即可证明. 【详解】（1）函数，定义域为，所以， 当时，单调递减，无极值； 当时，单调递减；单调递增； 函数的极小值为，无极大值； 综上， 当时，在上单调递减，无极值； 当时，在上单调递减，在上单调递增；极小值为，无极大值； 17．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线斜率； (2)讨论函数的极值； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解. （2）利用导数判断函数的单调性，结合极值定义即可求解. 【详解】（1）当时， . ，. 即曲线在处的切线斜率为. （2）. 所以. 当时，， ，. 在上单调递增，无极值； 当时， 令，解得. 当时， ，在上单调递减； 当时， ，在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增. ， 所以在处取得极小值为，无极大值. 综上： 当时， 无极值； 当时，有极小值为，无极大值. 题型四、利用函数的极值（点）求参数 18．已知函数，若为的极小值点，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或3 【答案】B 【分析】根据为的极值点，可得，求得的值，并检验是否是极小值点. 【详解】函数，定义域为. 所以. 由题可知，，即，所以或. 当时，. 令，则或；令，则. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值. 当时，. 令，则或；令，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值. 综上，实数的值为. 故选：B. 19．若函数有极值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，得，将函数有极值问题转化为函数有极值问题，再求出导数，并按分类探讨导函数有无变号零点问题求解. 【详解】令，则，原函数化为，依题意，函数有极值， 求导得， 令，，求导得， 而，令，得， 当时，，则，得函数在上单调递减， 又时，；时，， 因此存在，使得，即函数，亦即函数存在极值； 当时，，由，得；由，得， 函数在上递减，在上递增，则， 设，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，又，且时，， 则时，，此时函数，即无极值； 当时，，且时，；时，， 此时函数，即存在极值， 所以的取值范围为. 故选：A 20．若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出导函数，利用极值点、极值列方程组求解可得，根据在区间上的单调性列表求值域即可. 【详解】由，所以， 因为函数在处取得极大值3， 所以， 所以，， 令，解得或， 当变化时，在的变化情况如表所示， 0 12 极小值 所以根据上表可知，在上的值域为， 故选：D 21．若函数存在极大值和极小值，则极小值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数极小值点的范围，再利用导数求极小值的值域即可得解, 【详解】由题意，，其中，因为有极大值和极小值， 所以方程有两个不等正根，令，则由，得， 由为增函数可知，当时，，在单调递减, 当时，，在上单调递增，故，即， 设极小值点为，设取值范围的集合为, 又，即， 记，易知与单调性相反，在单调递增，在 时单调递减，且，满足， 所以，即，所求函数极小值为， ，即， 令，则，当时，，故在时单调递减，所以，即， 所以值域为，即极小值的取值范围是. 故选：B 22．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】求导，通过讨论和0的大小，确定函数的单调性，进而可求解. 【详解】由，求导可得 令，可得：或， 当时，即，恒成立，在定义域上单调递减，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极小值，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极大值，符合题意； 综上实数的取值范围为， 故答案为： 23．已知函数有两个极值点，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】求得，根据题意转化为一元二次方程在内有两个不等实根，根据一元二次方程根的分布列出不等式即可求解. 【详解】由函数，可得 令，即， 因为函数有两个极值点，可得在内有两个不等实根， 所以由一元二次方程根的分布知，，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 题型五、求函数的最值（不含参） 24．已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数在时的最小值，结合题意即可求得答案. 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故， 即实数t的最小值是. 故选：A 25．若函数在区间存在最大值，则可以取的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，得出的单调性和最值，可得，解不等式即可. 【详解】，， 所以当或时，，所以在，上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时取得极大值， 所以要使函数在区间存在最大值， 则可得：，即， 解得：. 故选：C. 26．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减 C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值 【答案】C 【分析】利用导数图象，分析函数的单调性，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由图象可知，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以为函数的一个极小值点，不一定为函数的一个零点，A错； 对于B选项，当时，，则函数在区间上单调递增，B错； 对于C选项，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，为函数的一个极大值点，C对； 对于D选项，因为函数在区间上单调递增，故不是函数的最大值，D错. 故选：C. 27．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，下列选项中正确的有（   ） A．函数必有极值 B．函数必有最值 C．函数必有零点 D．函数必为非奇非偶函数 【答案】ABD 【分析】由图得出导数正负情况，进而可得函数单调性情况，再结合极值、最值、奇偶函数和零点定义即可得解. 【详解】由图可知，，当且仅当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数有极大值和最大值均为，且导函数图象不关于原点对称也不关于y轴对称， 故函数必为非奇非偶函数， 导数反映的是函数单调性，无条件可明确函数值正负情况，故函数零点情况不确定. 故选：ABD 28．已知函数. (1)求的图象在处的切线方程； (2)求在区间上的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导函数几何意义求出切点和切点处的导数即可由点斜式得解； （2）利用导数工具研究函数单调性即可求最值； 【详解】（1）由题，， 所以， 所以的图象在点处的切线方程为即. （2）由（1）可知， 因为，所以， 当时，，， 当时，，， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为. 29．已知函数在处有极大值． (1)求实数a的值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)2； (2)，. 【分析】（1）根据得到方程，解出值后验证即可； （2）求导得，再分析其单调性和最值即可. 【详解】（1）由题意得， 则， 因为在处有极大值，则， 解得或，当时，，则， 令，解得或， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 则在处有极大值，满足题意； 当时，，则， 令，解得或， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 则在处有极小值，不满足题意，舍去； 综上所述，. （2）由（1）知，，， ，令，解得或（舍去）， 当时，，此时在单调递减， 当时，，此时在单调递增， 则， 且，，则. 30．已知函数 (1)当时，求函数在上的值域； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求的导数，通过函数单调性研究的值域即可； 【详解】（1）当时，，， ， 令，解得，（舍）， 所以当，，单调递增； ，，单调递减； 又因为，，， 且，其中， 所以的值域为． 31．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的取值范围． 【答案】(1)函数在区间上单调递增，在区间上单调递减 (2) 【分析】（1）直接求导即可解决； （2）根据（1）所求的单调区间求解即可． 【详解】（1）， 所以在和时，在时， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）由（1）可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以可知函数在区间上的最小值为， 函数在区间上的最大值在中取到， ，则， 因此函数在区间上的最大值为， 综上，函数在区间上的取值范围为． 题型六、讨论含参函数的最值 32．设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； 【答案】(1)答案见解析； 【分析】（1）先求出，再对进行分类讨论得出的单调性，得出的极值情况，进而求得最值的情况； 【详解】（1）由题意可得的定义域为， ， 当时，恒成立， 在上单调递减，无极值， 当时，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得极大值，也是最大值， 且最大值为，无最小值． 综上所述， 当时，无最值， 当时，的最大值为，无最小值． 33．已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）通过求导得到切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程； （2）将函数求导后，根据参数分类讨论函数的单调性，即可判断求解函数的最值. 【详解】（1）当时，，求导得：， 则，， 则在处的切线方程：，即； （2）由求导得：， ①当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值； ②当时，由，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，在单调递增， 所以在有最小值，为,无最大值. 34．已知函数. (1)讨论的最值； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）利用导数分类讨论分析函数的单调性，求解最值即可； 【详解】（1）由题意得的定义域为， 当时，， 所以在区间内单调递减，无最大值，无最小值； 当时，令，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 故当时，取得最小值，且最小值为，无最大值. 综上，当时，无最大值，无最小值； 当时，的最小值为，无最大值. 35．已知函数，． (1)讨论函数的最值； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论得到导数的符号后可得函数的单调性和最值； 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，在上单调递增，无最值； 当时，令，得，所以在上单调递减； 令，得，所以在单调递增， 所以的最小值为，无最大值． 综上，当时，无最值；当时，的最小值为，无最大值． 36．已知函数. (1)讨论的最值； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）首先求导得到，再分类讨论求解函数的最值即可. 单调性和最值求解即可. 【详解】（1）由题得，， 当时，，在上单调递减，故无最值 当时，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故在处取得唯一的极小值，即为最小值， 即， 综上所述，当时，无最值 当时，的最小值为，无最大值. 37．已知函数. （1）讨论函数的单调区间并求其最值； 【答案】（1）答案见解析，，无最大值； 【分析】（1）对函数求导得，然后分和讨论导数的正负，从而可得函数的单调区间和最值， 【详解】解（1）∵ ①当时， ，所以函数在单调递增， 在定义域内无最值； ②当时， 令，可得（舍）或则； 令，可得， ∴在区间单调递减，在区间单调递增， ，无最大值； 综上①②可知 当时，函数在单调递增，无最值； 当时，函数在区间单调递减，在区间单调递增， ，无最大值. 题型七、利用函数的最值求参数 38．函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导判断函数单调性，找到极值点，根据区间内存在最大值确定的范围. 【详解】， 令，得或. 当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增. 因此， 是极大值点， 是极小值点. 要使上存在最大值，需， 又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上：. 故选：D. 39．若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导确定函数单调性与极大值点，通过分析极值点必须位于区间内，结合开区间端点函数值趋势与极大值的比较，即当右端点函数值不超过极大值时，最大值才能在区间内取到，从而解得参数的范围. 【详解】对函数求导得：， 令解得极值点和， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 因此，为极大值点，，为极小值点，， 区间需满足， 为在区间内存在最大值，必须将极大值点包含在区间内，即，得， 考察右端点的函数值，比较极大值： 若，则会成为区间最大值，但此时区间是开区间，最大值不存在， 解不等式，得，即， 由于，当时该不等式成立，此时，区间内不存在最大值； 当时，，区间内最大值即为，能够取到， 分析左端点的取值：当时，左端点， 在时，，函数严格单调递增， 因此，对于任意，有， 特别地，对左端点，有： 即在区间内，所有函数值均小于， 综上，当且仅当时，函数在区间上存在最大值. 故选：D 40．若函数的最小值为，则___________ 【答案】 【分析】利用导数分析函数的单调性，求出函数的极小值（亦即最小值），根据极小值点满足，可得出，可求出的值，进而可得出实数的值. 【详解】易知的定义域为，， 因为函数、在上均为增函数， 所以函数在区间上单调递增， 又当时，；当时，， 所以存在唯一，使得，，即， 所以当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为， 因为函数在上为增函数，由得， 所以，所以，解得. 故答案为：. 41．已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为______. 【答案】 【分析】根据题意，求得，分和，两种情况讨论，求得函数的单调性与最小值，列出方程，即可求解. 【详解】由函数，可得， ①当时，恒成立，单调递减， 此时，解得，不满足； ②当时，令解得， （i）当时， 当时，单调递减，当时，单调递增， 此时，解得，满足； （ii）当时，在上 ，单调递减， 此时，解得，不满足， 综上可得：综上所述， 故答案为：. 42．已知. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若的最小值为2，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出切点以及，利用点斜式方程求解； （2）利用导数求最值； 【详解】（1）时，．因为，所以切点为， 因为，所以， 所以在处的切线方程为，即. （2）因为， ①若，则恒成立，所以在单调递减，无最小值，不符合题意； ②若，令得，则的变化如下表所示， - 0 + 极小值 ，即解得. 即的最小值为2时，． 43．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若有极值，且的最大值大于，求的取值范围； 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，对分类讨论，根据导数与单调性的关系，即可求解； （2）根据函数的单调性可得最值，即可代入求解， 【详解】（1）函数的定义域为，又， 当时，恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上可得，当时在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减. （2）因为有极值，由（1）知，，且在处取得极大值，即最大值， 故，即为， 令，则，所以在上单调递增， 且，所以当时，即，故的取值范围为； 44．已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 【答案】(1)在上单调递减；在上单调递增． (2) 【分析】（1）考点为“导数法判断函数单调性”，核心思路是对函数求导后，分析导函数在定义域内的符号变化，从而确定函数的单调区间． （2）考点为“导数法求函数的最值（含参数讨论）”，核心思路是先根据参数a的范围讨论函数的单调性，确定最小值点，再结合“最小值为0”的条件，建立方程求解a的值． 【详解】（1）当时，，其定义域为，求导得： ， 当时，；当时，， ∴在上单调递减；在上单调递增． （2）的定义域为，求导得： ， 若恒成立，单调递增，无最小值，不符合； 若，令得： 当时，单调递减； 当时，单调递增． ∴的最小值为，由，解得． 45．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数的值. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【分析】（1）求导后分，，，四种情况讨论可得； （2）利用（1）的单调性分和两种情况求出最大值后讨论可得. 【详解】（1）函数的定义域为， 当，即时，在区间上恒成立， 所以函数在区间上单调递减； 当，即时，，所以函数在区间上单调递增； 时，，所以函数在区间上单调递减； 当，即时，，所以函数在区间上单调递增； 时，，所以函数在区间上单调递减； 当，即时，，所以函数在区间上单调递增， ，，所以函数在区间上单调递减. 综上， 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减. （2）由（1）可知，当时，在区间上单调递减， 所以在上的最大值为，解得，不合题意； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在上的最大值为， 整理得，即，所以，符合题意， 综上可知，函数在区间上的最大值为2时，实数的值为. 题型八、函数单调性、极值与最值的综合应用 46．已知函数定义在上，记的导函数为. (1)求的单调区间与最小值； (2)若，讨论函数的极值点个数； 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； 【分析】（1）利用导数求解函数的单调性，再根据单调性求解函数的最小值； （2）先求，再通过导数的单调性，函数图象交点的个数，判断其零点个数，进而确定函数极值点的个数； 【详解】（1）的定义域为， ，令，即，得. 当时，，在上是单调递减； 当时，，在上单调递增； 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 的单调递减区间为，单调递增区间为，的最小值为． （2），， ， 令，即，变形得， 由（1）知的最小值为， 当时，与的图象没有交点，即，无极值点； 当时，与的图象有且只有一个交点，即有一个解， 但在该点两侧同号，无极值点； 当时，与的图象有两个交点，即有两个解， 又， ，， 在区间各有唯一零点和，且由的单调性，在和单调递增，在单调递减，在上无其它零点, 故有且仅有2个极值点. 综上，当时，无极值点；当时，有且仅有2个极值点． 47．已知函数，，其中为自然对数的底数. (1)若为的极值点，求的单调区间和最大值； (2)是否存在实数，使得的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是；最大值为 (2)存在使得的最大值为 【分析】（1）利用为的极值点求得的值，进而可得函数的单调区间和最大值； （2）对导函数，分与进行讨论，得函数的单调性进而求得最值，再由最大值是求出的值． 【详解】（1），， ， 若为的极值点， 则，得． ， 当时，，当时，， 的单调递增区间是，单调递减区间是； 的极大值为，也即的最大值为． （2），， ①当时，在上单调递增， 的最大值是， 解得，舍去； ②当时，由，得， 当，即时， 时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 又在上的最大值为， ， ； 当，即时，在上单调递增， ， 解得，舍去． 综上，存在使得的最大值为． 48．已知函数，当时，取得极值. (1)求a，b的值； (2)若函数在区间上的最大值为2，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，将极值点和极值代入导数和函数中即可求得结果，再检验结果. （2）根据函数的单调性和极值，确定的范围. 【详解】（1）对函数求导得：. 因为当时，取得极值， 所以， 解得， 此时函数的解析式为，. 当或时，；当时，； 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 所以当时，函数取极小值，极小值为，即满足条件， 所以. （2）由（1）知，函数的解析式为，. 当或时，；当时，； 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 而， 所以要使得函数在区间上的最大值为2，则. 49．已知函数． (1)当，时，求的单调区间及极值； (2)若，且的最大值小于，求a的取值范围； 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为，极大值为，极小值为． (2) 【分析】（1）当，时，，求导可得函数的单调区间，进而可求得的极值； （2）若，则，求导，对分类讨论可求得的最小值，可得，构造函数解不等式即可； 【详解】（1）当，时，， 其定义域为，， 令，得或，令，得， x 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，有极大值， 当时，有极小值， 故的单调递增区间为，，单调递减区间为， 极大值为，极小值为． （2）若，则，定义域为，， 当时，，在上单调递增，无最大值，不合题意，所以， 令，则，在上单调递增； 令，则，在上单调递减， 则， 因为的最大值小于，所以， 即在上恒成立． 设，问题转化为在上成立， 因为恒成立，所以在上单调递增， 又，所以，所以，故a的取值范围为． 50．设函数 (1)当时，求的极值； (2)已知，若单调递增，求的最大值； (3)已知，设为的极值点，求的最大值. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) (3) 【分析】（1）对函数求导得出其单调性可求出极值； （2）解法一：依题意可得恒成立，构造函数求出其最小值可得结果； 解法二：依题意恒成立，可得，当时对函数进行验证即可； （3）当时由零点存在定理即可得存在使得，可得为的极小值点，构造函数即可求出的最大值为. 【详解】（1）当时，，则 令，解得 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值； （2）解法一：由， 若单调递增，必有恒成立； 令，有， 当时，由已知单调递增，但，不合题意 当时，令，可得， 故函数的减区间为，增区间为，有 又由函数单调递减，且. 又由，故a的最大值为. 解法二：，依题意恒成立， 所以，故 因为，所以， 当时，， 设，则 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以 所以满足题意，即的最大值为； （3）当时，易知单调递增. 易知， 所以存在使得，即，为的极小值点， 所以，其中， 设，则 整理得 因为，， 所以当时，，在上单调递增 当时，，在上单调递减， 所以，即的最大值为. 1．函数的极值点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】对求导，通过分析的符号即可判断单调性，从而可求极值点. 【详解】根据题意知，则， 令，则可得或， 当或时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 所以当时取极大值，当时，取极小值，则有两个极值点. 故选： 2．已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】先求出导函数，再根据极值点导函数为0求参数，最后代入检验即可. 【详解】因为函数，所以， 又因为在处取得极大值，所以，所以或， 当时，，所以单调递减，单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意舍去； 当时，，所以单调递增，单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意； 则. 故选：B. 3．已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数的极值点为c，e C．函数的极大值为 D．函数在上递增，在上递减 【答案】B 【分析】对A，D由导数与函数单调性的关系，即可判断的大小以及的单调性，对B，C由极值的定义即可判断. 【详解】由题图知可，当时，， 当时，，当时，， 所以在上递增， 在上递减，在上递增， 对A，，故A错误； 对B，函数的极值点为，，故B正确； 对C，函数的极大值为，故C错误； 对D，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故D错误. 故选：B. 4．已知函数在上的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，分析其在区间上的单调性即可求出最小值. 【详解】由题可得：， 当时，单调递减，当时，，单调递增， 即为极小值点，又，，， 所以在上的最小值为． 故选：D 5．（多选）若函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．的解集为 B．函数有一个极值点 C．函数的单调递增区间为 D．是函数的极小值点 【答案】BD 【分析】根据所给函数图象可求得的单调性，结合图象可判断A错误，得出原函数的单调性可知B正确，C错误，再由极值点定义可得D正确. 【详解】对于A，由图象可知当时，可得图象为单调递减的， 由图可知时，，即A错误； 对于B，由图象可得时，时， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有一个极值点，可得B正确； 对于C，由B选项分析可知，函数的单调递增区间为，即C错误； 对于D，由B选项分析可知，是函数的极小值点，可得D正确. 故选：BD 6．（多选）已知函数，下列说法正确的有（    ） A．函数既有极大值又有极小值 B．函数的极小值点为1 C．若函数有二个零点，则或 D．若，则 【答案】ACD 【分析】求导，分类讨论可得函数既有极大值又有极小值，且极大值点为1，可判断AB；由函数有两个零点，可得则有两个不等的实根，可判断C；构知函数可得，计算可得，判断D. 【详解】由， 可得， 令，可得或， 当时，， 若时，，函数单调递增， 若时，，函数单调递减， 若时，，函数单调递增， 所以函数既有极大值又有极小值，为极大值， 当时，， 若时，，函数单调递减， 若时，，函数单调递增， 若时，，函数单调递减， 所以函数既有极大值又有极小值，为极大值，故A正确，B错误； 令，则可得， 若函数有二个零点，则有两个不等的实根， 则，解得，又， 所以或，故C正确； 令，则，所以在上单调递增， 所以，所以，所以， 若，， ， 所以，故D正确. 故选：ACD. 7．若关于的不等式有解，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】将给定不等式分离参数得，令并探讨单调性确定值域，再构造函数，利用导数求出最小值即可. 【详解】不等式， 令，而函数在上都为增函数， 则在上单调递增，其值域为R， 令函数，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 依题意，不等式有解，因此，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 8．已知函数.若对，都有恒成立，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】对求导，分析单调性，求出的最大值，使得，进而可得的取值范围． 【详解】由题意知，当时，. ， ①当时，恒成立，即在上单调递减， 所以恒成立，所以. ②当时，由，得到，由，得到， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 当，即时，在区间上单调递增， 所以，（舍去）， 当，即时，在上单调递减，，所以， 当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则， 所以，得到，所以， 综上，的取值范围为． 故答案为：． 9．已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】先对函数求导，根据导数判断函数的单调性，再结合函数在给定区间既有最大值又有最小值，建立不等式，求解. 【详解】，令，即， 解得或， 要使函数在上既有最大值，又有最小值， 则必须满足两个极值点都在内，且极值点处的函数值必须为区间内的最大值和最小值； 若，此时，则需要，解得； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以，，，， 则需满足，即， 解得， 所以； 若，此时，则需要，解得； 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以，，，， 则需满足，即，无解； 若，则恒成立，所以函数在上单调递增， 无最大值和最小值， 综上所述：的取值范围为. 故答案为： 10．已知函数． (1)当时，求的极值； 【答案】(1)极小值为3，无极大值 【分析】（1）求导，利用导数分析函数的单调性，进而求解极值； 【详解】（1）当时，， 则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，取得极小值为，无极大值. 11．已知函数 (1)求在区间的最大值和最小值； (2)讨论函数的单调区间与极值； 【答案】(1)答案见解析过程 (2)答案见解析过程 【分析】（1）根据函数的单调性与导数的关系判断函数的单调性，根据函数的单调性与最值的关系进行求解即可； （2）根据函数的单调性与导数的关系判断函数的单调性，再结合函数的极值定义进行求解即可； 【详解】（1）由， 当时，在上单调递增， 当时，在单调递减， 所以， 因为，所以， 在区间的最大值和最小值分别是； （2）由，函数的定义域为全体正实数集， 当时，，函数是正实数集上的增函数，没有极值； 当时，当时，在上单调递增， 当时，上在单调递减， 该函数有极大值，无极小值， 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，无极小值，有极大值； 12．已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数求得，可求切线方程； （2）求导，分和两种情况讨论正负，从而求得的单调性， （3）由（2）可得极大值，再根据极大值小于0，求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，由，解得， 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）当时恒成立，在上单调递增，无极值. 当时，在处取得极大值，极大值为. 令，解得， 所以的取值范围为. 13．已知函数. (1)求的单调区间与极值点； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）根据导数的正负性与函数单调性的关系，结合极值定义分类讨论进行求解即可； 【详解】（1）， 当时，在恒成立， 所以的单调增区间是，无单调减区间，无极值； 当时，令得，所以的单调增区间是， 得，单调减区间是， 的极大值点是，无极小值点； 14．已知函数，，. (1)讨论的单调性; (2)若与有相同的最小值，求实数的值; 【答案】(1)当时，是增函数；当时，单调在上单调递减；在上单调递增. (2). 【分析】（1）利用导数，通过讨论的取值范围，分析导函数的正负，即可得函数的单调性； （2）通过讨论的取值范围，分别求得与的最小值，得方程以，即，令，通过分析的单调性，得有唯一零点，从而求得； 【详解】（1）函数的定义域为. . 因为恒成立，所以当时，恒成立，是增函数； 当时，令，得. 因为是增函数，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，是增函数； 当时，在上单调递减；在上单调递增. （2）由（1）得，当时，是增函数，无最小值； 当时，单调在上单调递减；在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为. ，定义域为. . 当时，恒成立，是减函数，无最小值； 当时，令，得. 因为是增函数，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 因为与有相同的最小值，所以，即. 令，则. 令，则. 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得最大值，最大值为. 所以是减函数. 因为，所以方程有唯一实数根. 所以. 15．已知函数. (1)若函数在上不单调，求实数a的取值范围； (2)求函数在上的最大值； 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【分析】（1）先求导，对a的正负性进行讨论即可；（2）利用导数研究函数的单调性，进而可得最大值； 【详解】（1）因为，所以. 因为恒成立，所以的符号与一致. 当时，，在上单调递增，不符合题意； 当时，令得，因为，所以，所以在上单调递增，不符合题意； 当时，因为函数在上不单调，所以，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由（1）知： 当时，在上单调递增，. 当时，在上单调递增，. 当时，若，即，在上恒成立，函数在上单调递增，； 若，即，在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以. 因为时，最大值2也满足， 所以当时，；当时，. 16．已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极大值点，求的取值范围； (3)若在上存在最大值，求的取值范围以及的值域. 【答案】(1) (2) (3)； . 【分析】（1）先求导，再根据导数的几何意义求出直线斜率，即可求出切线方程； （2）分三种情况研究函数的单调性即可； （3）结合（2）的单调性，分类求出，再根据的单调性求值域. 【详解】（1）， 当时，，， 则， 则曲线在点处的切线方程为； （2）由（1）知，， 令得或， ①若，则， 当时，；当时，；， 则在上恒成立，故在上单调递减， 则在上无极值，不符合题意； ②若，则，则得；得或； 则在上单调递增，在、上单调递减， 则是的极小值点，不符合题意； ③若，则，则得；得或； 则在上单调递增，在、上单调递减， 则是的极大值点，符合题意； 综上，的取值范围为； （3）在上存在最大值， 由（2）知，若，则在上单调递减，不存在最大值； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 若，即，则在上单调递增， 则最大值为， 因为在上单调递减，， 所以； 若，即，则在上单调递增，在上单调递减， 则最大值为， 因为在上单调递减， 当时，；当时，， 所以； 综上，的取值范围为，的值域为. 17．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，，求实数λ的取值范围． 【答案】(1)分类讨论，答案见解析. (2) 【分析】（1）求出导数，解不等式得到的增区间，解不等式得到的减区间； （2）分离参数后构造函数，利用导数研究其最值即可求解恒成立问题． 【详解】（1）依题意，，， 由得． 当时，，令，得，， 故当时，， 故当时，，当时，，当时，， 所以在单调递增；在单调递减；在单调递增． （2）令，因为，所以，故， 令，则， 令，则， 易知为减函数，则在上，， 故在上单调递减，则， 故，在上单调递减，故， 故实数λ的取值范围为． 18．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)当时，若的最小值是，求的最大值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求导得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）令，求得，由，转换为恒成立，令，求得，得到在上为增函数，得到，即可求解； （3）令函数，转化为在上恒成立，结合相切时取得等号，设切点坐标为，求得切线方程，列出方程组，求得、的表达式，得到所以，令函数，利用导数求得单调性，得到，求得，，得出，且，进而得到答案. 【详解】（1）由函数，可得， 若时，可得，所以在上单调递增； 若时，令，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 综上可得：当时，的增区间为； 若时，的减区间为，增区间为. （2）令函数，可得， 因为当时，恒成立，所以在上恒成立， 又因为，要使得在上恒成立，则恒成立， 令， 可得 ， 即在上为单调递增函数，所以，解得， 即实数的取值范围为. （3）当时，若的最小值是0， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 显然相切时取得等号，由函数， 设切点坐标为， 可得，可得， 所以切线方程为， 即， 因为切线过原点，则， 解得，， 所以 ， 令，其中， 可得，令，解得， 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减， 所以，此时，， 可得， 则，其中， 只需证明：当时，，当时，， 令，可得， 因为和都为增函数，所以为增函数， 所以，所以为增函数， 因为，所以当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以，当且仅当，，等号成立， 即的最大值为. 19．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)或e 【分析】（1）先确定函数定义域，再对求导化简，将导数整理为便于分析符号的形式，并分类讨论导数的符号，得知单调性即可； （2）先结合单调性判断最值是否存在，再确定最值点，最后代入最值条件列方程求解即可. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 且， 当时，当时，，此时在上单调递减； 当时，当时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可得当时，为减函数则无最小值，所以， 当时，即时，取得极小值也是最小值， ， 所以，解得或， 故函数的最小值为2，实数的值为或e. 20．已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）问题转化为在上恒成立，进而可得； （2）先根据与区间的关系分类：当时，函数单调递增；当时，在上单调递减，在 上单调递增；当时，在单调递减，进而根据最小值为可得. 【详解】（1）由题意函数的定义域为， 因为在区间上单调递增，所以在上恒成立， 只需，即实数的取值范围是. （2）令，得或， ①当时，恒成立，在单调递增， 所以，不合题意，舍去； ②当时， 所以在 上单调递减，在 上单调递增，所以，解得； ③当时，恒成立，在单调递减， 所以，解得与矛盾，故舍去； 综上所述，. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $