专题02 利用导数研究函数的单调性6大重点题型（专项训练）数学人教A版选择性必修第二册

专题02 利用导数研究函数的单调性 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、原函数与导函数图象间的关系（常考点） 1 题型二、求函数的单调区间（不含参）（重点） 2 题型三、利用函数的单调性求参数（单调问题）（难点） 3 题型四、利用函数的单调性求参数（不单调问题）（重点） 4 题型五、含参问题讨论单调性（能因式分解型）（难点） 4 题型六、含参问题讨论单调性（不能因式分解型）（难点） 6 B综合攻坚・能力跃升 8 题型一、原函数与导函数图象间的关系 1．设是函数的导函数，将和的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是（   ） A．B．C．D． 2．已知函数与其导函数的图象如图所示，则（   ）    A．曲线为函数的图象 B． C．在单调递增 D．在单调递减 3．函数的图像如图所示，则（   ） A． B． C． D．的正负不确定 4．函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（   ）     A．  B．  C．  D．   5．若函数部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二、求函数的单调区间（不含参） 6．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 7．函数，则函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 8．函数的单调递增区间为______． 9．函数的单调递增区间为______． 题型三、利用函数的单调性求参数（单调问题） 10．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．若函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．“”是“函数在区间上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．若函数在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是____________. 17．已知函数是上的增函数，则的值为______． 18．若函数在区间上单调，则实数的取值范围是_________. 19．设，若函数在区间上单调，则的取值范围是__________. 20．若函数单调递增，则实数的取值范围为________ 21．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是__________． 22．若存在单调递减区间，则实数的取值范围是__________. 题型四、利用函数的单调性求参数（不单调问题） 23．若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．已知：，q：函数在区间上不单调，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 25．若函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（多选）若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（ ） A． B． C． D． 27．已知函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是_________． 28．若在上不单调，则实数的取值范围是_________________． 题型五、含参问题讨论单调性（能因式分解型） 29．已知函数. (1)求函数的单调区间； 30． 若函数的单调减区间为，求a的值． 31．已知函数． (1)若函数存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 32．已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 33．已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 34．已知函数 (1)讨论函数的单调性； 35．已知函数，. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若，设函数的导函数为，讨论的单调性. 36．已知函数． (1)若的图象在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)讨论的单调区间． 题型六、含参问题讨论单调性（不能因式分解型） 37． 已知函数．若，讨论的单调性； 38． 已知函数．讨论的单调性． 39． 已知函数.讨论的单调性. 40．已知函数，且． (1)求的值； (2)讨论的单调性． 40． 已知函数．求的单调区间 41． 已知函数，，当时，讨论函数的单调性. 42． 已知， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 43． 求函数的单调区间． 45．已知函数，. (1)讨论的单调性； 46． 已知函数，讨论的单调区间 47． 已知函数．讨论函数的单调性. 48．已知函数，求函数的单调区间. 1．若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．和 D． 3．已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A．0 B．3 C．6 D．8 4．已知函数在单调递增，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 5．已知函数是上的增函数，则（   ） A． B． C． D． 6．若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（多选）设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（   ） A．  B．  C．  D．   10．已知函数（其中），当时，不等式恒成立则整数的最大值______ 11．函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则________． 12．若函数在单调递减，则a的取值范围是______． 13．如图所示为函数的图象，则不等式的解集为_____    14． 求函数的单调区间． 15． 已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 16．已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若，，求的单调区间. 16． 已知函数．讨论在上的单调性. 18．已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围. 19． 已知函数，当时，讨论函数的单调性. 20．已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； (2)求的单调区间； 21．已知函数. (1)当时，求的单调区间 (2)讨论的单调性； 22．已知函数，． (1)已知曲线在点处的切线斜率为，求a； (2)讨论的单调性． 23．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间 24．已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 25． 已知函数．讨论的单调性. 26．已知函数． (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 27．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 利用导数研究函数的单调性 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、原函数与导函数图象间的关系（常考点） 1 题型二、求函数的单调区间（不含参）（重点） 3 题型三、利用函数的单调性求参数（单调问题）（难点） 5 题型四、利用函数的单调性求参数（不单调问题）（重点） 11 题型五、含参问题讨论单调性（能因式分解型）（难点） 14 题型六、含参问题讨论单调性（不能因式分解型）（难点） 20 B综合攻坚・能力跃升 30 题型一、原函数与导函数图象间的关系 1．设是函数的导函数，将和的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据导函数符号如何影响原函数单调性，即可逐个选项判断. 【详解】对于AB，为导函数，则为增函数，AB有可能； 对于C，为导函数，则为增函数，C有可能； 对于D，若为导函数，则应为增函数，不符合；若为导函数，则应为减函数，也不符合． 故选：D 2．已知函数与其导函数的图象如图所示，则（   ）    A．曲线为函数的图象 B． C．在单调递增 D．在单调递减 【答案】D 【分析】根据原函数和导函数的关系逐一判断即可. 【详解】若曲线为函数的图象，当时，，所以在上单调递增，而曲线在上先减后增 ，不合题意， 所以曲线为函数的图象，所以曲线为函数的图象，故A错误； 由A可知在上单调递减且为偶函数，所以，故B错误，D正确； 在上先增后减，故C错误； 故选：D 3．函数的图像如图所示，则（   ） A． B． C． D．的正负不确定 【答案】B 【分析】由导数的几何意义求解即可. 【详解】由题中图像可知，函数在上单调递减，故在上有．故． 故选：B 4．函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（   ）     A．  B．  C．  D．   【答案】B 【分析】根据的图像，先判断和，进而得到的单调区间，逐一验证即可求解. 【详解】由图可知：当或时，，所以的单调减区间为， 当或时，，所以的单调增区间为， 故选：B. 5．若函数部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合导数的几何意义及函数的增长趋势判断即可． 【详解】由图可知，单调递增，且增长趋势越来越慢， 表示函数在处切线的斜率，表示函数在处切线的斜率， 表示点与两点连线的斜率， 由图可知 故选：D． 题型二、求函数的单调区间（不含参） 6．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数定义域并令其导函数大于零，解不等式即可求得结果. 【详解】易知函数的定义域为，, 又，令，解得时， 所以函数的单调递增区间为 故选：C 7．函数，则函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，根据，解不等式计算即可求解. 【详解】求导可得， 令，则，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 8．函数的单调递增区间为______． 【答案】和 【分析】先求函数的导数，再令，解集即为单调增区间. 【详解】由题知，令，即， 解得或， 所以单调递增区间为或 故答案为：和. 9．函数的单调递增区间为______． 【答案】 【分析】利用导数求解单调递增区间即可. 【详解】因为，所以， 令，可得， 则的单调递增区间为. 故答案为： 题型三、利用函数的单调性求参数（单调问题） 10．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 11．若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求导，将问题转化成或在上恒成立的问题，然后分离参数处理. 【详解】由题知，，而在区间上是单调函数， 则或在时恒成立， 当在恒成立时，， 由幂函数性质可知在上递增，则， 故当在恒成立时，等价于，即； 当在恒成立时，， 此时，即. 综上，. 故选：A 12．若函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解即可. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 令，则只需即可， 当时，由反比例函数的性质得单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是， 故选：B 13．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，可知在上，恒成立，再参变分离求解函数最值即可. 【详解】依题意， 在上恒成立， 即在上恒成立. 设，因在上单调递增， 故在上的最小值为，故. 故选：D 14．“”是“函数在区间上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据函数的单调性与导数的关系以及充要条件的判断即可求解. 【详解】若在区间上单调递减， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，故，， 因函数在上单调递增，故，所以； 若，因，则，则函数在上单调递减.” 故“”是“函数在区间上单调递减”的充要条件. 故选：B. 15．已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：利用导数的运算法则得，根据函数单调时导数恒正或恒负，分离参数后求函数最值确定的取值范围；解法二：利用补集思想，先求函数不单调时的取值范围，再取补集得到单调时的取值范围. 【详解】（解法1）因为在区间上是单调函数， 所以，对，有， 或者恒成立， 所以，对有或者恒成立， 利用二次函数性质求解可得：或者， 设，定义域为，， 当时，，所以， 即在上单调递减，则， 又因为时，， 且时，， 所以，则或者， 所以. （解法2）若在区间上不单调， 则在内存在极值点， 所以，在内存在变号实根， 即在内存在变号实根， 化简得：在内存在变号实根， 所以，直线与函数在上的图像有交叉点， 又由解法一可知，，所以，化简得：， 若在区间上是单调函数，则. 故选：D. 16．若函数在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是____________. 【答案】 【分析】对函数求导，判断函数的单调性，求出最值，进而求得结果. 【详解】函数，， 依题意，存在，使得，即存在，使得， 显然函数在上单调递减，当时，，则， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 17．已知函数是上的增函数，则的值为______． 【答案】/ 【分析】求出导函数，由题意恒成立，然后按照和分类讨论求解即可. 【详解】由题意得， 因为是上的增函数，所以恒成立． 当时，，此时不恒成立，不满足题意； 当时，要使恒成立， 则时，即恒成立，所以， 时，即恒成立，所以， 因为，所以， 综上，得． 故答案为： 18．若函数在区间上单调，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】利用导数得到函数的极值点，再根据函数在区间上单调判断极值点与区间关系可得. 【详解】， 令， 时，时， 所以在单调递减，在上单调递增， 又函数在区间上单调， 所以或，解得或. 故答案为：. 19．设，若函数在区间上单调，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用导数求的单调区间，由在区间上单调，求的取值范围. 【详解】因为， 所以， 设，则， 所以时，，故在上单调递减，即在上单调递减， 又，所以时；时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故，所以的取值范围是. 故答案为： 20．若函数单调递增，则实数的取值范围为________ 【答案】 【分析】由恒成立，使用分离参数方法，再利用基本不等式求得的取值范围即可. 【详解】依题意知， 因为函数在单调递增， 所以，即对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 又因为（当且仅当时取“”）， 所以. 故答案为： 21．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由题意可知：存在区间，使得，利用参变分离结合存在性问题分析求解. 【详解】， 由题意可知：在区间有解，整理得， 即不等式 在区间 内有解，因为 ，所以 ， 要使 在 内有解，需 小于 的上界，即 ， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 22．若存在单调递减区间，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】问题即在有解，可分离参数转化为最值问题求解. 【详解】函数的定义域为， ，因为存在单调递减区间， 所以在有解，即在有解， 令，则， 因为，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 题型四、利用函数的单调性求参数（不单调问题） 23．若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次求导法，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】设， 当时，，所以在上单调递增， 所以由在内不单调得， 即，解得． 故选：B 24．已知：，q：函数在区间上不单调，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解分式不等式得，求，使其零点在内得出，最后根据充分、必要条件的定义判断. 【详解】由，可化为， 得， 函数，则， 要使函数在区间上不单调，则有，解得， 所以是的必要不充分条件. 故选：B． 25．若函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数在上不单调，意味着其导数在该区间内有正有负，即在内有零点，将分离参数为，通过构造函数，求与0的大小，得到的单调性，从而求出的取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】，，在上不单调， 在上有变号零点， 即存在， 使得， 在上有解，在上有解， ，，， ，即，解得，在上是增函数； ，即，解得，在上是减函数. 又，，，， 在上有解，， 当时，，设，， 当，解得，得在上是增函数； 当，解得，得在上是减函数. 则在处取最小值为，在上恒成立，即在上恒成立，得到在是增函数，不满足题意，说明不满足题意，同理也不满足题意，综上可得. 故选：B 26．（多选）若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】求出函数的极值点，分析可知，函数在区间内存在极值点，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为,，减区间为， 所以，函数的极大值点为，极小值点为， 因为函数在区间上不是单调函数， 则该函数在区间内存在极值点，即或， 解得或， 所以，实数的取值范围是. 故选：CD. 27．已知函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】分析可知导函数的函数值既有正值又有负值，结合判别式运算求解即可. 【详解】因为， 若函数在定义域上不是单调函数， 可知导函数的函数值既有正值又有负值，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 28．若在上不单调，则实数的取值范围是_________________． 【答案】 【分析】由题意可得存在，使得，求解即可. 【详解】由，可得， 所以在上不单调，所以在上有解， 即在有解，即存在，使得， 又因为在上单调递减，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 题型五、含参问题讨论单调性（能因式分解型） 29．已知函数. (1)求函数的单调区间； 【答案】(1)单调递增区间，；单调递减区间为， 【分析】（1）对函数求导，利用正弦函数的图象性质求解导函数不等式即得函数的单调区间； 【详解】（1）由题意，， 因为，则由可得， 即当，时， 单调递增； 由可得， 即当，时， 单调递减， 综上，函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，. 30．若函数的单调减区间为，求a的值． 【答案】 【分析】根据导数正负分析函数单调性，再结合已知单调区间求出参数a的值. 【详解】由题意可得：， ①当时，， 在上为增函数， ②当时，令，解得， 当时，， 在上为减函数， 的单调递减区间为， ，即． 31．已知函数． (1)若函数存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1)，且 (2)，且 【分析】（1）对求导，使有解即可； （2）在上单调递减，转化为时，恒成立，计算其最值即可 【详解】（1）， ． 在上存在单调递减区间， 当时，有解，即有解．设只要即可． 而． 故a的取值范围是，且． （2）在上单调递减， 时，恒成立， 即恒成立，，而， ．． 故a的取值范围是，且． 32．已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用导数求斜率，然后求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程； （2）求导，对参数分类讨论即可. 【详解】（1）若，则，，所以，， 故在处的切线方程为，即． （2）因为，且， 当时，时，时， 所以，在上单调递减，在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，时恒成立，故在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减． 33．已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求导得，分、分别讨论即可. 【详解】（1）若，则， 所以．又， 所以， 故曲线在处的切线方程为， 即； （2）的定义域为，． 当时，， 故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 34．已知函数 (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求导得，对分类讨论可得函数f（x）的单调性； 【详解】（1）函数的定义域为， 由， ①当时，，则函数在上单调递减； ②当时，，则函数在上单调递增； ③当时，，令，得，令，得或， 故函数在上单调递减，在上单调递增； ④当时，，令，可得，令，得或， 故函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 ， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 35．已知函数，. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若，设函数的导函数为，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）代入，对函数求导得出斜率再利用直线的点斜式方程可求得切线方程； （2）求出，并对求导根据参数的取值范围进行分类讨论，即可得出其单调性. 【详解】（1）当时，，， 所以，， 故切线方程为， 即. （2）易知， 所以， ①若，则，，此时在上单调递增； ②若，则， 当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数的单调增区间为，减区间为. 36．已知函数． (1)若的图象在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)讨论的单调区间． 【答案】(1)， (2)答案见解析. 【分析】（1）由导数的意义结合点斜式方程可得； （2）求导后分的取值讨论可得. 【详解】（1）由题意可得， 因为的图象在点处的切线方程为， 所以，即， 解得，所以 所以. （2）， 因为， 令可得或， ，当时，可得当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，当时，即时，即由不等式可解得时， 可得当，时，，单调递增； 当时，，单调递减； ，当时，恒成立，单调在单调递增； ，当时，当时，，单调递减； 时，，单调递增， 综上， 当时，当时，单调递减；时，单调递增； 当时，单调在递增； 当时，当，时，单调递增；当时，单调递减； 当时，当时，单调递减；当时，单调递增. 题型六、含参问题讨论单调性（不能因式分解型） 37．已知函数．若，讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【分析】求导函数，再因式分解得，得到两根，对两根比较大小分三种情况讨论单调性； 【详解】因为，定义域为， 所以， 当时，令，得，． （ⅰ）若，即， 则当或时，， 当时，， 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅱ）若，即时， 则当或时，； 当时，； 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅲ）若，即时，，在上单调递增． 综上所述，当时， 的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间． 38．已知函数．讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求导得，分两种情况讨论导函数的符号，可得出原函数的单调性． 【详解】， （1）当时，恒成立，令，解得，令，解得， 在上单调递增，在上单调递减； （2）当时，令，解得，， ① 当时，，令，解得或， 令，解得， 在，上单调递增，在上单调递减； ②当时，，在上单调递增； ③当时，，令，解得或， 令，解得， 在，上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增,在上单调递减． 39．已知函数.讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】首先求导得到，再分类讨论，，，情况的单调性即可. 【详解】， ， ， ， ， ， ①当时，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； ②当时，由，得，， （ⅰ）当时，， 当时，，在，单调递增； 当时，，在单调递减； （ⅱ）当时，，，在单调递增； （ⅲ）当时，， 当时，，在，单调递增； 当时，，在单调递减； 综上可得：①当时，在单调递增，在单调递减； ②当时，在，单调递增，在单调递减； ③当时，在单调递增； ④当时，在，单调递增，在单调递减. 40．已知函数，且． (1)求的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，结合代入求解即可； （2）整理可得，分类讨论二次项系数和两根大小，利用导数分析原函数单调性. 【详解】（1）因为，则， 可得，解得. （2）由（1）可知， （i）当时，则， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当时，令，解得或， ①当，即时， 令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； ②当，即时，则，可知在上单调递减； ③当，即时，令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 41．已知函数．求的单调区间 【答案】答案见解析 【分析】求导，然后对、、分别讨论，利用导数判断可得答案. 【详解】函数的定义域为，又， 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时（当且仅当时取等号）， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 综上可得： 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，. 42．已知函数，，当时，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】先求导，分、两种情况讨论的正负性即可. 【详解】当时，，定义域为， 得， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 43．已知， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数，求切点处切线的方程； （2）利用导数，分类讨论函数的单调性. 【详解】（1）当时，，定义域为 ，则， 又， 则切线的斜率， 所求切线方程为，即． （2）函数的定义域为， ． ①当时， ，在上单调递增． ②当时， 令，即，解得：， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． ③当时， 令，解得， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． 综上可得， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． 44．求函数的单调区间． 【答案】答案见解析 【分析】先对函数求导，然后分三种情况讨论求解． 【详解】的定义域为．． 当时，，故在上单调递增． 当时，，故在上单调递减． 当时，令，解得． 则当时，时，． 故在上单调递增，在上单调递减． 综上知，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时， 在上单调递减． 45．已知函数，. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求导，结合一元二次函数的性质讨论的正负性即可； 【详解】（1）由题可得. 令，则， 当时，，此时，，故在上单调递减； 当时，，记两根为，， 此时，，则两根均为负，得， 故在上单调递减； 当时，，此时，，则两根均为正，且， 故或时，，在、上单调递减， 时，，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减； 当时，在，上单调递减， 在上单调递增. 46．已知函数，讨论的单调区间 【答案】答案见解析 【分析】先求，根据导数的正负确定函数单调性，进而可得单调区间. 【详解】由题意得函数的定义域为， 可得， 当时，，所以在上单调递增，无极值. 当时，令，得，令，得. 在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 47．已知函数．讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】求出函数的导数，对m进行分类讨论即可得结果. 【详解】已知，函数定义域为R， 可得， 当时，，所以在R上单调递减； 当时，因为是开口向上的二次函数，且， 若，即时，，所以；所以在R上单调递减； 若，即时，此时方程有两个根， 所以当或者时，，即， 当时，，即， 所以在和上为减函数， 在上为增函数； 当时，因为是开口向下的二次函数，且， 此时方程有两个根， 所以当或者时，，即， 当时，，即， 所以在和上为增函数， 在上为减函数； 综上所述，当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在和上为减函数， 在上为增函数； 当时，函数在和上为增函数， 在上为减函数. 48．已知函数，求函数的单调区间. 【答案】答案见解析 【分析】先确定函数定义域，求导后根据分子二次函数的判别式对参数分情况讨论导数符号，进而确定函数的单调区间. 【详解】函数的定义域为， 求导得，方程中，， 当时，，，函数在上单调递增； 当时，，方程的二根为， 当时，由根与系数的关系可知且，故两根均为负数， 因此有，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为， 递减区间为； 当时，函数的递增区间为， 递减区间为. 1．若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和一元二次不等式能成立可得存在，使得成立，令，利用导数讨论函数的单调性，即可求出. 【详解】存在，不等式成立， 则，能成立， 即对于，成立， 令，， 则需要大于函数在的最小值， 则，令， 所以当，，单调递增， 当，，单调递减， 又， ，，，，， 所以，所以. 故选：C. 2．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．和 D． 【答案】B 【分析】先求出导函数，再令导函数为正得出单调增区间即可. 【详解】因为函数的导函数为， 令，即得， 所以函数的单调递增区间是. 故选：B. 3．已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A．0 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据条件，利用分函数的单调性及导数与函数单调性间的关系，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 当时，，对称轴为，则， 当时，，则， 要使函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，得到. 又因为，即， 综上所述，，，所以 则的最大值为6， 故选：C. 4．已知函数在单调递增，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求出函数的单调增区间为，利用集合关系列不等式求解即可. 【详解】由得，令，得． 当时，，所以的单调增区间为， 因为在单调递增，所以， 所以. 故选：D. 5．已知函数是上的增函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得恒成立，进而分，两种情况讨论求解即可. 【详解】由， 得， 因为是上的增函数，则恒成立， 即恒成立， 当时，，此时不恒成立，不满足题意； 当时，等价于对恒成立， 则. 故选：C. 6．若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得在上恒成立，即在恒成立，据此可得答案. 【详解】因为， 而时，函数单调递减，所以在恒成立， 即恒成立，因为，所以， 即在恒成立， 因为在上单调递增， 则，所以. 故选：A． 7．已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导后讨论单调性，再根据题意可得，进而解不等式即可. 【详解】由题知函数的定义域为， ， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因为函数在区间上不单调， 所以，，解得， 所以，实数的取值范围是. 故选：D． 8．设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数的单调减区间，即可求解． 【详解】的定义域为， 由，解得． 由题意知， 解得． 故选：A 9．（多选）设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】ABC 【分析】结合原函数与导函数的关系依次判断即可． 【详解】对于A，有可能二次函数为原函数，直线为导函数，原函数先增后减，导函数先正后负，符合要求，故A正确； 对于B，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故B正确； 对于C，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故C正确； 对于D，无论谁作导函数，谁作原函数，都无法同步，故D错误. 故选：ABC. 10．已知函数（其中），当时，不等式恒成立则整数的最大值______ 【答案】4 【分析】令，将题转化为，对进行求导判断单调性，利用存在性定理即可求出. 【详解】可化为， 因为，则有： 当时，则，符合题意，； 当时，则，可得恒成立， 令，，可知：， 可得， 令，， 则在上恒成立， 可知：在上单调递增，且，， 则，使得，即， 当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增； 所以， 所以只需，因为，即整数的最大值为； 综上所述：整数的最大值为. 故答案为：4. 11．函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则________． 【答案】 【分析】对函数求导，可求解值，分析导函数符号即可得到函数的单调递增以及递减区间，即可求解. 【详解】根据题意可知， 则可得，令，即， 解之可得或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以可知，，所以. 故答案为： 12．若函数在单调递减，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】求出定义域，求出，求出的单调递减区间，列关于的不等式即可求解. 【详解】的定义域为， ， 令，即， 解得，即的单调递减区间为， 因为在单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：. 13．如图所示为函数的图象，则不等式的解集为_____    【答案】 【分析】利用图象判断的单调性，进而得到的正负，最后求出不等式解集即可. 【详解】由图象得在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，， 若，则当时，或当时，， 当，时，解得， 当，时，解得， 综上可得不等式的解集为. 故答案为： 14．求函数的单调区间． 【答案】单调递增区间为和，单调递减区间为和 【分析】利用导数求函数的单调性，从而写出单调区间. 【详解】函数的定义域为， 令，则或． 函数的单调递增区间为和． 令，则， ，且． 函数的单调递减区间为和． 综上所述，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和． 15．已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）函数在上单调递减，转化为恒成立，进而用分离参数法求出实数a的取值范围； （2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围． 【详解】（1），， ∵在上单调递减， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∵，时， ∴当，即时，取最大值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． （2）∵在上存在单调递减区间， ∴当时，有解，即有解， ∵，时， ∴当，即时，取最小值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． 16．已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若，，求的单调区间. 【答案】(1) (2)递增区间是，递减区间是（其中是的唯一零点）. 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出并验证即得. （2）求出函数及导数，探讨的单调性及零点，进而求出的单调区间. 【详解】（1）函数，求导得， 由曲线在点处的切线与轴平行， 得，， 此时，直线方程为，该直线与轴平行，符合题意， 所以. （2）当时，的定义域为， 求导得， 函数在上都递减， 则函数在上递减， 而， 因此存在，使得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，递减区间是（其中是的唯一零点）. 17．已知函数．讨论在上的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】利用导函数研究函数的单调性，根据的范围对参数进行分类讨论，确定的符号，从而确定函数的单调性. 【详解】由，得， 由，得. ① 当时，，则，在上单调递增； ② 当时，，则，在上单调递减； ③ 当时，由，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 18．已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得在处切线的斜率，根据两直线垂直，斜率的关系，即可得答案. （2）求得的解析式，分别讨论、、和四种情况，判断的正负，可得的单调性，综合分析，即可得答案. （3）由题意得在上恒成立，根据x的范围及函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）由题意，则， 又切线与直线垂直，所以，解得. （2）因为，故， 则， 当时，，令，解得， 故在上，，则单调递增， 在上，，则单调递减； 当时，令有，且， 故在上，，单调递减， 在上，单调递增， 在上，，单调递减； 当时，恒成立，在单调递减； 当时，在上，，单调递减， 在上，单调递增， 在上，，单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减； 当时，在单调递减，无单调递增区间； 当时， 在上单调递增，在，上单调递减. （3）由题意，， 所以在上恒成立， 因为时，，所以只需在上恒成立即可， 即在上恒成立即可，所以， 所以a的取值范围为. 19．已知函数，当时，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】对函数求导，分情况讨论时函数的单调性，进而求出对应的单调区间. 【详解】对函数求导得， 当时，，此时在上单调递增. 当时，方程的判别式. ①当时，，恒成立，所以，此时在上单调递增； ②当时，令，解得，. 时，，函数单调递增；时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增； 所以在和上单调递增，在上单调递减。 综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减. 20．已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； (2)求的单调区间； 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）应用导数的几何意义有，即可求； （2）对函数求导，根据导数的区间符号求单调区间. 【详解】（1）由题设，则， 又在点处的切线的斜率为，则，可得； （2）由题设且， 当，则，故在上单调递减， 当，则，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，时，的递减区间为，无递增区间， 时，的递减区间为，递增区间为. 21．已知函数. (1)当时，求的单调区间 (2)讨论的单调性； 【答案】(1)在单调递增，在单调递减； (2)答案见解析. 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间. （2）求出函数导数，再按分类讨论求解函数的单调性. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 22．已知函数，． (1)已知曲线在点处的切线斜率为，求a； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数值为切线斜率，即可求参数； （2）利用分类讨论思想，即可判断导数正负，从而可得函数单调区间. 【详解】（1）求导得：． 由题意得，所以． （2）的定义域为． 当时， 令，解得，此时在上单调递增， 令，解得，此时在上单调递减． 当时，令，解得或1． ①当，即时， 令，解得或，令，解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； ②当，即时， 在上恒成立，所以在上单调递增； ③当，即时， 令，解得或，令，解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 23．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，，代入直线的点斜式方程可得答案； （2）分、、讨论，利用导数判断可得答案. 【详解】（1）当时，则，， 所以，则切点为，切线的斜率，所以切线方程为； （2）函数的定义域为，又， 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时（当且仅当时取等号）， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 综上可得： 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，. 24．已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线的位置关系，即可求解； （2）首先求函数的导数，再利用导数分析，再讨论和两种情况讨论函数的单调性. 【详解】（1）由题意得， 则. 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，即. （2）由（1）得， 令，则. 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以， 即. ①当时，在上单调递增. ②当时，由，得；由，得， 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 25．已知函数．讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】把导函数转化为复合的一元二次方程，通过一元二次方程是有一个正根或两个正根或没有正根来讨论导函数的正负区间，从而来判断原函数的单调性； 【详解】，则， 令，，则， 因，故， 当，即时，，则在上单调递减； 当时，令，，，，，， 在和单调递减，在单调递增; 当时，，，则在上单调递增，在单调递减; 综上所述，当时，则在上单调递减， 当时，在和单调递减，在单调递增； 当时，在上单调递增，在单调递减. 26．已知函数． (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）求导得，分两种情况讨论导函数的符号，可得出原函数的单调性． 【详解】（1）若，则，则，，， 所以在点处的切线方程为． （2）， ①当，令，解得，令，解得， 在单调递增，在单调递减； ②当，令，解得，， 当时，令，解得或，令，解得， 在，单调递增，在单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，令，解得或，令，解得， 在，单调递增，在单调递减， 综上，当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在，单调递增，在单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，单调递增.在单调递减． 27．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求得切线方程； （2）根据题意，求得，分和，两种情况，再结合两根得到大小，分三种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）当时，函数，可得 且， 故曲线在点处的切线方程. （2）由函数，其定义域为， 且， ① 若，可得 当时，可得；当时，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减； ② 若时，则，令，可得或， 当时，即时，令，可得或； 令，可得，所以在上递增，在上递减； 当时，即时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，即时，令，可得或； 令，可得，所以在上递增，在上递减； 当时，令，可得，令，可得， 所以在上递增，在上递减， 综上可得：当时，在上递增，在上递减； 当，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上递增，在上递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上递增，在上递减. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $