导数中的函数同构问题——指对同构　学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

微专题:导数中的函数同构问题——指对同构 学案 高二（ ）班 姓名_______________ 一．学习目标 掌握指对同构的三种常见同构模型，学会用同构法解决函数不等式问题，取值范围问题等； 二、课堂热身 三、必备知识 同构概念： 问题1：在遇到指对混合的函数问题中，如何进行同构变形？ 1.对数恒等式：x= = (a>0且a≠1) 特别的：x= = 2.请画出以下八大经典函数的图像. 四.探究新知 问题2.若（a,b为变量）成立，你能用同构的方法得到a与lnb的大小呢？ 问题3：能否归纳，上述代数式变形的依据？ 指对同构的本质： 指对混合型的同构形式变形： 五．典型例题 变式1.设实数k>0，对于任意的x>1, 不等式恒成立，则k的最小值为_______. 例 2 .（2020新高考Ⅰ）已知函数. 若 f(x)≥1, 求 a 的取值范围. 变式2.设实数t>0,若不等式对x>0恒成立，求t的取值范围. 五．课堂总结 1、1个题型： 2、2个思想： 3、3个方向： 六．课后练习 1． 已知，若关于x的恒成立，求实数a的取值范围. 2.（2022全国甲卷（理）21题）已知函数．(1)若，求a的取值范围； 3.若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.已知，当时，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5.已知函数恒有零点，则实数k的取值范围是( ) A． B． C． D． 6. 已知有两个零点，则实数a的取值范围是_____. 7. 课后习题答案 1.【答案】【简证】恒成立等价于恒成立， 即，则有 令，，则有（构造函数求导得出最值，过程略） 2.【详解】（1）[方法一]：同构处理 由得：令，则即 令，则故在区间上是增函数 故，即所以的取值范围为 [方法二]：常规求导的定义域为，则 令,得当单调递减 当单调递增，若,则,即 所以的取值范围为 3.【答案】B【详解】由题意可知，，即对恒成立． 设，则问题转化为在上恒成立， 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，所以当时，；当时，． ①在上，若恒成立，即，； ②在上，若，则恒成立，即恒成立， 令，，则，所以在上单调递增， 所以，所以，综上所述，实数的取值范围为．故选：B． 4.【答案】B【详解】由题意得，当时，， 即，， 令，则， 因为恒成立，故在R上单调递增， 故，即，令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，最大值为，故，解得. 5.方法1：同构要使恒有零点，只需 设，求导可知 而，求导可知函数在上单调递增，故 方法2：分参求导 ，令，则 ∵ 故在递增，递减，故，故选B. 注：由常见不等式得到，即； 或者令，，因为,故 方法3：直接求导（可以消掉k） ， 不难得出在上恒小于0，故在上单调递增，在上递减，故，当时，，故的值域为， 则. 6. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$