专题01 导数运算及其几何意义5大重点题型（专项训练）数学人教A版选择性必修第二册

专题01 导数运算及其几何意义 目录 1 题型一、导数概念的应用（含平均、瞬时变化率）（常考点） 1 题型二、导数四则运算法则（含复合函数）（重点） 2 题型三、求在某点切线方程问题（重点） 3 题型四、求过某点切线方程问题（重点） 3 题型五、切线的综合问题（平行、垂直及其公切线）（难点） 4 B综合攻坚・能力跃升 5 题型一、导数概念的应用（含平均、瞬时变化率） 1．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率，并说明哪一阶段体重的平均变化较快． 2．求函数在点处的瞬时变化率． 3．已知函数在处可导，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 4．已知，则 （    ） A．1 B． C． D． 5．已知函数在处可导，则（   ） A． B． C． D． 6．已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为__________. 题型二、导数四则运算法则（含复合函数） 7．若，则（   ） A．2 B． C．10 D． 8．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．求下列函数的导数. (1)； (2)； (3). 10．求下列函数的导函数 (1) (2)； (3) (4) 11．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 13．求下列函数的导数. (1)； (2). 14．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三、求在某点切线方程问题 15．已知曲线在点处的切线方程为，则值为（ ） A．0 B． C．1 D．2 16．已知直线与函数的图象相切，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．-5 17．曲线在处的切线方程为________． 18．已知，则在处的切线方程为_____. 19．设函数，则曲线在，处的切线方程为__________. 题型四、求过某点切线方程问题 20．函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 22．过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 23．已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________. 24．过点作曲线：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为______． 题型五、切线的综合问题（平行、垂直及其公切线） 25．函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 26．已知在函数的图像上，在直线上，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 27．已知函数，，过原点分别作曲线，的切线，且两切线的斜率互为倒数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 29．若直线与函数和的图象分别相切于点，则（    ） A．2 B． C． D． 30．已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 31．已知曲线与曲线有两条公切线，且它们的斜率之积为1，则实数的取值范围为_____， 32．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线方程为___________． 33．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 34．已知，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)若，求曲线过点的切线方程. 35． 已知函数，，若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求a，b的值. 1．两条直线的夹角指的是两条直线所形成的小于或等于的角.若曲线与曲线的两条公切线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中有曲线和，直线与、分别相切于，直线（不同于）与、分别相切于点，则与交点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数（为自然对数的底数），，直线既与相切又与相切，则直线的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 4．下列求导运算错误的是（） A． B． C． D． 5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，解决相关的问题，已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若函数存在两个零点，且，则 C．若恒成立，则 D．当时，与存在两条公切线 6．若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则_________． 7．已知是定义在上的可导函数，若，则_____. 8．已知，则的值为______ 9．已知倾斜角为的直线l与曲线和都相切，则实数__________. 10．求下列函数的导数. (1)； (2)； (3). 11．（1）求下列函数的导数． （Ⅰ）；   （Ⅱ）； （2）已知函数．求在点处的切线方程； 12．求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； 13．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 14．已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线的方程； (2)证明：（1）中直线与函数的图象也相切. 15．已知函数．求曲线在点处的切线方程. 16．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程 (2)若曲线在点处的切线方程与曲线也相切，求的值. 17．（1）求曲线在处切线的方程； （2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值. 18．已知函数的图象记为曲线C. (1)若点A(2，4)在曲线C上，求过点A与曲线C相切的直线方程； (2)若过点B(2，0)作曲线C的切线恰有三条，且三条切线的切点横坐标构成等差数列，求实数的值. 19．已知 函数图像上一点处的切线为. (1)当经过坐标原点时，求点 的横坐标； (2)若与曲线交于另一点， 在点处的切线为， 记，的斜率分别为，， 求 的值. 20．（1）设（为常数），曲线与直线在点相切.求的值. （2）曲线在处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程. 21．已知函数（），.记，已知曲线在点 处的切线方程为. (1)求实数，的值： (2)若直线既是曲线的切线又是曲线的切线，试判断的条数，并给出证明. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 导数运算及其几何意义 目录 1 题型一、导数概念的应用（含平均、瞬时变化率）（常考点） 1 题型二、导数四则运算法则（含复合函数）（重点） 3 题型三、求在某点切线方程问题（重点） 8 题型四、求过某点切线方程问题（重点） 10 题型五、切线的综合问题（平行、垂直及其公切线）（难点） 13 B综合攻坚・能力跃升 19 题型一、导数概念的应用（含平均、瞬时变化率） 1．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率，并说明哪一阶段体重的平均变化较快． 【答案】该婴儿在从出生到第3个月这段时间内体重的平均变化较快． 【分析】由函数的平均变化率进行求解． 【详解】从出生到第3个月，该婴儿体重的平均变化率为（千克/月）． 从第6个月到第12个月，该婴儿体重的平均变化率为（千克/月）． 因为，所以该婴儿在从出生到第3个月这段时间内体重的平均变化较快． 2．求函数在点处的瞬时变化率． 【答案】7 【分析】利用瞬时变化率的定义计算即可. 【详解】解： ． ． 当趋于0时，趋于． ∴函数在点处的瞬时变化率为7． 3．已知函数在处可导，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】应用导数定义计算求解. 【详解】因为 ，所以. 故选：A. 4．已知，则 （    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】分离系数，再根据导数定义即可得到答案. 【详解】由题意有：. 故选：D. 5．已知函数在处可导，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的定义及极限的运算性质求解. 【详解】 当时，， 所以， 故选：D． 6．已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为__________. 【答案】1 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】因为函数可导，且满足， 所以 ，所以， 所以函数在处的导数为. 故答案为： 题型二、导数四则运算法则（含复合函数） 7．若，则（   ） A．2 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】对给定等式两边求导，赋值求出即可. 【详解】由求导得：， 则，解得，即， 所以. 故选：A 8．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）结合根式与幂指数式的化简，利用导数运算法则和公式，直接求导； （2）结合对数运算化简，利用导数运算法则和公式，直接求导； （3）利用导数运算法则和公式，直接求导； （4）结合二倍角公式化简，利用导数运算法则和公式，直接求导. 【详解】（1）由， 则. （2）由， 则. （3）由， 则 . （4）由 ， 则. 9．求下列函数的导数. (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由基本初等函数的求导公式以及导数的四则运算代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由可得； （2）由可得； （3）由可得， 所以； 10．求下列函数的导函数 (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用幂函数与指数函数的求导法则求导即得； （2）利用乘法的求导法则求导即得； （3）利用除法的求导法则求导即得； （3）利用复合函数的求导法则求导即得. 【详解】（1） （2）因为， 所以； （3）因为， 所以； （4）因为， 所以. 11．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用基本初等函数的求导公式，导数的运算法则，复合函数的求导法则即可一一求解. 【详解】（1） （2） （3） （4） 12．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据导数的计算公式和运算法则、以及复合函数求导规则逐一计算即可. 【详解】（1） （2） （3） 13．求下列函数的导数. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用换元法结合复合函数求导计算求解； （2）应用乘法求导运算律及换元法，再结合复合函数求导计算求解. 【详解】（1）设， 则. （2）. 先求的导数. 设，则， . . 14．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）采用换元法，利用指数函数和一次函数的求导法则结合复合函数求导法则求解； （2）采用换元法，利用对数函数和指数、幂函数的求导法则结合复合函数求导法则求解； （3）采用换元法，利用正弦函数和一次函数的求导法则结合复合函数求导法则求解； （4）采用换元法，利用幂函数和一次函数的求导法则结合复合函数求导法则求解． 【详解】（1）令，则， ． （2）令，则， ． （3）设， 则． （4）设， 则． 题型三、求在某点切线方程问题 15．已知曲线在点处的切线方程为，则值为（ ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】求导，根据导数的几何意义列方程，解方程即可. 【详解】由已知， 则， 且，， 由曲线在点处的切线方程为， 则， 解得， 故选：B. 16．已知直线与函数的图象相切，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．-5 【答案】A 【分析】利用导数来求出斜率，通过切线斜率来求切点坐标，再代入切线方程，即可求参数值. 【详解】由切线斜率，则，解得：或(舍去)， 因为，所以切点坐标为，代入切线方程得：， 故选：A. 17．曲线在处的切线方程为________． 【答案】 【分析】求出函数的导函数，代入即可求出切线的斜率，再利用点斜式即可得到切线方程. 【详解】函数，求导得，则，切点， 由点斜式得切线方程为，整理得． 故答案为：. 18．已知，则在处的切线方程为_____. 【答案】 【分析】求出，将代入，解出，利用导数的几何意义求出即为切线的斜率，将代入，求出即为切点的纵坐标，利用点斜式得到切线方程. 【详解】由，得，令，则，解得，所以， 所以在处的切线方程的斜率为， 又， 所以切线方程为：，即. 故答案为：. 19．设函数，则曲线在，处的切线方程为__________. 【答案】 【分析】求出，利用导数的公式求出，从而求出，利用点斜式得到在点处的切线方程. 【详解】， ， ， ， 曲线在点处的切线方程为， 即. 故答案为： 题型四、求过某点切线方程问题 20．函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用二倍角的正弦公式变形后设切点为，利用导数的意义得到切线方程，再对解的情况进行讨论可得. 【详解】， ， 设切点为，切线方程为， 将原点代入切线方程可得， 所以， 化简可得，解得或， 当时，，，切线方程为； 当时，解得，当为偶数时，对应的切线方程为；当为奇数时，对应的切线方程为； 所以共有3条不同的切线. 故选：C 21．过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点，结合导数的几何意义可得切线方程，根据切线过点，可得，进而确定切线斜率. 【详解】由，得， 设切点为， 则切线斜率， 即切线方程为， 又切线过点， 则， 整理可得， 解得或或， 则切线斜率为或或， 故选：D． 22．过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程. 【详解】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 23．已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________. 【答案】 【分析】首先讨论当时，去绝对值得到函数的解析式，然后求导求出切线斜率，然后将点代入得到切线方程，最后根据函数是偶函数，可求出时的切线方程，从而得到答案. 【详解】当时，，设切点为， 则切线斜率为，那么切线方程为， 将代入方程中解得，故切线方程为； 由于为偶函数，其图像关于轴对称， 故当时，切线方程为. 综上可知，切线方程为和. 故答案为：. 24．过点作曲线：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为______． 【答案】 【分析】由导数的意义得到切线的斜率，然后由点斜式得到切线方程，代入点结合切点在曲线上化简可得. 【详解】设， 由题意可得切线的斜率， 所以切线方程为， 代入点可得 因为切点在曲线上，所以，代入上式可得， ，化简可得， 又，所以， 同理 所以直线方程为. 故答案为： 题型五、切线的综合问题（平行、垂直及其公切线） 25．函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出与直线平行的切线，切线到直线的距离即为最小距离. 【详解】，令，即， 令，，恒成立， 故函数在上单调递增，且，故函数仅有一个零点， 令，，即切点横坐标为， 代入，切点坐标为，切线方程为：， 切线与直线之间的距离. 故选：C 26．已知在函数的图像上，在直线上，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】设函数上在点的切线恰与直线平行，利用导数的几何意义求出，则的最小值即为切点到直线的距离. 【详解】设函数上在点的切线恰与直线平行， 由，可得，则， 所以，解得， 所以的最小值为点到直线的距离. 故选：A 27．已知函数，，过原点分别作曲线，的切线，且两切线的斜率互为倒数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求得两条切线方程，然后根据斜率之间的关系可知，然后根据求得，最后可知结果. 【详解】设切线对应切点为，切线方程为， 将代入，解得，，从而． 设与曲线的切点为， ，解得，① 切线方程为， 将代入，得，② 将①代入②，得， 令，则， 在区间上单调递减，在区间上单调递增． 若，由，，则． 而在上单调递减，故； 若，因在区间上单调递增，且， 所以，与题设矛盾，故不可能． 综上，. 故选：B． 28．已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【详解】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 29．若直线与函数和的图象分别相切于点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先设切点，再求导函数得出点斜式即切线方程，结合公切线列方程求解得出点，最后应用两点间距离求解. 【详解】设，， 因为，， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 因为直线是两函数图象的公切线，所以， 由①可得，代入②得， 因为，所以，所以，， 所以. 故选：C． 30．已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 【答案】 【分析】先对曲线求导得到在处的切线斜率，再利用两直线垂直时斜率乘积为的关系求出参数的值. 【详解】，则曲线在处的切线的斜率， 由切线垂直得：，即． 故答案为： 31．已知曲线与曲线有两条公切线，且它们的斜率之积为1，则实数的取值范围为_____， 【答案】 【分析】根据题意利用导数的几何意义求出切线方程表达式，令，可知有两个不相等的实数根，且互为倒数，即可得，由可求出实数的取值范围. 【详解】设，， 由题意得存在实数，使得在处的切线和在处的切线重合， 所以，即， 由，即， 又由，即， 令，则题目转化为有两个不相等的实数根，且互为倒数， 设两根分别为，， 则由得， 化简得， 所以，即， 因为，所以， 故的取值范围为. 故答案为： 32．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线方程为___________． 【答案】 【分析】根据两直线垂直的关系得到切线斜率，再利用点在的图象上求出，利用点斜式写出直线方程即可. 【详解】由直线与切线垂直可得切线斜率， 又，即， 所以，解得得， 即切点坐标为， 故切线方程为，整理得：. 故答案为： 33．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】先求出曲线在点的切线方程，再设曲线的切点，利用公切线斜率相等求出，得到切点代入即可求解. 【详解】对求导得：，当时， ， 在点处的切线方程为：, 设曲线的切点为， ，又切点在切线上， ，代入曲线方程得. 故答案为：. 34．已知，曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)若，求曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求得，根据题意，得到，且 ，列出方程组，即可求得的值，得到答案； （2）由（1）得到，求得，设切点为，得到切线方程为，将点代入切线方程，求得的值，进而求得切线方程. 【详解】（1）解：由函数，其中，可得， 因为曲线在点处的切线方程为， 可得，且，即， 解得. （2）解：由（1）知，，可得， 设切点为，则切线的斜率，故切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 解得或，所以切点为或， 此时，曲线过点的切线方程为或. 35．已知函数，，若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求a，b的值. 【答案】 【分析】利用导数的定义求函数在处的切线斜率，根据公切线斜率相等求参数值. 【详解】∵， ∴，即切线斜率. ∵， ∴，即切线斜率. ∵在交点处有公共切线， ∴，又，即， 所以. 1．两条直线的夹角指的是两条直线所形成的小于或等于的角.若曲线与曲线的两条公切线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反函数的对称性可分析出倾斜角更大的直线的斜率是，设出该公切线在，的切点，根据导数的几何意义，用两种方式表达出切线方程，然后根据两个方程的截距相等列出等式，进而求解. 【详解】 由题易知，曲线与曲线关于直线对称， 由两条切线的夹角是，根据对称性知曲线的切线的倾斜角为， 即切线的斜率为. 设直线与曲线的切点坐标为， ，所以， 直线的方程为，即， 设直线和的切点坐标是， ，所以， 直线的方程为，即， 于是， 即，即 由，两边取对数可得， 由，得到，两边取对数得， 分别把上述条件代回原等式，得到， 即， 整理可得. 故选：C 2．在平面直角坐标系中有曲线和，直线与、分别相切于，直线（不同于）与、分别相切于点，则与交点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用导数的几何意义求出，的方程，联立方程求解即可. 【详解】解：设， 对，求导得， 所以在处的切线方程为， 即， 对，求导得， 所以在处的切线方程为， 即， 又因为是与的公切线， 所以， 解得或， 不妨取； 同理可得， 从而可得，即的方程为：， 同理可得，即的方程为：， 由，解得， 所以与交点的横坐标是. 故选：A. 3．已知函数（为自然对数的底数），，直线既与相切又与相切，则直线的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先设切点，再根据导数几何意义列等量关系，解出切点，即得切线方程. 【详解】设与相切于点，，则切线的斜率为， 切线方程：，即， 设与相切于点，，则切线的斜率为， 切线方程：，即 ∴，解得，或，， 则直线的方程：或．所以满足条件的直线有2条． 故选：C. 4．下列求导运算错误的是（） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用导数运算法则及基本函数的导数公式逐项求导判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BC 5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，解决相关的问题，已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若函数存在两个零点，且，则 C．若恒成立，则 D．当时，与存在两条公切线 【答案】ACD 【分析】对于当时，首先，再利用指对的切线放缩可得；对于B，根据函数的零点，结合图像分析可得，解不等式即可判断；对于C，由恒成立，可得与存在公共零点，然后可解的值；对于D，利用公切线的求解方式，建立方程组，然后判断解得个数即可. 【详解】选项A：当时，，当且仅当时取等号， 又，当且仅当时取等号，，故A正确； 选项B：存在两个零点且， 与的图象有两个交点， 结合图象可知，，即，故B错误； 选项C：恒成立， 又与在定义域内单调递增， 与存在公共零点， 且，故C正确； 选项D：设曲线的切点为，则切线斜率为， ∴切线方程为，即． 设曲线的切点为， ，∴切线斜率为，切线方程为， 即．由题意得，解得， 则，即， 设，则， 设，则， 则由得得， 则在上单调递减，在上单调递增， ，， 则由零点存在性定理可知，使得，即， 又因为当时，，则，则由得； 得，则在上单调递减，在上单调递增， 则， ， 则由零点存在性定理可知，在和上分别存在一个零点， 则方程存在两个根，和存在两条公切线，故D正确； 故选：ACD． 6．若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则_________． 【答案】 【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，利用导数求得切线方程，由斜率及在轴上的截距相等列式求得切点，代入切线方程求解值． 【详解】设直线与曲线相切于， 则直线方程为； 设直线与曲线相切于点， 则直线方程为． 得， 得， 该直线与曲线相切于， 即，得． 故答案为：． 7．已知是定义在上的可导函数，若，则_____. 【答案】 【分析】根据导数的定义计算即可. 【详解】因为是定义在上的可导函数，， 则. 故答案为：. 8．已知，则的值为______ 【答案】 【分析】利用导数的定义式直接求解即可. 【详解】由题意得， 则. 故答案为： 9．已知倾斜角为的直线l与曲线和都相切，则实数__________. 【答案】/ 【分析】首先设出切线与曲线的切点，根据导数的几何意义求切点坐标和切线方程，再设出切线与曲线的切点，根据导数的几何意义求实数的值. 【详解】，设直线l与曲线切于点， 则，得，所以直线l的方程为， 设直线l与曲线切于点，则， 所以点在直线l上，故，得. 故答案为： 10．求下列函数的导数. (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用导数运算法则及复合函数求导公式逐一求解. 【详解】（1）依题意，，因此. （2）依题意， . （3）依题意，. 11．（1）求下列函数的导数． （Ⅰ）；   （Ⅱ）； （2）已知函数．求在点处的切线方程； 【答案】（1）（Ⅰ）；（Ⅱ）；（2） 【分析】（1）利用复合函数的求导法则可得答案； （2）求解导数值得到斜率，点斜式可求切线方程. 【详解】（1）（Ⅰ），. （Ⅱ），. （2）因为，所以， ，， 所以在点处的切线方程为，即. 12．求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据题意，结合导数的运算法则及复合函数求导发法则，计算即可求解. 【详解】（1）解：由函数，根据导数的四则运算法则，可得； （2）解：由函数，根据导数的四则运算法则，可得； （3）解：由，根据导数的四则运算法则， 可得. （4）解：由函数，根据导数的四则运算法则， 可得 13．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】由基本初等函数的导数公式结合复合函数的求导法则逐项计算即可. 【详解】（1） （2） （3） （4） （5）. 14．已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线的方程； (2)证明：（1）中直线与函数的图象也相切. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出切线的斜率和切点坐标即得解； （2）设切点，求解此点处的切线，计算得证直线与函数图象相切； 【详解】（1）由题意知，，∴切线的斜率为1 ∴切线方程为 （2）设为函数图象上一点 令点处切线斜率为1，则， 当时，，此时 ∴点处的切线方程为，不符合题意 当时，，此时 ∴点处的切线方程为，即直线 ∴直线与函数的图象相切 15．已知函数．求曲线在点处的切线方程. 【答案】 【分析】先求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解； 【详解】，， ，， 所以在点处的切线方程为， 整理得：； 16．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程 (2)若曲线在点处的切线方程与曲线也相切，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解切线方程； （2）先求出曲线在点处的切线，然后设该切线与曲线的切点，利用导数的几何意义和题干已知条件列出方程即可求解. 【详解】（1），则， 则函数在点处的切线为，即. （2）， 在点处的切线与曲线也相切， 设切线与曲线的切点为，则， 故切线为，即， 即，解得. 17．（1）求曲线在处切线的方程； （2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值. 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）设公共点为，由求得后，再由求得． 【详解】（1），则， 时，，， 所求切线方程为，即； （2），，又， 设公共点为，由题意，解得，则， 从而，所以． 18．已知函数的图象记为曲线C. (1)若点A(2，4)在曲线C上，求过点A与曲线C相切的直线方程； (2)若过点B(2，0)作曲线C的切线恰有三条，且三条切线的切点横坐标构成等差数列，求实数的值. 【答案】(1)或 (2)2 【分析】（1）根据点坐标求得，利用导数求得切线方程. （2）设切点为，求得切线方程并代入点的坐标，利用等差数列的性质以及方程的思想列方程，化简求得的值. 【详解】（1）函数对应图象为曲线，因为点在曲线上， 所以，所以， ， 设切点为，切线方程为:，即， 因为切线过点，所以，即， ， ，所以或， 所以切点为或， 将或代入， 可得切线方程为：或． （2）函数，求导得， 设切点为，切线方程为，即， 切线过点，则， 依题意方程有三个不同解，且成等差数列， 设三个不同解为，且， ， 则，结合，得，， ，所以， 所以． 19．已知 函数图像上一点处的切线为. (1)当经过坐标原点时，求点 的横坐标； (2)若与曲线交于另一点， 在点处的切线为， 记，的斜率分别为，， 求 的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义写出切线方程，再把原点带入切线方程即可求解； （2）联立与切线计算出点的坐标，再利用导数的几何意义分别求出即可求解. 【详解】（1）设点的坐标为，则， 因为，所以切线的方程为， 由切线经过原点，把带入切线方程得：， 即或， 所以点的横坐标为或. （2）设点的坐标为，由（1）可知， 切线的方程为，整理得：，与联立得：， 即或， 所以，故， 因此. 20．（1）设（为常数），曲线与直线在点相切.求的值. （2）曲线在处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程. 【答案】（1），；（2）或 【分析】（1）由题意可得，利用导数的几何意义可得，计算即可求解； （2）求导，根据导数的几何意义求得切线方程，再根据平行线间距离公式列式计算即可求解. 【详解】（1）由曲线过点，可得，故， 由，得， 则， 此即为曲线在点处的切线的斜率， 由题意，得，故. （2）设，则， 切线方程为，即. 因为直线l与切线平行，所以可设直线l的方程为. 两平行线间的距离，解得或. 故直线l的方程为或. 21．已知函数（），.记，已知曲线在点 处的切线方程为. (1)求实数，的值： (2)若直线既是曲线的切线又是曲线的切线，试判断的条数，并给出证明. 【答案】(1)，. (2)切线仅有2条，证明见解析 【分析】（1）首先根据切线方程求出和的值，然后通过导数的运算法则求出,最后代入和的值，联立方程组求解和的值； （2）设出直线与和的切点，分别求出切线方程，然后根据两切线方程相同列出方程组，通过构造函数并分析其单调性，判断方程组解的个数，从而确定切线的条数. 【详解】（1）因为曲线在点处的切线方程为， 所以，. ，，∴. ，，∴. 综上，，. （2）设直线与的切点为（），， 则切线斜率，切线方程为，即. 设直线与的切点为，， 则切线斜率，切线方程为， 即. 因为直线是公切线，所以， 由①可得，代入②中，得， 整理得， 令（），， 因为恒成立，所以， 当时，为上的增函数， 当时，为上的减函数， 因为，所以在区间上存在唯一一个零点. 因为，， 所以在区间上存在唯一一个零点. 综上，在上仅有个零点，即切线仅有条. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $