第四章 数列（提升版）单元测试卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列单元测试卷（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．6 B．16 C．26 D．36 2．数列为单调递减的等比数列，且，则公比（    ） A． B． C． D． 3．已知，下列命题中错误的是（   ） A．若，则数列为等差数列. B．若等比数列的首项，公比，则数列为单调递增数列. C．若等比数列的公比，则数列中不存在成等差的三项. D．设公差不为0的等差数列的前项和为，若数列单调递增，则数列单调递增. 4．设为数列的前项积，已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，，则的前20项和为（    ） A．299 B．300 C．301 D．302 6．设等差数列的前n项和为，且（），若，则（   ） A．的最大项是 B．的最小项是 C．的最大项是 D．的最小项是 7．某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法错误的是（ ） （参考：：计算结果精确到分） A．等额本息方案，每月还款金额为10196.07元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2340元 D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 8．已知等比数列的公比大于0，，，若，则正整数的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的首项，且满足，下列说法正确的是（    ） A． B．数列为等比数列 C．数列是递增数列 D．若，则的最小值为11 10．已知数列的首项，则（    ） A．是等比数列 B． C．数列的前项和为 D．数列的前项和为 11．已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列为等差数列 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．为了加强城市环保建设，某市计划用若干年时间更换5000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型两种车型．今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车300辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．市政府根据人大代表的建议，要求5年内完成全部更换，则a的最小值为________． 13．已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 14．已知等比数列的前项和为，且．在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若为数列的前项和，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．记数列的前项和为，满足．记数列的前项和为，满足， (1)求数列的通项公式： (2)求数列的通项公式： (3)求数列的前项和． 16．在数列中，． (1)求的通项公式； (2)设为的前项和，求数列的前项和． 17．记数列的前项和为，已知为常数列. (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 18．已知正项数列的前n项和为，且，表示不超过x的最大整数，如，，. (1)求数列的通项公式： (2)记，求的值； (3)记，若，求n的最小值. 19．已知数列满足 (1)求证：为等差数列； (2)设，记数列的前项和为， ①求； ②若，求的取值范围． 2 / 4 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列单元测试卷（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．6 B．16 C．26 D．36 【答案】C 【解析】解法1：设等比数列的公比为. 若，则，此时，与已知矛盾，故. 由，得， 于是. 解法2：因为为等比数列，所以仍为等比数列. 令（），由已知，可得. 根据等比数列的等比中项性质，有，解得. 由，得， 因，两边同时除以，得. 所以. 2．数列为单调递减的等比数列，且，则公比（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且为单调递减的等比数列， 联立，解得， 所以，故． 3．已知，下列命题中错误的是（   ） A．若，则数列为等差数列. B．若等比数列的首项，公比，则数列为单调递增数列. C．若等比数列的公比，则数列中不存在成等差的三项. D．设公差不为0的等差数列的前项和为，若数列单调递增，则数列单调递增. 【答案】C 【解题思路】根据等差数列、等比数列的定义和性质分别对选项进行判断即可. 【解析】， 故数列是首项为，公差为的等差数列，故A正确. 等比数列的公比，且时，， 数列为单调递增数列，故B正确. 假设等比数列首项，公比，则， ，成等差数列，故C错误. 设等差数列是首项为，公差为， 又数列单调递增，对所有成立，且公差， 若，则存在N使得当时，矛盾， 故且 ， 则，故数列单调递增，故D正确. 故选：C. 4．设为数列的前项积，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由为数列的前项积，则， 则由，可得当时，有， 又当时，，则由可得， 即，则，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故，故A正确. 5．已知数列满足，，则的前20项和为（    ） A．299 B．300 C．301 D．302 【答案】B 【解题思路】利用等差数列的求和公式及分组求和的方法求解. 【解析】由题意知数列满足，，， 所以. 所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由，知， 数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列. 从而数列的前20项和为： . 故选：B. 6．设等差数列的前n项和为，且（），若，则（   ） A．的最大项是 B．的最小项是 C．的最大项是 D．的最小项是 【答案】D 【解题思路】由已知不等式推出公差，再结合得出且，从而判断出前项和的最小项为. 【解析】， 对于等差数列，，代入得：， 又因为，代入化简可得：， 对所有成立，故公差； 因为，数列递增，故，由，且； 因此：当时，，当时，； 前项和在由负转正时取得最小值，即是最小项. 故选：D 7．某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法错误的是（ ） （参考：：计算结果精确到分） A．等额本息方案，每月还款金额为10196.07元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2340元 D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 【答案】D 【解题思路】A选项，设第个月贷款利息为，偿还本金为，得到数列是以为公比的递增等比数列，利用等比数列求和公式得到，求出每月还款的本息和；B选项，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为30元，B正确；C选项，利息和为；D选项，等额本息低于等额本金方案前半段时间还款额，高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响，不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案. 【解析】对于A，设第个月贷款利息为，偿还本金为， 则，， 则， ， 则， 同理得，，……，， 所以数列是以为公比的递增等比数列， 则有，得， 所以每月还款的本息和为， 所以A正确; 对于B，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为元， 本息和应为10030元，故B正确； 对于C，利息和为（元）， 故C正确； 对于D， 由A知等额本息还款利息和为 ， 两种贷款方案各有优劣，比等额本金高，但等额本金方案起初还款金额高，还款压力大， 还款金额逐年递减；等额本息每月还款金额相同，低于等额本金方案前半段时间还款额， 高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响两种方案的收益， 故不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案，故D错误. 故选：D. 8．已知等比数列的公比大于0，，，若，则正整数的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解题思路】根据等比数列的通项公式求解即可. 【解析】设等比数列的公比为. 由可得，，即， 又，所以，解得或（舍去）. 由可得，， 即，所以. 所以，解得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的首项，且满足，下列说法正确的是（    ） A． B．数列为等比数列 C．数列是递增数列 D．若，则的最小值为11 【答案】BC 【解题思路】对递推公式取倒数，进行变形即可判断出选项B；根据等比数列的通项公式求出，即可判断选项A；对通项公式分离常数，结合复合函数单调性的判断方法即可判断出选项C；解不等式即可判断出选项D. 【解析】由可得，，则. 所以是以为首项，为公比的等比数列，故B正确. 所以，即， 所以数列的通项公式为. 所以，故A错误. 因为，当增大时，增大，减小，增大， 所以是递增数列，故C正确. 若，则，即，整理得， 因为，，， 所以，解得，所以的最小值为12，故D错误. 10．已知数列的首项，则（    ） A．是等比数列 B． C．数列的前项和为 D．数列的前项和为 【答案】BD 【解题思路】根据已知条件，利用构造法得到数列是等比数列，进而求出，判断选项B，利用等比数列定义，即可判断选项A，结合分组求和法判断选项C，利用裂项相消法，判断选项D. 【解析】因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，故B正确； 所以，常数，A错误； 因为数列的前项和为 ，所以C不正确； 记数列的前项和为， 因为， 所以， 故D正确． 11．已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列为等差数列 C． D． 【答案】BCD 【解题思路】利用等比数列的定义可判断A选项；利用等差数列的定义可判断B选项；结合AB选项中两个数列的通项公式可求得数列的通项公式，可判断C选项；利用分组求和法可判断D选项. 【解析】对于A选项，因为，所以， 则是首项为，公比为的等比数列，A错； 对于B选项，因为，所以，且， 所以数列为首项为，公差为的等差数列，B对； 对于C选项，由A选项可得①， 由B选项可得②， 联立①②可得，C对； 对于D选项，，D对. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．为了加强城市环保建设，某市计划用若干年时间更换5000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型两种车型．今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车300辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．市政府根据人大代表的建议，要求5年内完成全部更换，则a的最小值为________． 【答案】182 【解题思路】由题可知，每年投入的电力型公交车数量构成等比数列，每年投入的混合动力型公交车数量构成等差数列.因此从题中找到等比数列的首项和公比，及等差数列的首项和公差，根据等比数列的求和公式以及等差数列的求和公式得到5年来投入的公交车数量和，列出不等式求解即可. 【解析】依题意知，每年投入的电力型公交车数量组成首项为128，公比为的等比数列， 每年投入的混合动力型公交车数量组成首项为300，公差为a的等差数列， 则5年共投入的两类公交车共有. 所以，即，解得，因为， 所以的最小值为182． 故答案为：182. 13．已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【解题思路】利用已知求的方法，分别讨论时，与时，的通项，再进行验证； 【解析】由， 当时，， 当时，， 两式相减，得，即， 所以， 所以， 所以， 由于时，不满足上式， 所以. 故答案为：. 14．已知等比数列的前项和为，且．在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若为数列的前项和，则______． 【答案】 【解题思路】利用递推式结合等比数列性质求出，进而求出及，从而得出表达式，再利用错位相减法化简，求出． 【解析】当时，，则， 即，故公比为3； 当时，，解得， ， 由题意知，，则， 解得，， 令，则①， ②， 用①减②得，， 解得， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．记数列的前项和为，满足．记数列的前项和为，满足， (1)求数列的通项公式： (2)求数列的通项公式： (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用，的关系可求得； （2）由，可得递推关系，进而可得，可求通项公式； （3）利用错位相减法可求得. 【解析】（1） 当时， 当时，， 数列是首项为2，公比为2的等比数列， （2）由得， 整理得①， ② ②-①得，即 即数列是等差数列， ，，， （3）由（1）（2）得 ， ， 两式相减， 即数列的前项和. 16．在数列中，． (1)求的通项公式； (2)设为的前项和，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）通过变形递推关系式并构造常数列求解； （2）通过等差数列前项和公式、裂项相消求和法求解. 【解析】（1）因为，所以， 所以数列是常数列， 又，所以，故． （2）由（1）可知，是等差数列，则， 所以， 故， ． 17．记数列的前项和为，已知为常数列. (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由为常数列，得到，利用及已知即可得到证明，从而求得通项公式； （2）先求出通项，再利用错位相减法求和即可. 【解析】（1）由， 可得， 又为常数列， 所以， 即， 当时，， 所以，当时，，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 故； （2）因为，所以，， ， ， 所以 ， 所以 18．已知正项数列的前n项和为，且，表示不超过x的最大整数，如，，. (1)求数列的通项公式： (2)记，求的值； (3)记，若，求n的最小值. 【答案】(1) (2)2551 (3)316 【解题思路】（1）利用递推关系可证明等差数列求通项公式； （2）利用分组求和，放缩求和可求值； （3）利用对数运算性质来估计项数，即可求解. 【解析】（1）由，当时，可得， 两式相减可得： 所以，（），又因为， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，即； （2）由， 则， 因为， ， 所以， 即. （3）由，则，，，， 可得：当时，，， 当时，记 则 两式相减可得： 则， 因为时，，，所以 则 所以，因为，所以，所以. 19．已知数列满足 (1)求证：为等差数列； (2)设，记数列的前项和为， ①求； ②若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【解题思路】（1）要证明为等差数列，可根据等差数列的定义，通过计算是否为常数来判断； （2）①先根据(1)求出的通项公式后，进而可得到的通项公式，求出的表达式，然后利用错位相减法求出， ②由恒成立，可将m分离出来，通过求数列的最大值来确定m的取值范围. 【解析】（1）由． 则数列是以为首项，2为公差的等差数列. （2）， 所以数列的通项公式为； ①由（1）得; 则． 于是， 以上两式相减得： 所以 ②由，得．令， 所以， 所以不是数列的最大项，不妨设的第项取得最大值． 由，即，解得， 即数列的最大值为，所以， 即的取值范围是 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $