第四章 数列（基础版）单元测试卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列单元测试卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数列，，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 3．等比数列的前n项和为，若，则（   ） A．48 B．36 C．42 D．31 4．在等差数列中，为其前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．设等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，设数列的前项和为，则数列的前项和为（ ） A．920 B．952 C． D．-920 7．某医院月初购买一台医疗设备价格为万元，实行分期付款（每月底付款），每期付款数相同，每月为一期，如果按月利率，每月复利一次，若6个月付清，共付万元，若12个月付清，共付万元，则、满足（     ） A． B． C． D． 8．设等差数列的前项和为，公差，且，，则使的的最大值为（   ） A．1013 B．1012 C．2026 D．2027 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于数列的命题是假命题的是（   ） A．常数列一定是等比数列 B．1和4的等比中项是2 C．等差数列中，若，则 D．等比数列中，，则 10．下列说法正确的有（ ） A．在等差数列中，，，则前9项和. B．已知为等比数列的前项和，，，则. C．已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则. D．数列为等比数列，，，则. 11．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，6，15，28，…称为六边形数，将六边形数按从小到大的顺序排成数列，则（   ） A． B． C．是等比数列 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知下列数列：①2016，2017，2018，2019，2020，2021；②1，，，…，，…；③1，，，…，，…；④1，0，，…，，…；⑤2，4，8，16，32，…；⑥，，，.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________（填序号）. 13．已知正项数列的前项和为，且，则__________. 14．已知数列的通项公式为，求使取得最大值时的n的值_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在等比数列中． (1)已知，，求； (2)已知，，求． 16．已知数列是等差数列，其中，． (1)求数列的通项公式． (2)数列从哪一项开始小于0． (3)求数列前n项和的最大值，并求出对应n的值． 17．已知公比大于1的等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 18．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元．由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长．求年内的总投入与年内旅游业的总收入． 19．记数列的前n项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，若，，求t的取值范围． 2 / 3 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列单元测试卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数列，，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 得该数列的通项公式可以为． 2．已知数列满足，则（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】B 【解析】依题意得． 故数列的周期为3，所以． 3．等比数列的前n项和为，若，则（   ） A．48 B．36 C．42 D．31 【答案】D 【解题思路】求出，的值，进而可求得，的值，然后利用等比数列的求和公式可求得的值. 【解析】由等比数列的性质可得： ， 又因为，所以解得或， 因为，，所以， 所以，， 所以，， 解得，， 根据等比数列的求和公式可得： ． 故选：D. 4．在等差数列中，为其前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用等差数列前项和的性质可知，，也成等差数列，结合等差中项求解即可. 【解析】在等差数列中，，，仍成等差数列， 所以，，成等差数列. 所以，即， 解得. 5．设等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等差数列的性质即可求解. 【解析】因为， 所以． 6．已知数列满足，设数列的前项和为，则数列的前项和为（ ） A．920 B．952 C． D．-920 【答案】B 【解题思路】由通项与前项和的关系求出数列的通项公式，进而求得，结合等差数列的求和公式可得出结果. 【解析】数列满足， 当时，； 当时，由， 可得， 上述两个等式作差可得， 化简可得，也满足， 故对任意的，， 所以， 所以，数列的前项和为 . 7．某医院月初购买一台医疗设备价格为万元，实行分期付款（每月底付款），每期付款数相同，每月为一期，如果按月利率，每月复利一次，若6个月付清，共付万元，若12个月付清，共付万元，则、满足（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设每期付款额为，共付期，月利率为, 则，即 则， 所以，， 所以，故． 8．设等差数列的前项和为，公差，且，，则使的的最大值为（   ） A．1013 B．1012 C．2026 D．2027 【答案】A 【解题思路】根据等差数列前项和公式，求出首项和公差之间的关系式，根据等差数列通项公式，求出结果. 【解析】由得，化简得， 因为，则 由得，化简得， 即， 所以使成立的的最大值为1013. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于数列的命题是假命题的是（   ） A．常数列一定是等比数列 B．1和4的等比中项是2 C．等差数列中，若，则 D．等比数列中，，则 【答案】ABD 【解析】对A，若常数列每项都为0，则其不是等比数列，故A是假命题； 对B，1和4的等比中项是，故B错误； 对C，等差数列中，，则，解得，则，故C为真命题； 对D，等比数列中，成等比数列， 因为，则，则，则， ，则，故D为假命题. 10．下列说法正确的有（ ） A．在等差数列中，，，则前9项和. B．已知为等比数列的前项和，，，则. C．已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则. D．数列为等比数列，，，则. 【答案】AD 【解析】A：，正确. B：， ，所以，错误. C：由，错误. D：，所以，正确. 11．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，6，15，28，…称为六边形数，将六边形数按从小到大的顺序排成数列，则（   ） A． B． C．是等比数列 D． 【答案】ABD 【解题思路】根据数列中相邻两项之间的关系，得到递推关系，结合累加法、等差数列前项和公式、等比数列的定义、比较法、代入法逐一判断即可. 【解析】在数列中，有， 进一步，得， 所以可以得到递推关系：，即， 因为，显然不是常数， 所以数列不是等比数列，选项C不正确； 当时， ， 显然也成立. 因为，， 所以选项AB正确； 所以选项D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知下列数列：①2016，2017，2018，2019，2020，2021；②1，，，…，，…；③1，，，…，，…；④1，0，，…，，…；⑤2，4，8，16，32，…；⑥，，，.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________（填序号）. 【答案】 ①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④ 【解析】①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷数列、摆动数列； ④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列； ⑥为有穷数列，也是常数列. 13．已知正项数列的前项和为，且，则__________. 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用数列前项和与第项的关系化简给定等式，利用等差数列定义求出即可. 【解析】正项数列中，当时，， 整理得，则数列是首项，公差为1的等差数列， ，当时，，因此，而不满足上式， 所以. 故答案为： 14．已知数列的通项公式为，求使取得最大值时的n的值_________ 【答案】3 【解题思路】利用作差法得，设，再利用作差法可判断的单调性，结合的符号可得的单调性，从而得取得最大值时的n的值. 【解析】, 设， 则 ， 故为递减数列，而，，， 故当时，，当时，， 故当时，即； 当时，即， 故使取得最大值时的n的值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在等比数列中． (1)已知，，求； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由等比数列的通项公式得． （2）设等比数列的公比为则，解得， 所以． 16．已知数列是等差数列，其中，． (1)求数列的通项公式． (2)数列从哪一项开始小于0． (3)求数列前n项和的最大值，并求出对应n的值． 【答案】(1) (2)从第5项开始小于0 (3)76，4 【解题思路】（1）由首项和公差可求出通项公式为； （2）令，解不等式再由，可得第5项开始小于0； （3）由等差数列前n项和公式可得，再由二次函数性质可得最大值以及对应n的值. 【解析】（1）由题意数列的通项公式为 （2）由（1）可知， 令，解得， 因为，所以数列从第5项开始小于0． （3）由（1）可知， 所以其前项和为， 而二次函数的对称轴为，和它最接近的整数为4， 因此当时，数列前n项和有最大值. 17．已知公比大于1的等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意，设等比数列的公比为， 则，两式相除得，解得或（舍去）， 则，即. （2）由，得， 所以， 两式相减得， 则. 18．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元．由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长．求年内的总投入与年内旅游业的总收入． 【答案】年内的总投入为万元，年内旅游业的总收入为万元 【解题思路】依题意得每年的投入资金数构成首项为800，公比为的等比数列，每年的旅游业收入资金数构成首项为400，公比为的等比数列，即可求解． 【解析】解：由题意知第1年投入800万元，第2年投入万元， …… 第年投入万元， 所以每年的投入资金数构成首项为800，公比为的等比数列． 所以年内的总投入（万元）． 由题意知，第1年旅游业的收入为400万元， 第2年旅游业的收入为万元， …… 第年旅游业的收入为万元， 所以每年的旅游业收入资金数构成首项为400，公比为的等比数列． 所以年内旅游业的总收入（万元）． 故年内的总投入为万元， 年内旅游业的总收入为万元． 19．记数列的前n项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，若，，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用的关系，可求数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法可求，利用等比数列的前n项和公式可求得，可求t的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， 当时，，所以，即， 则是首项为1，公比为3的等比数列， 所以的通项公式为． （2）由（1）可得， 所以， 因为，， 所以t的取值范围为． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $