福建福州屏东中学2025-2026学年下学期3月阶段九年级数学试题

福建福州屏东中学2025-2026学年下学期3月阶段九年级数学试题 一、单选题（共10小题，每题4分，共40分） 1．下列各数中，是无理数的是(　　) A． B．3.14 C． D． 2．是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一．如图所示的陀螺是由圆锥与圆柱组成的几何体，其俯视图是（    ） A． B． C． D． 4．生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（    ）    A． B． C． D． 5．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（    ） A． B． C． D． 7．如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．元旦期间，某商场开展促销活动，将原来获利30%的某品牌服装以八折出售，结果每件获利60元，求这种服装每件成本价为多少元？若设这种服装每件成本价为元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④ED＝2EA；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 10．已知二次函数的图象经过两点，则下列判断正确的是（   ） A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有 C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11．因式分解：________． 12．不等式的解集为_____. 13．学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，那么这12名学生测试成绩的众数是___________．（单位：分） 14．为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫C可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为___ ．（结果精确到1cm，参考数据：） 15．反比例函数，图象如图所示，点A在图象上，连接交图象于点B，则的值为______． 16．如图，边长为的正方形分别为各边中点，连接， 交点分别为，那么四边形的面积为____________． 三、解答题（共9小题，共86分）（共86分） 17．（本题8分）计算： (1) 18．（本题8分）如图，在菱形中，点E，F分别在，上，且．求证：． 19．（本题8分）（本题共有2小题，每小题4分，共8分） （1）解方程： 20．（本题8分）小明家准备购置一辆电动小汽车，根据家庭需求决定在甲，乙两种型号中选择一款，他们查阅了某权威机构对这两台汽车的评分如下表（单项评分满分10分）： 型号 外观 配置 舒适性 安全性 甲 7 8 6 9 乙 9 8 7 7 (1)若通过平均分来确定最终评分，小明会选择___________型号的小汽车？（填“甲”或“乙”） (2)小明一家人认为各项都有不同的“重要程度”，大家商定外观、配置、舒适性和安全性按的比例来确定最终的选择．你认为小明家会选择哪个型号的小汽车？请通过计算说明． 21．（本题8分）如图，已知直线． (1)在，所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（）的条件下，若与间的距离为4，点，，分别在，，上，且以为直角的等腰直角三角形，求的面积． 22．（本题10分）【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：．其中称盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆称．设定，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务：确定和的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于的方程； (2)当称盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出和的值． 23．（本题10分）已知实数a、b、c、m、n满足，． (1)当时，求证：； (2)若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 24．（本题12分）抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧）． （1）求b与m的数量关系； （2）若直线与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），且在内部． ①当时，求证：平分； ②当时，，分别交y轴于C，D两点，求证：是一个定值． 25．（本题14分）如图，为的直径，射线与相切于点A，点C为射线上的一个动点，交于点D． (1)若，，垂足为E，连接． ①求的度数及的值． ②求证： (2)连接，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建福州屏东中学2025-2026学年下学期3月阶段九年级数学试题 一、单选题（共10小题，每题4分，共40分） 1．下列各数中，是无理数的是(　　) A． B．3.14 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】首先化简各数，再利用无理数的定义分析得出答案． 【详解】A．是无理数，故此选项正确； B．3.14是有理数，故此选项错误； C．2，是有理数，故此选项错误； D．2，是无理数，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了无理数的定义，正确化简各数是解答本题的关键． 2．是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，6710亿， 故选：B 3．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一．如图所示的陀螺是由圆锥与圆柱组成的几何体，其俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题关键．根据俯视图的定义逐项判断即可得． 【详解】解：陀螺的俯视图是： 故选：D． 4．生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】过B作，然后根据平行线的性质和垂线的定义即可得解 ． 【详解】解：如图，过B作，    ∵， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的综合应用，熟练掌握平行线的性质和垂线的定义是解题关键． 5．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】根据同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，合并同类项逐项计算判断即可． 【详解】，故A错误，不符合题意； ，故B错误，不符合题意； ，故C错误，不符合题意； ，故D正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，合并同类项．掌握各运算法则是解题关键． 6．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，其中抽到的两个素数之和小于10的结果有8个，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图： 共有12个等可能的结果，抽到的两个素数之和小于10的结果有8个，∴抽到的两个素数之和小于10的概率为． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了列表法与树状图法求概率以及概率公式，正确画出树状图得出所有的可能是解题关键． 7．如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；连接，由切线的性质得，根据四边形的内角和可求出，再由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．元旦期间，某商场开展促销活动，将原来获利30%的某品牌服装以八折出售，结果每件获利60元，求这种服装每件成本价为多少元？若设这种服装每件成本价为元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，此题的关键是理解成本价、标价、售价之间的关系及打八折的含义．先理解题意找出题中存在的等量关系可得：元，再整理即可． 【详解】解：设这种服装每件成本价为元，则这件衣服的标价为，打8折后售价为， 可列方程为， ∴， 故选：B． 9．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④ED＝2EA；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.65 【分析】根据轴对称的性质可得∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，再根据周角等于360°列式计算即可求出∠EAD＝90°，判断出①正确；再求出∠BAE＝∠CAD＝60°，根据翻折可得∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，利用三角形的内角和定理可得∠BOE＝∠BAE，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出③正确；无法求出∠ADE＝30°，判断出④错误；判断出△ABP和△AEQ不全等，从而得到BP≠EQ，判断出⑤错误． 【详解】∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形， ∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD， ∴∠EAD＝3∠BAC−360°＝3×150°−360°＝90°，故①正确； ∴∠BAE＝∠CAD＝（360°−90°−150°）＝60°， 由翻折的性质得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC， 又∵∠EPO＝∠BPA， ∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确； ∵△ACE≌△ADB， ∴S△ACE＝S△ADB，BD＝CE， ∴BD边上的高与CE边上的高相等， 即点A到∠BOC两边的距离相等， ∴OA平分∠BOC，故③正确； 只有当AC＝AB时，∠ADE＝30°，才有2EA＝ED，故④错误； 在△ABP和△AEQ中，∠ABD＝∠AEC，AB＝AE，∠BAE＝60°，∠EAQ＝90°， ∴BP＜EQ，故⑤错误； 综上所述，结论正确的是①②③共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质的综合运用，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 10．已知二次函数的图象经过两点，则下列判断正确的是（   ） A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有 C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有 【答案】A 【难度】0.4 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意，用含的代数式分别表示出和，再一次对所给选项进行判断即可． 【详解】解：由题知，；， ， 令得，， 解得． ， 抛物线的开口向下， 当时，． 故A选项符合题意，B选项不符合题意 ，， ． 故不可以找到一个实数，使得， 选项C、D不符合题意． 故选：A． 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11．因式分解：________． 【答案】 【难度】0.95 【分析】利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：． 12．不等式的解集为_____. 【答案】 【难度】0.94 【分析】移项可得，即为所求解集. 【详解】解：，移项可得， 所以解集为： 【点睛】本题主要考查了不等式的解法，考查运算能力，属于基础题. 13．学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，那么这12名学生测试成绩的众数是___________．（单位：分） 【答案】90 【难度】0.94 【分析】本题考查了求一组数据的众数﹒“一组数据中出现次数最多的数，是这组数据的众数”，据此即可求解． 【详解】解：这12名学生测试成绩的众数为出现次数最多的分数，成绩为90分的有4人，次数最多， ∴这12名学生测试成绩的众数为90分． 故答案为：90． 14．为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫C可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为___ ．（结果精确到1cm，参考数据：） 【答案】/86厘米 【难度】0.85 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作出适当的辅助线，构造出直角三角形是解题的关键；作于H，作地面于P，利用三角函数求出即可． 【详解】解：如图，作于H，作地面于P， 由题知，， ∴， ∴坐垫C离地面高度约为， 故答案为：． 15．反比例函数，图象如图所示，点A在图象上，连接交图象于点B，则的值为______． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象，作轴于M，轴于N，根据反比例函数系数k的几何意义得到，，然后根据三角形相似的性质求得结论． 【详解】解：作轴于M，轴于N， ∵点A在图象上，连接交图象于点B， ∴，， ∵， ∴, ∴， ∴， 故答案为： 16．如图，边长为的正方形分别为各边中点，连接， 交点分别为，那么四边形的面积为____________． 【答案】5 【难度】0.65 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握正方形的性质证明三角形全等是解题的关键． 根据题意得到，，则有，由勾股定理得到，，则有，由此代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，点是各边中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 同理，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：5． 三、解答题（共9小题，共86分）（共86分） 17．（本题8分）计算： (1) 【答案】(1) 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，再计算加减法即可得到答案； 【详解】（1）解： ； 18．（本题8分）如图，在菱形中，点E，F分别在，上，且．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定及性质，由菱形的性质得到，，再由等角的补角相等得到，即可证得，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19．（本题8分）（本题共有2小题，每小题4分，共8分） （1）解方程： 【答案】（1）无解 【难度】0.65 【详解】试题分析：（1）先分式两边同乘以最简公分母2 x，然后解整式方程，检验即可； 试题解析：（1）去分母，得： 1 (1 x)=" 3(2" x)    (2分) 解得：x=2 经检验知x=2是增根 所以原方程无解   (4分) 20．（本题8分）小明家准备购置一辆电动小汽车，根据家庭需求决定在甲，乙两种型号中选择一款，他们查阅了某权威机构对这两台汽车的评分如下表（单项评分满分10分）： 型号 外观 配置 舒适性 安全性 甲 7 8 6 9 乙 9 8 7 7 (1)若通过平均分来确定最终评分，小明会选择___________型号的小汽车？（填“甲”或“乙”） (2)小明一家人认为各项都有不同的“重要程度”，大家商定外观、配置、舒适性和安全性按的比例来确定最终的选择．你认为小明家会选择哪个型号的小汽车？请通过计算说明． 【答案】(1)乙 (2)甲 【难度】0.85 【分析】本题考查了平均数和加权平均数： （1）分别求出甲乙的平均分，比较大小即可作答； （2）用加权平均数公式计算． 【详解】（1）解：甲的平均分：， 乙的平均分：， ， 小明会选择乙型号的小汽车． 故答案为：乙． （2）解：甲的加权平均分为， 乙的加权平均分为， ， 小明会选择甲型号的小汽车． 21．（本题8分）如图，已知直线． (1)在，所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（）的条件下，若与间的距离为4，点，，分别在，，上，且以为直角的等腰直角三角形，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了基本作图，垂直平分线的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先作出与的垂线，再作出夹在中间垂线段的垂直平分线即可； （）由与间的距离为，，，设，然后用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作的直线； （2）解：如图，与间的距离为，，， 设， 则，解得， ∴． 22．（本题10分）【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：．其中称盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆称．设定，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务：确定和的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于的方程； (2)当称盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出和的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【分析】本题主要考查二元一次方程及方程组的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴； （2）由题意得：， ∴， ∴； （3）由（1）（2）可得：， 解得：； 23．（本题10分）已知实数a、b、c、m、n满足，． (1)当时，求证：； (2)若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）先得出，，求出，再根据证明结论； （2）假设m，n没有一个奇数，则，都为偶数，所以为偶数，找出矛盾进而证明结论． 【详解】（1）解：因为，， 所以，， 所以， 因为，， 所以， 所以，即． （2）解：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数， 所以，都为偶数，即，都为偶数， 所以为偶数， 这与为奇数矛盾， 所以假设不成立， 所以m，n至少有一个为奇数． 24．（本题12分）抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧）． （1）求b与m的数量关系； （2）若直线与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），且在内部． ①当时，求证：平分； ②当时，，分别交y轴于C，D两点，求证：是一个定值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析． 【难度】0.15 【分析】（1）由、的中点在函数的对称轴上，则有，即可求； （2）①当时，，可求函数解析式为，联立，设，，，，则有，，过点作轴交于点，过点作轴交于点，得到，，，，所以，，可求得，所以，即可证明，所以平分； （3）由，可求，求的直线解析式为，直线的解析式为，所以，，则，，联立，由韦达定理可得，，所以，由在上，可得，所以为定值． 【详解】解：（1）点，的中点为，， 函数的对称轴为直线， ， ； （2）①当时，，， 将点代入，解得， ， 联立， 整理得， 设，，，， ，， 过点作轴交于点，过点作轴交于点， ，，，， ，， ， ， ， 平分； （3）， ， 由（2）可求的直线解析式为， 直线的解析式为， ，， ，， 联立， ， ，， ， 在上， ， ， ， 为定值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，此题综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质、灵活应用根与系数的关系． 25．（本题14分）如图，为的直径，射线与相切于点A，点C为射线上的一个动点，交于点D． (1)若，，垂足为E，连接． ①求的度数及的值． ②求证： (2)连接，求的最大值． 【答案】(1)①；； ②证明过程见详解； (2)的最大值是 【难度】0.65 【分析】（1）①根据“等边对等角”及三角形内角和定理可求得；先证得，再在中，，在中，可得，即可证明结论； ②过点作，交延长线于点，先证明，可得，，再证明，，再由相似三角形的判定可得结论； （2）证明，设，得成比例的线段，根据即可求解． 【详解】（1）解：①，且是的直径， ， 与相切于点A， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ； ②过点作，交延长线于点， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解：如图， 是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 时，， 的值最大为， 即的最大值为． 【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识，考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，熟练掌握相关图形的性质定理是关键． 试卷第1页，共3页 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