专题07 功和功率模型 讲义及课时精练 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

本讲义聚焦高中物理“功和功率”核心知识点，系统梳理功的定义、公式及正负判断，功率的平均与瞬时计算，变力做功的“六法”，并延伸至机车启动的两种模型，构建从基础概念到实际应用的学习支架。 资料通过购物车推力、电动汽车测试等实例，结合“六法”解变力功和机车启动图像分析，培养科学思维（模型建构、科学推理）与物理观念（能量、运动与相互作用）。例题精讲与课时精练结合，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

专题07 功和功率模型 模型一 功和功率的计算 1、 功和功率 1．功 (1)定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。 (2)必要因素：力和物体在力的方向上发生的位移。 (3)物理意义：功是能量转化的量度。 (4)公式W＝Fl cosα ①α是力与位移方向之间的夹角，l为物体的位移。 ②该公式只适用于恒力做功。 (5)功的正负 ①当0≤α<时，W>0，这表示力对物体做正功。 ②当<α≤π时，W<0，这表示力对物体做负功，或者说物体克服这个力做功。 ③当α＝时，W＝0，这表示力对物体不做功。 (6)功是标量：只有大小，没有方向，但有正负，正负不表示方向，表示力的作用效果是动力还是阻力。 2．功率 (1)定义：功W与完成这些功所用时间t的比值。 (2)物理意义：描述力对物体做功的快慢。 (3)公式 ①P＝：P为时间t内的平均功率。 ②P＝Fv a．v为平均速度，则P为平均功率。 b．v为瞬时速度，则P为瞬时功率。 c．当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解。 (4)额定功率：机械可以长时间工作的最大功率。 (5)实际功率：机械实际工作时的功率。 二、功率的计算 1．是否做功及做功正负的判断 (1)根据力与位移方向的夹角判断。 (2)根据力与瞬时速度方向的夹角α判断：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜α≤180°，力做负功。 2．计算功的方法 (1)恒力做的功：直接用W＝Fl cos α计算。 (2)总功的计算 方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合l cos α求功。 方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功。 3．“六法”求解变力做的功 方法 情境图 注释 微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动 运动一周克服摩擦力做功 Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR 等效 转换法 恒力F把物块从A拉到B 绳子对物块做功 W＝F· 图像法 一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0 在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功。 平均 值法 外力推动物块缓慢压缩轻质弹簧，使其向左移动Δx 力与位移为线性关系，力做功W＝Δx＝Δx，可得出弹簧弹性势能表达式为Ep＝k(Δx)2 利用 W＝P·t 计算 机车以恒定功率启动，牵引力为变力 牵引力的功W＝P·t 4．平均功率的计算方法 (1)利用＝。 (2)利用＝F·cosα，其中为物体运动的平均速度。 5．瞬时功率的计算方法 (1)利用公式P＝Fv cosα，其中v为某时刻的瞬时速度。 (2)利用公式P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。 (3)利用公式P＝Fv·v，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。 【例题精讲】 1．（2025秋•安顺期末）小华用大小为20N的水平推力，在10s内使重100N的购物车在水平地面上前进了5m，则小华推车过程中平均功率是（　　） A．0W B．5W C．10W D．50W 【答案】C 【解析】解：由题意可知，小华推车所做的功W＝Fl＝20×5J＝100J 求得小华推车过程中平均功率，故ABD错误，C正确。 故选：C。 2．（2025秋•鲤城区校级期末）如图所示是一种台阶式的自动扶梯，扶梯倾角为θ，一质量为m的人站在水平台阶上，随着扶梯一起以速度v斜向下做匀速运动，运动时间为t，重力加速度大小为g，则（　　） A．摩擦力对人做负功 B．合外力对人做正功 C．重力做功功率为mgvcosθ D．支持力做功为﹣mgvsinθ 【答案】D 【解析】解：AB.人随着扶梯一起以速度v斜向下做匀速运动，水平方向人不受静摩擦力，人受到的支持力与重力等大反向（即支持力竖直向上），所以摩擦力对人不做功，合力为0，合力不做功，故A错误； C.重力的功率为P＝mgv竖直，人斜向下运动，速度的竖直分量为vsinθ，因此重力做功功率为mgvsinθ，故C错误； D.支持力和速度之间成钝角，做功为W＝mgvt（﹣sinθ）＝﹣mgvtsinθ，故D正确。 故选：D。 3．（2025秋•锡林郭勒盟期末）如图，李同学课间用手握住板擦，在向右挥动手臂擦黑板的过程中，下列说法正确的是（　　） A．黑板给板擦的摩擦力水平向右 B．黑板对板擦的作用力水平向左 C．黑板和板擦间存在摩擦生热 D．手和板擦间存在摩擦生热 【答案】C 【解析】解：A.黑板给板擦的摩擦力水平向右。板擦相对于黑板向右滑动，滑动摩擦力的方向总是阻碍物体的相对运动，因此黑板给板擦的摩擦力水平向左，故A错误； B.黑板对板擦的作用力水平向左黑板对板擦的作用力是弹力（垂直黑板）与摩擦力（水平向左）的合力，合力方向为斜向左上方，并非水平向左，故B错误； C.黑板和板擦间存在摩擦生热，黑板与板擦之间存在相对滑动，属于滑动摩擦，滑动摩擦力做功会产生热量，故C正确； D.手和板擦间存在摩擦生热，手与板擦之间没有相对滑动，属于静摩擦，静摩擦力可以做功，但不会产生热量，故D错误。 故选：C。 4．（2026•合肥模拟）某电动汽车在平直路面上做性能测试，将运动简化处理后，其v﹣t图像如图所示。若整个过程中汽车受到的阻力恒定，则下列关于汽车牵引力F及其功率P随时间t变化的图像可能正确的是（　　） A． B．C． D． 【答案】C 【解析】解：AB.由v﹣t图像可知，0﹣t1时间内，汽车做匀加速运动，牵引力不变且大于阻力，t1﹣t2时间内，汽车匀速运动，牵引力等于阻力，故AB错误； CD.0﹣t1时间内，牵引力F＝f+ma1，t1﹣t2时间内，牵引力F＝f，t2﹣t3时间内，牵引力F＜f，由P＝Fv可知，t1和t2时刻牵引力均突然变小，其功率突然变小，故C正确，D错误。 故选：C。 5．（2025秋•台州期末）一辆汽车在平直公路上由静止开始启动，发动机的输出功率与汽车速度大小的关系如图所示，当汽车速度达到80km/h后，发动机的功率保持200kW不变，汽车能达到的最大速度为180km/h。已知运动过程中汽车受到的阻力恒定，汽车的质量为2.0×103kg。则（　　） A．汽车受到的牵引力始终是恒力 B．牵引力的施力物体是发动机 C．汽车受到阻力大小为9000N D．匀加速过程的位移大小约为100m 【答案】D 【解析】解：A.0～80km/h阶段：功率随速度增大，由P＝Fv可知，牵引力F恒定，80km/h之后，功率保持不变，速度增大时，根据，牵引力减小，故A错误； B.汽车的牵引力本质是地面给驱动轮的静摩擦力，施力物体是地面，故B错误； C.最大速度 vmax＝180km/h＝50m/s，此时牵引力与阻力合力为零，即，故C错误； D.匀加速末速度 此时牵引力： 根据F1﹣f＝ma 代入数据得a＝2.5m/s2，匀加速位移，故D正确。 故选：D。 6．（2025秋•顺义区校级月考）风洞是空气动力学研究和试验中广泛使用的工具。如图所示，在地面的M点以竖直向上的初速度v0抛出一小球，小球抛出后始终受到水平向左的恒定风力作用，竖直方向只受重力。经过一段时间后小球将以速度水平向左经过N点，最终落回地面上，不计风力以外的空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球在N点之后做平抛运动 B．小球上升和下落过程运动时间不相等 C．仅增大初速度，小球的水平位移变大 D．仅增大风力，小球落地瞬间重力的瞬时功率增大 【答案】C 【解析】解：A、过N点后，小球还受水平风力，不满足平抛运动只受重力的特点，故A错误； B、竖直方向上，小球先竖直上抛再做自由落体运动，由对称性知上升和下落过程运动时间相等，故B错误； C．在竖直方向增大初速度，由v0＝gt可知，时间2t增大。水平方向初速度为零的匀加速直线运动，根据位移公式，得水平位移x增大，故C正确； D．如图所示 根据P＝Fv，得PG＝mgvcosα，其中vcosα＝vy，得PG＝mgvy，竖直方向小球重力不变，小球回到地面时，竖直方向速度大小不变，故仅增大风力，小球落地瞬间重力的瞬时功率不变，故D错误。 故选：C。 7．（2025秋•海淀区校级期末）质量m＝1kg的物体，由离地面足够高的位置开始以v0＝10m/s的速度做平抛运动，下列说法正确的是（　　） A．运动1s内重力做的功为10J B．运动1s末重力的瞬时功率为100W C．运动1s内重力的平均功率为100W D．运动2s末重力的瞬时功率为200W 【答案】D 【解析】解：A.运动1s物体下落高度hgt210×12m＝5m 重力做的功WG＝mgh 代入数据得WG＝50J，故A错误； B.运动1s末竖直方向分速度vy＝gt 代入数据得vy＝10m/s，此时重力的瞬时功率P＝mgvy 代入数据得P＝100W，故B错误； C.运动1s内重力的平均功率 代入数据得50W，故C错误； D.运动2s末竖直方向分速度vy2＝gt 代入数据得vy2＝20m/s，此时重力的瞬时功率P2＝mgvy2 代入数据得P2＝200W，故D正确。 故选：D。 8．（2025秋•海南期末）如图所示，一物块沿固定斜面下滑，关于该过程，下列说法中正确的是（　　） A．摩擦力做负功，重力做正功 B．摩擦力做正功，重力做负功 C．支持力做正功，摩擦力做负功 D．支持力做正功，重力做正功 【答案】A 【解析】解：对物块受力分析如图所示 物块沿固定斜面下滑，重力与位移方向成锐角，做正功；支持力与位移垂直，不做功；摩擦力与运动方向相反，做负功，故A正确，BCD错误。 故选：A。 （多选）9．（2025秋•梅州期末）质量相等的小球A、B在同一高度分别水平抛出，已知小球落地碰撞反弹前后，竖直方向速度反向（大小不变），水平方向速度方向和大小均不变。小球A直接从a点运动到e点，小球B经多次反弹才至e点，两小球轨迹的交点a、b、c、d、e分布如图所示，其中两小球刚好在位置b相遇（未碰）。以下说法正确的是（　　） A．两小球在c位置不再相遇 B．AB两小球的抛出速度之比为5：1 C．两小球在b、c、d、e处重力的功率均相等 D．a、c两点的水平距离等于c、e两点的水平距离 【答案】ABD 【解析】解：A、由题意可知，两小球在b点相遇后，A球继续做平抛运动，而B球反弹后的运动轨迹与A球的轨迹不再重合（因水平速度不同、运动时间不同），因此c位置不再相遇。故A正确； B、用“镜像法”将B球的反弹轨迹等效为连续平抛，其水平位移与A球相同，但运动时间是A球的5倍，由x＝vAt＝vB•5t可得：vA：vB＝5：1，故B正确； C、由重力功率为：P＝mgvy可知，A球的竖直速度vy随时间均匀增大，而B球的竖直速度因反弹周期性变化（如b点B球的竖直速度可能为0或与A不同），因此功率不相等，故C错误； D、镜像法中等效轨迹的水平位移均匀分布，a到c与c到e的水平距离均为vAt1（A球的时间间隔相等），因此a、c两点的水平距离等于c、e两点的水平距离，故D正确。 故选：ABD。 模型二 机车启动问题 1．两种启动方式 两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P-t图像和v-t图像 OA段 过程分析 v↑⇒F＝↓⇒ a＝↓ a＝不变⇒F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1 运动性质 加速度减小的变加速运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝ AB段 过程分析 F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝ v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ 运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的变加速运动 BC段 无 F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝，以vm做匀速直线运动 2．两个重要关系式 (1)最大运行速度：无论哪种启动过程，机车的最大速度都为vm＝。 (2)匀加速运动阶段的最大速度：机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后达到额定功率，速度不是最大，即v＝<vm＝。 3、机车启动问题的解题技巧 1）无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vmax＝＝式中Fmin为最小牵引力，其大小等于阻力F阻). 2）机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，牵引力的功率最大，速度不是最大，此时的速度v＝＜vmax＝. 【例题精讲】 1．（2025秋•武威期末）分别用v、a、F、P表示机车运动的速度、加速度、牵引力和功率，则下列四个物理量与时间的图像，能表示机车以恒定功率启动的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：当机车以恒定功率启动时，根据P＝Fv，，速度v增大，牵引力F减小，加速度a逐渐减小到0后，机车匀速直线运动，此时牵引力等于阻力。对比各图可知ABD错误，C正确； 故选：C。 2．（2025春•北京校级期中）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持以额定功率运动，其v﹣t图像如图所示。已知汽车的质量为m＝1×103kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，g取10m/s2，则以下说法正确的是（　　） A．汽车在前5s内的牵引力为5×102N B．汽车速度为25m/s时的加速度为5m/s2 C．汽车的额定功率为100kW D．汽车的最大速度为80m/s 【答案】C 【解析】解：A、由v﹣t图像可知匀加速直线运动的加速度为：，根据牛顿第二定律可得：F﹣f＝ma，解得牵引力为：F＝f+ma＝0.1×1×103×10N+1×103×4N＝5×103N，故A错误； BC、汽车的额定功率为：P＝Fv＝Fat＝5×103×4×5W＝100kW，当汽车的速度是25m/s时，牵引力为：，此时汽车的加速度为：，故B错误，C正确； D、当牵引力与阻力相等时，速度最大，最大速度为：，故D错误。 故选：C。 3．（2025春•武昌区校级月考）刚刚发布的某品牌汽车Ultra版，凭借其超强的性能和合理的价格再次成为人们讨论的热点，中国汽车正在成为全世界的新焦点。某次此质量为m的车，在试验场行驶，启动阶段车牵引力保持不变，而后以额定功率继续行驶，经过一定时间，其速度由零增大到最大值vm。若所受阻力恒定，则下列甲、乙、丙、丁四个图像依次可以反映下列物理量随时间变化的关系，正确的是（　　） A．加速度、牵引力、速度、功率 B．速度、牵引力、加速度、功率 C．功率、加速度、牵引力、速度 D．牵引力、加速度、速度、功率 【答案】A 【解析】解：在试验场行驶，启动阶段车牵引力保持不变，根据牛顿第二定律F﹣f＝ma P＝Fv 初始时v＝at 当功率增大到额定功率后，v增大，F减小，则加速度逐渐减小，直至F＝f时，加速度为0，速度达到最大。 分析可知，甲、乙、丙、丁四个图像依次可以反映加速度、牵引力、速度、功率随时间变化的关系。 故A正确，BCD错误。 故选：A。 4．（2025秋•贺兰县校级月考）国家“十三五”规划中提出实施新能源汽车推广计划，提高电动车产业化水平。某款电动概念汽车在平直的公路上由静止开始启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v﹣t图像如图所示，已知汽车的质量为m＝2×103kg，汽车受到的阻力为车重的0.1倍，g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．汽车的额定功率为50kW B．汽车的速度为12m/s时，其加速度为1.5m/s2 C．汽车在前5s内的牵引力为4×103N D．汽车的最大速度为15m/s 【答案】B 【解析】解：AC．汽车的质量为m＝2×103kg，汽车受到的阻力为车重的0.1倍，即阻力f＝0.1mg＝0.1×2×103×10N＝2×103N 由v﹣t图像可知，汽车在前5s的加速度a＝km/s2＝2m/s2 由汽车在前5s的受力可知F﹣f＝ma 解得前5s内的牵引力F＝f+ma＝2×103N+2×103×2N＝6×103N，5s末达到额定功率，额定功率P额＝Fv＝6×103×10W＝6×104W＝60kW 故AC错误。 D．汽车达到的最大速度时，牵引力等于阻力，即额定功率P额＝fvm 解得vm30m/s，故D错误； B．汽车的速度为12m/s时，此时汽车的牵引力FN＝5×103N 对汽车由牛顿第二定律可知F﹣f＝ma 解得am/s2＝1.5m/s2，故B正确。 故选：B。 5．（2025秋•上海校级月考）某额定功率为P0的汽车以加速度a1匀加速启动，到额定功率后保持恒功率行驶至最大速度。已经汽车v﹣t图线如图①所示。若该汽车以加速度a2（a2＝2a1）匀加速启动，以相同的方式达到汽车最大速度，若整个过程阻力不变，v﹣t图线可能是下列中的（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：汽车以加速度a1匀加速启动过程，根据牛顿第二定律得F1﹣f＝ma1 解得牵引力大小为F1＝f+ma1 结束匀加速运动时的速度大小为 解得 匀加速阶段所用时间为 解得 同理可知汽车以加速度a2（a2＝2a1）匀加速启动，结束匀加速运动时有，速度 匀加速阶段所用时间 可得v2＜v1＜2v2，t1＞2t2 故ABC错误，D正确。 故选：D。 6．（2025秋•深圳月考）如图所示，一架总质量为80kg的载货飞行器从地面由静止开始竖直向上做匀加速运动，当速度达到5m/s时，发动机达到额定功率5000W，之后保持额定功率继续向上又运动了20s到达目标位置。已知到达目标位置前飞行器已达到最大速度，空气阻力不计，重力加速度g取10m/s2，则（　　） A．飞行器的最大速度为5m/s B．飞行器匀加速飞行阶段的牵引力为1000N C．飞行器匀加速飞行阶段的加速度大小为3m/s2 D．飞行器达到额定功率后立即开始做匀速直线运动 【答案】B 【解析】解：A、飞行器的速度最大时，牵引力和重力大小相等，则飞行器的最大速度为：，故A错误； BC、飞行器匀加速飞行阶段的牵引力大小为： 由牛顿第二定律有：F﹣mg＝ma，代入数据可得飞行器匀加速飞行阶段的加速度a＝2.5m/s2，故B正确，C错误； D、飞行器达到额定功率时，牵引力大于重力，飞行器继续做加速运动，由P＝Fv可知牵引力减小，当牵引力减小到和重力大小相等时，开始做匀速直线运动，故D错误。 故选：B。 7．（2025秋•越秀区校级月考）我国新能源汽车发展迅速，2022年仅比亚迪新能源汽车全年销量为186.35万辆，位列全球第一、如图所示为比亚迪某型号汽车某次测试行驶时的加速度和车速倒数的关系图像。若汽车质量为2×103kg，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30m/s，则（　　） A．汽车以恒定功率启动 B．汽车匀加速所需时间为10s C．汽车所受阻力为1×103N D．汽车在车速为5m/s时，功率为3×104W 【答案】D 【解析】解：由题图可知，当 （即 v≤10m/s ）时，汽车的加速度 a 保持 2m/s2 不变，说明汽车在低速阶段做匀加速直线运动，而非恒定功率启动，故A错误； B、汽车匀加速运动的末速度，解得：v＝10m/s，匀加速运动的时间，解得：，故B错误； C、由图可知汽车的最大速度为30m/s，此时汽车做匀速直线运动，有F＝f，则P＝f×30m/s； 当时，a＝2m/s2，根据牛顿第二定律得，即 联立解得f＝2×103N，P＝6×104W，故C错误； D、根据牛顿第二定律，汽车匀加速运动时有F﹣f＝ma，代入数据得F＝6×103N 车速为5m/s时，功率为P＝Fv＝6×103N×5m/s＝3×104W，故D正确。 故选：D。 8．（2024秋•昭通期末）某学校为了封闭式管理，正在修建一栋宿舍楼，修建过程中要用到起重机，图甲是起重机某次从t＝0时刻由静止开始提升质量为m＝200kg的物体，其a﹣t图像如图乙所示，5～10s内起重机的功率为额定功率，不计空气阻力，重力加速度为g＝10m/s2，则以下说法正确的是（　　） A．6秒末速度为10m/s B．起重机的额定功率为2400W C．5～10s内重物所受起重机的拉力在减小 D．5～10s物体减速上升 【答案】C 【解析】解：AD．由图乙可知，物体在0～5s内做匀加速直线运动，5s时起重机的速度为v＝at＝2×5m/s＝10m/s，由图可知在5s后起重机继续加速上升，则6s末的速度大于10m/s，故AD错误； B．5s时起重机达到额定功率，此时根据牛顿第二定律有F﹣mg＝ma，功率为P＝Fv，代入数据解得P＝24000W，故B错误； C．由图可知在5～10s内重物的加速度在逐渐减小，根据第二定律有F﹣mg＝ma可知，重物所受起重机的拉力在减小，故C正确； 故选：C。 9．（2025秋•焦作期中）截至2024年12月26日，我国高铁营业里程达到4.7万公里。某高铁试验机车的最大功率为104kW，试运行时的v﹣t图像如图所示，0～t1时间内的图像为直线，通过查阅相关资料知：0～200km/h加速阶段，列车做加速度大小为0.4m/s2的匀加速运动，t2时刻列车运行达到最大速度v2，列车的质量为80t，认为列车受到的阻力大小恒定，则（　　） A．列车匀加速运行的时间为t1＝500s B．列车所受的阻力大小为1.48×105N C．列车运行的最大速度v2≈78m/s D．列车速度为64m/s时，加速度约为0.2m/s2 【答案】B 【解析】解：A、根据匀加速运动的特点，可得：v1＝at1，解得列车匀加速运行的时间为：t1≈138.9s，故A错误； B、根据列车做匀加速运动，可结合牛顿第二定律，得：F﹣f＝ma，由功率公式得：P＝Fv1，解得列车所受的阻力为：f＝1.48×105N，故B正确； C、根据列车速度最大时，牵引力与阻力平衡，可得：，解得列车运行的最大速度为：v2≈67.6m/s，故C错误； D、列车速度为64m/s时，根据列车的阻力恒定，结合牛顿第二定律，可得：，解得此时加速度大小为：，故D错误。 故选：B。 10．（2025•广州校级模拟）一辆机车在水平路面上从静止开始做直线运动，其加速度随时间变化的图像如图甲所示，机车牵引力F和车速倒数的关系图像如图乙所示，机车前进过程中所受阻力大小恒定，t＝t0时刻机车达到额定功率，之后保持该功率不变，下列说法正确的是（　　） A．所受恒定阻力大小为4.5×105N B．机车运动的额定功率为6×106W C．机车匀加速运动的时间为30s D．机车的质量为6×105kg 【答案】D 【解析】解：A．由图乙可知，当速度最大时，机车匀速行驶，机车所受恒定阻力大小等于机车牵引力的大小，则有f＝F＝1.5×105N，故A错误； B．由图乙可知，机车的最大速度为60m/s，机车运动的额定功率，故B错误； C．机车匀加速运动的末速度，AB段机车恒定加速启动，由甲图可知机车的加速度为a＝0.5m/s2，机车匀加速运动的时间，故C错误； D．根据牛顿第二定律，结合图甲解得F'﹣f＝Ma 解得M＝6×105kg，故D正确。 故选：D。 11．（2025秋•庐阳区校级月考）一质量为m的汽车在平直公路上由静止启动，前t0时间内的位移与时间平方的关系图像如图所示。已知前t0时间内牵引力是阻力的2倍，则关于前t0时间，下列说法正确的是（　　） A．汽车以恒定的功率启动 B．汽车的加速度为 C．汽车受到的阻力大小为 D．t0时刻，牵引力的功率为 【答案】C 【解析】解：AB.根据图像，前t0时间内x与t2成正比，由x可知汽车做匀加速直线运动，牵引力保持不变，则汽车的功率随速度的增大而增大，故A错误； B.根据图像可知， 解得汽车的加速度 故B错误； C.根据牛顿第二定律F﹣f＝ma 由题意可知F＝2f 联立解得汽车受到的阻力大小为 故C正确； D.t0时刻，汽车的速度 则此时牵引力的功率为P＝Fv＝2fv 故D错误。 故选：C。 （多选）12．（2025春•海口月考）一电动公交车从静止开始以恒定加速度启动在平直公路上做直线运动，输出功率达到额定功率后保持不变，其v﹣t图像如图所示，t＝30s时发动机因故障熄火，此后公交车滑行至停止。已知公交车的总质量为10t，且整个过程中公交车受到的阻力恒定不变，则下列说法正确的是（　　） A．公交车受到的阻力大小为2.0×104N B．在前5s内，发动机提供的牵引力大小为2.0×104N C．在第30s末，发动机的输出功率为1.0×105W D．公交车匀加速阶段运动的时间为10s 【答案】BD 【解析】解：A．发动机熄火后公交车滑行至停止，结合图像a1， 代入数据得a1＝﹣1m/s2 根据牛顿第二定律有 代入数据得f＝1.0×104N，故A错误； B．车做匀加速直线运动过程，结合图像a2， 代入数据得a2＝2m/s2 根据牛顿第二定律有 代入数据得，故B正确； C．根据图像可知，20～30s内车做匀速直线运动，功率为额定功率，牵引力与阻力大小相等，则在第30s末，发动机的输出功率为，故C错误； D．匀加速过程的末状态，功率达到额定功率，则有P＝F0v0 代入数据得v0＝10m/s 根据v0＝a0t 代入数据得t＝10s，故D正确。 故选：BD。 （多选）13．（2025秋•龙岗区校级月考）一新能源汽车在平直公路上匀速行驶，某时刻汽车驶入一段阻力更大的平直路段。已知汽车行驶过程中发动机的功率保持不变，下列关于汽车的速度v、牵引力F随时间t变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】解：开始的时候P＝F0v0 阻力等于牵引力，当功率不变，阻力变大时，根据P＝Fv 牵引力瞬间不变，根据 可知加速度瞬时变大且与运动方向相反，汽车立即减速，速度逐渐减小，则牵引力逐渐变大，反向加速度逐渐减小，当牵引力与阻力相等时再次达到稳定状态，故AD正确，BC错误。 故选：AD。 （多选）14．（2026•唐县校级一模）为提高电动自行车的安全性能，最新的《电动自行车安全技术规范》规定，电动自行车最高设计车速不超过25km/h。假设某人驾驶如图所示的电动自行车由静止开始做匀加速直线运动，经过25s速度达到5m/s，电机恰好达到额定功率。已知人（包括头盔）、车的总质量为100kg，行驶过程中受到的阻力恒为人、车总重力的，重力加速度g取10m/s2。则（　　） A．匀加速运动过程中，电动自行车的加速度大小为0.5m/s2 B．匀加速运动过程中，电动自行车的牵引力大小为100N C．电动自行车的额定功率为400W D．此电动自行车以额定功率行驶时不会超过规定车速 【答案】BD 【解析】解：A、匀加速运动过程中，根据速度—时间关系v＝at，电动自行车的加速度大小为a，故A错误； B、匀加速运动过程中，由牛顿第二定律 解得电动自行车的牵引力大小为F＝100N，故B正确； C、电动自行车的额定功率为P＝Fv＝100×5W＝500W，故C错误； D、电动自行车行驶时的最大速度为 解得vm＝6.25m/s＜25km/h 故此电动自行车以额定功率行驶时不会超过规定车速，故D正确。 故选：BD。 （多选）15．（2025秋•和平区校级月考）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持以额定功率运动，其v﹣t图像如图所示。已知汽车的质量为m＝1×103kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，取g＝10m/s2，则以下说法正确的是（　　） A．汽车在前5s内的牵引力为5×103N B．汽车速度为25m/s时的加速度为2m/s2 C．汽车的额定功率为100kW D．汽车的最大速度为80m/s 【答案】AC 【解析】解：A．前5s匀加速运动的加速度大小am/s2＝4m/s2 根据牛顿第二定律得：F﹣f＝ma 其中f＝0.1mg＝1×103N 解得牵引力F＝5×103N，故A正确； C．汽车的额定功率P＝Fv＝5×103×20W＝1×105W＝100kW，故C正确； B．汽车在25m/s时的牵引力F′N＝4×103N 根据牛顿第二定律得，加速度a′m/s2＝3m/s2，故B错误； D．当牵引力等于阻力时，速度最大，则最大速度vmm/s＝100m/s，故D错误。 故选：AC。 课时精练 1． 选择题（共8小题） 1．（2025秋•济南月考）下列关于功的说法，正确的是（　　） A．如果作用力做正功，反作用力一定做负功 B．如果合外力不做功，物体一定做匀速直线运动 C．人托着一个物体沿水平方向匀速前进，人对物体做了功 D．功是标量，合力做的功等于各分力做的功的代数和，功的正、负表示外力对物体做正功或是物体克服外力做功 【答案】D 【解析】解：A、如果作用力做正功，反作用力可能做负功，可能不做功，也可能做正功，故A错误； B、如果合外力不做功，则合外力可能为零，也可能与速度垂直，故物体不一定做匀速直线运动，故B错误； C、人对物体的支持力方向竖直向上，与物体运动方向垂直，所以人对物体不做功，故C错误； D、功是标量，合力做的功等于各分力做的功的代数和，功的正、负表示外力对物体做正功或是物体克服外力做功，故D正确。 故选：D。 2．（2025秋•城西区校级期末）如图甲为中国五大面食之一的山西大同刀削面的切削过程。某次连续削出的面片中有一片的空中运动轨迹如图乙所示，P、Q为轨迹上的两点，已知该面片以某一水平初速度由O点削出，从O到P与从P到Q的时间比为4：5，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．该面片从O到P的速度变化率比P到Q的速度变化率大 B．落到锅里的面片，飞得远的在空中运动时间较长 C．该面片运动到P点与Q点时，重力做功的瞬时功率之比为4：9 D．从O到P与从P到Q过程，重力做功的平均功率之比为16：65 【答案】C 【解析】解：A.速度变化率就是加速度，平抛运动过程中加速度不变，故A错误； B.由hgt2，可得平抛运动时间由竖直下落高度所决定，故B错误； C.重力做功的瞬时功率P瞬＝mgvy，而vy＝gt，又因面片从O到P与从O到Q的时间之比为4：9，故C正确； D.依据竖直位移公式hgt2，从O到P与从O到Q的竖直位移之比为16：81，则面片从O到P与从P到Q的竖直位移之比为16：65，则重力做功之比为16：65，又因平均功率用， 故重力做功的平均功率之比为4：13，故D错误。 故选：C。 3．（2025秋•辽宁期末）司机驾驶汽车在平直的公路上匀速行驶，当正前方出现某一固定倾角的缓坡时，需爬坡至坡顶。假设汽车所受路面及空气带来的阻力保持恒定，且汽车始终以额定功率行驶。关于汽车在爬坡前后速度v与时间t的图像，描述正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：在平直的公路上，由于汽车始终以额定功率匀速行驶，故此时汽车牵引力等于阻力，当汽车行驶到斜面上时，汽车减速运动，根据P＝Fv，，可知，v减小时，F增大，a减小，汽车做加速度较小的减速运动，故ABC错误，D正确； 故选：D。 4．（2025秋•河北期末）图（a）为记载于《武经总要》的“扬尘车”，古代守城时用以借助风力抛撒石灰粉迷惑敌军。其原理可简化为图（b）模型：石灰粉（质量较小）与沙石（质量较大）仅在水平恒定风力和重力的作用下，由同一高度P点由静止释放，石灰粉与沙石受到的风力大小相等。下列说法正确的是（　　） A．石灰粉与沙石在空中做曲线运动 B．石灰粉落地点与P点的水平距离小于沙石落地点与P点的水平距离 C．石灰粉与沙石落地时重力的瞬时功率相等 D．石灰粉与沙石在空中运动的时间相等 【答案】D 【解析】解：A．在水平恒定风力和重力的作用下，合外力为定值，加速度为定值，从P静止释放，所以石灰粉与沙石在空中做初速度为零的匀变速直线运动，故A错误； D．因为石灰粉与沙石竖直方向在重力作用下均做自由落体运动，高度相同，两者在空中运动的时间相等，故D正确； B．水平方向上加速度，石灰粉与沙石受到的风力F大小相等，但石灰粉质量较小，故石灰粉加速度较大，水平方向位移也较大，故B错误； C．石灰粉与沙石落地时重力的瞬时功率P＝mg×gt＝mg2t，质量不同，功率不同，故C错误。 故选：D。 5．（2025秋•黄冈期末）如图所示，细绳的下端系着一支圆珠笔，细绳的上端固定在公交车的水平扶手杆上。公交车以额定功率从静止状态加速至最大速度vm的过程中，公交车所受的阻力大小不变。当车速为时，细绳偏离竖直方向的夹角为30°。当车速为时，细绳偏离竖直方向的夹角为（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 【答案】B 【解析】解：设细绳与竖直方向的夹角为θ，公交车加速过程中，由速度—功率关系可得：P＝Fv，由牛顿第二定律可得：F﹣f＝Ma，mgtanθ＝ma，联立解得：； 当车速为vm时，则有：P＝fvm，所以有：，当车速为 时，则有：，当车速为时，则有：，联立解得：θ＝60°，故B正确，ABC错误。 故选：B。 6．（2026•九龙坡区校级模拟）2025年，“中国天眼”FAST与国际深空探测团队联合发现了一颗编号为HD﹣2025b的系外行星，题3图为HD﹣2025b行星绕HD﹣2025恒星的运动椭圆轨迹示意图，ac为椭圆长轴，bd为椭圆短轴，已知HD﹣2025b行星绕HD﹣2025恒星一周的时间为T，行星和恒星均视为质点。则该行星（　　） A．经过a点和c点的加速度大小相等 B．经过a点和c点的速度大小相等 C．从c点经过d点运动到a点的时间大于 D．从c点经过d点运动到a点过程中恒星对它的引力做正功 【答案】D 【解析】解：A．由万有引力提供向心力得：，因为ra＜rc，故aa＞ac，故A错误； B．由开普勒第二定律知，a和c分别靠近中心天体，远离中心天体，即ra＜rc，因此va＞vc，故B错误； C．椭圆轨道的运动具有对称性，行星绕恒星一周的时间为T，则从a到d到c的时间根据对称性为总时间的一半，等于，故C错误； D．从c经d到a的过程中，恒星对行星的引力方向指向恒星（左侧焦点），行星的运动方向是从c→d→a，引力方向与行星的速度方向夹角小于90°，因此引力做正功，故D正确。 故选：D。 7．（2026•沙坪坝区校级一模）如图甲所示，与水平面夹角θ＝37°的粗糙斜面上，放着可视为质点的A、B两物块，质量分别为mA＝1kg和mB＝5kg。轻弹簧一端与物块A相连，另一端与挡板相连。未施加拉力F时，A、B两物块恰好不下滑。从t＝0时刻开始，对B施加一沿斜面向上的力F使物块B沿斜面向上做匀加速运动，力F随时间变化如图乙，已知两物块与斜面的动摩擦因数均为0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，g取10m/s2，已知：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是（　　） A．乙图中F2＝95N B．弹簧的劲度系数为25N/m C．t＝0到t＝0.2s的过程中力F做的功为1.09J D．t＝0到AB分开的过程中，A所受摩擦力做功为0.08J 【答案】C 【解析】解：未施加外力时，A、B恰好不下滑，对系统受力分析如图甲， 由正交分解可得：kx1+μ（mA+mB）gcosθ＝（mA+mB）gsinθ x1为此时弹簧的形变量 求得kx1＝12N t＝0时，F1＝54N，AB一起沿斜面向上匀加速直线运动，此时AB所受摩擦力沿斜面向下，受力分析如图乙 由正交分解可得F1+kx1﹣（mA+mB）gsinθ﹣μ（mA+mB）gcosθ＝（mA+mB）a 求得a＝1m/s2 t＝0.2s时，A、B间无弹力，对B受力分析有F2﹣mBgsinθ﹣μmBgcosθ＝mBa 解得F2＝55N，故A错误； 对A受力分析有kx2﹣mAgsinθ﹣μmAgcosθ＝mAa x2为AB刚分开时，弹簧的形变量，解得kx2＝11N AB一起匀加速直线运动的位移 解得k＝50N/m，故B错误； t＝0∼t＝0.2s过程，外力F为变力，对AB分析可得F+k（x1﹣x）﹣（mA+mB）gsinθ﹣μ（mA+mB）gcosθ＝（mA+mB）a 解得：F＝54+kx，可得 所以F做功WF＝54.5×0.02J＝1.09J，即t＝0到t＝0.2s的过程中力F做的功为1.09J，故C正确； 摩擦力对A做功为负功，Wf＝﹣fAxA＝﹣4×0.02J＝﹣0.08J，即t＝0到AB分开的过程中，A所受摩擦力做功为0.08J，故D错误。 故选：C。 8．（2026•九龙坡区校级模拟）我校男排曾获得过6次全国冠军。如题6图所示排球被水平击出后，刚好擦着球网的上沿落入对方场地，排球通过球网上沿时，速度与水平方向的夹角为30°，排球落地时速度与水平方向的夹角为60°，球网高为h，球质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力，排球视为质点。则（　　） A．排球被运动员击出后的初速度v0大小为 B．排球在空中运动的时间为 C．击球点到地面高度为2h D．排球落地时所受重力的瞬时功率为 【答案】A 【解析】解：A．平抛运动球被击出后的初速度大小为v0，则刚过网时球竖直方向的分速度大小为vy1＝v0tan30°，落地时球沿竖直方向的分速度大小vy2＝v0tan60°，在竖直方向，根据运动学公式有，解得，故A正确； B．先求落地时竖直分速度：，竖直方向vy2＝gt，则总时间：，故B错误； C．击球点高度H＝y1+h，，因此：，故C错误； D．重力的瞬时功率公式：P＝mgvy2，落地时，则：，故D错误。 故选：A。 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2025秋•迪庆州期末）某科技公司研发的新型混合动力机车，其动力系统可在“纯电动模式”和“发动机辅助模式”间智能切换。已知机车行驶中所受阻力恒定，在平直公路上启动过程中，纯电动模式保持额定功率P1＝40kW不变，发动机辅助模式额定功率P2＝60kW。若启动过程中机车从静止开始先以纯电动模式行驶，t0时刻恰好达到该模式下的最大速度，随后立即切换为发动机辅助模式继续加速。则下列描述机车运动图像可能正确的是（图中F是机车的牵引力）（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】解：AB．当以额定功率P1启动时，有 v逐渐增加，a逐渐减小，所以机车做加速度减小的加速运动，t0时达到纯电动模式下的最大速度，有Fm1＝f， 切换模式后，功率突然增大，牵引力增大后继续做加速度减小的加速运动，故A正确，B错误； CD．纯电动模式下Fm1＝f， 切换模式后稳定时Fm2＝f＝Fm1， 在图像中，斜率代表额定功率的大小，两段均为过原点的直线，故C正确，D错误。 故选：AC。 （多选）10．（2025秋•青岛期末）图甲为建筑工地常用的吊装设备—塔吊。某次吊运货物的过程中，起重小车从某位置开始沿水平吊臂匀速远离塔体，同时吊臂绕塔体中心以角速度0.1rad/s匀速转动，起重小车运动过程中离塔体中心的距离r和吊臂转过的角度θ间关系如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．起重小车相对于吊臂的速度大小为0.5m/s B．r＝12m时，起重小车对地速度大小为 C．r＝12m时，起重小车的向心加速度大小为0.12m/s2 D．运动过程中，合外力对起重小车做功的功率越来越大 【答案】ACD 【解析】解：A、小车相对吊臂的速度是沿吊臂的径向速度。由r﹣θ图的斜率，结合角速度ω＝0.1rad/s，得径向速度v＝kω＝5×0.1m/s＝0.5m/s，故A正确。 B、r＝12m 时，切向速度为v＝ωr＝1.2m/s，径向速度为0.5m/s，合速度应为v与选项中不符，故B错误； C、向心加速度由a＝ω2r计算，代入 ω＝0.1rad/s、r＝12m，得a＝0.12×12m/s2＝0.12m/s2，故C正确； D、小车切向速度随r增大而增大，合外力提供切向加速度，功率与速度正相关，故功率随速度增大而变大，故D正确。 故选：ACD。 （多选）11．（2025春•连城县校级月考）一台起重机匀加速地将质量为1.0×103kg的货物从静止开始竖直吊起，若2s末货物的速度为4.0m/s，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，则在起重机匀加速吊起货物的过程中（　　） A．起重机对货物的拉力大小为1.2×104N B．2s内起重机对货物做的功为8.0×103J C．起重机在2s末输出的瞬时功率为4.8×104W D．起重机在2s内输出的平均功率为2.4×103W 【答案】AC 【解析】解：A．设起重机在匀加速吊起货物的过程中，对货物竖直向上的拉力为T，则由牛顿第二定律可得T﹣mg＝ma 又 代入数据得T＝1.2×104N，故A正确； B．2s内货物上升的高度为 起重机对货物做的功为W＝Th 代入数据得W＝4.8×104J，故B错误； C．起重机在2s末输出的瞬时功率为P＝Tv 代入数据得P＝4.8×104W，故C正确； D．起重机在2s内输出的平均功率为 代入数据得2.4×104W，故D错误。 故选：AC。 三．解答题（共4小题） 12．（2025秋•1月份月考）如图甲所示，某驾校学员练习汽车半坡起步，汽车发动机提供的牵引力F随时间t变化的图像如图乙所示，质量为m的汽车从t＝0时刻开始在足够长的坡道上启动，t＝t0时，牵引力大小为5F0，汽车达到额定功率，之后保持该功率不变，t＝11t0时，牵引力大小为F0，汽车开始做匀速直线运动，启动过程中汽车所受的阻力不变。求： （1）汽车启动瞬间加速度大小； （2）汽车的额定功率。 【答案】（1）汽车启动瞬间加速度大小为； （2）汽车的额定功率是。 【解析】解：（1）由图像可知，汽车在t＝11t0时速度达到最大，此时汽车受力平衡F0＝mgsinθ+f t＝0时，根据牛顿第二定律可知5F0﹣mgsinθ﹣f＝ma 解得 （2）汽车匀加速阶段的末速度v1＝at0 解得 汽车的额定功率P＝5F0v1 解得 答：（1）汽车启动瞬间加速度大小为； （2）汽车的额定功率是。 13．（2026•泉州模拟）如图，2025年9月3日我国举行盛大的阅兵仪式，展示的某款无人机是我国自主研发的全球首款列装隐身无人机，可在两栖攻击舰上进行电磁弹射起降。无人机在电磁弹射加速过程中，可在2s时间内由静止开始水平匀加速到50m/s，并以此速度匀速巡航到1000km处的作战区域，巡航时无人机的水平方向牵引力大小为2×104N，无人机的质量为8×103kg，求无人机： （1）匀速巡航阶段所需的时间； （2）加速过程中受到的合力大小； （3）匀速巡航时水平方向牵引力的功率。 【答案】（1）匀速巡航阶段所需的时间为2×104s； （2）加速过程中受到的合力大小为2×105N； （3）匀速巡航时水平方向牵引力的功率为1×106W。 【解析】解：（1）无人机在加速阶段发生的位移为： 匀速巡航过程中发生的位移为：，则匀速巡航阶段所需的时间为：； （2）无人机在加速过程中，由运动学公式可得加速度的大小为： 由牛顿第二定律得：F合＝ma，代入数据解得：； （3）匀速巡航时有：P＝Fv，代入数据解得匀速巡航时水平方向牵引力的功率为：P＝Fv＝2×104×50W＝1×106W。 答：（1）匀速巡航阶段所需的时间为2×104s； （2）加速过程中受到的合力大小为2×105N； （3）匀速巡航时水平方向牵引力的功率为1×106W。 14．（2025秋•洮北区校级期末）如图所示，光滑斜面上的物块A与水平面上的物块B通过绕过固定在斜面顶端的定滑轮的轻绳相连，斜面倾角为30°，物块A、B的质量分别为mA＝1kg和mB＝2kg，此时物块A、B处于静止且B与水平面间摩擦力为最大静摩擦力。从t＝0时刻开始对物块B施加水平方向的作用力F，规定水平向右为F的正方向，F随时间t变化规律如图乙所示。物块B与水平面的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其他摩擦均不计，物块A、B开始时均离滑轮足够远，重力加速度为g＝10m/s2。求： （1）滑块B与水平面间的动摩擦因数μ大小； （2）0∼1s时间内物块A、B之间绳子拉力大小； （3）0∼4s时间内外力F做功大小。 【答案】（1）滑块B与水平面间的动摩擦因数是0.25； （2）0∼1s时间内物块A、B之间绳子拉力大小是9N； （3）0∼4s时间内外力F做功大小是60J。 【解析】解：（1）物块A、B处于静止且B与水平面间摩擦力为最大静摩擦力，则有T＝mAgsinθ＝f＝μmBg 则 代入数据得μ＝0.25 （2）0∼1s时间内对B有F1﹣T1﹣f＝mBa1 对A有T1﹣mAgsinθ＝mAa1 代入数据得T1＝9N， （3）1s末的速度v1＝a1t1 代入数据得v1＝4m/s 位移 代入数据得x1＝2m，1s后的对B有F2﹣T2﹣f＝mBa2 对A有T2﹣mAgsinθ＝mAa2 代入数据得T2＝3N， 可见AB做减速运动，减速到0的时间 代入数据得t2＝2s 此过程的位移 代入数据得x2＝4m 由于摩擦力f＝mAgsinθ 代入数据得f＝5N＞F，之后AB静止。 0∼4s时间内外力F做功大小 W＝F1x1+F2x2 代入数据得W＝60J 答：（1）滑块B与水平面间的动摩擦因数是0.25； （2）0∼1s时间内物块A、B之间绳子拉力大小是9N； （3）0∼4s时间内外力F做功大小是60J。 15．（2025春•苏州校级期中）一辆新能源小汽车在水平路面上由静止启动，在前7s内做匀加速直线运动，7s末达到额定功率，此时速度达到v＝14m/s，之后保持以额定功率运动。其v﹣t图像如图所示，已知汽车的质量为m＝1×103kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，重力加速度g取10m/s2，求： （1）汽车在第5s末的牵引力F； （2）汽车的额定功率P和最大速度vm。 【答案】（1）汽车在第5s末的牵引力为3×103N； （2）汽车的额定功率为4.2×104W，最大速度为42m/s。 【解析】解：（1）由题意可知，汽车受到地面的阻力大小为：f＝0.1mg＝0.1×1×103×10N＝1×103N 根据v﹣t图像可知汽车在前7s内的加速度大小为： 设汽车在前7s内的牵引力大小为F，根据牛顿第二定律可得：F﹣f＝ma，解得：F＝f+ma＝1×103N+1×103×2N＝3×103N； （2）当汽车速度达到v＝14m/s时，牵引力功率达到额定功率，即有：P＝Fv＝3×103×14W＝4.2×104W 当汽车速度达到vm时，牵引力与阻力大小相等，则有：。 答：（1）汽车在第5s末的牵引力为3×103N； （2）汽车的额定功率为4.2×104W，最大速度为42m/s。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 功和功率模型 模型一 功和功率的计算 1、 功和功率 1．功 (1)定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。 (2)必要因素：力和物体在力的方向上发生的位移。 (3)物理意义：功是能量转化的量度。 (4)公式W＝Fl cosα ①α是力与位移方向之间的夹角，l为物体的位移。 ②该公式只适用于恒力做功。 (5)功的正负 ①当0≤α<时，W>0，这表示力对物体做正功。 ②当<α≤π时，W<0，这表示力对物体做负功，或者说物体克服这个力做功。 ③当α＝时，W＝0，这表示力对物体不做功。 (6)功是标量：只有大小，没有方向，但有正负，正负不表示方向，表示力的作用效果是动力还是阻力。 2．功率 (1)定义：功W与完成这些功所用时间t的比值。 (2)物理意义：描述力对物体做功的快慢。 (3)公式 ①P＝：P为时间t内的平均功率。 ②P＝Fv a．v为平均速度，则P为平均功率。 b．v为瞬时速度，则P为瞬时功率。 c．当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解。 (4)额定功率：机械可以长时间工作的最大功率。 (5)实际功率：机械实际工作时的功率。 二、功率的计算 1．是否做功及做功正负的判断 (1)根据力与位移方向的夹角判断。 (2)根据力与瞬时速度方向的夹角α判断：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜α≤180°，力做负功。 2．计算功的方法 (1)恒力做的功：直接用W＝Fl cos α计算。 (2)总功的计算 方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合l cos α求功。 方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功。 3．“六法”求解变力做的功 方法 情境图 注释 微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动 运动一周克服摩擦力做功 Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR 等效 转换法 恒力F把物块从A拉到B 绳子对物块做功 W＝F· 图像法 一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0 在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功。 平均 值法 外力推动物块缓慢压缩轻质弹簧，使其向左移动Δx 力与位移为线性关系，力做功W＝Δx＝Δx，可得出弹簧弹性势能表达式为Ep＝k(Δx)2 利用 W＝P·t 计算 机车以恒定功率启动，牵引力为变力 牵引力的功W＝P·t 4．平均功率的计算方法 (1)利用＝。 (2)利用＝F·cosα，其中为物体运动的平均速度。 5．瞬时功率的计算方法 (1)利用公式P＝Fv cosα，其中v为某时刻的瞬时速度。 (2)利用公式P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。 (3)利用公式P＝Fv·v，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。 【例题精讲】 1．（2025秋•安顺期末）小华用大小为20N的水平推力，在10s内使重100N的购物车在水平地面上前进了5m，则小华推车过程中平均功率是（　　） A．0W B．5W C．10W D．50W 2．（2025秋•鲤城区校级期末）如图所示是一种台阶式的自动扶梯，扶梯倾角为θ，一质量为m的人站在水平台阶上，随着扶梯一起以速度v斜向下做匀速运动，运动时间为t，重力加速度大小为g，则（　　） A．摩擦力对人做负功 B．合外力对人做正功 C．重力做功功率为mgvcosθ D．支持力做功为﹣mgvsinθ 3．（2025秋•锡林郭勒盟期末）如图，李同学课间用手握住板擦，在向右挥动手臂擦黑板的过程中，下列说法正确的是（　　） A．黑板给板擦的摩擦力水平向右 B．黑板对板擦的作用力水平向左 C．黑板和板擦间存在摩擦生热 D．手和板擦间存在摩擦生热 4．（2026•合肥模拟）某电动汽车在平直路面上做性能测试，将运动简化处理后，其v﹣t图像如图所示。若整个过程中汽车受到的阻力恒定，则下列关于汽车牵引力F及其功率P随时间t变化的图像可能正确的是（　　） A． B．C． D． 5．（2025秋•台州期末）一辆汽车在平直公路上由静止开始启动，发动机的输出功率与汽车速度大小的关系如图所示，当汽车速度达到80km/h后，发动机的功率保持200kW不变，汽车能达到的最大速度为180km/h。已知运动过程中汽车受到的阻力恒定，汽车的质量为2.0×103kg。则（　　） A．汽车受到的牵引力始终是恒力 B．牵引力的施力物体是发动机 C．汽车受到阻力大小为9000N D．匀加速过程的位移大小约为100m 6．（2025秋•顺义区校级月考）风洞是空气动力学研究和试验中广泛使用的工具。如图所示，在地面的M点以竖直向上的初速度v0抛出一小球，小球抛出后始终受到水平向左的恒定风力作用，竖直方向只受重力。经过一段时间后小球将以速度水平向左经过N点，最终落回地面上，不计风力以外的空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球在N点之后做平抛运动 B．小球上升和下落过程运动时间不相等 C．仅增大初速度，小球的水平位移变大 D．仅增大风力，小球落地瞬间重力的瞬时功率增大 7．（2025秋•海淀区校级期末）质量m＝1kg的物体，由离地面足够高的位置开始以v0＝10m/s的速度做平抛运动，下列说法正确的是（　　） A．运动1s内重力做的功为10J B．运动1s末重力的瞬时功率为100W C．运动1s内重力的平均功率为100W D．运动2s末重力的瞬时功率为200W 8．（2025秋•海南期末）如图所示，一物块沿固定斜面下滑，关于该过程，下列说法中正确的是（　　） A．摩擦力做负功，重力做正功 B．摩擦力做正功，重力做负功 C．支持力做正功，摩擦力做负功 D．支持力做正功，重力做正功 （多选）9．（2025秋•梅州期末）质量相等的小球A、B在同一高度分别水平抛出，已知小球落地碰撞反弹前后，竖直方向速度反向（大小不变），水平方向速度方向和大小均不变。小球A直接从a点运动到e点，小球B经多次反弹才至e点，两小球轨迹的交点a、b、c、d、e分布如图所示，其中两小球刚好在位置b相遇（未碰）。以下说法正确的是（　　） A．两小球在c位置不再相遇 B．AB两小球的抛出速度之比为5：1 C．两小球在b、c、d、e处重力的功率均相等 D．a、c两点的水平距离等于c、e两点的水平距离 模型二 机车启动问题 1．两种启动方式 两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P-t图像和v-t图像 OA段 过程分析 v↑⇒F＝↓⇒ a＝↓ a＝不变⇒F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1 运动性质 加速度减小的变加速运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝ AB段 过程分析 F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝ v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ 运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的变加速运动 BC段 无 F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝，以vm做匀速直线运动 2．两个重要关系式 (1)最大运行速度：无论哪种启动过程，机车的最大速度都为vm＝。 (2)匀加速运动阶段的最大速度：机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后达到额定功率，速度不是最大，即v＝<vm＝。 3、机车启动问题的解题技巧 1）无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vmax＝＝式中Fmin为最小牵引力，其大小等于阻力F阻). 2）机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，牵引力的功率最大，速度不是最大，此时的速度v＝＜vmax＝. 【例题精讲】 1．（2025秋•武威期末）分别用v、a、F、P表示机车运动的速度、加速度、牵引力和功率，则下列四个物理量与时间的图像，能表示机车以恒定功率启动的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•北京校级期中）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持以额定功率运动，其v﹣t图像如图所示。已知汽车的质量为m＝1×103kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，g取10m/s2，则以下说法正确的是（　　） A．汽车在前5s内的牵引力为5×102N B．汽车速度为25m/s时的加速度为5m/s2 C．汽车的额定功率为100kW D．汽车的最大速度为80m/s 3．（2025春•武昌区校级月考）刚刚发布的某品牌汽车Ultra版，凭借其超强的性能和合理的价格再次成为人们讨论的热点，中国汽车正在成为全世界的新焦点。某次此质量为m的车，在试验场行驶，启动阶段车牵引力保持不变，而后以额定功率继续行驶，经过一定时间，其速度由零增大到最大值vm。若所受阻力恒定，则下列甲、乙、丙、丁四个图像依次可以反映下列物理量随时间变化的关系，正确的是（　　） A．加速度、牵引力、速度、功率 B．速度、牵引力、加速度、功率 C．功率、加速度、牵引力、速度 D．牵引力、加速度、速度、功率 4．（2025秋•贺兰县校级月考）国家“十三五”规划中提出实施新能源汽车推广计划，提高电动车产业化水平。某款电动概念汽车在平直的公路上由静止开始启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v﹣t图像如图所示，已知汽车的质量为m＝2×103kg，汽车受到的阻力为车重的0.1倍，g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．汽车的额定功率为50kW B．汽车的速度为12m/s时，其加速度为1.5m/s2 C．汽车在前5s内的牵引力为4×103N D．汽车的最大速度为15m/s 5．（2025秋•上海校级月考）某额定功率为P0的汽车以加速度a1匀加速启动，到额定功率后保持恒功率行驶至最大速度。已经汽车v﹣t图线如图①所示。若该汽车以加速度a2（a2＝2a1）匀加速启动，以相同的方式达到汽车最大速度，若整个过程阻力不变，v﹣t图线可能是下列中的（　　） A． B． C． D． 6．（2025秋•深圳月考）如图所示，一架总质量为80kg的载货飞行器从地面由静止开始竖直向上做匀加速运动，当速度达到5m/s时，发动机达到额定功率5000W，之后保持额定功率继续向上又运动了20s到达目标位置。已知到达目标位置前飞行器已达到最大速度，空气阻力不计，重力加速度g取10m/s2，则（　　） A．飞行器的最大速度为5m/s B．飞行器匀加速飞行阶段的牵引力为1000N C．飞行器匀加速飞行阶段的加速度大小为3m/s2 D．飞行器达到额定功率后立即开始做匀速直线运动 7．（2025秋•越秀区校级月考）我国新能源汽车发展迅速，2022年仅比亚迪新能源汽车全年销量为186.35万辆，位列全球第一、如图所示为比亚迪某型号汽车某次测试行驶时的加速度和车速倒数的关系图像。若汽车质量为2×103kg，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30m/s，则（　　） A．汽车以恒定功率启动 B．汽车匀加速所需时间为10s C．汽车所受阻力为1×103N D．汽车在车速为5m/s时，功率为3×104W 8．（2024秋•昭通期末）某学校为了封闭式管理，正在修建一栋宿舍楼，修建过程中要用到起重机，图甲是起重机某次从t＝0时刻由静止开始提升质量为m＝200kg的物体，其a﹣t图像如图乙所示，5～10s内起重机的功率为额定功率，不计空气阻力，重力加速度为g＝10m/s2，则以下说法正确的是（　　） A．6秒末速度为10m/s B．起重机的额定功率为2400W C．5～10s内重物所受起重机的拉力在减小 D．5～10s物体减速上升 9．（2025秋•焦作期中）截至2024年12月26日，我国高铁营业里程达到4.7万公里。某高铁试验机车的最大功率为104kW，试运行时的v﹣t图像如图所示，0～t1时间内的图像为直线，通过查阅相关资料知：0～200km/h加速阶段，列车做加速度大小为0.4m/s2的匀加速运动，t2时刻列车运行达到最大速度v2，列车的质量为80t，认为列车受到的阻力大小恒定，则（　　） A．列车匀加速运行的时间为t1＝500s B．列车所受的阻力大小为1.48×105N C．列车运行的最大速度v2≈78m/s D．列车速度为64m/s时，加速度约为0.2m/s2 10．（2025•广州校级模拟）一辆机车在水平路面上从静止开始做直线运动，其加速度随时间变化的图像如图甲所示，机车牵引力F和车速倒数的关系图像如图乙所示，机车前进过程中所受阻力大小恒定，t＝t0时刻机车达到额定功率，之后保持该功率不变，下列说法正确的是（　　） A．所受恒定阻力大小为4.5×105N B．机车运动的额定功率为6×106W C．机车匀加速运动的时间为30s D．机车的质量为6×105kg 11．（2025秋•庐阳区校级月考）一质量为m的汽车在平直公路上由静止启动，前t0时间内的位移与时间平方的关系图像如图所示。已知前t0时间内牵引力是阻力的2倍，则关于前t0时间，下列说法正确的是（　　） A．汽车以恒定的功率启动 B．汽车的加速度为 C．汽车受到的阻力大小为 D．t0时刻，牵引力的功率为 （多选）12．（2025春•海口月考）一电动公交车从静止开始以恒定加速度启动在平直公路上做直线运动，输出功率达到额定功率后保持不变，其v﹣t图像如图所示，t＝30s时发动机因故障熄火，此后公交车滑行至停止。已知公交车的总质量为10t，且整个过程中公交车受到的阻力恒定不变，则下列说法正确的是（　　） A．公交车受到的阻力大小为2.0×104N B．在前5s内，发动机提供的牵引力大小为2.0×104N C．在第30s末，发动机的输出功率为1.0×105W D．公交车匀加速阶段运动的时间为10s （多选）13．（2025秋•龙岗区校级月考）一新能源汽车在平直公路上匀速行驶，某时刻汽车驶入一段阻力更大的平直路段。已知汽车行驶过程中发动机的功率保持不变，下列关于汽车的速度v、牵引力F随时间t变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． （多选）14．（2026•唐县校级一模）为提高电动自行车的安全性能，最新的《电动自行车安全技术规范》规定，电动自行车最高设计车速不超过25km/h。假设某人驾驶如图所示的电动自行车由静止开始做匀加速直线运动，经过25s速度达到5m/s，电机恰好达到额定功率。已知人（包括头盔）、车的总质量为100kg，行驶过程中受到的阻力恒为人、车总重力的，重力加速度g取10m/s2。则（　　） A．匀加速运动过程中，电动自行车的加速度大小为0.5m/s2 B．匀加速运动过程中，电动自行车的牵引力大小为100N C．电动自行车的额定功率为400W D．此电动自行车以额定功率行驶时不会超过规定车速 （多选）15．（2025秋•和平区校级月考）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持以额定功率运动，其v﹣t图像如图所示。已知汽车的质量为m＝1×103kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，取g＝10m/s2，则以下说法正确的是（　　） A．汽车在前5s内的牵引力为5×103N B．汽车速度为25m/s时的加速度为2m/s2 C．汽车的额定功率为100kW D．汽车的最大速度为80m/s 课时精练 1． 选择题（共8小题） 1．（2025秋•济南月考）下列关于功的说法，正确的是（　　） A．如果作用力做正功，反作用力一定做负功 B．如果合外力不做功，物体一定做匀速直线运动 C．人托着一个物体沿水平方向匀速前进，人对物体做了功 D．功是标量，合力做的功等于各分力做的功的代数和，功的正、负表示外力对物体做正功或是物体克服外力做功 2．（2025秋•城西区校级期末）如图甲为中国五大面食之一的山西大同刀削面的切削过程。某次连续削出的面片中有一片的空中运动轨迹如图乙所示，P、Q为轨迹上的两点，已知该面片以某一水平初速度由O点削出，从O到P与从P到Q的时间比为4：5，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．该面片从O到P的速度变化率比P到Q的速度变化率大 B．落到锅里的面片，飞得远的在空中运动时间较长 C．该面片运动到P点与Q点时，重力做功的瞬时功率之比为4：9 D．从O到P与从P到Q过程，重力做功的平均功率之比为16：65 3．（2025秋•辽宁期末）司机驾驶汽车在平直的公路上匀速行驶，当正前方出现某一固定倾角的缓坡时，需爬坡至坡顶。假设汽车所受路面及空气带来的阻力保持恒定，且汽车始终以额定功率行驶。关于汽车在爬坡前后速度v与时间t的图像，描述正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•河北期末）图（a）为记载于《武经总要》的“扬尘车”，古代守城时用以借助风力抛撒石灰粉迷惑敌军。其原理可简化为图（b）模型：石灰粉（质量较小）与沙石（质量较大）仅在水平恒定风力和重力的作用下，由同一高度P点由静止释放，石灰粉与沙石受到的风力大小相等。下列说法正确的是（　　） A．石灰粉与沙石在空中做曲线运动 B．石灰粉落地点与P点的水平距离小于沙石落地点与P点的水平距离 C．石灰粉与沙石落地时重力的瞬时功率相等 D．石灰粉与沙石在空中运动的时间相等 5．（2025秋•黄冈期末）如图所示，细绳的下端系着一支圆珠笔，细绳的上端固定在公交车的水平扶手杆上。公交车以额定功率从静止状态加速至最大速度vm的过程中，公交车所受的阻力大小不变。当车速为时，细绳偏离竖直方向的夹角为30°。当车速为时，细绳偏离竖直方向的夹角为（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 6．（2026•九龙坡区校级模拟）2025年，“中国天眼”FAST与国际深空探测团队联合发现了一颗编号为HD﹣2025b的系外行星，题3图为HD﹣2025b行星绕HD﹣2025恒星的运动椭圆轨迹示意图，ac为椭圆长轴，bd为椭圆短轴，已知HD﹣2025b行星绕HD﹣2025恒星一周的时间为T，行星和恒星均视为质点。则该行星（　　） A．经过a点和c点的加速度大小相等 B．经过a点和c点的速度大小相等 C．从c点经过d点运动到a点的时间大于 D．从c点经过d点运动到a点过程中恒星对它的引力做正功 7．（2026•沙坪坝区校级一模）如图甲所示，与水平面夹角θ＝37°的粗糙斜面上，放着可视为质点的A、B两物块，质量分别为mA＝1kg和mB＝5kg。轻弹簧一端与物块A相连，另一端与挡板相连。未施加拉力F时，A、B两物块恰好不下滑。从t＝0时刻开始，对B施加一沿斜面向上的力F使物块B沿斜面向上做匀加速运动，力F随时间变化如图乙，已知两物块与斜面的动摩擦因数均为0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，g取10m/s2，已知：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是（　　） A．乙图中F2＝95N B．弹簧的劲度系数为25N/m C．t＝0到t＝0.2s的过程中力F做的功为1.09J D．t＝0到AB分开的过程中，A所受摩擦力做功为0.08J 8．（2026•九龙坡区校级模拟）我校男排曾获得过6次全国冠军。如题6图所示排球被水平击出后，刚好擦着球网的上沿落入对方场地，排球通过球网上沿时，速度与水平方向的夹角为30°，排球落地时速度与水平方向的夹角为60°，球网高为h，球质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力，排球视为质点。则（　　） A．排球被运动员击出后的初速度v0大小为 B．排球在空中运动的时间为 C．击球点到地面高度为2h D．排球落地时所受重力的瞬时功率为 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2025秋•迪庆州期末）某科技公司研发的新型混合动力机车，其动力系统可在“纯电动模式”和“发动机辅助模式”间智能切换。已知机车行驶中所受阻力恒定，在平直公路上启动过程中，纯电动模式保持额定功率P1＝40kW不变，发动机辅助模式额定功率P2＝60kW。若启动过程中机车从静止开始先以纯电动模式行驶，t0时刻恰好达到该模式下的最大速度，随后立即切换为发动机辅助模式继续加速。则下列描述机车运动图像可能正确的是（图中F是机车的牵引力）（　　） A． B． C． D． （多选）10．（2025秋•青岛期末）图甲为建筑工地常用的吊装设备—塔吊。某次吊运货物的过程中，起重小车从某位置开始沿水平吊臂匀速远离塔体，同时吊臂绕塔体中心以角速度0.1rad/s匀速转动，起重小车运动过程中离塔体中心的距离r和吊臂转过的角度θ间关系如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．起重小车相对于吊臂的速度大小为0.5m/s B．r＝12m时，起重小车对地速度大小为 C．r＝12m时，起重小车的向心加速度大小为0.12m/s2 D．运动过程中，合外力对起重小车做功的功率越来越大 （多选）11．（2025春•连城县校级月考）一台起重机匀加速地将质量为1.0×103kg的货物从静止开始竖直吊起，若2s末货物的速度为4.0m/s，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，则在起重机匀加速吊起货物的过程中（　　） A．起重机对货物的拉力大小为1.2×104N B．2s内起重机对货物做的功为8.0×103J C．起重机在2s末输出的瞬时功率为4.8×104W D．起重机在2s内输出的平均功率为2.4×103W 三．解答题（共4小题） 12．（2025秋•1月份月考）如图甲所示，某驾校学员练习汽车半坡起步，汽车发动机提供的牵引力F随时间t变化的图像如图乙所示，质量为m的汽车从t＝0时刻开始在足够长的坡道上启动，t＝t0时，牵引力大小为5F0，汽车达到额定功率，之后保持该功率不变，t＝11t0时，牵引力大小为F0，汽车开始做匀速直线运动，启动过程中汽车所受的阻力不变。求： （1）汽车启动瞬间加速度大小； （2）汽车的额定功率。 13．（2026•泉州模拟）如图，2025年9月3日我国举行盛大的阅兵仪式，展示的某款无人机是我国自主研发的全球首款列装隐身无人机，可在两栖攻击舰上进行电磁弹射起降。无人机在电磁弹射加速过程中，可在2s时间内由静止开始水平匀加速到50m/s，并以此速度匀速巡航到1000km处的作战区域，巡航时无人机的水平方向牵引力大小为2×104N，无人机的质量为8×103kg，求无人机： （1）匀速巡航阶段所需的时间； （2）加速过程中受到的合力大小； （3）匀速巡航时水平方向牵引力的功率。 14．（2025秋•洮北区校级期末）如图所示，光滑斜面上的物块A与水平面上的物块B通过绕过固定在斜面顶端的定滑轮的轻绳相连，斜面倾角为30°，物块A、B的质量分别为mA＝1kg和mB＝2kg，此时物块A、B处于静止且B与水平面间摩擦力为最大静摩擦力。从t＝0时刻开始对物块B施加水平方向的作用力F，规定水平向右为F的正方向，F随时间t变化规律如图乙所示。物块B与水平面的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其他摩擦均不计，物块A、B开始时均离滑轮足够远，重力加速度为g＝10m/s2。求： （1）滑块B与水平面间的动摩擦因数μ大小； （2）0∼1s时间内物块A、B之间绳子拉力大小； （3）0∼4s时间内外力F做功大小。 15．（2025春•苏州校级期中）一辆新能源小汽车在水平路面上由静止启动，在前7s内做匀加速直线运动，7s末达到额定功率，此时速度达到v＝14m/s，之后保持以额定功率运动。其v﹣t图像如图所示，已知汽车的质量为m＝1×103kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，重力加速度g取10m/s2，求： （1）汽车在第5s末的牵引力F； （2）汽车的额定功率P和最大速度vm。 1 学科网（北京）股份有限公司 $