专题9.2 轴对称（高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级下册

专题9.2 轴对称 教学目标 1.理解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，能正确区分二者； 2.掌握轴对称的性质：对应点所连线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等； 3.能识别常见的轴对称图形，找出其对称轴； 4.会利用轴对称性质，画出已知图形关于某条直线的轴对称图形； 教学重难点 1.重点 （1）轴对称图形与两个图形成轴对称的概念； （2）轴对称的基本性质； （3）作简单平面图形的轴对称图形； 2.难点 （1）区分轴对称图形（一个图形自身对称）与成轴对称（两个图形关于直线对称）。 （2）理解并运用对应点连线被对称轴垂直平分这一核心性质。 （3）复杂图形（多边形、组合图形）的轴对称作图。 知识点01 轴对称的概念 1.轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． 2.轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 【即学即练】 1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如皋是一座拥有1600多年建县历史的历史文化名城，以长寿文化著称，被列为世界长寿之乡．“如皋”一词由“如”和“皋”组成，“如”为动词，意为“前往”或“到”，“皋”指“水边的高地”，整体意为“前往水边的高地”．下列是“皋”的几种不同的字体，其中可看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）下列图形中：①等腰三角形、②线段、③角、④直角三角形，不一定是轴对称图形的是________（填写序号）； 【答案】④ 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 直接利用轴对称图形的概念分析得出答案． 【详解】解：①等腰三角形、②线段、③角、④直角三角形．其中，不一定是轴对称图形的是④． 故答案为：④． 知识点02 线段的垂直平分线 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线． 【即学即练】 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，已知AC=10cm，BC=7cm，则△BCD的周长是________cm． 【答案】17 【分析】根据DE垂直平分线AB，得，进而求△BCD的周长； 【详解】解：∵DE垂直平分线AB， ∴， ∵AC=10cm，BC=7cm， ∴△BCD的周长为：cm； 故答案为：17． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 4．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，已知点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线： (1)如图①，作一条直线l，使得点B关于l的对称点为P． (2)如图②，作一条过点C的直线m，使得点P关于m的对称点落在上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质，尺规作图---线段的垂直平分线和角平分线，熟练掌握尺规作图的步骤是解题的关键． （1）由点B关于l的对称点为P，可得直线l为线段的垂直平分线，即可作图； （2）点P关于m的对称点落在上，可得直线m为的平分线所在的直线，即可作图． 【详解】（1）解：如图①，连接，作线段的垂直平分线l， 则直线l即为所求． （2）解：如图②，作的平分线， 则的平分线所在的直线m即为所求． 知识点03 轴对称的基本性质 1.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 2.轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 【即学即练】 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长． 【答案】7 【分析】先根据轴对称的性质可得，据此可得，再利用两个三角形的周长的差可得BC的长，进而得出CE的长． 本题考查了轴对称的性质，掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E， ， ， ∵的周长为18，的周长为32， ∴， ， 6．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，． (1)利用直尺和圆规作直线l，使点B、C关于直线l对称；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设直线l交于点D，连接，则的周长是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，轴对称的性质，正确作出直线l是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线即可； （2）根据轴对称图形的性质可得，再根据三角形轴对称计算公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为直线l； （2）解：∵点B、C关于直线l对称， ∴， ∴的周长； 知识点04 轴对称图形 1.轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 3.常见的轴对称图形： 等腰三角形，长方形，正方形，等腰梯形，圆等等． 题型01 轴对称图形的识别 【典例】中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的知识求解． 【详解】解：A选项：该图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形是轴对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 【变式1】国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.是轴对称图形，符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【变式2】下列四幅七巧板拼成的“人形”图形中，是轴对称图形的是（   ） A．握手 B．您好 C．拜托 D．谢谢 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式3】在“线段，角，圆，长方形，梯形，三角形，等边三角形”这七个图形中，是轴对称的图形有_______个． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：在“线段，角，圆，长方形，梯形，三角形，等边三角形”这七个图形中，线段，角，圆，长方形，等边三角形，都能找到一条直线，使图形沿着直线对折后，能够完全重合，是轴对称图形，共5个； 故答案为：5． 题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例】如图，线段与关于直线对称，连与直线相交于点，则线段______（填＞、、）． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称图形中对应点所连线段被对称轴垂直平分这一性质． 根据线段与关于直线对称这一条件，利用轴对称性质判断与的关系． 【详解】因为线段与关于直线对称，点与点是关于这条直线的对应点， 根据轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线， 所以直线是线段的垂直平分线，点O在对称轴上，即． 故答案为：． 【变式1】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据成轴对称图形的特征进行判断，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据与关于直线对称，交于点，得出，，，与不一定互相平行，即可作答． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，， 故A、C、D选项不符合题意； 则与不一定互相平行， 故B选项符合题意； 故选：B 【变式2】如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解，熟记轴对称的性质对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等是解题的关键． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，，垂直平分， 综上可知：正确，共个． 故选：D． 【变式3】如图，与关于直线对称，则以下结论中错误的是（   ） A． B． C． D．被垂直平分 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，垂直于同一直线的两直线平行等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称的性质可得，，垂直平分、，进而可得，于是得解． 【详解】解：与关于直线对称， 根据轴对称的性质可得： ，，垂直平分、， ， 结论错误，结论、、正确， 故选：． 题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例】如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（    ） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】本题围绕最短路径问题展开，掌握利用轴对称性质，将折线转化为线段求最短路径是解题的关键． 要在直线上找一点使最短，根据两点之间线段最短及轴对称的性质，需作出其中一点关于直线l的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求点． 【详解】解：作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为使最短的点； 通过观察图形，可知该交点为点． 故选：C． 【变式1】如图，点D为的边上一点，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（   ） A．13 B．15 C．17 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 先根据轴对称的性质得出，，再由，可得出的长，进而得出结论． 【详解】解：∵点A关于直线对称的点E恰好在线段上，，，， ∴，， ， ∴的周长． 故选：B． 【变式2】如图，四边形与四边形关于所在直线对称．若的面积是，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是根据轴对称图形的性质得到四边形与四边形的面积相等． 由题意可得，四边形与四边形的面积相等，从而得到阴影部分的面积就是的面积，即可求解． 【详解】解：由四边形与四边形关于所在直线对称可得四边形与四边形的面积相等， 从而得到阴影部分的面积就是的面积，即阴影部分的面积为， 故答案为：． 【变式3】如图，在中，，，，点D，E分别在，上，且和关于对称． (1)求的长； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）由轴对称的性质可得，再结合线段的和差关系可得答案； （2）由轴对称的性质可得，再结合三角形的周长公式可得答案； 【详解】（1）解：∵和关于对称， ∴， ∴. （2）∵和关于对称， ∴， ∴的周长. 题型04 线段的垂直平分线及其画法 【典例】在正方形网格中，的位置如图所示，且顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，根据到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线交点求解即可． 【详解】由图形可得，垂直平分，故排除A、C选项； 点很明显不在的垂直平分线上，故排除选项D； 故选：B． 【变式1】如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（    ） A．25 B．22 C．19 D．18 【答案】C 【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案． 【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线， ∴BD＝CD， ∵，， ∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD ＝AB＋AD＋CD ＝AB＋AC ＝19． 故选：C 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【变式2】三名同学在玩抢凳子游戏，他们分别站在一个三角形三个顶点处，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的______． 【答案】三边垂直平分线交点 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案． 【详解】解：依题意，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边垂直平分线交点， 故答案为：三边垂直平分线交点． 【变式3】已知，如图，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)作的平分线，交于点D； (2)在线段上求作一点E，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键． （1）根据角平分线的作图方法进行解答即可； （2）作的垂直平分线，交于点E，连接，由垂直平分线的性质可得，再根据等边对等角得，再根据三角形外角的性质得出即可． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，点E即为所求． 题型05 角平分线及其画法 【典例】如图，用直尺和圆规过点作的高线、中线，过点做的角平分线． 【答案】作图见解析 【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，作角平分线， 先以点A为圆心，以为半径画弧，交于点H，再分别以点B，H为圆心，以为半径画弧，两弧交于点G，作射线，交于点D；然后以点B，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点H，I，作直线交于点E，连接；接下来以点B为圆心，以为半径画弧，交于点K，再以点J，K为圆心，以为半径画弧，两弧交于点L，作射线交于点F，则即为所求作． 【详解】解：如图所示，即为所求作； 【变式1】已知：在中，，．求作：点P，使点P在内部，且，．（尺规作图，不写作法，只留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图． 作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点P，则点P即为所求． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点P， 此时，， 则点P即为所求． 【变式2】按如下要求作图： (1)如图1，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点在小正方形的顶点上， ①的面积为 ②将向上平移4个单位长度得到 ③在图中画出与关于直线l成轴对称的． (2)如图2，在中，画出的角平分线，线段的垂直平分线．（要求：利用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；） 【答案】(1)①4；②见详解；③见详解 (2)见详解 【分析】（1）①利用割补法求三角形面积，即通过用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积来计算的面积；②将各顶点向上平移4个单位后，再连接各个顶点即可求解；③根据轴对称性质，找到各顶点关于直线l的对称点，再连接成即可； （2）按基本的尺规作图即可求解． 【详解】（1）解：①， 故答案为：4； ②如图，即是所求作的三角形； ③如图，即是所求作的三角形； （2）如图所示，是所求作的的平分线，直线是所求作的线段的垂直平分线， 【点睛】本题考查了三角形面积计算（利用割补法）以及图形的平移和轴对称及尺规作图，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质等相关知识，解题的关键是理解用割补法将不规则图形转化为规则图形面积的差来计算；图形的平移是图形上所有点按照相同方向移动相同距离；轴对称是找到图形上各点关于对称轴的对称点再连接．尺规作图依据的是“边边边”公理． 【变式3】如图，点O在直线上，． (1)过点O在直线的下方作射线，使（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下的补角有 ； (3)先从以下两个条件①，②中任意选择一个作为条件，再求的度数．我选择的条件是 （填序号）． 【答案】(1)见详解 (2) (3)①（答案不唯一） 【分析】本题考查了补角，几何图形中的角度的运算，作射线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先延长，再运用圆规和直尺，作出射线，使，即可作答． （2）根据邻补角互补的性质进行作答即可； （3）理解题意，选择①或②，结合角的和差关系列式，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，射线，，如图所示： （2）解：依题意，点O在直线上， 在（1）的条件下的补角有， （3）解：依题意，选择①， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 选择②， ∵点O在直线上，． ∴， 则， 则 解得， ∴． 题型06 台球桌面上的轴对称问题 【典例】如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 则球最后落入的球袋是2号袋． 故选：B． 【变式1】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】A 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P， ∵2022÷6=337， ∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的最后一次反弹， ∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 【变式2】如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 【变式3】如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作点P关于是对称点，连接′交于M，点M即为所求． （2）作点P关于是对称点，点Q关于的对称点，连接交于E，交于F，点E，点F即为所求． 【详解】（1）解：如图，运动路径：，点M即为所求．    （2）解：如图，运动路径：，点E，点F即为所求．    【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 题型07 轴对称中的光线反射问题 【典例】如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵从点光源射出的光线射到直线上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为． 故选：D 【变式1】如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】利用轴对称变换的性质判断即可． 【详解】解：如图，过点P，点B的射线交于一点O， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称变换的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式2】如图，在水平地面AB上放一个平面镜BC，一束垂直于地面的光线经平面镜反射，若反射光线与地面平行，则平面镜BC与地面AB所成的锐角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质和光的反射原理计算． 【详解】解：入射光线垂直于水平光线， 它们的夹角为90°，虚线为法线，为入射角， 两水平线平行 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质、光的反射原理、入射角等于反射角等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式3】综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，平角的意义，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据已知条件得出，根据内错角相等，两直线平行即可判断； （2）先根据两直线平行，同旁内角互补得出，再根据平角的意义及角的和差得出，最后根据三角形内角和定理求解即可； （3）先求出，再根据平角的意义及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）理由：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：． （2）如图 ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． （3）如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 当时， ∴ 解得： 题型08 镜面对称问题 【典例】某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为__________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质，利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 【详解】解：根据镜面对称的性质，则该车牌照的部分号码为， 故答案为：． 【变式1】如图，是平面镜里看到背向墙壁的电子钟示数，这时的实际时间应该是_________． 【答案】 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，即电子钟数字“2”镜像为“5”、“0”镜像为“0”、“5”镜像为“2”、“1”镜像为“1”，且整体左右翻转后，镜中“20:51”对应实际时间“12:05”. 故答案为：． 【变式2】如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是______．    【答案】3265 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此分析并作答． 【详解】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265， 故答案为：3265． 【点睛】此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同． 【变式3】从镜子里看黑板上写着，那么实际上黑板写的是________． 【答案】50281 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，属于左右对称；据此分析并作答. 【详解】根据镜面对称的性质，镜面对称在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是50281． 故答案为50281. 【点睛】本题主要考查了对称性质，熟悉掌握对称的性质是关键. 题型09 画轴对称图形 【典例】（1）在图1空白的方格中，画出阴影部分的图形沿虚线翻折后的图形； （2）在图2的方格纸上，将图形先向右平移3格，再向下平移4格，画出平移后的图形； 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了轴对称作图和平移作图，用到的知识点为：两点关于某条直线对称，那么这两点的连线被对称轴垂直平分；图形的平移，与对应点的平移一致． （1）分别作出三个顶点关于直线对称的点，再顺次连接即可得到结果； （2）把图形中的一点按照所给平移的距离和方向得到相应的对应点，依次画出其余各点，连接即可； 【详解】解：（1）如图所示， （2）如图所示， 【变式1】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A、B均为格点（网格线的交点），直线l与点A右侧2个单位竖直方向的网格线重合． (1)画线段，使与关于直线l对称； (2)在l上找一点C，使得最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——轴对称，以及利用轴对称的性质求最短路径，掌握轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接交直线l于点C即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：如图，连接交直线l于点C，连接， 此时，为最小值， 则点C即为所求． 【变式2】如图，在所给的网格图中，完成下列各题 (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点P，使最小； (3)在上画出点Q，使最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形、最短路径问题，根据轴对称的性质正确作图是解题的关键． （1）分别作点A、B、C关于直线的对称点、、，再顺次连接、、所得的三角形即为所求； （2）根据轴对称的性质可得，连接交直线于点P，则点P即为所求． （3）根据，即可得到的最大值为的长，延长交于点Q，则点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，点P即为所求； （3）解：如图所示，点Q即为所求． 【变式3】利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）第一个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的；第二个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的； （2）分别作P关于的对称点，连接分别交于，连接，由对称性可得：，则，根据两点之间线段最短可知，最小． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 题型10 求对称轴条数 【典例】下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（   ） A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的知识，解答本题的关键是分别得出各选项图形的对称轴的条数． 【详解】解：等边三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正六边形有6条对称轴，圆有无数条对称轴， ∴对称轴条数最少的是等边三角形， 故选：A． 【变式1】如图是轴对称图形，其对称轴的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴条数，先判定是等边三角形，后确定对称轴条数即可． 【详解】根据题意，得对称轴的条数为3条， 故选C． 【变式2】“线段、角、圆、正方形、等边三角形”这五个图形中，对称轴最多的图形是______． 【答案】圆 【分析】本题考查轴对称图形的定义：一个图形沿着某条直线折叠后直线两边的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴；写出每个图形的对称轴的数量即可得解. 【详解】线段有2条对称轴； 角有1条对称轴； 圆有无数条对称轴； 正方形有4条对称轴； 等边三角形有3条对称轴； 故答案为：圆. 【变式3】如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 【答案】(1)图案是轴对称图形，有4条对称轴 (2)图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴 (3)第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴 【分析】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】（1）图案是轴对称图形，有4条对称轴； （2）图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴． （3）第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴． 题型11 折叠问题 【典例】如图，在中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查求三角形周长，数形结合是解决问题的关键． 先由中点定义得到，再由折叠性质得到，数形结合表示出的周长，代值计算即可得到答案． 【详解】解：点是的中点，， ， 由折叠性质可知， 又， ， 故选：C． 【变式1】如图，将正方形分别沿、折叠，使得点与点重合，点与点重合，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质，由折叠得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点，的位置．若，则______． 【答案】68 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握折叠前和折叠后对应角相等是解题的关键． 根据，可得，，再由折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 故答案为：68 【变式3】如图，长方形中，，，E为边上一点，将长方形沿折叠（为折痕），使点与点重合，平分交于点，过点作交 于点． (1)请判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)． 【分析】此题考查了折叠问题及平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得，根据角平分线定义及垂直的定义得，最后由平行的判定可得结论； （2）由余角的性质得，然后根据平行线的性质可得答案． 【详解】（1），理由如下： ∵长方形沿折叠， ∴， ∵平分交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵长方形中，， ∴， ∵， ∴． 题型12 轴对称图形的综合问题 【典例】如图，中，，，，，点、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（    ） A．9.6 B．13.5 C．19.2 D．22.5 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称—路径最短问题，理解转化思想是解题的关键． 如图，作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接，，，，，，，推出，可得M、C、N共线，由，，可知F、E、M、N共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解∶如图作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接，，，，，，， ，，， ， 共线， ， ， 当共线时，且时，的值最小， 最小值， ， ， ， 的最小值为， 故选：C． 【变式1】如图，中，点D在边上，做点D关于直线的对称点E，连接，做点D关于直线的对称点F，连接．，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查轴对称的性质，由点E和点F分别是点D关于和的对称点，得，再根据，所以，即可求出答案． 【详解】解：点E和点F分别是点D关于和的对称点， ， ， ， ， 故选：A． 【变式2】如图，点分别在三角形的边上，把三角形沿直线翻折后得．如果，那么的度数为_______ ． 【答案】/30度 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，邻补角的定义，角的计算，熟练掌握图形的翻折变换及其性质，邻补角的定义是解决问题的关键． 由翻折性质得，进而得，则，然后根据即可得出答案． 【详解】解：由翻折性质得：， ∵点在边上，且， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】点O，E分别是长方形纸片边，上的点，沿，翻折，点A落在点处，点B落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数； (3)当点，落在的内部时，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质进而可知，从而即可求解； （2）根据折叠的性质进而可知，从而即可求解； （3）根据折叠的性质进而可知，，再分类讨论即可． 本题考查了折叠的性质、几何图中角度的计算，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． 【详解】（1）解：由折叠的性质，得到，， ∴， ∴, ∴； （2）解：由折叠的性质，得到，， ∵，， ∴， ， ； （3）解：∵， ∴， 由折叠的性质，得到，， ①如图2，当点在内部时， ∵， ∴； ②如图3，当点在外部时， ∵， ∴． 综上，的度数为或． 1．（24-25八年级上·江苏南京·月考）下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（   ） A．菱形 B．等腰三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴画法及不同图形的性质，解题关键是明确用无刻度直尺画对称轴需利用图形自身的几何特征（如对角线、顶点连线等）来确定对称轴位置． 根据轴对称图形的性质，分析各图形能否用无刻度的直尺画出对称轴． 【详解】A、菱形的对称轴是对角线所在的直线，可以用直尺连接对角顶点直接画出； B、等腰三角形的对称轴是底边上的高，但只用直尺无法准确找到底边中点或垂足，故不能画出； C、延长等腰梯形的两腰使其相交于一点，连接两条对角线使其相交于另一点，连接这两点的直线即为对称轴，故能用直尺画出； D、连接正五边形的一个顶点和不经过该顶点的两条对角线的交点，即可画出一条对称轴． 故选B． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图——基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法；观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可. 【详解】解：A、作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故A不符合题意； B、作图痕迹可知，D在的平分线上，能确定，故B符合题意； C、作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故C不符合题意； D、作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，不能确定，故D不符合题意. 故选：B. 3．（25-26七年级上·江苏南京·月考）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图，在，上各取一点连成的虚线，沿该虚线剪去一个角，剩余部分展开铺平后得到的图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查“折叠图形”，根据折叠的方式判断出正方形内部图形的对称性是解题关键． 根据折叠方式，可判断正方形内的图形既关于正方形的对角线对称，又关于经过正方形对边中点的直线对称，根据特征判断选项即可． 【详解】解：根据折叠方式，判断出是正方形的对角线的一部分，是正方形一边的中点，为过正方形对边中点的直线， 故正方形内的图形既关于正方形的对角线对称，又关于经过正方形对边中点的直线对称， 其中，选项A，B，C均满足该特征， 选项D不满足该特征， 故选：． 4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）下列图形：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中，存在互相垂直的对称轴的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的对称轴以及对称轴之间的位置关系．涉及到正多边形对称轴的数量和性质等知识点．解题关键在于准确掌握不同正多边形对称轴的特点，通过分析对称轴的位置来判断是否存在互相垂直的情况．依次分析每个正多边形对称轴的情况，判断是否存在互相垂直的对称轴．对于正多边形，其对称轴是通过正多边形的中心和顶点或者边的中点的直线．根据正多边形的性质，确定其对称轴的数量和位置关系，进而判断是否有互相垂直的对称轴． 【详解】解：①正三角形有条对称轴，相邻对称轴夹角为，不垂直，故不符合题意； ②正四边形（正方形）有条对称轴，其中两条对角线互相垂直，故存在互相垂直的对称轴，符合题意； ③正五边形有条对称轴，相邻对称轴夹角为，不垂直，故不符合题意； ④正六边形有条对称轴，方向间隔（如、、、等），其中（通过顶点）与（通过边中点）的对称轴夹角为，垂直，符合题意． 综上所述：满足条件的图形是②正四边形和④正六边形，共2个． 故选：B． 5．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在的位置，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠问题，平行线的性质，求出的度数，折叠的性质，得到的度数，再根据角的和差关系，即可得出结果． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 故选D． 6．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 7．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）点点同学在学习“生活中的轴对称”之后，对图形的变换进行操作实践． P为长方形纸片的边上一点，点E，M分别为上的动点，如图，先把纸片沿对折，点A翻折至点F：再把纸片沿对折，点B翻折至点H．当点E，M运动时，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，邻补角的定义，角的计算，理解图形的翻折变换及其性质，邻补角的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．设，，则，由折叠性质得，，根据得，据此可得的度数． 【详解】解：设，， ∵， ∴， 由折叠性质得：，， ∵P为长方形纸片的边上一点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，设，则，所以，再根据折叠的性质得到，则，接着利用折叠的性质得到，然后根据平角的定义得到，解方程可得到的度数，列出正确的方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， ∵四边形形沿折叠形成四边形， ∴， ∴， ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴， 解得， 即的度数为． 故选：B． 9．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 ___________个格点三角形与成轴对称． 【答案】6 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 故答案为：6． 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，的面积为，，平分，若分别是上的动点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短．过点C作于点E，在上截取线段，使得，由，求出CE可得结论． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上截取线段，使得， 平分，， ，关于对称， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，有一个长方形纸条，点是线段上的两个动点，且点始终在点左侧，在上有一点，连接、，以、为折痕翻折纸条，使点、点、点、点分别落在点、点、点、点上．当时，________． 【答案】或 【分析】本题考查折叠中角度的计算，熟练掌握折痕为角平分线，是解题的关键． ①当在左侧时，结合题意可求出．再根据分别平分，即可求出；②当在左侧时，结合题意可得，即可求出，进而可求出． 【详解】解：分类讨论：①当在右侧时， ∵， ∴． ∵分别平分， ∴ ． ②当在左侧时， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上可知，的度数为或． 故答案为：或 12．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点_______处，（填图中的字母） 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：如图：作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故答案为：C． 13．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图，将长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则____________________ ．（用α的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据平行线的性质，折叠的性质进行分析即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴． ∵长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，取一张长方形纸片，按图中所示的方法先折叠一角，得到折痕，再折叠另一角，得到折痕．若两折痕的夹角，则_____． 【答案】/40度 【分析】本题考查了折叠问题中角的计算，解题的关键是：明确折叠前后两个图形全等，对应角相等． 先根据折叠的性质得出，，根据平角的性质推出，根据，得出，即可求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在点处，折痕为．点F为射线上一点，连接，将长方形纸片的另一角沿折叠，使得点B落在点处（折痕为）．若，则___________． 【答案】108或72 【分析】本题考查了折叠的性质，角的计算，熟练掌握折叠变换的性质并采用分类讨论的数学思想是解题的关键．由折叠的性质可推出，，再分两种情况讨论，①当在的外部，则，求得，则；②当在的内部，则，求得，则，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，，， ，， ①当在的外部，如图 ，且， ， ， ∴； ②当在的内部，如图 ，且， ， ， ． 故答案为：108或72． 16．（25-26七年级上·江苏南京·期末）（1）如图1，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．用无刻度直尺完成下列作图：①过点C画的平行线；②过点A画的垂线，垂足为G；③过点A画的垂线，交于点H；则线段________的长度是点B到直线的距离． （2）如图2，已知，垂足为点A，内部有一条射线，用无刻度的直尺和圆规作图：作出射线，使得．（保留作图痕迹） 【答案】（1）图见解析，；（2）图见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，点到直线的距离，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据平行线的判定，垂线的定义画出图形即可； （2）利用尺规作直线于点H即可． 【详解】解：（1）如图，直线，直线，直线即为所求，线段的长是点B到直线的距离． 故答案为：； （2）如图，直线即为所求： 17．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使得，折叠后的，落在同一条直线上，其中，为折痕． (1)和有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)的度数为． 【分析】本题主要考查了折叠问题，角度和与差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意可得，，又，所以，则，得，从而求解； （）由题意可得，，又，所以，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 由题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点P在的内部，点C和点P关于直线对称，点P关于直线的对称点是点D，连接交于点M，交于点N． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为 ． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ∴ ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为． 故答案为：． 19．（25-26七年级上·江苏南京·期末）（1）如图，点、、均在正方形网格的格点上，仅用无刻度的直尺画图： ①过点画的垂线； ②过点画的平行线． （2）如图，已知，垂足为点，内部有一条射线，用无刻度的直尺和圆规作图： ①作出射线，使得； ②过点作的平行线（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①见解析；②见解析 【分析】本题主要考查垂线的定义、平行线的判定及角的尺规作图、垂线的尺规作图，熟练掌握垂线的定义、平行线的判定及角的尺规作图、垂线的尺规作图是解题的关键； （1）根据垂线的定义及平行线的判定可进行作图； （2）根据角的尺规作图与垂线的尺规作图可进行求解． 【详解】解：如图，直线即为所求． 如图，直线即为所求． 如图，射线和射线均满足题意． 如图，直线即为所求． 20．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 【答案】（1）；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；（2）①；② 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及角度的计算，解题的关键是利用“等角的余角相等”和“两直线平行，内错角相等”等定理，结合反弹规律进行角度推导． （1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）①根据平行线性质及反弹规律可求得结果； ②利用则同旁内角互补，可求出的表达式，再根据反弹规律与平行线性质可写出与的表达式，最后通过平角为建立方程求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以（等角的余角相等）． 同理， 又因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行． （2）① 解：如图， ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， 故答案为：． ② 解：当时，， 由反弹规律，， ∴． 由，并结合反弹规律得， ∵， ∴， 解得，符合的范围， 故答案为：． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.2 轴对称 教学目标 1.理解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，能正确区分二者； 2.掌握轴对称的性质：对应点所连线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等； 3.能识别常见的轴对称图形，找出其对称轴； 4.会利用轴对称性质，画出已知图形关于某条直线的轴对称图形； 教学重难点 1.重点 （1）轴对称图形与两个图形成轴对称的概念； （2）轴对称的基本性质； （3）作简单平面图形的轴对称图形； 2.难点 （1）区分轴对称图形（一个图形自身对称）与成轴对称（两个图形关于直线对称）。 （2）理解并运用对应点连线被对称轴垂直平分这一核心性质。 （3）复杂图形（多边形、组合图形）的轴对称作图。 知识点01 轴对称的概念 1.轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． 2.轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 【即学即练】 1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如皋是一座拥有1600多年建县历史的历史文化名城，以长寿文化著称，被列为世界长寿之乡．“如皋”一词由“如”和“皋”组成，“如”为动词，意为“前往”或“到”，“皋”指“水边的高地”，整体意为“前往水边的高地”．下列是“皋”的几种不同的字体，其中可看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）下列图形中：①等腰三角形、②线段、③角、④直角三角形，不一定是轴对称图形的是________（填写序号）； 知识点02 线段的垂直平分线 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线． 【即学即练】 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，已知AC=10cm，BC=7cm，则△BCD的周长是________cm． 4．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，已知点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线： (1)如图①，作一条直线l，使得点B关于l的对称点为P． (2)如图②，作一条过点C的直线m，使得点P关于m的对称点落在上．（保留作图痕迹，不写作法） 知识点03 轴对称的基本性质 1.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 2.轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 【即学即练】 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长． 6．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，． (1)利用直尺和圆规作直线l，使点B、C关于直线l对称；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设直线l交于点D，连接，则的周长是 ． 知识点04 轴对称图形 1.轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 3.常见的轴对称图形： 等腰三角形，长方形，正方形，等腰梯形，圆等等． 题型01 轴对称图形的识别 【典例】中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列四幅七巧板拼成的“人形”图形中，是轴对称图形的是（   ） A．握手 B．您好 C．拜托 D．谢谢 【变式3】在“线段，角，圆，长方形，梯形，三角形，等边三角形”这七个图形中，是轴对称的图形有_______个． 题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例】如图，线段与关于直线对称，连与直线相交于点，则线段______（填＞、、）． 【变式1】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 【变式3】如图，与关于直线对称，则以下结论中错误的是（   ） A． B． C． D．被垂直平分 题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例】如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（    ） A．A B．B C．C D．D 【变式1】如图，点D为的边上一点，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（   ） A．13 B．15 C．17 D．不能确定 【变式2】如图，四边形与四边形关于所在直线对称．若的面积是，则阴影部分的面积为_____． 【变式3】如图，在中，，，，点D，E分别在，上，且和关于对称． (1)求的长； (2)求的周长． 题型04 线段的垂直平分线及其画法 【典例】在正方形网格中，的位置如图所示，且顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（    ） A．25 B．22 C．19 D．18 【变式2】三名同学在玩抢凳子游戏，他们分别站在一个三角形三个顶点处，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的______． 【变式3】已知，如图，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)作的平分线，交于点D； (2)在线段上求作一点E，使得． 题型05 角平分线及其画法 【典例】如图，用直尺和圆规过点作的高线、中线，过点做的角平分线． 【变式1】已知：在中，，．求作：点P，使点P在内部，且，．（尺规作图，不写作法，只留作图痕迹） 【变式2】按如下要求作图： (1)如图1，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点在小正方形的顶点上， ①的面积为 ②将向上平移4个单位长度得到 ③在图中画出与关于直线l成轴对称的． (2)如图2，在中，画出的角平分线，线段的垂直平分线．（要求：利用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；） 【变式3】如图，点O在直线上，． (1)过点O在直线的下方作射线，使（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下的补角有 ； (3)先从以下两个条件①，②中任意选择一个作为条件，再求的度数．我选择的条件是 （填序号）． 题型06 台球桌面上的轴对称问题 【典例】如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式1】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【变式2】如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 【变式3】如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 题型07 轴对称中的光线反射问题 【典例】如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【变式2】如图，在水平地面AB上放一个平面镜BC，一束垂直于地面的光线经平面镜反射，若反射光线与地面平行，则平面镜BC与地面AB所成的锐角为（    ） A． B． C． D． 【变式3】综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 题型08 镜面对称问题 【典例】某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为__________． 【变式1】如图，是平面镜里看到背向墙壁的电子钟示数，这时的实际时间应该是_________． 【变式2】如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是______．    【变式3】从镜子里看黑板上写着，那么实际上黑板写的是________． 题型09 画轴对称图形 【典例】（1）在图1空白的方格中，画出阴影部分的图形沿虚线翻折后的图形； （2）在图2的方格纸上，将图形先向右平移3格，再向下平移4格，画出平移后的图形； 【变式1】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A、B均为格点（网格线的交点），直线l与点A右侧2个单位竖直方向的网格线重合． (1)画线段，使与关于直线l对称； (2)在l上找一点C，使得最小． 【变式2】如图，在所给的网格图中，完成下列各题 (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点P，使最小； (3)在上画出点Q，使最大． 【变式3】利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 题型10 求对称轴条数 【典例】下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（   ） A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆 【变式1】如图是轴对称图形，其对称轴的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】“线段、角、圆、正方形、等边三角形”这五个图形中，对称轴最多的图形是______． 【变式3】如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 题型11 折叠问题 【典例】如图，在中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1】如图，将正方形分别沿、折叠，使得点与点重合，点与点重合，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点，的位置．若，则______． 【变式3】如图，长方形中，，，E为边上一点，将长方形沿折叠（为折痕），使点与点重合，平分交于点，过点作交 于点． (1)请判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 题型12 轴对称图形的综合问题 【典例】如图，中，，，，，点、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（    ） A．9.6 B．13.5 C．19.2 D．22.5 【变式1】如图，中，点D在边上，做点D关于直线的对称点E，连接，做点D关于直线的对称点F，连接．，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，点分别在三角形的边上，把三角形沿直线翻折后得．如果，那么的度数为_______ ． 【变式3】点O，E分别是长方形纸片边，上的点，沿，翻折，点A落在点处，点B落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数； (3)当点，落在的内部时，若，求的度数（用含的代数式表示）． 1．（24-25八年级上·江苏南京·月考）下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（   ） A．菱形 B．等腰三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 2．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏南京·月考）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图，在，上各取一点连成的虚线，沿该虚线剪去一个角，剩余部分展开铺平后得到的图形不可能是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）下列图形：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中，存在互相垂直的对称轴的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在的位置，若，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）点点同学在学习“生活中的轴对称”之后，对图形的变换进行操作实践． P为长方形纸片的边上一点，点E，M分别为上的动点，如图，先把纸片沿对折，点A翻折至点F：再把纸片沿对折，点B翻折至点H．当点E，M运动时，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 ___________个格点三角形与成轴对称． 10．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，的面积为，，平分，若分别是上的动点，则的最小值为___________． 11．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，有一个长方形纸条，点是线段上的两个动点，且点始终在点左侧，在上有一点，连接、，以、为折痕翻折纸条，使点、点、点、点分别落在点、点、点、点上．当时，________． 12．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点_______处，（填图中的字母） 13．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图，将长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则____________________ ．（用α的代数式表示） 14．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，取一张长方形纸片，按图中所示的方法先折叠一角，得到折痕，再折叠另一角，得到折痕．若两折痕的夹角，则_____． 15．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在点处，折痕为．点F为射线上一点，连接，将长方形纸片的另一角沿折叠，使得点B落在点处（折痕为）．若，则___________． 16．（25-26七年级上·江苏南京·期末）（1）如图1，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．用无刻度直尺完成下列作图：①过点C画的平行线；②过点A画的垂线，垂足为G；③过点A画的垂线，交于点H；则线段________的长度是点B到直线的距离． （2）如图2，已知，垂足为点A，内部有一条射线，用无刻度的直尺和圆规作图：作出射线，使得．（保留作图痕迹） 17．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使得，折叠后的，落在同一条直线上，其中，为折痕． (1)和有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，求的度数． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点P在的内部，点C和点P关于直线对称，点P关于直线的对称点是点D，连接交于点M，交于点N． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为 ． 19．（25-26七年级上·江苏南京·期末）（1）如图，点、、均在正方形网格的格点上，仅用无刻度的直尺画图： ①过点画的垂线； ②过点画的平行线． （2）如图，已知，垂足为点，内部有一条射线，用无刻度的直尺和圆规作图： ①作出射线，使得； ②过点作的平行线（不写作法，保留作图痕迹） 20．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $